Geometría y trigonometría: Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas

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1 Guí de prendizje Nº 4 Geometrí y trigonometrí: Herrmients pr resolver prolems Eduión Mtemáti Segundo Nivel o ilo de Eduión Medi pr Eduión pr Persons Jóvenes y dults DE_6016.indd :44

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3 Guí de prendizje Nº 4 Geometrí y trigonometrí: Herrmients pr resolver prolems Eduión Mtemáti Segundo Nivel o ilo de Eduión Medi pr Eduión pr Persons Jóvenes y dults 1 DE_6016.indd :44

4 GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS

5 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 ionogrfí informión tenión tips págin We tividd tividd en el uderno evluión 3 DE_6016.indd :44

6 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS Presentión El mteril que l oordinión Nionl de Eduión de dultos del Ministerio de Eduión (Minedu) pone su disposiión, pretende ser un herrmient de poyo los estudintes del último nivel de eduión medi, y se de l modlidd regulr o flexile. En él se mntiene l propuest didáti de ls guís nteriores, que desrroll el trjo desde lo más simple lo más omplejo y, l vez, foment l expliión uiddos y ordend de los oneptos mtemátios trtdos. En est guí se ordn ontenidos de semejnz de figurs plns y trigonometrí plidos l resoluión de situiones de l vid rel. Ls uniddes enftizn ejemplos resueltos y entregn otros que se soluionn on poyo del profesor o profesor, o en trjos de grupos o individules. Todo on l finlidd de fomentr l rigurosidd y preisión del uso de los oneptos mtemátios que se trtn. Es importnte destr que el proeso de prendizje de ls mtemátis y otrs ienis es personl y ps por l dediión y trjo de l person que prende, por lo que le invitmos trjr de mner muy dedid est guí y desurir herrmients mtemátis que podrán ser prte de su vid. 4

7 (opuesto) DE_6016 m4.p5.pdf :25 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 (hipotenus) (dyente) 5

8 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS Guí de trjo Nº 1 Semejnz de figurs plns FOTO 1 En l vid otidin; undo se hl de semejnz, se soi on un ojeto o elemento que se pree otro. En mtemáti, el onepto de semejnz, se soi on proporionlidd. Un mp es un representión proporionl, pequeñ, de l relidd, l igul que un fotogrfí. FOTO 2 FOTO 3 ontenidos Esls numéris. Semejnz de figurs plns. Teorem Generl de Thles. 6

9 DE_6016 m4.p7.pdf :41 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 l oservr ls fotogrfís, se puede notr que ls tres fotogrfís son igules, poseen l mism figur y form pero diferentes tmños, es deir, l fotogrfí 3, es l reduión de l fotogrfí 1 y l fotogrfí 2 es l mpliión de l fotogrfí 1. mpliión de un figur: Es un nuev figur igul l originl, pero on sus medids umentds. Reduión de un figur: Es un nuev figur igul l originl, pero on sus medids disminuids. TIPS En generl undo dos imágenes poseen l mism form pero diferentes tmños, se die que un está esl de l otr, lo que desde el punto de vist de ls mtemátis, signifi que son figurs semejntes. TIVIDD Oserve ls fotogrfís de distintos tmños y respond ls siguientes pregunts: ) uántos udros mide d ldo de ls fotgrfís 1, 2 y 3? Foto 1: Foto 2: Foto 3. ) uál es l relión entre el número de udros del nho y del lto de ls fotgrfís 1, 2 y 3? Número de udros del nho foto 1 y lto foto 1 Número de udros del nho foto 2 y lto foto 2 Número de udros del nho foto 3 y lto foto 3 Qué diferenis oservs entre los udros de ls fotogrfís? ) uál es l rzón de mpliión de l fotogrfí 1? Por qué? d) uál es l rzón de reduión de l fotogrfí 1? Por qué? 7

10 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS ESL NUMÉRI O RZÓN DE SEMEJNZ D FOTO 1 Oserve que en ls imágenes que se presentn ontinuión: L mpliión de l fotogrfí uno, resultó de multiplir los udrdos del lrgo y del nho por dos, oteniéndose l fotogrfí dos. L reduión de l fotogrfi uno, resultó de dividir los udrdos del lrgo y del nho por dos, oteniéndose l fotogrfí tres. D' ' FOTO 2 D'' '' FOTO 3 ' ' '' '' nlizremos lo que ourre on l esl del lrgo de l fotogrfí: '' = 6:6 12 :6 = 1 2 = 0,5 y '''' = 6 3 = 2 TIPS undo dos figurs son semejntes, se hl de rzón de semejnz. En el so trtdo: ) L esl es: '' = 6:6 12 = 1 = 0,5. L fotogrfí 1 represent l fotogrfí 2 :6 2 en esl de 1:2. ) '''' = 6 = 2. L fotogrfí 2 represent l fotogrfí 1 en l esl de 2:1. 3 tividd en el uderno Determine l rzón de semejnz entre ls fotogrfís 1 y 2; 1 y 3; 2 y 3. 8 DE_6016.indd :45

11 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 Ejemplos: 1) Dniel quiere her un plno de l piez que oupn de odeg pr distriuir mejor ls herrmients y mteriles, ést es retngulr y mide 6 metros de lrgo por 3 metros de nho. Soluión: ) Trnsforme ls uniddes entímetros: 6 m = 600 m. ómo otuvo ests medids? 3 m = 300 m. ) Divid por 40 ls dimensiones reles pr estleer un esl: 600 : 40 = : 40 = 7,5 Luego diuje un retángulo de 15 m de lrgo por 7,5 m de nho. Este retángulo es un plno de l odeg, esl 1:40. 1 Not: Si l rzón de l esl 1 : 40, se onsider omo l frión 40, el tmño del ojeto en el plno se otiene multiplindo sus medids lineles de l relidd por es frión. Oserve: = = 15 m y = 300 = 7,5 m 40 TIPS Según el diionrio de l RE, un plno es un representión esquemáti, en dos dimensiones y determind esl, de un terreno, un polión, un máquin, un onstruión, et. ) Ls dimensiones del ojeto en el plno son proporionles sus dimensiones reles; l esl de 1:40 es l rzón de proporionlidd. 9 DE_6016.indd :45

12 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS 2) En un mp esl 1: , l plz de Lmp y l plz Gurello de Sn ernrdo se enuentrn 10 m. uál es l distni rel entre ls dos plzs? Lmp Soluión: Se estlee l proporión: = 10 x plindo l propiedd de ls proporiones: x = x = m = 50 Km Plz Gurello TIPS 1 km = m = m 3) L fotogrfí de l figur tiene un lrgo de 8 m y su nho de 5 m. se dee mplir 4 vees, es deir, on un esl de 4:1. uáles son ls medids de l mpliión? Soluión: Se multipli d medid por 4: 8 4=32 m y 5 4=20 m TIPS Se r l rzón de proporionlidd: r < 1 L esl represent un reduión de l figur originl. r = 1 No hy mpliión ni reduión de l figur originl. L esl reie el nomre de esl nturl, ls figurs son ongruentes entre sí. r > 1 L esl represent un mpliión de l figur originl. 10 DE_6016.indd :45

13 DE_6016_11.pdf :52 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 tividd en el uderno Resuelv d situión: 1) En un plno esl 1:300, ls medids de l odeg de un mestrnz son de 15 m de lrgo y 10 m de nho. ) uáles son ls medids reles en metros de l odeg? ) Un mión on opldo de 23 metros de lrgo l entrr l glpón, se puede estionr lo nho de l odeg? ) Si el glpón se mplí 15 metros de nho y 10 metros de lrgo. uáles serán ls nuevs medids de l odeg en el plno? 2) Un fotoopidor redue en un 30% el tmño originl de un doumento. uál es l esl de reduión? 3) El plno del deprtmento está heho on un esl 1:100. uáles son ls medids reles del deprtmento? 4) Dos trmos de l rreter 5 sur que están en reprión miden 7 km y 12 km respetivmente Qué longitud deerín tener los trmos en un mp esl 1:1.000? 5) El perímetro de un terreno retngulr de 8 hetáres tiene un longitud de 2 km. uál es el áre del terreno en un mp esl 1:20.000? 11 DE_6016.indd :45

14 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS teorem fundmentl de semejnz entre triángulos Este Teorem se onoe omo: "teorem prtiulr de thles" Estlee ls proporiones de los segmentos orrespondientes en triángulos. Si en un ángulo ulquier sus ldos son ortdos por dos o más prlels, entones dos segmentos orrespondientes ulquier determindos por ls prlels sore los ldos del ángulo son proporionles entre sí. Se: y //DE D E tips Los triángulos y ED son semejntes y se esrie sí: ~ ED Esto quiere deir que un triángulo es l opi ext del otro, pero de distinto tmño. Sus ángulos son ongruentes y sus ldos son proporionles. on proedimientos lgerios y geométrios es posile determinr ls siguientes proporiones: D = E y D = E E = D = ED tips Ls proporiones determinds en triángulos en los que un ángulo es ortdo por un prlel uno de los ldos se pueden extender prlels ortds por dos sentes, omo lo muestr l figur 1: L 1 D E L 2 L 3 L 4 L 1 // L 2, L 3 y L 4 sentes on proedimientos lgerios y geométrios es posile otener l siguiente proporión: DE = D = E 12 DE_6016.indd :45

15 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 ejemplo de un pliión: Se dese determinr el nho de un nl pr rmr un puente y poder ruzrlo. ómo resolver este prolem utilizndo l semejnz de triángulos? e d soluión: Pr poder determinr el nho del nl, podemos utilizr ls proporiones que determinmos on el teorem fundmentl de l semejnz: Fijmos un punto referenil, l otro ldo del nl. En el punto lvmos un est que será desde donde onstruiremos un figur que nos permit determinr el nho del nl. Desde el punto minmos 8 psos en líne ret l orill del nl y determinmos el punto E. por lo ul E = 8 psos. es perpendiulr E. Desde el punto E minr 4 psos más en líne ret y determinmos el punto. Por lo ul E = 4 psos. Desde el punto. minr 3 psos más en líne perpendiulr l ldo y determinmos el punto D. Por lo ul D = 3 psos. Se formó el triángulo retángulo ED. Uniendo los puntos, y E se form un triángulo retángulo en. El esquem geométrio de lo que diujmos quedrí de est mner: tips E 4 3 D Los triángulos E y DE son semejntes y se esrie sí: E ~ DE 1) E ~= DE miden 90 2) E ~= DE Opuestos por el vértie. 3) Ls proporiones son: x 8 D = E x E 3 = 8 x = 6 psos 4 Si d pso es de proximdmente 1 metro, el nho del nl es de 6 metros proximdmente. 13 DE_6016.indd :45

16 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS teorem GeNerl de thles Si tres o más rets prlels intersetn dos o más rets ulesquier, determinn sore ésts segmentos proporionles entre sí: L 1 L 2 L 3 //D//EF F E D L 4 L 5 on proedimientos lgerios y geométrios es posile determinr ls siguientes proporiones: 1) 2) 3) D DF = E D F = E F DF = E E tips Lo que hemos trtdo, se puede resumir en el siguiente udro: ) En un triángulo ulquier si tenemos un ret prlel uno de los ldos: DE // D E L 1 D = E = DE L 2 ) Dos rets prlels que intersetn dos rets sentes que se intersetn entre ls rets: L 1 L 1 D L E 2 L 3 L 4 L 1 // L 2, L 3 y L 4 sentes E = D E = D E ) Tres o más rets prlels que son ortds por dos o más rets sentes ulesquier: D//E//F L D 1 E L = DE EF 2 L F 3 L4 L 5 14 DE_6016.indd :45

17 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 ejemplos: Si L 1 // L 2 // L 3. Determine en d so l medid del segmento x. L 4 L 5 L 1 2 m 6 m L 2 soluión: plindo el teorem de Thles: 4 m x 2 4 = 6 x 2x = 4 6 x = 24 2 = 12 L 3 L 1 L 2 L 3 14 m L 4 } L 5 2 m 3 m y x soluión: plindo el teorem de Thles: 2 14 = 3 y 2y = 14 3 y = 42 2 = 21 y = 21 m Luego x = 3 + y = = 24 x = 24 m L 1 L 2 L 3 x L 4 L 5 2 m 4 m 10 m 12 m soluión: plindo el teorem de Thles: 2 10 = 4 2 = 10 4 = 40 2 = 20 = 20 m 2 12 = x = x x = =4 2 x = 4 m 15 DE_6016.indd :45

18 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS tividd en el uderno 1) En l figur E // F // G // DH. Determine x en d so: ) = 4 m; D = 8 m; HG = 9 m; EF = x m ) FG = 7 m; D = 14 m; GH = 18 m; = x m ) EF = 9 m; D = 24 m; = 25 m; HG = x m D E F G H 2) Si L 1 // L 2 // L 3 // L 4 lule x, y, z Si: x + y + z = 70 m x y z L L 5 L 1 L 2 L 3 L 4 3) Determine el vlor de x en d so pr que L 1 y L 2 sen prlels: 2x 5x L 4 x L 4 6 3x L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 16 DE_6016.indd :45

19 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 evluión Resuelv d situión y mrque on un X l lterntiv orret: 1) En un mp ( esl) se tiene que 1 m en él orresponde 25 km en l relidd. Si l distni en el mp entre dos iuddes es 10,8 m, entones l distni rel es: ) 100 km ) 135 km ) 270 km d) 300 km E 2) En l figur // DE l medid de es: ) 1 ) 2 ) 3 D d) 4 3) Oserve ests tres fotogrfís e identifique ules son semejntes: i) ii) iii) 12 m 8 m 13 m 5 m 7,5 m 9 m ) i y ii ) i y iii ) i, ii y iii d) ii y iii 4) en uál(es) de ls siguientes figurs el vlor de x es 12? i) L 1 // L 2 // L 3 ii) L 1 // L 2 iii) L 1 // L x x L 2 15 x 8 L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 2 L 1 ) i y ii ) i y iii ) i, ii y iii d) ii y iii 17 DE_6016.indd :45

20 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS Guí de trjo Nº 2 los primeros psos en l trigonometrí rzones trigonométris en el triángulo retángulo ontenidos determinión de rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) en el triángulo retángulo. resoluión de prolems que involurn el uso de l trigonometrí omo el álulo de lturs y distnis inesiles. teorem de pitágors. medids de ángulos en sistem sexgesiml y en rdines. onversión de uniddes de medid de ángulos. funiones trigonométris udrntes en el plno rtesino. identiddes pitgóris. 18 DE_6016.indd :45

21 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 L trigonometrí es un herrmient útil pr lulr lturs y distnis inesiles o de difíil eso; se pli en diverss áres, omo por ejemplo en l topogrfí, en l nvegión y en l stronomí. En todo triángulo, retángulo en, se umple el Teorem de Pitágors: = 2 hipotenus teto teto γ TIPS En un triángulo, l sum de sus ángulos interiores es 180. Un triángulo retángulo tiene unos de sus ángulo reto (mide 90º). En un triángulo retángulo, los ángulos que no son retos, son ángulos gudos (su medid es myor que 0º y menor que 90º) Reuerde que un rzón es l omprión por oiente entre dos ntiddes. En un rzón, el numerdor se llm nteedente y el denomindor se llm onseuente. L rzón entre y se not: o Por ejemplo: : 14 3 o 14 : 3 En un rzón esrit omo frión: El numerdor, reie el nomre de nteedente El denomindor reie el nomre de onseuente 19 DE_6016.indd :45

22 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO En un triángulo retángulo, se llmn rzones trigonométris quells que se estleen entre ls medids de sus ldos. d rzón trigonométri se relion on lgunos de los ángulos gudos del triángulo retángulo. Ls rzones trigonométris soids un ángulo son 6, se denominn: oseno de, seno de, tngente de, sente de, osente de y otngente de, y se revin: os, sen, tn, se, s, ot, respetivmente. Ls definiiones son ls siguientes: oseno de : El oseno del ángulo se define omo l rzón entre el teto dyente l ángulo y l hipotenus: os = teto dyente hipotenus Seno de : El seno del ángulo se define omo l rzón entre el teto opuesto l ángulo y l hipotenus sen = os = sen = teto opuesto hipotenus Tngente de : L tngente del ángulo se define omo l rzón entre el teto opuesto l ángulo y el teto dyente : γ tn = tn = teto opuesto teto dyente TIVIDD Determine ls rzones trigonométris: os = sen = γ tn = 20 DE_6016.indd :45

23 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 TIVIDD Le y oserve tentmente l informión y plíquel: Sente de : L sente del ángulo se define omo l rzón entre l hipotenus y el teto dyente l ángulo. se = hipotenus teto dyente osente de : L osente del ángulo se define omo l rzón entre l hipotenus y el teto opuesto l ángulo. TIPS Identiddes trigonométris inverss: 1 s = os, se = ot = 1 sen, 1 tn s = hipotenus teto opuesto s = otngente : L otngente del ángulo se define omo l rzón entre el teto dyente l ángulo y el teto opuesto. ot = teto dyente teto opuesto γ se = ot = TIVIDD Determine ls rzones trigonométris: se = s = γ ot = 21 DE_6016.indd :45

24 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS trjndo on los ángulos Gudos de un triángulo retángulo Todo triángulo retángulo posee dos ángulos gudos. TIVIDD omplete lo que flt en l orión: Todo triángulo retángulo posee un ángulo y dos ángulos, en este so los ángulos son: γ y, el ángulo reto es: relión entre el seno y l osente del ángulo gudo del triángulo retángulo. Seno: El seno del ángulo es l rzón entre el teto opuesto l ángulo y l hipotenus: osente: L osente del ángulo es l rzón entre l hipotenus y el teto opuesto l ángulo : sen = teto opuesto hipotenus s = hipotenus teto opuesto sen = γ s = Qué diferenis y que semejnzs oserv entre l tn y l ot? tividd en el uderno Diuje un triángulo retángulo uys medids de los ldos son: 12 m - 5 m - 13 m y determine ls rzones trigonométris del seno y l osente de los ángulos gudos. 22 DE_6016.indd :45

25 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 Oserve tentmente d rzón trigonométri y omplete lo pedido en d so: relión entre el oseno y l sente del ángulo gudo del triángulo retángulo. oseno: El oseno del ángulo es l rzón entre el teto dyente l ángulo y l hipotenus: Sente: L sente del ángulo es l rzón entre l hipotenus y el teto dyente l ángulo : os = teto dyente hipotenus se = hipotenus teto dyente os = γ se = Qué diferenis y qué semejnzs oserv entre el os y l se? relión entre l tngente y l otngente del ángulo gudo del triángulo retángulo. Tngente: L tngente del ángulo es l rzón entre el teto opuesto l ángulo y el teto dyente: tn = teto opuesto teto dyente otngente: L otngente del ángulo es l rzón entre el teto dyente l ángulo y el teto opuesto este: ot = teto dyente teto opuesto tn = γ ot = Qué diferenis y qué semejnzs oserv entre l tn y l ot? tividd en el uderno Diuje un triángulo retángulo uys medids de los ldos son: 6 m - 8 m - 10 m y determine ls rzones trigonométris del seno y osente y de l tngente y otngente de los ángulos gudos. 23 DE_6016.indd :45

26 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD ddos los triángulos retángulos, esri ls rzones trigonométris de: seno, oseno, tngente, osente, sente y otngente del ángulo del triángulo i y ompre sus resultdos on sus ompñeros: 13 5 i 12 8 ii iii iv 5 12 v 9 15 sen = tividd en el uderno os = Determine ls rzones trigonométris de los triángulos II, III, IV y V tn = s = se = tg = 24 DE_6016.indd :45

27 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 TIVIDD oserve tentmente el triángulo y l informión dd y omplete más jo lo pedido: sen = os = γ tn = respond lo pedido y determine ls rzones del ángulo : ) seno: El seno del ángulo se define omo l rzón entre: sen = ) oseno: El oseno del ángulo : se define omo l rzón entre: 25 7 os = 24 γ ) tngente: L tngente del ángulo se define omo rzón entre: tn = 25 DE_6016.indd :45

28 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD oserve tentmente el triángulo y l informión dd y omplete más jo lo pedido: s = se = γ ot = respond lo pedido y determine ls rzones del ángulo : ) osente: L osente del ángulo se define omo l rzón entre: s = ) sente: L sente del ángulo : se define omo l rzón entre: 25 7 se = 24 γ ) otngente: L otngente del ángulo se define omo rzón entre: ot = 26 DE_6016.indd :45

29 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 TIVIDD ddos los triángulos retángulos, esri ls rzones trigonométris de: seno, oseno, tngente, osente, sente y otngente del ángulo del triángulo i y ompre sus resultdos on sus ompñeros: 25 7 i ii iii iv v sen = tividd en el uderno os = Determine ls rzones trigonométris de los triángulos II, III, IV y V tn = s = se = tg = 27 DE_6016.indd :45

30 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS medids de ángulos Desriiremos sistems pr medir ángulos. Usulmente se utilizn dos uniddes de medid: los grdos sexgesimles y los rdines. Desde l trigonometrí: El ángulo es l mplitud de rotión de un segmento de ret llmdo rdio en torno un punto llmdo entro, y se onsider positivo. L rotión en sentido ntihorrio y su medid tom vlores positivos. Si el ángulo se mide en sentido horrio, su medid tom vlores negtivos. ángulo positivo (+) y ángulo negtivo (-) y rdio 360º o x o x 360º rdio tips Grdos sexgimles: Un grdo sexgesiml (1 º ) es l medid del ángulo del entro que sutiende un ro igul 1 un tresientos sesent - v ( 360) prte de l irunfereni. Si l medid de un ángulo es grdos, lo detonremos, º y o º x 28 DE_6016.indd :45

31 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 1 γ = 2 vuelt form un ángulo extendido o llno que mide 180º y un vuelt omplet es equivlente 360º δ γ = 1º 0 x 1 = 4 vuelt form un ángulo reto que mide 90º δ = 3 4 vuelt form un ángulo que mide 270º 1 vuelt omplet mide 360º Si 1 º (un grdo) se divide en 60 ángulos igules, l medid de d nuevo ángulo, por onvenión, es un minuto y se not 1. Si un ángulo mide minutos, se denot. Ejemplos: 10 : 10 minutos; 25 : 25 minutos; 58 : 58 minutos. Si 1 (un minuto) se divide en 60 ángulos igules, d uno de éstos mide, por onvenión, un segundo, lo que se not 1. lf segundos se notn. Ejemplos: 10 : 10 segundos; 43 : 43 segundos; 54 : 54 segundos ejemplo: se lee: El ángulo: = 15º 30' 45" L medid del ángulo lf es: 15 grdos, 30 minutos y urent y ino segundos. El ángulo: = 15,125º L medid del ángulo lf es: 15 grdos on iento veintiino milésims de grdo. 29 DE_6016.indd :45

32 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD ddos los ángulos on su respetiv medid, esri l form en que usted los leerí: medid del ángulo letur de l medid = 75º 30' 55" = 115º 30' 45" γ = 15º 30" δ = 15,54º ε = 315" θ = 7.200" medid de ángulos usndo rdines Otr unidd de medid de ángulos, muy difundid en trígonometrí, es el rdián, un rdián (1 rd.) es l medid de un ángulo del entro de irunfereni que sutiende un ro de longitud igul l del rdio. tips 30 Figur 1: el ángulo mide 1 rd. Figur 2: el ángulo mide 2 rd. Figur 3: el ángulo mide 3 rd. Figur 4: el ángulo = 360º mide 2p rd. Osérvese que en el so de l figur 4, un ángulo de 360º sutiende un ro de irunfereni ompleto de medid 2pr uniddes, l dividir est longitud por l medid r del rdio, se otiene 2p, es deir 360º 1 2p [rd]. Est equivleni permite estleer que 180º 1 p [rd] o r fig. 1 r r r r o r fig. 2 r 360º = 2π r o r = fig. 4 r r o r fig. 3 r DE_6016.indd :45

33 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 trnsformr uniddes de medids de ángulos L equivleni 360º 1 2π [rd], permite estleer est otr equivleni un más senill 180º 1 π [rd]. Pr trnsformr ángulos sexgesimles ángulos rdines y vievers, se puede usr l siguiente proporión: medid en rdines de medid de grdos de = π [rd] 180º Oserve tentmente el desrrollo de ls trnsformiones de grdos rdines y vievers: ) Trnsformr 60 [rd] : ( =60º ) medid en rdines de 60º ) Trnsformr π 9 π / 9 medid en grdos de = = π [rd] 180º grdos: ( = π [rd] [rd] 9 ) π [rd] 180º 60º π medid en rdines de = 180º = π 3 π Por lo tnto 60º = 3 medid en grdos de = π 9 180º = π 180º = 20º 9 Por lo tnto π 9 = 20º TIVIDD omplete l siguiente tl de equivlenis entre ángulos sexgesimles y ángulos rdines: ángulos sexgesimles ángulos rdines 30º π 2 [rd] 60º π 4 [rd] 31 Sin título :44

34 M Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD trnsforme los ángulos medidos en sistem sexgesiml rdines: medid del ángulo sistem sexgesiml medid del ángulo en rdines = 30º = 45º γ = 60º δ = 210º ε = 270º θ = 315º TIVIDD trnsforme los ángulos medidos en rdines sistem sexgesiml: medid del ángulo sistem sexgesiml medid del ángulo en rdines = γ = = π 8 π 5 π 4 δ = 3 π 5 ε = 3 π 4 η = 7 π 6 θ = 7 π 4 ϕ = 9 π 4 [rd] [rd] [rd] [rd] [rd] [rd] [rd] [rd] 32 Sin título :51

35 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 trjr on ls funiones trigonométris El Teorem de Pitágors puede ser utilizdo pr determinr l medid de lguno de los ldos de un triángulo retángulo y luego onoer el vlor de ls funiones trigonométris soids los ángulos gudos. tips El teorem de Pitágors plnte geométrimente que, en un triángulo retángulo, el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l sum de ls áres de los udrdos onstruidos sore los tetos = Pr determinr el vlor de tods ls funiones trigonométris del ángulo gudo, del triángulo retángulo, es neesrio onoer l medid de los tetos y de l hipotenus. 2 ejemplo 1: Determinr el vlor de ls seis funiones trigonométris del ángulo Pr determinr l medid del teto opuesto, utilizmos el Teorem de Pitágors: 5 teto opuesto ( ) = = 25 2 = = 9 / ± 4 = 9 = 3 l determinr ls rzones trigonométris del ángulo gudo θ, se otiene: sen = 3 5 os = 4 5 tn = 3 4 s = 5 3 se = 5 4 ot =

36 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS Ejemplo 2: Determinr el vlor de ls seis rzones trigonométris del ángulo q θ 13 teto dyente ( ) 12 Pr determinr l medid del teto dyente, utilizmos el Teorem de Pitágors: = = = = 25 / ± = 5 l determinr ls rzones trigonométris del ángulo gudo θ, se otiene: sen θ = os q = 5 13 tn θ = 12 5 s θ = se θ = 13 5 ot θ = 5 12 TIVIDD identifi los ángulos gudos en l figur y esrie un expresión pr determinr ls rzones trigonométris de: seno, oseno y tngente. h 34 DE_6016.indd :45

37 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 TIVIDD ejeriios y pliiones Enontrr los vlores de ls seis funiones trigonométris del ángulo y señldo en d triángulo. ) 10 teto opuesto ( ) plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor del teto opuesto. 8 sen = os = tn = s = se = ot = ) plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor del teto dyente teto dyente ( ) sen = os = tn = s = se = ot = ) Hipotenus ( ) 5 plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor de l hipotenus. 12 sen = os = tn = s = se = ot = 35 DE_6016.indd :45

38 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS tips Ángulos omplementrios son los que sumdos dn 90 y + = 90º o x tividd en el uderno resuelv de uerdo on ls instruiones de d ítem: 1) Determine el vlor del ldo x de d triángulo y luego los vlores de ls seis rzones trigonométris del ángulo θ. θ θ x 17 x 24 x θ x θ 4 x θ 2) Utilizndo luldor, determine el vlor de d funión trigonométri hst on tres ifrs deimles y luego redondee hst ls déims: ) sen 45º = ) s 45º = ) os 60º = ) se 60º = ) tn 90º = ) ot 0º = 36 DE_6016.indd :45

39 DE_6016_37.pdf :32 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 PLINDO LO PRENDIDO Hemos estudido ls rzones trigonométris sore triángulos retángulos y l mediión de ángulos gudos de ulquier medid, estudiremos los vlores de ls funiones trigonométris de los ángulos de medids: 30 ; 45 y 60 TIPS TIVIDD Determine el vlor de ls funiones trigonométris de 45 Sig d un de ls instruiones y omplete l informión soliitd en d pso: ) Ddo un triángulo retángulo isóseles uyos tetos miden 3 uniddes, plique el Teorem de Pitágors pr determinr l longitud de su hipotenus: 45º x = 3 45º 3 ) on l medid determind; lule ls siguientes rzones trigonométris: sen 45º = os 45º = tn 45º = s 45º = se 45º = ot 45º = 37 DE_6016.indd :45

40 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD determinndo el vlor de ls funiones trigonométris de 60 Y EN: 2) Determinremos ls rzones de ls funiones trigonométris de los ángulos de 60 y 30 tips triángulo equilátero: Polígono de tres ldos de igul medid y tres ángulos gudos ongruentes, que miden 60º d uno. ltur de un triángulo: d uno de los segmentos de ret perpendiulres, trzdos desde un vértie del triángulo l ldo opuesto de este. 30º 30º El punto de interseión de ls tres lturs se denomin ortoentro. 60º 60º ) Ddo un triángulo equilátero uyos ldos miden 2 uniddes d uno: trzr ls 3 lturs. ( Utilizr un esudr pr trzr ls lturs ). Mid los ángulos on un trnsportdor DE_6016.indd

41 DE_6016_39 m1.pdf :48 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 ) omplete d frse onsiderndo los dtos y l inógnit en l figur. L medid del ángulo x es: El vlor de 2 es : 2 x x h =? 2 ) Utilie el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor de l ltur: h = d) on ls medids determinds lule ls siguientes funiones trigonométris: 60º 60º 2 = 2 = sen 60º = os 60º = tn 60º = s 60º = se 60º = ot 60º = sen 30º = os 30º = tn 30º = s 30º = se 30º = ot 30º = TIPS LLs rzones trigonométris de un ángulo ddo son invrintes, es deir, tienen siempre el mismo vlor, no import uál se el tmño del triángulo retángulo que onteng este ángulo. En l figur, los triángulos son semejntes. Por eso, l rzón estleid entre dos ldos de uno de ellos, tiene el mismo vlor que l rzón estleid entre los ldos homólogos del otro. De hí que, sen θ ; os θ y tn. tengn el mismo vlor pr mos triángulos y, en generl, sen invrintes. ' Δ ~ Δ''' = ' ; ' = ' ' = = ' ' ' ' θ θ ' ' ' 39 DE_6016.indd :45

42 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD resuelv d situión y omplete, luego ompre los resultdos on sus ompñeros y ompñers: 1) Utilizndo l trnsformión de ángulos y los álulos desrrolldos en ls tividdes nteriores, omplete l tl: θ (rdines) θ (grdos) os θ sen θ tn θ se θ s θ ot θ π 6 45º π 3 2) Utilizndo l trnsformión de ángulos y los álulos desrrolldos en ls tividdes nteriores, omplete l tl: θ (rdines) π 2 θ (grdos) os θ sen θ tn θ se θ s θ ot θ 3) Oserve ls seuenis numéris que se formn y omplete l tl on los vlores numérios que fltn: funión ángulo = 0º = 30º = 45º = 60º = 90º sen os = = = = 0 tn 0 tips tn = sen os 40 DE_6016.indd :45

43 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 3) Ddo el triángulo retángulo en, omplete l tl determinndo el vlor de l funión trigonométri: 3 30º º os 30º sen π 2 tn 30º se 60º s 30º ot 90º Resolvmos situiones utilizndo los triángulos retángulos. 1) El kioso de dirios y vrios del señor ránguiz, uido en l lle Mnuel Montt on upolián, en l iudd de Temuo, proyet un somr de 1,8 m de lrgo. Si el ángulo que se form desde l punt de l somr hst el punto más lto del kioso es de 60º, uál es l ltur del kioso? y 1,80 m 60º En el triángulo de l figur, se deen relionr los dtos y l inógnit medinte l rzón trigonométri que orresponde. En este so, el ángulo de 60º, el teto opuesto este ángulo, de medid y, y el teto dyente l mismo ángulo, de medid 1,8 m, deen relionrse medinte l tngente. sí: tn 60º = y 1,8 y = 1,8 tn 60º= 1,8 3 = 3,12 m L ltur proximd del kioso es de: 41 DE_6016.indd :45

44 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS 2) Un topógrfo utiliz un instrumento llmdo teodolito pr medir el ángulo de elevión entre l im del erro y el nivel del suelo. En un punto, el ángulo de elevión mide 45, medio kilómetro más lejos del erro el ángulo de elevión es de 30. uál es l ltur del erro? soluión: l situión se puede modelr sí: h 45º 30º x 0,5 km h = x E x 45º 30º D 0,5 km El triángulo es retángulo isóseles, porque: tips q VISUL ÁNGULO DE ELEVION HORIZONTL Luego el segmento = x. En el triángulo D determinmos l tngente de 30º, que se esrie: tn 30º = (x + 0,5) tn 30º = x x x + 0,5 VISUL ÁNGULO DE DEPRESIÓN El ángulo de elevión, está formdo por l líne horizontl y l líne que une el punto de mir on el ojeto oservdo por sore l líne horizontl. (x + 0,5) (0,58) = x 0,58x + 0,5 0,58 = x 0,29 = x - 0,58x 0,29 = 0,42x 0,29 0,42 = x x = 0,7 respuest: por lo tnto l ltur del erro es de 0,7 km. 42 DE_6016.indd :45

45 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 tividd en el uderno Relie los siguientes ejeriios. 1) Un volntín qued trpdo en ls rms más lts de un árol; si el hilo del volntín form un ángulo de 30 on el suelo y mide 8 metros, estimr l ltur del árol lulndo l ltur l que quedó trpdo el volntín. 2) Un rpintero ort el orde de un tlero de 3 pulgds de lrgo, on un inlinión de 30 de l vertil, empezndo desde un punto situdo ¾ pulgds del orde del tlero. Determinr ls longitudes del orte digonl y del ldo restnte. (Ver figur) 3 pulg 30º y 3 / 4 x 3) Un plmer proyet un somr de 18 metros de lrgo, si el ángulo que se form desde l punt de l somr hst el punto más lto de l plmer es de 60, uál es l ltur de l plmer? Sugereni: ntes de resolver el prolem, diuje l situión. 43 DE_6016.indd :46

46 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS tividd en el uderno 4) Un person oserv un letrero puliitrio uido en l punt de un edifiio on un ángulo de elevión de 30. vnz 30 m y oserv nuevmente el letrero, on un ángulo de elevión de 45 omo se muestr en el siguiente diujo. qué ltur se enuentr el letrero? D se venden Deprtmentos DesDe 990 UF 1,6 m 30º 45º 30 m 5) Ddo el diujo de un min tjo ierto, usndo un esquem de triángulo retángulo, determine uál de ls siguientes operiones permite lulr el sen q. lder ltur θ se ) L medid de l ltur, dividid por el lrgo de l se. ) El lrgo de l lder, dividido por l medid de l ltur. ) El lrgo de l se, dividido por el lrgo de l lder. d) L medid de l ltur, dividid por el lrgo de l lder. 44 DE_6016.indd :46

47 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 IDENTIDDES PITGÓRIS El Teorem de Pitágors, plnte: Ddo el triángulo retángulo: 2 = / l dividir por 2 2 = = sen 2 θ + os 2 θ θ Porque de uerdo ls rzones trigonométris en el triángulo retángulo: os θ = sen θ = TIVIDD omplete ls siguientes identiddes trigonométris, utilizndo los dtos del triángulo ddo rri: 1) 2) ( osen )( se ) = ( sen )( s )= TIPS Otrs identiddes pitgóris: 1 + tn 2 θ = se 2 θ 1 + ot 2 θ = s 2 θ 3) 4) ( t n )( o t )= sen os = ómo ree usted que se determinron ests identiddes? Disutirlo en grupos 5) 6) 7) os sen se s s se = = = 45

48 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS TIVIDD resuelv lo indido en d so: Enontrr los vlores de ls seis funiones trigonométris del ángulo θ señldo en d triángulo: ) 13 teto opuesto 5 plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor del teto opuesto. sen = os = tn = s = se = ot = 46 DE_6016.indd :46

49 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 ) 8 17 teto dyente plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor del teto dyente. sen = os = tn = s = se = ot = ) Hipotenus 24 7 plir el Teorem de Pitágors pr determinr el vlor de l hipotenus. sen = os = tn = s = se = ot = 47 DE_6016.indd :46

50 DE_6016 m4.p48.pdf :53 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS Oserve y estudie detenidmente d ejemplo de situiones resuelts: 1) Un árol proyet un somr de 60 m de lrgo. Esri un expresión que permit determinr l ltur del árol en ese momento. h Soluión: omo no semos l medid del ángulo, l expresión que nos sirv pr determinr l ltur del árol es el Teorem de Pitágors = h 2 h 2 = h 2 = 121 / ± h = 11 Por lo tnto l ltur h del árol es de 11 m. 2) Un dirigile que está volndo 800 m de ltur, distingue un puelo on un ángulo de depresión de 12. qué distni del puelo se enuentr? 800 m 12º Soluión: tn 12º = 800 d 800 d = = tn 12º d = m 800 0,2126 d 3) lule el áre de un prel tringulr, siendo que dos de sus ldos miden 80 m y 130 m y formn entre ellos un ángulo de 70. ( Sugereni: el áre de un triángulo es: = h ) 2 h 80 m Soluión: Pr determinr l ltur h, se utilizrá l funión seno, plid 70º: sen 70º= h h = 80 sen 70º 80 70º D 130 m Por lo tnto el áre proximd es: sen 70º = m

51 DE_6016_49.pdf :39 DE_6016 m4.p49.pdf :02 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 4) Jun oserv l op de un árol on un ángulo de elevión de 30, luego vnz diez metros y hor oserv l mism op del árol on un ángulo de elevión de 60. lule l ltur del árol. Soluión: Se lul l tngente de 30º: tn 30º = h h 10 + x Se lul l tngente de 60º: tn 60º = h x 3 3 = h 10 + x 3 (10 + x) = 3 h x = 3h 3 = h x 60º 30º x 10 m Se esrie un sistem de euiones y se resuelve por reduión h = x x 3 = 3h x 3 = h / (-1) x 3 = 3h -x 3 = -h / = 2h h = 5 3 Por lo tnto l ltur proximd del árol es de 8,7 m. 5) lule l ltur de un árol que un distni horizontl de 10 m, su op se oserv on un ángulo de 30. Soluión: L ltur y del árol se determin utilizndo y l tngente de 30º: tn 30º = y y = 10 tn 30º y = ,8m. 30º 10 m TIPS Por lo tnto l ltur del árol es 5,8 m proximdmente. VISUL ÁNGULO DE ELEVION θ HORIZONTL ÁNGULO DE DEPRESIÓN VISUL El ángulo de depreión, está formdo por l líne horizontl y l líne que une el punto de mir on el ojeto oservdo por dejo l líne horizontl 49

52 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS evluión Evluión: resuelv lo pedido en d so: 1) Utilizndo los vlores de ls rzones trigonométris seno, oseno o tngente de l medid de los ángulos, determine ls inógnits pedids en d so: 60º 4 x t = º 3 x 30º 100 2) Un motosierrist dee tlr un viejo nelo, pr que no ig on el viento y loquee el mino o se desplome enim de ls ss ledñs. Pr dirigir su íd dee estimr su ltur, uiándose proximdmente 51,5 metros del pie del árol. Desde el punto de uiión, el motosierrist mir l prte superior del árol on un ángulo de elevión de 30º. L esttur del motosierrist es de 1,8 m proximdmente. on estos dtos yúdele estimr l ltur del nelo. 3) En d so, de uerdo los dtos, determine los vlores de ls medids de ldos y ángulos restntes en el triángulo retángulo de l figur: ) = 30º, = 10 ) = 45º, = 35 ) = 14, = 7 2 d) = 4 3, = 8 γ e) = 60º, = 6 50 DE_6016.indd :46

53 DE_6016_51 m1.pdf :49 Segundo ilo o Nivel de Eduión Medi - Guí Nº 4 4) Un person oserv el orde superior de l ornis de un edifiio on un ángulo de elevión de 30º, luego vnz proximdmente 25 m en líne ret hi l entrd del edifiio y oserv l ornis on un ángulo de elevión de 60º. onsiderndo que l vist del oservdor está 1,60 m del suelo, uál es l ltur proximd del edifiio? 30º 60º 25 metros x metros 5) Un onstrutor dee onstruir un rmp de desrg de 10 m de lrgo que se levntrá un ltur del suelo de 5 m. Determine el ángulo de l rmp on l horizontl. θ ) lule l ltur de un edifiio que d un somr de 15 m undo los ryos del sol formn un ángulo de 30º on l horizontl. póyese en l figur olondo en ell los dtos y l inógnit: ltur del edifiio Ángulo Distni horizontl onoid 51 DE_6016.indd :46

54 Eduión Mtemáti - GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ: HERRMIENTS PR RESOLVER PROLEMS iliogrfí 1) Dereto Supremo (Ed.) Nº 211 de 2009 que reemplz el Dereto Nº 131 de 2003 sore nivelión de estudios de dultos. MINEDU. 2) Dereto Supremo (Ed.) Nº 257 de 2009 que derog Dereto Supremo de Eduión Nº 239 de 2004 sore el mro urriulr de l eduión de dultos. 3) Peterson, John. y ols. (2002). Teorí de l ritméti. iudd de Méxio, Méxio: Editoril Limus-Wiley. 4) Zill, D. y Dewr, J. (1996). Álger y trigonometrí. iudd de Méxio, Méxio: MGrw-Hill. 5) Swokowski, E. y ole, J. (2002). Álger y trigonometrí on geometrí nlíti. iudd de Méxio, Méxio: Editoril engge. 6) Stewrt, J y otros. (2007). Introduión l álulo. Méxio: Editoril Thompson. sitios en internet trigonometrí: 1) 2) rzones trigonométris en el triángulo retángulo: 1) 2) 3) funiones%20trigonometris/index.html teorem de pitágors: 1) meriontent/junior%20yle%20level%201/mths/trnsriptos/pythgors_eg1/index.html 52 DE_6016.indd :46

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56 4 DE_6012_m22_24-50.indd :20

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