Área bajo la curva y la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. = F(b) F(a)

Transcripción

1 Área bajo la curva y la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f es siempre integrable en [a, b], entonces: = F(b) F(a) En donde F es cualquier función tal que F(x)= para toda x en [a, b]. Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si f es una función continua en [a, b], entonces existe una integral definida. El resultado de dicha integral será igual al área bajo la curva descrita por f(x) representada en un plano. Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [2, 5]. 4dx 4 dx = aplicamos la fórmula 2. = aplicamos la fórmula 3. 4 = evaluamos los límites. 4(5)+ C [4(2) +C]= cancelamos las constantes. 20+ C 8 C= 20 8= 12u 2 x Nota: En una integral definida la constante de integración desaparece al efectuar la diferencia de los límites de integración. En la gráfica anterior se puede verificar que el área bajo la función y=4, en el intervalo [2, 5] es igual a 12u 2 Por lo que se cumple el teorema fundamental del cálculo.

2 Ejemplo 2. Dada la función y= 2x, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [0, 4]. 2xdx 2 xdx = aplicamos la fórmula 2. = aplicamos la fórmula 4. 2 = simplificamos. 2 = evaluamos los límites. (4) 2 (0) 2 =16 u 2 x En la gráfica anterior se puede verificar que el área bajo la función y=2x, en el intervalo [0, 4] es igual a 16u 2 Por lo que se cumple el teorema fundamental del cálculo. Ejemplo 3. Dada la función y= -x+2, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [-1, 3]. x 2dx = aplicamos la fórmula 1. y xdx 2dx = aplicamos la fórmulas 2. 1 xdx +2 dx = aplicamos la fórmulas 4 y 3 respectivamente. 2=! 2" evaluamos los límites. A 1 = 4.5 u 2 A 2 = -0.5 u 2 x Simplificamos. $ 6 2 & 'u 2 El área buscada se encuentra entre dos secciones, el área que está por debajo de la recta y el área que está por encima de la recta, por lo que el área total se obtiene de la diferencia entre dichas áreas.

3 HACIENDO USO DE LAS TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS. Como calcular el área bajo una curva utilizando el simulador Grapmatica. A continuación haremos uso de un software informático llamado Graphmatica, para poder tener acceso a este software deberás de ingresar a la página en el menú principal buscar descargas y elegir el software Graphmatica. Para aprender cómo usar este software y puedas elaborar tus gráficas sigue los pasos que a continuación se indican. Al finalizar esta actividad te corresponde llevar a cabo lo aprendido aplicándolo a todos los ejercicios de la tarea de evaluación de esta sección, imprímelo y entrégaselo a tu profesor ya que formará parte de tu portafolio de evidencias.

4 Antes de que aprendas sobre el uso de este programa será necesario hacer algunos ajustes para que no gastes mucha tinta a la hora de imprimirlos y tus gráficos resalten más. Sin embargo si no te gusta de esa manera podrás dejarlo como aparece predeterminado. El primer cambio será modificar el color del papel gráfico. Para ello deberás ir al menú principal, dar click en Opciones, Papel gráfico, Colores, seleccionar Monocromático y aceptar. Con la finalidad de resaltar la línea de tu gráfico haremos los siguientes cambios. Para ello deberás ir al menú principal, dar click en Opciones,, seleccionar Preferencias y en el menú general aparece dibujar gráficas con líneas gruesas,, dar click en el cuadro y escribir el número 3 pixeles.

5 Incluir las barras de desplazamiento y cuadrado automático para la impresión Para incluir las barras de desplazamiento, deberás ir al menú Ver y seleccionar Barras de desplazamiento. Para la selección del rango de impresión, deberás ir al menú Opciones y donde dice cuadrado automático hacer click en la palomita (debe quedar sin palomita). Ahora si ya estamos listos para iniciar nuestros gráficos. Ejemplo 1. Dada la función y= 3, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [-3, 2]. Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor parpadeando) y pulsar enter para que el software la grafique. Segundo selecciona el ícono de integral, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [-3,2]. El área bajo la función y=3 en el intervalo [-3,2] es de 15 u 2 representado por la zona sombreada. Nota. Estos valores los puedes modificar sólo basta hacer clic sobre ellos y escribir el valor deseado.

6 Ejemplo 2. Dada la función y= -2x+3, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el intervalo [0, 2]. Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor parpadeando) y pulsar enter para que el software la grafique. Segundo selecciona el ícono de integral,, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,2]. Ejemplo 3. Dada la función y= x 2-3x-1, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en el intervalo [-1, 2] y graficar. Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor parpadeando) y pulsar enter para que el software la grafique. Nota para ponerle la potencia a x 2, se debe presionar simultáneamente las teclas alt gr, ctrl y la tecla donde esté el símbolo ^, finalmente el número de la potencia (2). Segundo selecciona el ícono de integral,, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,3].

7 Esta área es positiva por estar debajo de la función y encima del eje x. Teniendo un valor de u 2 Recordemos que el concepto de integral representa el área bajo la función, por lo que el valor de esta integral se obtiene: = Esta área es negativa por estar encima de la función y debajo del eje x. Teniendo un valor de u 2. Ejemplo 4. Dada la función y= cosx, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en el intervalo [0, (] y graficar. Primero ir al menú principal, elegir Opciones y hacer clic en Papel gráfico, en el cuadro de diálogo que aparece hacer clic en trig y aceptar. Segundo escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor parpadeando) y pulsar enter para que el software la grafique. Nota para las funciones trigonométricas se debe escribir el valor de x entre paréntesis. En nuestro caso debe escribirse y=cos(x). Tercero selecciona el ícono de integral,, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0, (].

8 Nota.. El valor de 4.71 representa al valor de (, esto es: 1.5 (3.1416)= Por lo que el área bajo la función y=cos(x) en el intervalo de [0, (] es igual a -1. Nota este valor se acerca a -1, no es igual porque falta considerar los demás decimales.