El número óptimo de empresas bajo competencia de Bertrand

Transcripción

1 El número óptmo de empresas bajo competenca de Bertrand Germán Coloma * Resumen Este trabajo es acerca de un modelo de competenca en precos en el mercado de un producto homogéneo con lbre entrada de empresas déntcas y rendmentos varables a escala. S el número óptmo de empresas actvas en el mercado es dos o más, el equlbro de Bertrand exste sempre para dcho número óptmo, y no exste s el número de empresas actvas es menor que el óptmo. El modelo, sn embargo, no descarta la exstenca de equlbros con más empresas actvas que el óptmo. Fnalmente, s el número óptmo de empresas es gual a uno, entonces el equlbro de Bertrand no exste. Summary n Englsh Ths paper s about a model of Bertrand competton n a homogeneous-good market wth free entry of dentcal frms and varable returns to scale. If the optmum number of actve frms n the market s two or more, Bertrand equlbrum always exsts for that optmum number, and t does not exst f the number of actve frms s less than the optmum. The model, however, does not rule out the exstence of Bertrand equlbra wth more actve frms than the optmum number. Fnally, when the optmum number of actve frms n the market s one, Bertrand equlbrum does not exst. Clasfcacón del JEL: D43, L13. Descrptores: Equlbro de Bertrand, rendmentos varables, lbre entrada. 1. Introduccón Desde que fue tratado por prmera vez por Marshall (1890), el tema del número óptmo de empresas (y su comparacón con el número de empresas de equlbro en un mercado) se volvó tradconal en el análss económco de la competenca perfecta. Posterormente recbó tambén atencón para casos de competenca de Cournot (Mankw y Whnston, 1986; Corchon y Fradera, 2002), competenca monopolístca (Dxt y Stgltz, 1977; Anderson, de Palma y Nesterov, 1995) y colusón (Brander y Spencer, 1985; Fredman y Thsse, 1994). En este trabajo consderaremos el tema del número óptmo de empresas bajo competenca de Bertrand en mercados de productos homogéneos con lbre entrada. Para * Unversdad del CEMA; Av. Córdoba 374, Buenos Ares, C1054AAP, Argentna. Teléfono: Correo electrónco: gcoloma@cema.edu.ar. Agradezco los comentaros de Leandro Arozamena, Federco Wenschelbaum y Makoto Yano a una versón anteror de este trabajo. Las opnones expresadas en esta publcacón son las del autor y no necesaramente las de la Unversdad del CEMA. 2

2 ello desarrollaremos un modelo con empresas déntcas que poseen una clase partcular de funcón de costos con rendmentos varables a escala, consstente en la suma de un costo varable convexo y de un costo fjo evtable. Empresas déntcas y rendmentos varables son requstos vrtualmente ndspensables para analzar el número óptmo de empresas en un mercado. S las empresas no son déntcas, el problema mplca tambén defnr cuáles empresas deberían estar actvas y cuáles no, y no smplemente la determnacón de un número óptmo de empresas actvas. Por el contraro, s los rendmentos a escala no son varables, encontrar el número óptmo de empresas se vuelve trval: es gual a uno s los rendmentos son crecentes, tende a nfnto s son decrecentes, y es rrelevante s los rendmentos a escala son constantes. Como los modelos de competenca en precos han sdo desarrollados típcamente en contextos de rendmentos a escala no varables, la optmaldad del número de empresas en equlbro bajo competenca de Bertrand en mercados con productos homogéneos es un tema bastante nusual en la lteratura. Pero la lbre entrada bajo competenca en precos sí ha sdo analzada para dferentes stuacones de rendmentos crecentes como un modo de lmtar el poder monopólco (Sharkey y Sbley, 1993; Chowdhury, 2002). Tambén hemos hallado un trabajo que estuda la posble convergenca del equlbro de Bertrand a un equlbro de competenca perfecta en una stuacón de lbre entrada con rendmentos varables (Novshek y Chowdhury, 2003), y otro que trata sobre el tema de la lbre entrada con rendmentos varables a escala en el contexto de una competenca del tpo Bertrand-Edgeworth (Yano, 2006) 1. El equlbro de Bertrand y la lbre entrada tambén han aparecdo juntos en modelos en los cuales las empresas tenen dstntas funcones de costos, como un modo de explcar la coexstenca de empresas grandes y pequeñas en el msmo mercado (Yano, 2005). Tambén aparecen en modelos que buscan encontrar condcones de largo plazo bajo las cuales un certo número de empresas, aunque no necesaramente el óptmo, se encuentra actvo en un mercado (Ferrera y Dufourt, 2007). El presente trabajo puede verse como una contrbucón a la teoría del equlbro de largo plazo bajo competenca de Bertrand. Tambén puede leerse como una contnuacón de un trabajo prevo sobre el equlbro de Bertrand en mercados con rendmentos varables a escala (Saport y Coloma, 2008). Dcho trabajo es en rgor una extensón de la lteratura sobre equlbro de Bertrand cuando las empresas tenen 1 Para una explcacón de la dferenca entre la competenca de Bertrand y la de Bertrand-Edgeworth, véase Vves (1999), capítulo 5. 3

3 funcones de costos varables convexas (Dastdar, 1995; Webull, 2006) a un caso en el cual las msmas tambén afrontan un costo fjo no hunddo. 2. Descrpcón del modelo Consderemos el mercado de un producto homogéneo con muchas empresas potencalmente oferentes. Cada una de ellas tene la sguente funcón de costos con rendmentos varables a escala: 0 (s Q C(Q ) = = 0) (1) ; VC(Q ) + F (s Q > 0) donde Q es la cantdad ofrecda por la ésma empresa, VC en una funcón contnua, crecente y estrctamente convexa de Q, y F es un parámetro no negatvo que representa un costo fjo evtable o no hunddo. Supongamos que en este mercado hay n empresas actvas (es decr, n empresas que ofrecen Q > 0), y que las restantes empresas están nactvas (es decr, ofrecen Q = 0). Respecto de certa cantdad total Q, el número óptmo de empresas es el número de empresas actvas para el cual se da que n C(Q/n) m C(Q/m), para todo m n. Alternatvamente, esta condcón puede expresarse usando la funcón de costo medo AC(Q ) = C(Q )/Q. En ese caso, el número óptmo de empresas respecto de certa cantdad total Q es el número de empresas actvas para el cual se da que AC(Q/n) AC(Q/m), para todo m n. Representemos la demanda agregada del mercado a través de la expresón Q = D(P), donde P es el preco pagado por los consumdores. Supongamos que D es una funcón contnua y decrecente de P, con lm P D(P) = 0 y D(0) = K > 0. En ese caso podemos defnr al número óptmo de empresas en el mercado como el número de empresas actvas para el cual se da que AC(D(P L (n))/n) AC(D(P L (m))/m), para todo m n, donde P L (n) = AC(D(P)/n) y P L (m) = AC(D(P)/m). P L (n) es por lo tanto el preco de autofnancamento (break-even prce) para un caso con n empresas actvas en el mercado. Supongamos ahora que, s este mercado está en una stuacón de competenca en precos, cada empresa enfrenta la sguente funcón de demanda ndvdual: 4

4 0 (s P > P j, para algún j ) D(P ) D (P, P ) = (s P = P j, para todo j N, y P < P k, para todo k N) (2) ; n D(P ) (s P < P j, para todo j ) donde P es el preco elegdo por la ésma empresa, P j es el preco elegdo por la jotaésma empresa, P k es el preco elegdo por la kaésma empresa, n es el número de empresas actvas, y N es el conjunto de empresas actvas. Nótese que esta defncón de la funcón de demanda de la empresa ndvdual supone una regla de reparto gualtaro (equal sharng rule), es decr, la dea de que s n empresas cobran el msmo preco y ese preco es el mínmo preco cobrado por todo el conjunto de empresas, entonces la demanda se reparte equtatvamente entre las n empresas actvas 2. Tambén mplca que cada empresa actva debe satsfacer toda la demanda que enfrenta, gual a D(P )/n. Esta defncón de la demanda mplca además que cada empresa obtene un benefco Π gual a: ( )) Π = P D (P,P ) C D (P,P (3) ; lo cual quere decr que cada empresa actva obtene un benefco gual a: D(P ) D(P ) Π = P VC F (4) ; n n mentras que cada empresa nactva obtene un benefco gual a cero. En una stuacón de competenca en precos como la descrpta, un equlbro de Bertrand es un perfl de precos Pn tal que, para todo N y todo P ĩ [0, ), se da que Π (P, P - ) Π (P ĩ, P - ) y, para todo k N y todo P ĩ [0, ), se da que Π k (P ĩ, P -k ) 0. Desgnaremos con la expresón B(G n ) al conjunto de dchos equlbros, donde n es el número de empresas que pertenecen a N. 3. Resultados Antes de proceder a demostrar los prncpales resultados de este trabajo, enuncaremos y probaremos una sere de lemas que nos resultarán útles en dcha tarea, y que son los sguentes: 2 Para ver otras reglas aplcables a stuacones de competenca en precos, véase Hoerng (2007). 5

5 Lema 1: S Pn B(G n ) e N, entonces Π 0. Prueba: Supóngase, por el contraro, que Π < 0. Entonces Pn no puede ser un equlbro de Bertrand, ya que la ésma empresa puede cobrar un preco más alto, quedarse nactva y ganar Π = 0. Esto contradce la hpótess de que Pn B(G n ), q.e.d. Lema 2: S Pn B(G n ) entonces, para todo, j N, P = P j =P B. Prueba: Supóngase que P > P j = P B, para todo j N, j. Entonces la ésma empresa no puede estar actva, ya que en esa stuacón D (P, P - ) = 0. Supóngase en cambo que P < P j = P B, para todo j N, j. Entonces las otras n-1 empresas no pueden estar actvas, ya que en esa stuacón D j (P j, P -j ) = 0. Por ende, para todo, j N, debe darse que P = P j = P B, q.e.d. Lema 3: S Pn B(G n ) entonces, para todo k N, P k > P B. Prueba: Supóngase que P k = P B. Entonces la kaésma empresa no puede estar nactva, ya que en esa stuacón D k (P B, P -k ) = D(P B )/(n+1) > 0. Supóngase alternatvamente que P k < P B. Entonces la kaésma empresa tampoco puede estar nactva, dado que en esa stuacón D k (P k, P -k ) = D(P k ) > 0. Por ende, para todo k N, debe darse que P k > P B, q.e.d. Lema 4: S Pn B(G n ), entonces P B P L (n). Prueba: De aplcar el lema 1 sabemos que, para todo N, Π 0. De aplcar el lema 2 sabemos que, para todo N, P = P B. S P L (n) = AC(D(P)/n), entonces no exste nngún P < P L (n) para el cual Π 0, y consecuentemente no puede haber tampoco un perfl de precos Pn B(G n ) para el cual se dé que P B < P L (n), q.e.d. Lema 5: S Pn B(G n ), entonces P B P L (n+1). Prueba: Supóngase, por el contraro, que P B > P L (n+1). Entonces recuérdese que, por defncón, P L (n+1) = AC[D(P)/(n+1)], por lo cual, s n+1 empresas cobran P B, pueden obtener un benefco postvo. En ese caso Pn no puede ser un equlbro en el que sólo n empresas estén actvas, y consecuentemente Pn B(G n ), q.e.d. Lema 6: S Pn B(G n ), entonces P B P L (1). Prueba: Supóngase, por el contraro, que P B > P L (1). Entonces la kaésma empresa podría fjar un preco P ĩ = P B ε > P L (1), y obtener Π k = P ĩ D(P ĩ ) VC[D(P ĩ )] F > 0. En ese caso Pn no puede ser un equlbro, y consecuentemente Pn B(G n ), q.e.d. Combnando los lemas 4, 5 y 6, es posble probar un prmer resultado mportante que establece condcones necesaras y sufcentes para la exstenca del equlbro de Bertrand. Dcho resultado es la proposcón 1. Proposcón 1: Supóngase que n 2. Entonces B(G n ) Ø s y solo s P L (n) P L (n+1) y P L (n) P L (1). Prueba: Combnando los lemas 4 y 5 obtenemos que, s B(G n ) Ø, entonces P L (n) P L (n+1). Combnando los lemas 4 y 5 obtenemos que, s B(G n ) Ø, entonces P L (n) P L (1). Por lo tanto, s B(G n ) no está vacío, entonces P L (n) P L (n+1) y P L (n) P L (1). Recuérdese ahora que, s P L (n) P L (n+1) and P L (n) P L (1), entonces exste un conjunto no vacío de precos [P L (n); P L (n+1)] [P L (n); P L (1)]. S P B pertenece a dcho 6

6 conjunto y n 2, será un preco de equlbro de Bertrand, porque todas las empresas actvas preferrán cobrar P B y permanecer actvas en vez de cobrar P > P B y volverse nactvas, todas las empresas nactvas preferrán cobrar P k > P B en vez de P k = P B y volverse actvas, y todas las empresas (actvas e nactvas) preferrán quedarse como están en vez de cobrar P < P B y convertrse en los úncos oferentes de todo el mercado. Por lo tanto, s n 2, P L (n) P B P L (n+1) y P L (n) P B P L (1), entonces Pn B(G n ), y B(G n ) no está vacío. Combnando los dos resultados para el caso donde n 2, vemos que B(G n ) Ø s y sólo s P L (n) P L (n+1) y P L (n) P L (1), q.e.d. Estamos ahora en poscón de probar el resultado prncpal de este trabajo, léase, la relacón entre el número óptmo de empresas en un mercado y la exstenca del equlbro de Bertrand para dcho número de empresas. Dcho resultado es la proposcón 2. Proposcón 2: S n 2 es el número óptmo de empresas en el mercado, entonces B(G n ) Ø. Prueba: Recuérdese que, s n es el número óptmo de empresas en el mercado, P L (n) = AC(D(P)/n) AC(D(P)/m) = P L (m), para todo m n. Entonces, en partcular, se da que P L (n) P L (n+1) y P L (n) P L (1). S eso es así y n 2, entonces por la proposcón 1 sabemos que B(G n ) no está vacío, q.e.d. Habendo probado la exstenca del equlbro de Bertrand cuando el número de empresas actvas es el óptmo (y n 2), probaremos ahora un resultado adconal, relaconado con la nexstenca del equlbro de Bertrand cuando el número de empresas actvas es menor que el número óptmo de empresas en el mercado. Para ello es convenente enuncar prmero el sguente lema: Lema 7: S n es el número óptmo de empresas en el mercado, m no es el número óptmo de empresas en el mercado, y m < n, entonces P L (m) > P L (m+1). Prueba: S n es el número óptmo de empresas en el mercado y m no es el número óptmo, entonces P L (n) = AC(D(P)/n) < AC(D(P)/m) = P L (m). S m = n 1, por lo tanto, P L (m) > P L (m+1) = P L (n). Pero s m < n 1, entonces Q = D[P L (m)]/m tene que ser una cantdad para la cual AC(Q ) es crecente. Por ende, como m < m+1 < n, debe darse que AC(D(P)/m) > AC[D(P)/(m+1)] > AC(D(P)/n), y consecuentemente P L (m) > P L (m+1) > P L (n). Combnando los dos resultados se obtene que, s m < n, entonces P L (m) > P L (m+1), q.e.d. S ahora combnamos los resultados de los lemas 4, 5 y 7, resulta posble probar la sguente proposcón: Proposcón 3: S n es el número óptmo de empresas en el mercado y m < n no es el número óptmo de empresas en el mercado, entonces B(G m ) = Ø. Prueba: De aplcar el lema 7 sabemos que, s n es el número óptmo de empresas en el mercado y m < n, entonces P L (m) > P L (m+1). Pero de aplcar los lemas 4 y 5 sabemos 7

7 que, s B(G m ) Ø, entonces P L (m) P L (m+1). Por ende, s P L (m) > P L (m+1), entonces B(G m ) está vacío, q.e.d. La nexstenca del equlbro de Bertrand con menos empresas actvas que el óptmo, sn embargo, no descarta la posbldad de encontrar equlbros de Bertrand con más empresas actvas que el número óptmo. Esto ocurre s el número de empresas actvas (m) es mayor que el número óptmo de empresas y, al msmo tempo, se da que P L (m) < P L (1). Proposcón 4: Supóngase que n 2 es el número óptmo de empresas en el mercado, y que m > n. Entonces, s P L (m) < P L (1), B(G m ) Ø. Prueba: S n 2 es el número óptmo de empresas en el mercado y m > n, entonces Q = D[P L (m)]/m tene que ser una cantdad para la cual AC(Q ) es decrecente. Por ende, como n < m < m+1, debe darse que AC[D(P)/(m+1)] > AC(D(P)/m) > AC(D(P)/n), y consecuentemente P L (m+1) > P L (m) > P L (n). S, adconalmente, P L (m) < P L (1), entonces la proposcón 1 nos dce que B(G m ) no está vacío, q.e.d. 4. El caso de n = 1 Quzás el lector haya notado que, en las proposcones 1, 2 y 4, nos hemos restrngdo a stuacones en las que el número de empresas actvas en el mercado es mayor o gual que dos. Esto se debe a que, bajo nuestra defncón del espaco de estrategas de las empresas y en vrtud de la regla de reparto elegda para defnr las demandas ndvduales, B(G 1 ) es sempre un conjunto vacío. Para el caso en el que el número óptmo de empresas actvas es n 2, el carácter vacío del conjunto B(G 1 ) puede probarse aplcando de manera drecta la proposcón 3 al caso partcular en el que m = 1. Cuando el número óptmo de empresas actvas es uno, en cambo, B(G n ) está vacío para todo n 1, ncluyendo a n = 1 como un caso especal. Esto puede probarse del sguente modo: Proposcón 5: S el número óptmo de empresas en el mercado es uno, entonces B(G n ) = Ø para todo n 1. Prueba: Combnando los lemas 4 y 6, sabemos que s B(G n ) Ø, entonces P L (n) P L (1). Pero s el número óptmo de empresas actvas es uno, entonces P L (n) > P L (1) para todo n 2, y por ende B(G n ) = Ø para todo n 2. S, en cambo, el número óptmo de empresas actvas es uno y n = 1, la combnacón de los lemas 4 y 6 mplca que P L (1) P B P L (1), con lo cual el únco posble preco de equlbro de Bertrand sería P B = P L (1). Pero s la únca empresa actva está cobrando P B = P L (1), entonces el lema 3 nos dce que todas las empresas nactvas tenen que estar cobrando P k > P L (1). Debe por lo tanto exstr algún P ĩ = P k ε > P L (1) para el cual la empresa actva puede obtener un benefco postvo, y por lo tanto P L (1) no 8

8 puede ser un preco de equlbro y B(G 1 ) = Ø. Por ende, s el número óptmo de empresas en el mercado es uno, entonces B(G n ) está vacío para todo n 1, q.e.d. Nótese que decr que el equlbro de Bertrand no exste cuando el número óptmo de empresas en el mercado es uno es equvalente a decr que B(G n ) está vacío para cualquer n 1 s el mercado es un monopolo natural. S el mercado no es un monopolo natural, en cambo, sabemos por la proposcón 2 que sempre podremos encontrar una asgnacón de equlbro de Bertrand, al menos para el caso en el cual el número de empresas actvas sea gual al número óptmo de empresas en el mercado. 5. Ejemplo numérco Los resultados de la seccón 3 nos muestran que, en este tpo de mercados donde hay lbre entrada de empresas déntcas con rendmentos varables a escala, el equlbro de Bertrand exste s el número óptmo de empresas es mayor o gual que dos y el número de empresas actvas es el óptmo. Tambén nos dcen que dcho equlbro no exste s el número de empresas actvas es menor que el óptmo, pero que puede exstr s el número de empresas actvas es mayor que el óptmo. Esto es lo que nos mostrará el sguente ejemplo numérco. Consdérese una stuacón en la cual C(Q ) = 0.5 Q cuando Q > 0 y C(0) = 0, y supóngase que la funcón de demanda agregada es Q = 12 2 P. Entonces la correspondente funcón de costo medo con n empresas actvas es AC(Q/n) = 0.5 (Q/n) + 3 n/q. Con estas funcones, los precos de autofnancamento para los dstntos números posbles de empresas actvas son P L (1) = , P L (2) = , P L (3) = 2.451, P L (4) = y P L (5) = 3.5. Cuando n 6, P L (n) no exste, porque la funcón de demanda agregada no se cruza con AC(Q/n). Observando los dferentes valores de P L (n), podemos hallar que el número óptmo de empresas actvas en este mercado es tres, ya que P L (3) = es el mínmo valor posble para P L (n) = AC(D(P)/n). La cantdad demandada en una stuacón en la cual P = P L (3), por su parte, es Q = Que tres es el número óptmo de empresas actvas cuando Q = puede deducrse tambén de nspecconar las funcones de costo medo para dstntos números de empresas actvas, y encontrar cuál es el mínmo AC(Q/n) para cada posble valor de Q. Hacendo eso encontramos que el número óptmo de empresas actvas es uno para Q , dos para Q 6, tres para 6 Q , y cuatro para Q Como Q = pertenece al ntervalo [6; ], el número óptmo de 9

9 empresas es tres. S hay tres empresas actvas en este mercado, el conjunto de posbles precos de equlbro de Bertrand está dado por el ntervalo [P L (3)=2.451; P L (4)=2.6202], que es el rango para el cual tres empresas actvas obtenen benefcos postvos pero una cuarta empresa obtendría benefcos negatvos s se volvera actva. Nngún equlbro de Bertrand exste para n = 1 ó n = 2 ya que, s P = P L (1) = , una segunda empresa encontraría benefcoso entrar al mercado y, s P = P L (2) = , una tercera empresa encontraría benefcoso hacerlo. S n = 4, en cambo, exste un conjunto no vacío de posbles precos de equlbro de Bertrand, dado por el ntervalo [P L (4)=2.6202; P L (1)=3.2753]. En ese rango de precos, las cuatro empresas actvas obtenen benefcos no negatvos, las empresas nactvas no encuentran benefcoso entrar al mercado (n como un qunto partcpante en el olgopolo exstente n como un monopolsta), y nnguna empresa actva tene tampoco ncentvos para bajar su preco y volverse monopolsta. S n 5, por últmo, el equlbro de Bertrand no exste en este ejemplo numérco. Esto se debe a que, cuando P = P L (5) = 3.5, cualquer empresa prefere bajar su preco y convertrse en monopolsta (ya que P L (1) < 3.5). Y como menconamos antes, P L (n) no exste cuando n 6, y por lo tanto es mposble hallar una asgnacón en la cual ses o más empresas estén actvas y todas ellas obtengan benefcos no negatvos. El gráfco 1 es una representacón de nuestro ejemplo numérco. En él hemos dbujado la demanda agregada D(P), y las funcones de costo medo para dstntos números de empresas actvas. Vemos que el número óptmo de empresas en este mercado es n = 3, ya que el menor preco al cual D(P) cruza una funcón de costo medo (P L (3)) corresponde a un punto ubcado en AC(Q/3). Ese preco es uno de los posbles precos de equlbro de Bertrand, junto con todos los precos en el ntervalo [P L (3), P L (4)], cuando hay tres empresas actvas, y todos los precos en el ntervalo [P L (4), P L (1)], cuando el número de empresas actvas es cuatro. 10

10 Gráfco 1 6 Preco 5 4 P L (1) AC(Q/1) AC(Q/2) AC(Q/3) AC(Q/5) AC(Q/4) AC(Q/6) 3 P L (4) P L (3) 2 D(P) Cantdad Otra manera de representar el msmo ejemplo numérco es la que aparece en el gráfco 2, en el cual hemos dbujado una únca funcón de costo medo (AC(Q)) y ses funcones dstntas de demanda ndvdual (D(P), D(P)/2, D(P)/3, D(P)/4, D(P)/5 y D(P)/6), correspondentes a los casos en los cuales hay una, dos, tres, cuatro, cnco y ses empresas actvas en el mercado. Aquí tambén puede observarse que el mínmo preco de autofnancamento es P L (3), y que, mentras D(P) y D(P)/2 cruzan a AC(Q) en un tramo en el cual esta últma funcón es crecente, D(P)/4 y D(P)/5 lo hacen en un tramo en el cual AC(Q) es decrecente. Como, además, P L (1) es mayor que P L (4) y que P L (3), se ve entonces que los ntervalos [P L (3), P L (4)] y [P L (4), P L (1)] son capaces de sostener precos de equlbro de Bertrand cuando el mercado tene tres y cuatro empresas actvas, respectvamente. Un punto nteresante que puede verse en nuestro ejemplo numérco es que el número de empresas actvas en el mercado típcamente aumenta cuando se produce un crecmento en la demanda. Supongamos, por ejemplo, que la demanda agregada se ncrementa de manera proporconal en un 40% y pasa a ser Q = P. S la funcón de costo total de las empresas no se modfca, esto mplca que ahora los precos de autofnancamento para los dstntos números posbles de empresas actvas son P L (1) = , P L (2) = , P L (3) = 2.543, P L (4) = , P L (5) = , P L (6) = y P L (7) = 3.5. Cuando n 8, por su parte, P L (n) no exste. El número óptmo de 11

11 empresas actvas en este mercado es ahora cuatro, ya que P L (4) = es el mínmo valor posble para P L (n) = AC(D(P)/n). Gráfco Preco D(P) 4 P L (1) D(P)/2 3 P L (4) P L (3) AC(Q) 2 1 D(P)/6 D(P)/5 D(P)/4 D(P)/ Cantdad Aplcando los resultados de nuestro modelo a esta nueva stuacón, vemos que los posbles precos de equlbro de Bertrand son los contendos en los ntervalos [P L (4)=2.4497; P L (5)=2.5126], cuando hay cuatro empresas actvas; [P L (5)=2.5126; P L (6)=2.7283], cuando hay cnco empresas actvas; y [P L (6)=2.7283; P L (7)=3.5], cuando hay ses empresas actvas. Exste tambén un equlbro con sete empresas actvas en cual los oferentes cobran P B = P L (7) = 3.5, ya que en esa stuacón todos obtenen benefcos nulos pero el preco es menor que el preco de autofnancamento para un monopolsta (P L (1) = ). No hay, en cambo, equlbros de Bertrand con ocho o más empresas actvas, debdo a que en tales casos la demanda ndvdual no se cruza en nngún punto con la funcón de costo medo. Tampoco hay equlbros con tres o menos empresas actvas, ya que en esos casos exste sempre un ncentvo para la entrada de una nueva empresa. Lo expuesto puede verse en el gráfco 3, que es semejante al gráfco 2 pero se refere a esta nueva stuacón en la cual la demanda agregada se ha ncrementado en un 40%. Nótese que ahora AC(Q) es crecente en el tramo en el cual cruza a D(P), D(P)/2 y D(P)/3, en tanto que es decrecente en el tramo en el cual cruza a D(P)/5, D(P)/6 y D(P)/7. 12

12 Gráfco Preco 4 P L (1) P L (7) 3 P L (6) P L (5) P L (4) 2 1 D(P)/8 D(P)/6 D(P)/7 D(P)/5 D(P)/4 D(P)/3 D(P) AC(Q) D(P)/ Cantdad De la comparacón de los dos ejemplos numércos expuestos, puede extraerse una conclusón prelmnar respecto del número de empresas de equlbro en dferentes casos de cambos en la demanda. Supongamos, por ejemplo, que estamos en una stuacón en la que la demanda agregada es la que postulamos al prncpo (Q = 12 2 P) y que, por lo tanto, el número de empresas en el mercado es tres o cuatro. S en certo momento la demanda agregada se ncrementa en un 40% y pasa a ser la postulada en nuestro segundo ejemplo numérco (Q = P), entonces ahora exstrá un ncentvo para que ngrese al mercado una cuarta empresa actva (s antes no la había), o ben para que las cuatro empresas preexstentes reacomoden sus precos a las nuevas condcones, y el equlbro pasará a ser uno con el número óptmo de empresas actvas (en este caso, cuatro). S, en cambo, nos hallamos ncalmente en una stuacón en la cual la demanda agregada es Q = P, ya hay cuatro empresas en el mercado, y lo que se produce es una reduccón de dcha demanda; entonces lo más probable es que las cuatro empresas permanezcan (por más que el número óptmo de empresas sea ahora tres). Esto se debe a que, cuando Q = 12 2 P, el equlbro de Bertrand con cuatro empresas tambén exste, y es por lo tanto probable que el ajuste que se produzca sea tal que nnguna de dchas empresas abandone el mercado y el preco se ubque en un rango 13

13 entre P L (4) y P L (1). Esto nos ndca que la competenca de Bertrand puede no ser capaz de generar el número óptmo de empresas en el mercado, especalmente s estamos en una stuacón en la cual la demanda agregada está dsmnuyendo. Gráfco Preco 4 P L (2) 3 P L (1) 2 D(P) D(P)/2 AC(Q) 1 D(P)/ Cantdad Una últma versón de nuestro ejemplo numérco puede ser un caso en el cual el número óptmo de empresas en el mercado es gual a uno (monopolo natural). Supongamos, por ejemplo, que la demanda agregada es Q = P, y que por lo tanto P L (1) = , P L (2) = 3.064, y P L (n) no exste para n 3. En un caso como este, representado en el gráfco 4, el únco equlbro posble sería que hubera una sola empresa actva cobrando P B = P L (1) = , pero en dcha stuacón las empresas nactvas deberían estar cobrando precos superores a P L (1). La empresa actva, por lo tanto, podría hallar sempre un preco P ĩ = P k ε > P L (1), que le permtera obtener un benefco mayor. Se da así el caso en el cual el equlbro de Bertrand, al menos tal como lo hemos defndo en el presente trabajo 3, no exste para nngún n 1. 3 Este resultado de nexstenca podría modfcarse s se cambaran algunos de los supuestos utlzados por otros supuestos alternatvos. Por ejemplo, s la regla de reparto de la demanda entre las empresas cuando varas de ellas cobran el msmo preco fuera tal que toda la demanda quedara aleatoramente para una únca entdad, entonces P L (1) sí sería un preco de equlbro de Bertrand que podría ser smultáneamente cobrado por varas empresas (una de ellas actva y las restantes nactvas). Tambén podría demostrarse que P L (1) (o un número levemente mayor que P L (1)) es un preco de equlbro de Bertrand para un caso de monopolo natural en el cual las empresas elgeran entre valores dscretos de la varable preco. En ese caso, la únca empresa actva cobraría dcho preco y una o más empresas nactvas tendrían que estar 14

14 6. Comentaros fnales La prncpal conclusón de este trabajo es que el número óptmo de empresas, en el mercado de un producto homogéneo con rendmentos varables a escala y lbre entrada de empresas déntcas, puede sostenerse como el resultado de un proceso de competenca de Bertrand cuando dcho número óptmo de empresas es mayor o gual que dos (proposcón 2). El trabajo nos muestra tambén que ese proceso puede generar resultados en los que el número de empresas actvas sea mayor que el óptmo (proposcón 4), pero no resultados en los que tal número sea menor que el óptmo (proposcón 3). S el número óptmo de empresas es mayor o gual que dos, lo que típcamente aparece es una stuacón con múltples equlbros de Bertrand, que sostenen todo un rango de precos (proposcón 1). En todos esos equlbros las empresas actvas elgen el msmo preco, y el límte nferor del ntervalo es el costo medo de la ndustra (P L (n)). Este resultado es esencalmente el msmo encontrado por Dastdar (1995) para equlbros de Bertrand en mercados con rendmentos decrecentes a escala sn lbre entrada. La prncpal dferenca con el resultado de Dastdar es que, en nuestro modelo, el límte superor del conjunto de precos de equlbro está dado por el costo medo de la ndustra correspondente a n+1 empresas actvas (P L (n+1)) o ben por el costo medo de la ndustra correspondente a una sola empresa actva (P L (1)). Esto se debe a que la exstenca de empresas nactvas (competdores potencales) oblga a las empresas actvas a fjar precos que dsuadan a las empresas nactvas de entrar al mercado, sea como nuevos partcpantes en el olgopolo exstente o como monopolstas 4. El resultado referdo a la posbldad de equlbros de Bertrand con dstntos números de empresas actvas en el mercado (proposcón 4) tambén es consstente con el que hallaron Novshek y Chowdhury (2003), quenes probaron que el rango de posbles precos de equlbro de Bertrand bajo rendmentos varables a escala es típcamente crecente cuando la demanda tende a nfnto. Esto se debe a que pueden exstr equlbros de Bertrand con más empresas actvas que el óptmo, y las posbldades son crecentes cuando el número óptmo de empresas se ncrementa. Por el contraro, cuando el número óptmo de empresas en el mercado es uno (es cobrando el preco mayor nmedatamente más cercano a P L (1). 4 Este requermento es smlar a lo que Ferrera y Dufourt (2007) llaman condcón de sostenbldad (sustanablty condton). 15

15 decr, cuando el mercado es un monopolo natural), la mplcanca de nuestro modelo es que el equlbro de Bertrand no exste (proposcón 5). Esto es consstente con lo hallado por nosotros en un trabajo anteror (Saport y Coloma, 2008), en el cual, para un caso sn lbre entrada, mostramos que una condcón necesara y sufcente para la exstenca del equlbro de Bertrand es que la funcón de costos de las empresas no fuera subadtva para Q = D(P L (n)). Para restaurar la exstenca del equlbro de Bertrand en una stuacón como ésa, es necesaro cambar la regla de reparto de la demanda para casos en los que dos o más empresas fjan el msmo preco (como hace Hoerng, 2007), o ben defnr el espaco de estrategas de modo de que el preco sea una varable dscreta y no contnua (como ocurre en Chowdhury, 2002). Otro caso en el cual el equlbro puede exstr cuando el número óptmo de empresas en el mercado es uno es el llamado equlbro de Demsetz (Yano, 2006), pero esto ocurre en el contexto de un equlbro de Bertrand-Edgeworth y no en un modelo de equlbro de Bertrand como el que utlzamos nosotros. Fnalmente, puede decrse que nuestro modelo tambén tene una mplcanca relaconada con la optmaldad de los equlbros bajo dstntos cambos en la demanda. La competenca de Bertrand con lbre entrada puede así ser efcente para generar la entrada óptma de nuevas empresas, pero no para nducr la salda óptma de las empresas exstentes. Esto es porque los ncrementos en la demanda ncentvan la entrada de nuevas empresas pero, una vez que el mercado está en equlbro y el preco se ubca entre P L (n) y P L (n+1), no exsten ya ncentvos adconales para que se produzca una entrada excesva. Por el contraro, s la demanda está decrecendo, deberíamos esperar que el número de empresas de equlbro fuera mayor que el óptmo. Esto se debe a que, s P L (m) exste y el número actual de empresas actvas en el mercado es m, entonces una asgnacón con m empresas que cobran un preco que pertenece al conjunto [P L (m); P L (m+1)] [P L (m); P L (1)] puede sostenerse como un equlbro de Bertrand, aun cuando el número óptmo de empresas sea menor que m. Referencas bblográfcas Anderson, Smon; André de Palma y Yur Nesterov (1995): Olgopolstc competton and the optmal provson of products ; Econometrca 63, Brander, James y Barbara Spencer (1985): Tact colluson, free entry and welfare ; Journal of Industral Economcs 33,

16 Chowdhury, Prabal (2002): Lmt-prcng as Bertrand equlbrum ; Economc Theory 19, Corchon, Lus e Isabel Fradera (2002): Comparatve statcs n Cournot free entry equlbrum ; Mathematcal Socal Scences 44, Dastdar, Krshnendu (1995): On the exstence of pure strategy Bertrand equlbrum ; Economc Theory 5, Dxt, Avnash y Joseph Stgltz (1977): Monopolstc competton and optmum product dversty ; Amercan Economc Revew 67, Ferrera, Rodolphe y Frédérc Dufourt (2007): Free entry equlbra wth postve profts: a unfed approach to quantty and prce competton games ; Internatonal Journal of Economc Theory 3, Fredman, James y Jacques Thsse (1994): Sustanable colluson n olgopoly wth free entry ; European Economc Revew 38, Hoerng, Steffen (2007): Bertrand games and sharng rules ; Economc Theory 31, Mankw, Gregory y Mchael Whnston (1986): Free entry and socal neffcency ; Rand Journal of Economcs 17, Marshall, Alfred (1890): Prncples of economcs; London, Macmllan (Hay versón en castellano: Prncpos de economía; Madrd, Agular). Novshek, Wllam y Prabal Chowdhury (2003): Bertrand equlbra wth entry: lmt results ; Internatonal Journal of Industral Organzaton 21, Saport, Alejandro y Germán Coloma (2008): Bertrand s prce competton n markets wth fxed costs ; Documento de Trabajo 541, Rochester Center for Economc Research. Sharkey, Wllam y Davd Sbley (1993): A Bertrand model of prcng and entry ; Economcs Letters 41, Vves, Xaver (1999): Olgopoly prcng; Cambrdge, MIT Press (Hay versón en castellano: Olgopolo y precos; Barcelona, Anton Bosch). Webull, Jorgen (2006): Prce competton and convex costs ; Documento de Trabajo SSE/EFI 622, Stockholm School of Economcs. Yano, Makoto (2005): Coexstence of large frms and less effcent small frms under prce competton wth free entry ; Internatonal Journal of Economc Theory 1, Yano, Makoto (2006): A prce competton game under free entry ; Economc Theory 29,