Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.

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1 Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales. Racionales (Q):..., -3,..., -2 0,..., -2,..., -1...,..., -1,..., 0,...,,..., 2,..., 2 25,... Números que se pueden expresar como división de dos números enteros siendo el denominador distinto de cero. Son los números sin decimales, con decimales finitos, o con decimales infinitos pero periódicos. Incluye a los enteros (números sin decimales). No son los números con decimales infinitos y no periódicos ( ) Irracionales (I):..., ,,..., e,..., π,... Son los números con decimales infinitos y no periódicos. Algunos se representan por letras especiales: = e=2,71182 Para saber si una raíz es irracional hay que realizarla: = Reales (R): Incluye a los Racionales y a los Irracionales Ejercicio 1: Indica a qué conjunto numérico pertenecen los siguientes números: -3 32,1 6 g) h) i) j) 1.2 Jerarquía de las operaciones. En una expresión numérica, las operaciones deben de realizarse en el siguiente orden: 1. Se resuelven los paréntesis. 2. Se realizan las potencias y las raíces. 3. Se resuelven los productos y los cocientes de izquierda a derecha. 4. Finalmente, se realizan las sumas y las restas. Realiza la siguiente operación:

2 1.3 Simplificación en las fracciones. Para poder simplificar un número en una fracción algebraica, dicho número tiene que poderse sacar factor común tanto en el numerador como en el denominador: Se puede simplificar: No se puede simplificar: no podemos simplificar el 5, ya que no lo podemos sacar factor común. Ejercicio 2: Realiza las siguientes operaciones: 1.4 Propiedades de las potencias. Cuidado: El resultado de una potencia de base negativa es negativo si el exponente es impar, y positivo si es par: Ejercicio 3: Opera las expresiones siguientes, utilizando las propiedades de las potencias: h) g) 1.5 Radicales Un radical es la raíz indicada de un número real: Si n es par, A debe ser positivo, para que tenga sentido en R. Si n es impar, A puede ser cualquier número. Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: Propiedades de los radicales: - Radicales equivalentes: - Producto de radicales de igual índice: - Cociente de radicales de igual índice: - Extracción e introducción de factores en un radical: = Introduce Extrae - Potencia de un radical: - Radical de un radical:

3 Suma de radicales: Los radicales sólo se pueden sumar cuando se pueden escribir de tal forma que tengan el mismo índice y radicando (radicales semejantes). Racionalización de denominadores: Dada una expresión con radicales en el denominador, en ocasiones conviene encontrar otra expresión equivalente que no los contenga en el denominador. A esta operación se la denomina racionalización de denominadores. Nos podemos encontrar con tres casos: 1. En el denominador hay un único sumando, en el que hay un radical de índice 2. En este caso se multiplica y se divide la expresión por dicho radical. 2. En el denominador hay un único sumando, en el que hay un radical de índice superior a 2. En este caso se multiplica y se divide la expresión por un radical adecuado para que desaparezca el radical del denominador. 3. Cuando el denominador es un binomio con radicales de orden 2. En este caso se multiplica y se divide por el conjugado del denominador. Ejercicio 4: Efectúa las siguientes operaciones: Ejercicio 5: Extrae de la raíz todos los factores que sea posible: Ejercicio 6: Introduce dentro de la raíz y simplifica: Ejercicio 7: Realiza la siguiente suma de radicales: Ejercicio 8: Racionaliza los siguientes denominadores: 1.6 Logaritmos Se denomina logaritmo en base a ( del número positivo N al exponente x al que se debe elevar a para obtener el número N. ya que Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitiendo la base. ya que Sea el número irracional Los logaritmos en base e se denominan logaritmos neperianos, y se denotan con el símbolo ln: ya que ya que Los logaritmos decimales y neperianos se pueden hallar directamente en la calculadora

4 Ejercicio 9: Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos: g) h) Ejercicio 10: Utilizando la calculadora halla: Ejercicio 11: Calcula, si es posible, el valor de x en cada una de las siguientes expresiones: 1.7 Cambio de base La siguiente fórmula permite el cálculo de un logaritmo en cualquier base mediante logaritmos en otra base diferente: La fórmula del cambio de base permite calcular cualquier logaritmo con la calculadora, haciendo el cambio a base decimal o neperiana. Ejercicio 12: Halla con la calculadora los siguientes logaritmos: 1.8 Propiedades de los logaritmos 1. En cualquier base, el logaritmo de 1 vale 0: ya que 2. El logaritmo en base a del número a vale 1: ya que 3. En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números: 4. En cualquier base, el logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de dichos números: 5. En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: Ejercicio 13: Calcula el valor de x en cada caso: Ejercicio 14: Quita los logarítmos en: 1.9 Números Combinatorios Factorial de un número natural Se denomina factorial de un número natural y se escribe, al producto: Ejemplos: Por convenio se considera que Número Combinatorio: Dados dos números naturales m y n, siendo, se llama número combinatorio de m sobre n,, a Ej.:

5 Ejercicio 15: Halla el valor de: Binomio de Newton: Una aplicación muy importante de los números combinatorios es el desarrollo de la potencia de un binomio. Se denomina Binomio de Newton al desarrollo: y Ej.: Calcula el desarrollo de En el caso de se alternan los signos + y -. Ej.: Calcula el desarrollo de = = 1.10 Identidades notables: o Ejemplos: o Ejercicio 16: Desarrolla las siguientes potencias: 1.11 Notación Científica La notación científica se utiliza para expresar cantidades muy grandes o para cantidades muy pequeñas. Un número escrito en notación científica se compone de dos factores: Un número decimal: con una única cifra no nula en la parte entera, y con un número finito de cifras decimales 4,36 Una potencia de 10: cuyo exponente se denomina orden de magnitud. Será positivo el orden para los números grandes. Será negativo el orden para los números pequeños. Ejemplos: 4,36 ó 3,2 Las calculadoras tienen una tecla especial que permite introducir números en notación científica: EXP Para escribir 3,2, sería: 3,2 EXP +/- 9 y la pantalla mostrará:, no mostrándose la potencia de Intervalos y semirrectas. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se denota por (a,, el conjunto de números reales comprendido entre a y b, sin incluir estos extremos: (-2, 3) Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota por [a, b], el conjunto de números reales comprendido entre a y b, incluyendo los extremos: [-2, 3] Serán semiabiertos o semicerrados cuando incluyan uno solo de los extremos.

6 Se llama semirrecta al intervalo determinado por un número real y todos los números mayores o menores que él Valor absoluto de un número real Dado un número real, su valor absoluto,, coincide con él si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. El valor absoluto es siempre mayor o igual a cero: El valor absoluto de un número es siempre igual que el de su opuesto: Aplicación del valor absoluto a funciones: Debemos pasar a rama cada valor absoluto de la función, despejando la x posteriormente: Ejemplos: Ejercicio 17: Desarrolla las expresiones aplicando la definición de valor absoluto; calcula su valor para y calcula para qué valores de x la expresión vale 2: + g) + h) +

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