Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal. Universidad Autónoma del Estado de México.

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1 Ciecia e Igeiería Neograadia Uiversidad Militar Nueva Graada revistaig@.umg.edu.co ISSN (Versió impresa): ISSN (Versió e líea): COLOMBIA 005 Adriá Ricardo Gómez Plata UN ESTRATO DE LAS MATRICES NORMALES Ciecia e Igeiería Neograadia, oviembre, úmero 015 Uiversidad Militar Nueva Graada Bogotá, Colombia pp. 6-1 Red de Revistas Cietíficas de América Latia y el Caribe, España y Portugal Uiversidad Autóoma del Estado de México

2 Ciecia e Igeiería Neograadia No UN ESTRATO DE LAS MATRICES NORMALES A STRATA OF NORMAL MATRICES RESUMEN Adria Ricardo Gómez Plata. 1 Departameto de Matemáticas Uiversidad Militar Nueva Graada, D.C Bogotá D.C Colombia Se presetará u estrato para las matrices ormales. Para esto, se requiere aspectos de tres ramas de las matemáticas: La geometría diferecial, la topología diferecial y la teoría de matrices. La primera se ocupa de los aspectos geométricos del aálisis matemático, la seguda de los aspectos topológicos de la primera y la última se ecarga de ecarar el estudio de las matrices desde diversos ámbitos y cotextos matemáticos. E primer lugar, se usará la defiició de espacio estratificado como ua técica que permite caracterizar de cierta maera las matrices ormales. De forma más putual se hablará de las matrices ormales co ua subvariedad estratificada coexa de. Para estratificar las matrices ormales se tomará como referete la oció de estrato de la topología diferecial. Esto requerirá elemetos de geometría diferecial. Palabras Claves: forma de estrella, subvariedad estratificada, matrices ormales. ABSTRACT A strata for ormal matrices is preseted i this article. This requires aspects from three braches of mathematics: Differetial geometry, differetial topology ad matrix theory. The first oe studies geometrical aspects of mathematical aalysis. The secod oe studies topology aspects of the first oe, ad the third brach faces the study of matrices from diverse mathematical cotexts. 1 Lic. e Matemáticas (U.Distrital), Esp. e Matemáticas Aplicadas (USA), Tesis de MSc. e Matemáticas e proceso (U. Nacioal). Lider Ivestigador del grupo matrix (U.Militar). adria.gomez@umg.edu.co argomezp@ual.edu.co. adriagomez1975@yahoo.com. matrix_colombia@yahoo.com.mx Gómez Plata A. R. Noviembre de 005 6

3 Ciecia e Igeiería Neograadia No First of all, the defiitio of a stratified space is employed as a useful techique that allows us to characterize ormal matrices i a certai way. More specifically, matrices with a coected stratified submaifold of ; will be treated. I order to stratify ormal matrices, the otio of topologic-differetial stratum will be employed. This will require some elemets of differetial geometry. Key words: star-shaped, stratified submaifold, ormal matrix. I. INTRODUCCIÓN Marko Huhtae e [0] costruye ua estratificació de las matrices ormales obteido del estrato de dimesió maximal + usado la descomposició Toeplitz y que permite resolver problemas computacioales que colleva matrices ormales; por ejemplo la aproximació de valores propios. E este artículo se presetará ua estratificació que ya Huhtae preseta e [0] juto co uas aclaracioes matemáticas para su etedimieto y que es u primer paso para compreder la estratificació que el realiza juto co sus aplicacioes. II. MARCO TEÓRICO A. VARIEDADES Ua variedad es u espacio topológico M co la siguiete propiedad: Si x M, a lgua vecidad U de x y a lgu etero 0 tal que U es ho m eomorfico a. U simple ejemplo de variedad es el mismo espacio de, para cada x se puede tomar U como todo. Claramete es homeofomorfico a el mismo. Ua circuferecia es localmete homeomorfa a, luego es ua variedad. El subcojuto M de formado por las rectas y = x e y = x o es ua variedad ya que o es posible establecer u homeomorfismo etre V I M y V. ( ) ( ) ( 0,0 0,0 ) Gómez Plata A. R. Noviembre de 005 7

4 Ciecia e Igeiería Neograadia No U subcojuto abierto L de ua variedad M es tambie ua variedad que se le llama aturalmete SUBVARIEDAD de M. El subcojuto M = {( A, b) M ( ) ( ) : bdet A= } M ( ) segú [1]. 1 es ua subvariedad cerrada de El siguiete teorema implica que cojutos abiertos coexos so ivariates bajo fucioes cotíuas uo a uo de : Si U es u abierto y f : U es uo a uo y cotiua, etoces f : U es abierto. B. CONEXIDAD Las siguietes defiicioes ayuda a establecer la coexidad e variedades: U espacio topológico M es coexo si dado que M = U U V co UV, y subcojutos abiertos etoces U I V. M es coexo por camios si dado x, y M existe u camio cotiuo [ ] ( ) ( ) p:0,1 M co p 0 = x, p 1 = y. Por ejemplo para 1, SL( ) { A M( ) : det A 1} = = es coexo por camios segú [1]. Si M es u espacio topológico coexo por camios etoces M es coexo. Luego se puede cocluir que SL ( ) es coexo. Toda variedad es localmete coexa por camios. Para ver esto es suficiete decir que todo puto esta coteido e ua vecidad homeomorfica algú subcojuto abierto de el cual puede ser tomado e u disco abierto coexo por camios. Tambié se dice que toda variedad coexa es coexa por camios. C. VARIEDADES EN FORMA DE ESTRELLA Ua variedad M es llamada cotraible a u puto p0 [ ] H : M 0,1 M M si existe ua fució Gómez Plata A. R. Noviembre de 005 8

5 Ciecia e Igeiería Neograadia No tal que H( p,1) = p H( p,0) = p 0 para p M. Por ejemplo es cotraible al puto 0; se puede defiir [ ] H : 0,1 H( p, t) = tp. por Mas geeralmete, U es cotraible para p0 U si U tiee la propiedad de que si p U esto implica que p0 + t( p p0) U para 0 t 1. Tal regió U se le dice e FORMA DE ESTRELLA co respecto de P 0. Otro ejemplo lo proporcioa las matrices ormales, ya que estas so coexas porque cada ua de sus elemetos so coexas por camios a la matriz cero, es decir las matrices ormales tiee forma de estrella. E [] se puede ecotrar e profudidad la relació de la subvariedades e forma de estrella co las formas difereciales. D. MATRICES Se dice que Ua matriz A es ua matriz cuadrada si A = [ a ] M = M. A= [ a ] M Se dice que es ati-hermitiaa si ij se dice que es Hermitiaa si ij * * t A A dode A A aij = = = [ ], A= A *. Se puede comprobar fácilmete que 0 i 1 1+ i A= y B= i 1 i 3 A o es Hermitiaa y que B es Hermitiaa. * * U a matriz A M se dice ormal si AA= AA, es decir si A comuta co su adjuta * * Hermitiaa. Por ejemplo toda matriz hermitiaa es Normal, ya que AA = AA = A A, pero U cojuto abierto A co la propiedad de que siempre que x A, el segmeto de recta de 0 este coteido e A es ua defiició equivalete para u cojuto abierto e forma de estrella. a x Gómez Plata A. R. Noviembre de 005 9

6 Ciecia e Igeiería Neograadia No toda matriz ormal A o es Hermitiaa (exepto si todos sus valores propios so reales). Existe oveta codicioes equivaletes que caracteriza las matrices ormales e [3] por Groe, Joso, Sa y Wolkowicz y e [4] por Elser y Ikramov. La defiició estádar de ormalidad es la mecioada e este artículo y es llamada la codició cero e [3]. El cojuto de las matrices ormales N se puede escribir como Z = X + iy dode X, Y y deota la parte real e imagiaria de Z respectivamete. No sobra decir que Z perteece al espacio vectorial de las matrices complejas de o al espacio vectorial real de. Ua matriz X M se dice que es uitaria si * X X = I. Por ejemplo la matriz: X 1+ i 1+ i = 1 i 1+ i Ua matriz X M se dice que es equivalete uitariamete a Y M si existe ua * matriz uitaria U M tal que X = UYU. Si A = [ a ] M es equivalete uitariamete a ua matriz diagoal se dice que ij es diagoalizable uitariamete. A A es ormal si y solo si A es diagoalizable uitariamete. Por ejemplo la matriz: 1+ i A = 1 i 3 es diagoalizable uitariamete porque es hermitiaa y por tato es ormal. Alguos cálculos muestra que ua matriz U que diagoaliza uitariamete a A es: 1 i 1+ i ya que : U AU = 0 4 Gómez Plata A. R. Noviembre de

7 Ciecia e Igeiería Neograadia No III. ESPACIOS ESTRATIFICADOS E esta secció se preseta alguas ocioes básicas referidas a la estratificació y se preseta alguos ejemplos de espacios que admite estratificacioes. Sea W u espacio topológico de Hausdorff localmete compacto co bases cotables. Ua estratificació e W es ua partició de W e cojutos localmete abiertos tal que: a) Cada X es ua variedad fiito dimesioal co frotera. b) es localmete fiito. c) Si d) Si _ Y X, Y y X etoces X. _ Y X, Y y X co X Y etoces dimx < dimy. _ Y 3 Los cojuto de los elemetos de so llamados el estrato. El par ( W, so llamados u espacio estratificado. Alguos espacios importates que admite estratificació so: a) Variedades co frotera dode { ItM, M} matrices cuadradas M ) b) Variedades algebraicas y espacios aalíticos e o. c) Cojutos aalíticos y subaalíticos. d) Variedades co esquias. =.(Por ejemplo el de las Para este articulo el espacio W es u subespacio de ua variedad suave M dode el estrato de W se toma coma las subvariedades regulares de M. La siguiete defiició es clave para mostrar porque las matrices ormales so ua subvariedad estratificada. ) IV. ESTRATIFICACIÓN PARA FUNCIONES. f : W, W, ) etre dos espacios estratificados se dice que es Ua fució ( ) ( ' ' ua estratificació si para cada X existe ' X tal que f X X y f es suave ( ) f f X. 3 _ Y o es otra cosa que la clausura de Y. Gómez Plata A. R. Noviembre de

8 Ciecia e Igeiería Neograadia No E particular si f es u homeomorfismo y que f es u isomorfismo de estratificacioes. 1 f es estratificada, etoces se dice V. CONCLUSIÓNES Si vemos a N como la image de la fució N : M M * ( U, D) UDU teemos que N es ua subvariedad estratificada de ya que esta fució es suave y propia como se pide e la aterior defiició. Marko Huhtae e [0] etiede esto e forma equivalete como que * ( U, D) UDU evía cojutos compactos e compactos. REFERENCIAS [0]. Huhtae, M.,(1999), A stratificatio of the set of ormal matrices. E: Helsiki Uiversity of Techology Istitute of Mathematics Research Reports A414,3-15p [1] Baker, A., ( 00), Matrix Groups(A Itroductio to Lie Group Theory), Lodres, Sriger-Verlag, 07-38p [] Spivak, M., (1999), A Comprehesive Itroductio to Differetial Geometry, Vol 1, Housto, Publish or Perish INC, 1p [3] Groe, R. Johso, R. Sa, E ad Wolkowicz, H., (1987), Normal Matrices, Li. Alg. Appl 87,13-5p [4] Elser, L ad Ikramov, D., (1998), Normal Matrices: a update, Li. Alg. Appl. 85,91-303p 4 E forma de estrella como ya se había mostrado ateriormete. Gómez Plata A. R. Noviembre de 005 1