MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas. Entre las medidas de tendencia central tenemos: Media Media ponderada Media geométrica Media armónica Mediana Moda Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas. Media Aritmetica. La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores. La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos. Se le llama también promedio o, simplemente, media. Definición formal Dado un conjunto numérico de datos, x 1, x 2,..., x n, se define su media aritmética como Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

2 Propiedades Las principales propiedades de la media aritmética son: Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. Su valor es único para una serie de datos dada. Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión. Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor: o Es poco sensible a fluctuaciones muéstrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística. Inconvenientes de su uso Este parámetro, aun teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son: Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren. Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos. Media aritmética ponderada A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si son nuestros datos y son sus "pesos" respectivos, la media ponderada se define de la siguiente forma:

3 Media muestral Esencialmente, la media muestral es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio. La media muestral es un parámetro de extrema importancia en la inferencia estadística, siendo de gran utilidad para la estimación de la media poblacional, entre otros usos. Moda. La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva. Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación. Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda. Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide el intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que: Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal y y las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal. Propiedades

4 Sus principales propiedades son: Cálculo sencillo. Interpretación muy clara. Al depender solo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos. Inconvenientes Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muéstrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud. Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor. No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución. Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales). Mediana. La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor. En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más. Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.

5 PROPIEDADES E INCONVENIENTES Las principales propiedades de la mediana son: Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en las series. Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado. No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos. Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética Media Geométrica En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

6 Propiedades El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética: La igualdad sólo se alcanza sí. Ventajas considera todos los valores de la distribución y es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos. Desventajas es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética, su cálculo es más difícil y en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor entonces la media geométrica se anula. Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales. En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal. La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

7 Media geométrica ponderada Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes: Donde las son los «pesos». Media Armónica. La media armónica', denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades. Así, dados n números x 1, x 2,..., x n la media armónica será igual a: La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto. La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo. Propiedades. 1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. 2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos. 3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos :

8 Ventaja Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética. Desventajas La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños. Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

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