Cuerpo negro. Un cuerpo que absorbe toda la radiación que incide en él se llama Cuerpo Negro Ideal(CNI). R =σt 4

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Felipe Plaza del Río
hace 7 años
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1 Equilibrio térmico Cuando luz incide sobre un cuerpo, parte de ésta es reflejada y otra parte es absorbida por el cuerpo. La luz absorbida aumenta la energía interna del cuerpo, aumentando su temperatura. El cuerpo contiene cargas eléctricas que son aceleradas al aumentar la temperatura. Esto produce emisión de luz, lo que implica una pérdida de energía interna del cuerpo, bajando su temperatura. El equilibrio térmico se logra a una temperatura T tal que la energía emitida por unidad de tiempo es igual a la energía absorbida por unidad de tiempo. La radiación emitida se llama radiación térmica.

2 Cuerpo negro Un cuerpo que absorbe toda la radiación que incide en él se llama Cuerpo Negro Ideal(CNI). Ley de Stefan(1879)-Boltzmann:La potencia por unidad de área R emitida por un CNI es: R =σt 4 T: temperatura absoluta. σ = W m 2 K 4 es la constante de Stefan Un objeto que no es un CNI, emite menos energía por unidad de área que un cuerpo negro. En ese caso: R = εσt 4, ε 1 es el coeficiente de emisividad del objeto.

3 Ejemplos Tamaño de una estrella: La longitud de onda de emisión máxima de la estrella(color) dice que la temperatura en la superficie es T = 3000K. La estrella radía con una potencia 100P P es la potencia del Sol con temperatura en la superficie de 5800K.Encontrar el tamaño de la estrella. ( ) Sol:R e = P e 2 = σt 4 4πr e, R S = P 2 = σt 4 e 4πr S, P e re 2 ( ) Te 4,100 ( ) re 2 ( ) 30 4, = S P r S T = S r S 58 ( ) ( ) re 58 2,re = 10 = 37.4r r S 30 S, r S = m

4 Distribución espectral R(λ)dλ: potencia por unidad de área emitida entre λ y λ + dλ, λ=longitud de onda. Figura 1. Distribución espectral del CNI a distintas temperaturas(1900).

5 Ley de Wien Ley de Desplazamiento de Wien(1893):La distribución espectral tiene un máximo para λ = λ m con λ m T = mk u(λ) = f(λt) λ 5 u = f (λt) T λ 5 5f(λT) λ 6 = 0 x =λt xf (x) 5f(x)=0 Si se conoce f se puede encontrar el valor de x. Con lo cual el máximo es λ m T = x.

6 Rayleigh-Jeans Figura 2. Un pequeño agujero en la pared de una cavidad es la mejor aproximación a un CNI. La luz que entra por el agujero tiene pocas posibilidades de salir por él antes de ser absorbida por las paredes de la cavidad. R = c 4 U U: densidad de energía electromagnética al interior de la cavidad. c: velocidad de la luz. R(λ) = c 4 u(λ)

7 Número de modos de oscilación por unidad de volumen n(λ) n(λ)=8πλ 4 Teorema de equipartición de la energía: La energía promedio por grado de libertad es 1 kt.para un oscilador se tienen 2 grados de libertad. ε = kt.k es la constante de 2 Boltzmann. La ecuación de Raylegh-Jeans:u(λ) = 8πkTλ 4 Dos polarizaciones independientes. Catástrofe Ultravioleta: 0 u(λ)dλ =.

8 Modos de oscilación por unidad de volumen Consideremos un cubo de radio a de paredes metálicas, conteniendo radiación electromagnética. La luz es una onda transversal. Los campos eléctricos y magnéticos oscilan perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. E =E 0 e i( k.x ωt ) ω = c k k.e 0 = 0 Consideremos una onda que se propaga paralela al eje x del cubo. En x = 0, a el campo eléctrico es paralelo a la superficie conductora. Pero en un conductor hay cargas eléctricas que se mueven hasta eliminar el campo eléctrico, en un estado estacionario. Esto es la onda tiene un nodo en x = 0, a. Lo mismo sucede con una onda propagándose a lo largo de las direcciones y, z del cubo. Encontremos los modos de oscilación permitidos. Al reflejarse la onda en las paredes del cubo se forma una onda estacionaria que es la superposición de la onda incidente y la onda reflejada. sen(kx ωt)+sen(kx+ωt)=sen(kx)cos(ωt) cos (kx) sen(ωt) +(t t)= 2sen(kx)cos(ωt) Nodo en x=0,a, ka =nπ, n = 0, 1, 2...

9 En general la onda se mueve en una dirección nˆ,im ( e i(knˆ.x ωt)), nˆ.nˆ = 1. Se propaga en la dirección x, y, z con longitud de onda 2π λ x = 2π λ nˆx... Tenemos que ( 2a λ 2 a=n x, 2a λ x λ nˆx=n 2a x λ nˆy = n y ) 2 (nˆx2 + nˆy2 + nˆz2 ) = n 2 x + n 2 y + n 2 z ν = c n 2 2a x +n 2 2 y +n z r = n 2 x + n 2 2 y + n z = 2a c ν N(ν)dν = 4πr2 8 dr =π 2 2 polarizaciones N(ν)dν = 8 c 3πa3 ν 2 dν ( 2a c ν ) 2 2a c dν 2a λ nˆz = n z = 4 c 3πa3 ν 2 dν Escribamos N en función de la longitud de onda. a 3 n(λ)dλ = 8 c πa3 λ 2 dλλ 2 c =8π a3 λ 4dλ n(λ)dλ = 8π λ 4dλ

10 Figura 3. Sistema de coordenadas rectangulares usado para contar las frecuencias permitidas en una cavidad cúbica.

11 Planck Promedio de la energía. E continuo. <E > = 1 Z 0 deee βe, Z = 0 dee βe = 1 β <E > = ln Z β =kt Planck: Los niveles de energía de un oscilador están cuantizados:e n =nhν, n =0, 1... h: constante de Planck, ν: frecuencia de oscilación. <E >= 1 Z n E n e βe n, Z = n e βhνn = 1 1 e βhν <E > = ln Z β = e βhν hν 1 e βhν

12 Distribución de Planck u(λ) = 8πλ 4 e βhν hν 1 e βhν = 8πλ 5 hc e βhc/λ 1 La curva experimental da h = Js

13 Ejercicios 1. Máximo del espectro solar:encontrar la longitud de onda de máxima emisión. Sol:λ m T = mk, λ m = 499.7nm, 1nm = 10 9 m 2. Energía media de un oscilador:encontrar la energía media de un oscilador con hν = kt. Sol:<E > = ε = kt e ε/kt 1 e 1 = 0.582kT 3. Use la distribución de Planck para encontrar la constante en la ley de Wien. Sol: De la fórmula de Planck se obtiene:f(x) =8π,xf (x) 5f(x)=0 e hc/(kx) 1 f (x) = 8πch ( e hc/(kx) 1 ) 2 e hc/(kx) ( hc x ( e hc/(kx) 1 ) 2 e hc/(kx) ( hc 1 ) 1 =0 k x 2 ) k x 2 hc ) 5 ( e hc/(kx) hc k ehc/(kx) = 5x ( e hc/(kx) 1 ) u= ,x= u= hc kx hc k = mk u=5 5e u

14 Use la distribución de Planck para deducir la fórmula de Stefan-Boltzmann. u(λ) =8πλ 5 hc, e βhc/λ 1 0 dλu(λ)=u,x = βhc/λ, dλ = βhcx 2 dx U = 8πβ(hc) 2 (βhc) 5 0 dx x3 e x 1 =8πβ 4 (hc) 0 3 dx x3 e x 1 0 dx x3 e x 1 = π4 15 R = c 4 U = 2 15 π5 c k4 (hc) 3 T 4 =σt 4, σ = 2 15 π5 k 4 h 3 c 2

15 Fondo de Radiación Cósmica Figura 4. Fondo de Radiación Cósmica medido por COBE T=2.725K Esta radiación llena todo el Universo. Se originó cuando la luz se separó de la materia años después del Big Bang.

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