ANOVA Multifactorial. StatFolio Muestra: anova.sgp

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1 ANOVA Multifactorial Resumen El procedimiento ANOVA Multifactorial está diseñado para construir un modelo estadístico describiendo el impacto de dos o más factores categóricos X j de una variable dependiente Y. Se realizan pruebas para determinar si hay o no diferencias significativas entre las medias a diferentes niveles de los factores y si hay o no interacciones entre los factores. Además, los datos pueden desplegarse gráficamente de varias maneras, incluyendo un gráfico múltiple de dispersión, una gráfica de medias y una gráfica de interacciones. Este procedimiento está diseñado para experimentos relativamente simples, tales como experimentos factoriales con efectos fijos. El procedimiento Modelos Lineales Generales debe ser usado para situaciones más complicadas. StatFolio Muestra: anova.sgp Datos de Muestra: El archivo stresstest.sf6 contiene datos de una prueba de estrés de n = 36 individuos, reportado por Kutner et al. (1996). En el estudio, cada uno realizó sus ejercicios diarios y se registró el número de minutos requeridos para alcanzar un nivel predefinido de estrés. La tabla de abajo muestra una lista parcial de datos en ese archivo: Subject (Sujeto) Body fat (Grasa corporal) Gender (Sexo) Smoking (Fumador) Minutes (Minutos) 1 baja masculino ninguno 34 2 baja masculino ninguno 32 3 baja masculino ninguno 31 4 baja masculino ligero 27 5 baja masculino ligero 24 6 baja masculino ligero 23 7 baja masculino pesado 20 8 baja masculino pesado 21 9 baja masculino pesado baja femenino ninguno baja femenino ninguno baja femenino ninguno baja femenino ligero baja femenino ligero baja femenino ligero baja femenino pesado baja femenino pesado baja femenino pesado alta masculino ninguno alta masculino ninguno 20 3 individuos fueron seleccionados de 12 combinaciones de los siguientes factores: 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 1

2 Cantidad de grasa corporal: baja o alta Sexo: masculino o femenino Historial de fumador: ligero, pesado o ninguno. STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy El estudio es un diseño factorial replicado de 2 por 2 por 3. Entrada de Datos Los datos consisten en una sola columna que contiene mediciones y múltiples columnas indicando los niveles de los factores experimentales. Variable dependiente: columna numérica que contiene las observaciones. Factores: columnas numéricas o no numéricas que contienen niveles identificando cada factor. Covariación: columnas numéricas opcionales que contienen valores de variables cuantitativas que varían junto con la respuesta y cuyos efectos deben ajustarse antes de comparar niveles de factores categóricos. Seleccionar: subconjunto a seleccionar por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 2

3 Resumen del Análisis El Resumen del Análisis muestra el número de factores y el número total de observaciones n. ANOVA Multifactorial - minutos Variable dependiente: minutos Factores: grasa corporal sexo fumador Número de casos completos: 36 Gráfico de Dispersión El panel Gráfico de Dispersión grafica por niveles los datos de un nivel seleccionado. 40 Dispersión por Código de Nivel 30 minutes high body fat low Si hay muchas variables comunes, tal vez deseé agregar a la gráfica una pequeña cantidad de jitter horizontal presionando el botón Jitter en la barra de herramientas análisis: Esto compensa cada punto aleatoriamente en dirección horizontal de tal forma que valores idénticos no se grafican uno encima del otro por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 3

4 Dispersión por Código de Nivel minutes high body fat low La gráfica anterior sugiere que hay tres diferencias entre individuos con alta grasa corporal e individuos con baja grasa corporal. Panel de Opciones Factor: factor a graficar en el eje horizontal. Tabla ANOVA Para determinar si los factores tienen o no un efecto significativo en la variable dependiente, se realiza un análisis de varianza. Los resultados son desplegados en la Tabla ANOVA: Análisis de Varianza para minutos - Suma de Cuadrados Tipo III Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES A:grasa corporal B:sexo C:fumador INTERACCIONES AB AC BC RESIDUOS TOTAL (CORREGIDO) Todas las razones-f se basan en el cuadrado medio del error 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 4

5 residual STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy La tabla divide la variabilidad total entre las n mediciones en varios componentes: 1. Un componente atribuible al Efecto Principal de cada factor, que mide la variabilidad entre las respuestas medias a cada nivel del factor. 2. Un componente atribuible a la Interacción entre diferentes factores. Ocurre una interacción si el efecto de un factor depende del nivel de otro factor. 3. Si hay Covariación presenta un componente atribuible a cada covariación. 4. Un componente Residual, que mide la variabilidad entre sujetos a niveles idénticos de los factores. Los F-radios son de particular importancia así como sus P-Valores asociados. P-Valores pequeños (menores que 0.05 si se opera a un nivel de significancia del 5%) corresponden a efectos significativos. En este ejemplo, todos los efectos principales son estadísticamente significativos como los es también la interacción entre factores A y C (grasa corporal y fumador). Panel de Opciones El cuadro de diálogo Panel de Opciones controla cómo se calculan las F-pruebas: Suma de Cuadrados: el tipo de descomposición usada para calcular las sumas de cuadrados en la tabla ANOVA. La selección por defecto es Tipo III, que cuantifica el incremento del 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 5

6 error en la suma de cuadrados que ocurriría si cada efecto se removiese del análisis, dado que todos los otros efectos permanecen. En contraste, la suma de cuadrados Tipo I representa la reducción en el error de suma de cuadrados que ocurre cuando cada variable es añadida al modelo, en el orden mostrado en la tabla ANOVA. En un experimento balanceado (un experimento con igual número de observaciones de todas las combinaciones de factores) tal como en este ejemplo, ambos tipos de sumas de cuadrados arrojan resultados idénticos. En casos no balanceados, habrá diferencia. Tipo III es por defecto pues cuantifica la contribución marginal de cada efecto dado que todos los demás efectos han sido computados. Término de Error: la media cuadrática a usarse como denominador de la F-prueba al probar la importancia de cada efecto. En un diseño en el que todos los factores se cruzan y no son aleatorios, la selección de Residual es correcta. Para tipos de diseños más complicados, el analista tal vez deseé especificar otro denominador para ciertos efectos. Nota: el procedimiento Modelos Lineales Generales determina automáticamente del denominador propio de muchos tipos de modelos involucrando factores aleatorios y anidados y normalmente deben usarse para analizar esos tipos de diseños experimentales. Opciones de Análisis El cuadro de diálogo Opciones de Análisis especifica las interacciones a incluirse en el análisis. Máximo Orden de Interacción: número máximo de factores para los que se estimará una interacción. Excluir: Presione este botón para quitar del análisis una o más interacciones. Ejemplo Removiendo Interacciones Insignificantes Para remover del análisis una o más interacciones, presione el botón Excluir en el cuadro de diálogo Opciones de Análisis. Esto despliega un segundo cuadro de diálogo: 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 6

7 Haciendo doble clic en cualquier interacción, esta puede moverse de derecha a izquierda o viceversa. Cualquier interacción especificada en el campo Excluir no será estimada. Luego de remover los dos efectos insignificantes de los datos de las pruebas de estrés, la tabla de arriba muestra los efectos remanentes: Análisis de Varianza para minutos - Suma de Cuadrados Tipo III Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES A:grasa corporal B:sexo C:fumador INTERACCIONES AC RESIDUOS TOTAL (CORREGIDO) residual Todas las razones-f se basan en el cuadrado medio del error Gráfica ANOVA La Gráfica ANOVA, desarrollada por Hunter (2005), es una técnica para desplegar gráficamente la importancia de cada factor en el análisis. Es una gráfica de efectos escalados de cada factor, donde el efecto de un factor es igual a la diferencia entre la media de mínimos cuadrados para 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 7

8 el nivel del factor y la media total estimada. Cada uno de los efectos es multiplicado por un factor escalador. ν n R ν n T i (1) donde ν R es los grados de libertad residuales, ν T es los grados de libertad del efecto principal del factor, n i es igual al número de observaciones en el i-ésimo nivel del factor, y n es el número promedio de observaciones a todos los niveles del factor. Esto escala los efectos de tal forma que la varianza natural de los puntos en el diagrama es comparable a la de los residuales, los cuales son desplegados debajo de la gráfica. La gráfica para los datos de muestra se ve a continuación: ANOVA Gráfico para minutes heavy light none smoking P = gender female male P = body fat high low P = Residuos En la parte derecha del display están los P-Valores de los efectos principales, tomados de la tabla ANOVA. Comparando la variabilidad entre los efectos del tratamiento en la gráfica anterior y los residuales, es fácil ver que todos los factores muestran diferencias de una magnitud mayor que la que podría atribuirse solamente a error experimental. Dependiendo de la localización relativa de los efectos, podría ser posible en algunos casos identificar visualmente qué niveles son diferentes significativamente de qué otros, lo cual se hace formalmente con las Pruebas de Rangos Múltiples descrita a continuación. Pruebas de Rangos Múltiples Para factores que muestran P-Valores significativos en la tabla ANOVA y que no interactúan con otros factores, se puede realizar un análisis posterior seleccionando las Pruebas de Rangos Múltiples. Contraste Múltiple de Rangos para minutos por sexo Método: 95.0 porcentaje LSD 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 8

9 sexo Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogéneos femenino X masculino X STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Contraste Sig. Diferencia +/- Límites femenino - * masculino diferencia significativa. * indica una La mitad de arriba de la tabla despliega cada uno de los estimadores medios de mínimos cuadrados en orden creciente de magnitud. Muestra: Conteo el número de observaciones al nivel especificado del factor. LS Media la media estimada por mínimos cuadrados. En el caso de un diseño balanceado, la media de mínimos cuadrados es equivalente al promedio de todas las observaciones al nivel indicado. En diseños no balanceados, la media de mínimos cuadrados es el valor predicho de la variable dependiente cuando el factor especificado se fija a un nivel particular mientras los demás factores se fijan a sus niveles medios. Las medias de mínimos cuadrados ajusta cualquier desbalanceo en los datos, haciendo predicciones a un nivel común para todos los factores. LS Sigma el error estándar estimado de la media de mínimos cuadrados por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 9

10 Grupos homogéneos una ilustración gráfica de cuáles medias son significativamente diferentes de cuáles, basada en los contrastes desplegados en la segunda mitad de la tabla. Cada columna de X s indica un grupo de medias entre las que no hay diferencias estadísticamente significativas. En el ejemplo hay 2 columnas, cada una conteniendo una sola X, indicando que los dos sexos caen en grupos significativamente diferentes. La segunda mitad de la tabla despliega una comparación entre cada par de medias de nivel. Diferencia la diferencia entre las dos medias de mínimos cuadrados. Límites un estimador de intervalo de esa diferencia, usando el procedimiento seleccionado de múltiples comparaciones. Sig. Se pone un asterisco junto a cualquier diferencia que sea estadísticamente significativamente diferente de 0 al nivel de significancia seleccionado, i.e., cualquier intervalo que no contenga al 0. Panel de Opciones Método: el método usado para hacer las comparaciones múltiples. Factor: el factor a desplegarse. Nivel de Confianza: el nivel de confianza usado por el procedimiento seleccionado de comparaciones múltiples. Los métodos disponibles son: LSD - forma un intervalo de confianza para cada par de medias al nivel de confianza seleccionado, usando la distribución t de Student. Este procedimiento se le atribuye a 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 10

11 Fisher y se conoce como el procedimiento Diferencia Menos Significativa, pues la magnitud de los límites indica la menor diferencia entre dos medias cualesquiera que puedan representar una diferencia estadísticamente significativa. Sólo debe usarse cuando la F-prueba de la tabla ANOVA indique diferencias significativas entre las medias muestrales Tukey HSD ensancha los intervalos para permitir comparaciones múltiples entre todos los pares de medias usando la t de Tukey. Tukey llamó a su procedimiento el de Diferencia Honestamente Significativa ya que controla la tasa de error experimental a α. Si todas las medias son iguales, la probabilidad de declarar a cualquiera de los pares como significativamente diferentes en todo el experimento es igual a α. El procedimiento de Tukey es más conservador que el procedimiento LSD de Fisher, pues hace más difícil declarar cualquier par particular de medias como significativamente diferentes. Scheffe diseñado para permitir la estimación de todos los posibles contrastes entre las medias muestrales (no solo en comparaciones por pares). Usa una múltiple relacionada con la distribución F. En esta instancia, es probable que el procedimiento sea muy conservador, pues sólo se están estimando pares. Bonferroni diseñado para permitir la estimación de cualquier número preseleccionado de contrastes. Estos límites son usualmente más anchos que los de Tukey cuando se hacen todas las comparaciones por pares. Student-Newman-Keuls A diferencia de los métodos previos, éste no crea intervalos para las diferencias por pares. En vez de eso, ordena las medias en orden creciente y luego comienza a separarlas en grupos de acuerdo a valores del rango distribución Studentizada. Eventualmente, las medias se separan en grupos homogéneos en los que no hay diferencias significativas. Duncan similar al procedimiento Student-Newman-Keuls, excepto que usa un valor crítico distinto al rango de la distribución Studentizada al definir los grupos homogéneos. Una discusión detallada de los procedimientos de Duncan y de Student-Newman-Keuls la dan Milliken y Johnson (1992) Esto sólo debe usarse cuando la F-prueba en la tabla ANOVA indique diferencias significativas entre las medias muestrales. La probabilidad de hacer un error Tipo I α aplica a cada par de medias de manera separada. Si se hace más de una comparación, la probabilidad total de llamar al menos a un par de medias significativamente diferentes cuando no lo son puede ser considerablemente mayor que α. La elección entre un procedimiento LCD y uno de múltiples comparaciones como el HSD de Tukey debe depender del costo relativo de hacer un error Tipo I (llamar diferentes a un par de medias que realmente no lo son) contra el costo de hacer un error Tipo II (no llamar diferentes a un par de medias que sí lo sean). En las primeras etapas de una investigación, tal vez uno no quiera ser tan conservador como cuando ya se han hecho las verificaciones finales 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 11

12 Tabla de Medias Esta tabla despliega las medias de mínimos cuadrados para cada nivel de los factores y para pares de niveles de cualquier interacción bifactorial incluida. Cada media se muestra junto a su error estimado estándar y un intervalo de confianza: Tabla de Medias por Mínimos Cuadrados para minutos con intervalos de confianza del 95.0 % Error Límite Límite Nivel Casos Media Est. Inferior Superior MEDIA GLOBAL grasa corporal alta baja sexo femenino masculino fumador pesado ligero ninguno grasa corporal por fumador alta,pesado alta,ligero alta,ninguno baja,pesado baja,ligero baja,ninguno Panel de Opciones Nivel de Confianza: el nivel de confianza asociado a cada intervalo por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 12

13 Gráfica de Medias Las medias de nivel pueden graficarse junto a intervalos de incertidumbre- Medias y 95.0% de Fisher LSD minutes high body fat low El tipo de intervalo desplegado depende de las configuraciones del Panel de Opciones. Si todos los tamaños de muestra son los mismos (o cercanos), el analista puede determinar cuáles medias son significativamente diferentes de cuáles otras usando los procedimientos LSD, Tukey, Scheffe o Bonferroni simplemente viendo si un par de intervalos se traslapan en dirección vertical o no. Un par de intervalos que no se traslapan indica una diferencia estadísticamente significativa entre las medias al nivel de confianza seleccionado. En este caso, note que el intervalo para alta grasa corporal no se traslapa con el intervalo de baja grasa corporal, indicando una diferencia estadísticamente significativa entre las medias a esos dos niveles. Panel de Opciones 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 13

14 Intervalos: el método usado para construir los intervalos. Factor: el factor a graficarse. Nivel de Confianza: el nivel de confianza asociado a cada intervalo. Los tipos de intervalos que pueden ser seleccionados. Intervalos de Confianza despliega intervalos de confianza para las medias de nivel usando el error cuadrático medio de la tabla ANOVA. Intervalos LSD diseñados para comparar cualquier par de medias con el nivel de confianza establecido. Intervalos HSD Tukey diseñados para comparar todos los pares de medias. El nivel de confianza establecido aplica para toda la familia de comparaciones par a par. Intervalos Scheffe diseñados para comparar todos los contrastes. No son muy relevantes aquí. Intervalos Bonferroni diseñados para comparar un número seleccionado de contrastes. Los intervalos de Tukey son usualmente más ajustados. Gráfica de Interacción Cuando existan una o más interacciones significativas, deben examinarse juntas usando la Gráfica de Interacción. Gráfico de Interacciones body fat high low 26 minutes heavy light none smoking La gráfica de interacción despliega las medias por mínimos cuadrados en todas las combinaciones de dos factores. Si los factores no interactúan, las líneas en la gráfica deben ser aproximadamente paralelas. Si no, entonces el efecto de un factor depende del nivel de otro, que es la definición de interacción por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 14

15 Note que el efecto de fumador es mucho mayor en individuos con baja grasa corporal que en aquellos con alta grasa corporal. Panel de Opciones Intervalo el tipo de intervalo (si hay) a ponerse alrededor de cada media. Nivel de Confianza el nivel de confianza del intervalo. Interacción la interacción a graficarse. Se desplegará un punto mostrando el valor medio predicho para cada combinación de factores en la interacción seleccionada. Graficar en Ejes el factor de la interacción seleccionada que será utilizada para definir el eje horizontal. Líneas separadas se retirarán de cada nivel del otro factor. Ejemplo Gráfica de Interacción con Intervalos Tukey Añadir intervalos Tukey HSD permite una comparación por pares entre las seis combinaciones de fumador y grasa corporal: 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 15

16 minutes Interacciones y 95.0% de Tukey HSD smoking heavy light none 11 high body fat low Examinando el traslape de los intervalos, tres grupos homogéneos son identificables: Grupo 1: individuos no-fumador, baja grasa corporal, cuyos tiempos en la prueba son significativamente más largos que los de los demás individuos. Grupo 2: individuos ligero-fumador, baja grasa corporal, cuyos tiempos en la prueba son menores que los del Grupo 1, pero significativamente mayores que los de otros. Grupo 3: los demás. Note que todos sus intervalos se traslapan, indicando que no hay diferencias estadísticamente significativas entre los individuos restantes. Gráficas de Residuales Como en todo modelo estadístico, es una buena costumbre examinar los residuales. Los residuales son iguales a los datos observados menos los valores predichos por el modelo estadístico subyacente. El procedimiento ANOVA Multifactorial crea 3 gráficas de residuales: 1. contra nivel de factor. 2. contra valor predicho. 3. contra número de observación. Residuales contra Nivel de Factor Esta gráfica es de ayuda para visualizar cualquier diferencia en la variabilidad de varios niveles de un factor por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 16

17 Gráfico de Residuos para minutes 8 5 residuos heavy light none smoking El residual promedio de cada nivel es igual a 0. Panel de Opciones Factor: factor a desplegarse en el eje horizontal. Residuales contra Predicho Esta gráfica es de ayuda para detectar cualquier heteroescedasticidad en los datos. 8 Gráfico de Residuos para minutes 5 residuos predichos 2006 por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 17

18 La heteroescedasticidad ocurre cuando la variabilidad de los datos cambia como lo hace la media, y puede necesitarse transformar los datos antes de realizar el ANOVA. Usualmente es evidenciado por un patrón de forma de embudo en la gráfica de residuales. Residuales contra Observación Esta gráfica muestra los residuales contra el número de fila en la hoja de datos: 8 Gráfico de Residuos para minutes 5 residuos número de fila Si los datos se arreglan en orden cronológico, cualquier patrón de los datos puede indicar una influencia exterior. No es evidente ningún patrón así en la gráfica de arriba por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 18

19 Guardar Resultados Los siguientes resultados pueden guardarse en la hoja de datos: 1. Recuentos por Nivel el número de observaciones a cada nivel de los factores y a cada par de factores. 2. Medias por Nivel la respuesta media a cada nivel de factores y a cada par de factores. 3. Errores Estándar por Nivel el error estándar a cada nivel de factores. 4. Medias de Mínimos Cuadrados la media por mínimos cuadrados a cada nivel de factores. 5. Residuos los n residuales. Cálculos Modelo Estadístico Para ajustar un modelo a los datos, STATGRAPHICS construye una matriz de n por p de variables X independientes. La matriz incluye: Una columna de 1 s para representar una constante. Variables indicatrices para cada factor. Para un factor con k niveles, k 1 variables indicatrices se construyen. La j-ésima variable indicadora para un factor contiene el valor 1 para cada observación igual al j-ésimo nivel del factor, -1 para cada observación igual al k- ésimo nivel y 0 para cualquier otro caso. Una columna conteniendo los valores de cada covariación, si hay. Productos cruz de las variables indicadoras y las columnas covariadas para representar cualquier interacción. Entonces se ajusta un modelo usando estimación lineal de mínimos cuadrados: 1 ˆβ = ( X X ) X Y (2) Medias por Mínimos Cuadrados Las medias por mínimos cuadrados son la respuesta predicha Yˆ 1 p = X p ( X X ) X Y (3) donde X p es el vector de variables independientes en las que cada variable indicadora correspondiente a factores no incluidos en el efecto especificado se fija a 0 y cada covariación se fija a su nivel medio observado por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 19

20 Errores Estándar Estimados a partir de STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy s. e. p 1 = X MSE( X X ) X (4) p p donde MSE es igual al error cuadrático medio en la tabla ANOVA. Procedimientos de Comparaciones Múltiples Vea la documentación ANOVA de una vía por StatPoint, Inc. ANOVA Multifactorial - 20

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