Los números reales. 1.6 Valor absoluto CAPÍTULO

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1 CAPÍTULO Los números reales.6 Valor asoluto En el siguiente eje se muestran el número 8 y el. Se puede apreciar que la distancia de estos dos números al origen es 8 y respectivamente En el eje la distancia de un número a al origen que se denota mediante d.a; 0/ se conoce como valor asoluto y se epresa de la siguiente manera d.a; 0/ D j a j : Entonces la distancia del número al origen es d.; 0/ D j j D y la distancia del número 8 al origen es: d. 8; 0/ D j 8 j D 8: Propiedades del valor asoluto: a si a 0I j a j D a si a < 0: canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I. j j D ya que 0.. j 0 j D. 0/ D 0 ya que 0 < 0. j a j D a. El signo se lee más o ien menos. j a j 0. j a j D 0 a D p a D j a j. En general si n es par np a n D j a j. j a j D j a j.. Si a D ) j j D j j ) D. / ) D :. Si a D ) j j D j. / j ) j j D j j ). / D ) D : j a j a j a j.. Si a D ) j j j j ) :. Si a D 6 ) j 6 j 6 j 6 j ) Œ. 6/ 6. 6/ ) 6 6 6: j a j D j a j j j.. Si a D & D ) j j D j j j j ) j 8 j D ) 8 D 8:. Si a D & D ) j j D j j j j ) j j D. / ). / D ) D : j a j n D j a n j para n Z.. Si a D & n D ) j j D ) D j 9 j ) 9 D 9:. Si a D 6 & n D ) j 6 j D. 6/ ) Œ. 6/ D j 6 j ) 6 D 6 ) 6 D 6:. Si a D & n D ) j j D ) j j D ) D :

3 .6 Valor asoluto a D j a j con 0. j j Ejemplo: Si a D & D ). / D : D j j j j D j j j j ( ) D j a C j j a j C j j.. Si a D 6 & D ) j 6 C. / j j 6 j C j j ) j j 6 C Œ. / ) 6 C ) 8:. Si a D 6 & D ) j 6 C j j 6 j C j j ) j 8 j 6 C ) 8 8: j a j j a j j j.. Si a D 6 & D j 6. / j j 6 j j j ) j 8 j 6 Œ. / ) 8 6 ) 8 :. Si a D 6 & D ) j 6 j j 6 j j j ) j j 6 ) : j a j c & j j d ) j a C j c C d. Ejemplo: Si a D c D D y d D ) j j & j j D ) j C. / j C ) ) j j 9 ) 9: Ejemplo.6. Por definición de valor asoluto: H. j j D y j j D. / D.. D ( ) y D D.. j 9 j D. 9/ D 9 y j 9 j D 9.. ( ) D D y D.

4 Cálculo Diferencial e Integral I. C D C ya que C > 0 para cada R. 6. j j D si 0. / si < 0 D si I si < :. si 0 D. / si < 0 D si si > D si j j I si j j > : 8. j C j D D D C si C 0. C / si C < 0 D C si si < D ( ) si si si 0 si < 0 D 0 < 0 si 0I D si > 0: si 0I si < 0: Ejemplo.6. Por definición de valor asoluto: C si D I si < D : H. j j D D o ien D :. j j D D o ien D : D o ien D :. j C j D 9. D D D : o ien C D 9 o ien C D 9: D o ien D : D 9 D o ien D 9 D : D o ien D : D o ien nunca.

5 .6 Valor asoluto. D D o ien D o ien D o ien D : D 9 o ien D : D o ien D : D o ien D : 6. D 0 o ien D 0 D 0. / D 0.C/. / D 0 C D 0 o ien D 0: D 0 o ien D o ien D :. j j D nunca ya que j j 0 y tamién < j j D nunca ya que j j 0 y tamién < 0. Distancia entre dos puntos Definimos la distancia entre dos puntos a como: d.a; / def D j a j : Propiedades de la distancia: d.a; 0/ D j a 0 j D j a j. d.a; a/ D 0. d.a; / 0. d.a; / D d.; a/. d.a; c/ d.a; / C d.; c/ desigualdad del triángulo. Consideramos un eje con los números > 0 &. Si el número es igual a o ien a entonces la distancia de al origen es. j j D D : D 0 j j

6 6 #"! '& %$ +* )( /. - 6 Cálculo Diferencial e Integral I El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que consta de aquellos puntos que están a la derecha de y a la izquierda de. 0 d.; 0/ < j j < < <. ; /: El conjunto de números cuya distancia al origen es mayor que consta de los que están a la izquierda de o ien a la derecha de. 0 d.; 0/ > j j > < o ien >. ; / [.; C/ : En resumen:. d.; 0/ D j j Œ ;.. d.; 0/ D j j o ien. ; [ Œ; /. Los puntos cuya distancia a es menor que son aquellos que están a la derecha de a la izquierda de C y d.; / < j j < < < < < C. ; C / : C C j j j j Los puntos cuya distancia a es mayor que son aquellos que están a la izquierda de o a la derecha de C. d.; / > j j > < o ien > < o ien > C. ; / [. C ; C/ : C C j j j j Ejemplo.6. Utilizando el concepto de distancia otener los números R que satisfacen:

7 0 = < 9 8 CB A@ ; : GF ED? > 6.6 Valor asoluto. j j <.. j j.. j j.. j j >.. j 6 j <. 6. j j.. j C j. 8. j C j >. H. El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que unidades consta de aquellos puntos tales que están a la derecha de y a la izquierda de. 0 j j <. ; / :. El conjunto de números cuya distancia al origen es de al menos unidades consta de aquellos puntos tales que están a la izquierda de o a la derecha de además de y de. j j. ; [ Œ; C/ D R. ; / :. El conjunto de números cuya distancia al origen es de a lo más unidades consta de aquellos puntos tales que están a la derecha de y a la izquierda de además de y de. 0 j j Œ ; :. El conjunto de números cuya distancia al origen es mayor que unidades consta de aquellos puntos tales que están a la izquierda de o a la derecha de. 0 j j >. ; / [.; C/ D R Œ ; :

8 8 U T [Z YX Q P KJ IH S R _^ ]\ W V ON L 8 Cálculo Diferencial e Integral I. Ya que j 6 j D d.; 6/ entonces j 6 j < d. 6/ <. El conjunto de números cuya distancia al número 6 es menor que consta de aquellos puntos tales que están a la derecha de y a la izquierda de j 6 j < < < 8.; 8/ : 6. j j D d.; / ) j j d.; /. El conjunto de números cuya distancia al número es al menos de unidad consta de aquellos puntos tales que están a la izquierda de o a la derecha de además de y de. j j. ; [ Œ; C/ D R.; / :. Ya que j C j D j. / j D d.; / entonces j C j d.; /. El conjunto de números cuya distancia a es a lo más de unidades consta de aquellos puntos tales que están a la derecha de y a la izquierda de además de y de. d.; / j C j Œ ; : 8. Ya que j C j D j. / j D d.; / entonces j C j > d.; / >. El conjunto de números cuya distancia al número es mayor que unidades consta de aquellos puntos tales que están a la izquierda de 6 o ien a la derecha de. 6 d.; / > j C j >. ; 6/ [.; C/ D R Œ 6; : Ejercicios.6. Soluciones en la página?? Resolver las siguientes ecuaciones:

9 9.6 Valor asoluto 9. j j D p.. j j D 6.. D.. D.. j C j D. 6. j j D.. j C j D. 8. j j D D D. Utilizando el concepto de distancia otener los números R que satisfacen:. j j <.. j j >.. j j.. j j.. j j <. 6. j j.. j j <. 8. j C j. 9. j C j >. 0. j j > 0.

10 0 a` a` h h ed ed j j k k gf gf i i c c on on l l r r ut ut y y wv wv m m s s qp qp 0 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios.6. Valor asoluto página??. D p & D p :. D & D :. D & D :. D & D :. D 6 & D : 6. D & D 0 :. D & D : 8. D 0 & D : 9. D & D : 0. D D D & D :. R < < } D. ; /. 6. R } D Œ;. 0.. ; / [.; C/ D R Œ ;... ; / ; [ Œ; C/ D R. ; /.. R } D Œ ; ; / [.; C/ D R Œ ;... ; [ Œ; C/ D R. ; /. 0.. ; / [.; C/ D R f g. 0. Ø.