TEORIA DE JUEGOS COOPERATIVOS VERSUS TEORIA DE LA EVIDENCIA

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1 Teoría de juegos ooperativos versus teoría de la evidenia TEORIA DE JUEGOS COOPERATIVOS VERSUS TEORIA DE LA EVIDENCIA José Antonio Núñez del Prado, Mª Pilar Garía Pineda, Antonio Heras Martínez Universidad Complutense de Madrid RESUMEN Aunque oneptualmente diferentes, las formulaiones matemátias de la teoría de juegos ooperativos, efetuada por VON NEUMANN Y MORGENSTERN en su tratado lásio de 1944, y la teoría de la evidenia, reada por A.P.DEMPSTER y G. SHAFFER, omo una generalizaión de la teoría de la probabilidad a finales de los 70 del siglo pasado, son formalmente iguales. El objetivo de este trabajo es el de mostrar ese paralelismo y el de estableer la posible interpretaión de una ualquiera de esas teorías por los métodos y los oneptos de la otra. XII Jornadas de ASEPUMA 1

2 Nuñez del Prado, J.A., Garía Pineda, P., Heras Martínez A. INTRODUCCIÓN La teoría matemátia de la evidenia, formulada iniialmente por A.P.DEMPSTER en la déada de los 60 del siglo pasado y sistematizada por G. SHAFFER a finales de los 70 de ese mismo siglo, aunque sus orígenes se remontan al siglo XVII uando se iniiaron los primeros análisis para modelar la inertidumbre de los que surgió omo línea prinipal la teoría de la probabilidad, es una teoría de la reenia no probabilístia que los sujetos tienen aera del algún ampo de onoimientos y del modo omo operan y razonan on esas reenias. La teoría de la evidenia, tanto en DEMPSTER SHAFFER, omo en las disusiones del siglo XVII aera del onoimiento inierto, parte de la rítia de la hipótesis, aeptada en la teoría de la probabilidad lásia y que onstituye su fundamento, de la aditividad de las reenias: sean A y B dos proposiiones independientes entre sí aera del mundo; la propiedad fundamental de la probabilidad es que P(A ó B) = P(A) + P(B) pero siempre se ha pensado que la unión de dos o más proposiiones podrían reforzarse mutuamente de forma que su fuerza onjunta sería más que la suma de la fuerza de ada omponente. Esta es la idea básia que se halla detrás de la teoría de la evidenia. Sea Ω el universo del disurso y 2 Ω el onjunto de todas las proposiiones aera de Ω. En la teoría de la probabilidad ada A ε 2 Ω es un subonjunto de Ω que no es más que la suma de sus elementos y la probabilidad de A queda determinada por las probabilidades de sus onstituyentes P(A) = P(a i ) on a i ε A. Es por esta razón por la que la probabilidad queda definida por una asignaión básia de probabilidades a los elementos de Ω P: Ω [0 1] on P(a i ) = 1, a i ε Ω. En la teoría de la reenia ada subonjunto A ε 2 Ω no es la suma de sus elementos y ha de ser onsiderado en sí mismo de forma global; por esto una asignaión de reenia pasa de Ω a 2 Ω y se define omo una funión m: 2 Ω [0 1] tal que 1) m(ø) = 0 y 2) m(a) = 1 A ε 2 Ω. Dada esta asignaión básia de reenia se define la reenia total en A ε 2 Ω omo BEL(A) = m(x) on X < A. Es deir, la reenia es omo una probabilidad definida en 2 Ω y no en Ω on la suma sobre los elementos de A sustituida por la suma sobre los subonjuntos de A, ambio de perspetiva que pretende reflejar la idea de que todas las proposiiones, sean elementales a i ε Ω o ompuestas A ε 2 Ω, son onsideradas omo 2 XII Jornadas de ASEPUMA

3 Teoría de juegos ooperativos versus teoría de la evidenia entidades propias y en igualdad de ondiiones mutuas. Frente a la aditividad de la teoría de las probabilidades las funiones de reenia satisfaen la superaditiivdad: para ualesquiera dos subonjuntos A, B de Ω se tiene que BEL (A U B) + BEL(A B) BEL(A) + BEL(B). En partiular si A B = Ø se tiene que BEL (A U B) BEL(A) + BEL(B) que es una forma de deir que la unión hae la fuerza. Curiosamente, aunque la teoría de la evidenia fue formulada omo una teoría de la reenia en las proposiiones, formalmente es análoga a la formulaión de la teoría de los juegos ooperativos. Aquí, el universo del disurso Ω es sustituido por el onjunto de jugadores Ω ={ n}, el onjunto de todas las proposiiones posibles 2 Ω por el onjunto de todas las oaliiones posibles 2 Ω y la funión de reenia BEL por la funión araterístia, normalizada sin pérdida de generalidad, del juego v: 2 Ω [0 1] on 1) v(ø) = 0, 2) v(ω) = 1 y alguna forma de superaditividad: si A B = Ø se tiene que v(a U B) v(a) + v(b) que es igualmente una forma de deir que la unión hae la fuerza ; una de las más usuales es aeptar que la funión araterístia v la ondiión de supermodularidad : para ualesquiera dos subonjuntos A, B de Ω se tiene que v(a U B) + v(a B) v(a) + v(b) que es exatamente la ondiión que umplen las funiones de reenia. La idea subyaente es la misma: la oaliión A ε 2 Ω es más que la suma de sus jugadores omponente y ha de tener mejor pago v(a) que la suma de los pagos individuales v(a) v( i ), esto ha de ser superaditiva. Esta similitud de planteamientos hae que ambas teorías puedan ser onsideradas equivalentes entre sí. 2.LA REPRESENTACIÓN DE LA IGNORANCIA Las funiones de reenia permiten representar la ignorania mejor que la teoría de las probabilidades. Consideremos, por ejemplo, la uestión Existe Dios? Aquí Ω posee dos y sólo dos posibilidades Ω = {sí, no}. Desde el punto de vista probabilístio ha de tenerse, por la aditividad de las probabilidades, que P(sí) + P(no) = 1 y omo P(no) = 1 P(sí) neesariamente omo P(no) = P(sí) = ½. La ignorania onsiste en reer on un 50% de posibilidades que Dios existe y que no existe on otro 50%: en la mitad de los mundos posibles existe Dios y en la otra mitad no. Tal uantifiaión no es reíble. XII Jornadas de ASEPUMA 3

4 Nuñez del Prado, J.A., Garía Pineda, P., Heras Martínez A. Desde el punto de vista de la teoría de la evidenia la ignorania puede ser mejor representada por una funión de reenia BEL: 2 Ω [0 1] on BEL(sí) = 0, BEL(no) = 0 y BEL (sí o no) = PROBALIDADES SUPERIORES DEMPSTER y SHAFFER introduen para ada funión de reenia BEL: 2 Ω [0 1] la funión P*: 2 Ω [0 1] definida por P*(A) = 1- BEL( A), A ε 2 Ω y A = Ω A el omplemento de A respeto del universo del disurso Ω que representa igualmente un grado superior de reenia en A: BEL( A) es la reenia en no A y 1- BEL( A) es una medida de la posibilidad de A. Puede mostrarse que siempre se tiene que BEL(A) P*(A). Entre estas dos funiones BEL y P* DEMPSTER y SHAFEER onsideran el onjunto M(P) de todas las probabilidades P: 2 Ω [0 1] entre esas dos funiones: BEL(A) ) P(A) ) P*(A), que es la forma original en la que apareieron las funiones de reenia. La motivaión tras ello es la siguiente: desde el punto de vista de la teoría de las probabilidades, uando se tiene un onjunto de proposiiones iniertas en la mayoría de las oasiones no se sabe que probabilidades asoiarlas pero sí se sabe que esas probabilidades forman un onjunto M(P); la funión inf P(A) es una medida de la mínima reenia que se está dispuesto a asignar a A y sup P(A) es la máxima reenia que se esta dispuesto a asoiar a A: la asignaión inf(a) onstituye una funión de reenia BEL asoiada a diho onjunto de probabilidades M(P) y sup(a) onstituye la asignaión de probabilidad superior P* asoiada a BEL(A) asoiada a BEL. En la teoría de juegos ooperativos, uriosamente, aparee una situaión similar. Si (Ω, v) es un juego supermodular v(ω) = 1 v( i ) y el exeso v(ω) - v( i ) representa la ganania extra que obtienen los jugadores por sus oaliiones. Este exeso hay que repartirlo adeuadamente entre dihos jugadores y un tal reparto, denominado IMPUTACIÓN, onsiste en una funión X: 2 Ω [0 1] on X ( i ) = x i tal que 1) x i v( i ) ya que es un extra añadido y 2) x i = 1, que define así una probabilidad sobre Ω. De todas estas posibles imputaiones, la teoría de juegos busa aquellas que sean NO- DOMINADAS, es deir aquellas que no puedan ser mejoradas por un mejor reparto de los benefiios denominadas el NÚCLEO del juego (Ω, v). Un teorema de araterizaión muestra que el núleo lo forman aquellas y sólo aquellas imputaiones tales que X(A) = x i v( i ), i ε A ε 2 Ω, es deir por las probabilidades que mayorizan el valor del juego v. Se tiene así que el núleo es el onjunto M(P) de todas las probabilidades P: 2 Ω [0 1] entre esas dos funiones: v(a) ) P(A) ) v*(a) omo 4 XII Jornadas de ASEPUMA

5 Teoría de juegos ooperativos versus teoría de la evidenia en el aso de las funiones de reenia. Ahora se hae posible mostrar un teorema de la teoría de juegos ooperativos que afirma que el núleo es vaío para los juegos ooperativos de suma onstante, es deir para aquellos juegos en los que v(a) = 1- v( A); estos juegos supermodulares de suma onstante son preisamente aquellos en los que v se onvierte en un distribuión de probabilidad sobre el onjunto de jugadores y por lo tanto M(P) ha de oinidir on la únia probabilidad v que define el juego: los juegos ooperativos de suma onstante son los espaios de probabilidad lásios. 4. ESTADÍSTICA EN LOS JUEGOS COOPERATIVOS La interpretaión de la funión araterístia de los juegos ooperativos omo una funión de reenia permite introduir noiones «probabilístias» en la teoría de juegos: Funión de distribuion inferior y superior de un juego: Si v es la funión araterístia del juego y X es ualquier funión definida en Ω se denomina funión de distribuión inferior de X F * (x) = v (X x) en analogía on la teoría de la probabilidad estándar. Igualmente se define la funión de distribuión superior omo F * (x) = v (X x). Se puede mostrar que F * (x) F * (x) Esperanza inferior y superior de una «vairable aleatoria x»: E * (X) = xdf * ( v) E * (X) = xdf ( v) * Los interambios de las estrellas en las respetivas funiones de distribuión son neesarios para que E * (X) E * (X). Al igual que en el aso probabilístio estándar, los oneptos de valor esperado inferior y superior generalizan los oneptos de funión araterísitia y probabilidad superior en el sentido de que si I T es la funión indiador del subonjunto T Ω se tienen que E* (X) = v(t) y E * (X) = P*(T) = 1- v( T). XII Jornadas de ASEPUMA 5

6 Nuñez del Prado, J.A., Garía Pineda, P., Heras Martínez A. Como se intuye puede demostrarse que el núleo del juego ( Ω, Ω ( ), v) puede araterizarse omo el onjunto de probabilidades P de Ω tales que E * (X) E P (X) E * (X) Condiionalizaión. Si ( Ω Ω, ( ), v) es un juego ooperativo y B es una oaliión se obtienen un nuevo juego ooperativo restringido a B se define va ( B) vb( A) = vb ( ) omo en el aso probabilístio estándar. ( B B v ), ( ), B en en el ual v B 5. SOLUCIONES UNÍVOVAS DEL JUEGO: VALOR DE SHAPLEY El «ore» o núleo de un juego ooperativo ( Ω, Ω ( ), v) representa todas las posibles redistribuiones entre los jugadores de los benefiios onseguidos por su ooperaión. Como hemos visto diho núleo es un onjunto onvexo ompato del simplex de probabilidades de Ω que ontiene una antidad infinita de elementos. núleo Cuál elegir de todos ellos?. La teoría de juegos ooperativos ha onsiderado diversas eleiones partiulares y onretas del núleo C(v) tales omo el valor de SHAPLEY. Si bien desde el punto de vista de la teoría de juegos, tales eleiones pareen adeuadas, desde el punto de vista de la teoría de el evidenia no resultan tan razonables. Esta friión entre ambos enfoques, matemátiamente análogos, puede ilustrarse por medio del siguiente ejemplo. 6 XII Jornadas de ASEPUMA

7 Teoría de juegos ooperativos versus teoría de la evidenia Sea Ω= { 1, 2} un juego on dos jugadores y sea v la funión araterístia definida por: [ ] v : Ω ( ) 0,1 v( ) = 0 {} v{} = {} v{} = { } v{ } ,2 1, 2 = 1 Ningún jugador onsigue nada por sí mismo pero ooperando entre ellos logran una unidad de benefiio. Se ve que el núleo de este juego onsiste de todas las probabilidades sobre Ω, es deir M(P) es el simplex [0, 1]. Consideremos la uestión história existe Dios?. Hay dos respuestas posibles: SI o NO. Sea { si, no} la funión de reenia mínima: [ ] v : Ω ( ) 0,1 v( ) = 0 Ω= y { si} BEL{ si} = 0 { no} BEL{ no} = 0 { si no} BEL{ si no},, = 1 ya que todos estamos dispuestos a reer que existe o que no existe, pero salvo por reenias personales, no sabemos en absoluto si sí o si no. Como antes el onjunto de probabilidades P tales que BEL P P * es el simplex [ 0,1]. El valor de SHAPLEY de ({ 1, 2 }, { 1, 2} v ) es, omo siempre, el entro de gravedad del núleo y en este aso diho entro de gravedad es la probabilidad P(1/2, ½): esto es, los jugadores se reparten el benefeio por igual. El valor de SHAPLEY sería igualmente la probabilidad P(1/2, ½) que equivale a reer que existe en un 50% de las vees y en otro 50% que no lo que no paree una redistribuión de la reenia total BEL{ si, no } = 1 muy razonable. XII Jornadas de ASEPUMA 7

8 Nuñez del Prado, J.A., Garía Pineda, P., Heras Martínez A. Claramente la redistribuión de la reenia a partes iguales sólo puede depender de forma subjetiva de la persona a la que se le plantee la uestión. De igual modo, en el ejemplo del juego ooperativo, la redistribuión del benefiio dependerá del trabajo real llevado a abo por ada jugador en la oaliión y no sólo por el benefiio total que diha oaliión reporta. La uestión no es valadí omo el siguiente aso legal demuestra: EL CASO DEL PADRE A CARA O CRUZ. Un hombre fue ausado en un aso de paternidad sobre la base de un marador genétio uya freuenia en la poblaión adulta es del 1% y que se trasmite on probabilidad 1 de padres a hijos. Tanto el presunto padre omo el niño ausante del litigio poseían el itado marador, por lo que el fisal del aso planteó la onvenienia de obtener LA PROBABILIDAD DE QUE EL ACUSADO FUERA EL PADRE DADO QUE EL NIÑO TENÍA EL MARCADOR. Si representamos el sueso el ausado es el padre por A y el heho ierto de que el niño tienen el marador por B el fisal aplió el teorema de Bayes y aluló ( / ) P A B = PB ( / APA ) ( ) PB ( / APA ) ( ) + PB ( / A) PA ( ) De lo anteriormente diho sabemos que PB ( / A) = 1 y PB ( / A) = 0.01 = 1%. Por tanto sólo se neesita onoer los valores de probabilidad de P( A/ B ) PA ( ) y PA ( ), sustituir y alular la. El fisal estimó que ambas eran 0.5, valores que trataban de reflejar el desonoimiento que de la posible paternidad se tenía y puesto que podía ser o no el padre, lo lógio, pensó el fisal, pareía signar igual probabilidad a ambos supuestos. El resultado de esa redistribuión de la reenia, que orresponde al valor de SHAPLEY, no pudo ser más onluyente en ontra del ausado porque P( A/ B) resulto ser aproximadamente El defensor reurrió esa redistribuión de la reenia y basó su reurso preisamente en la asignaión, onsiderada por el fisal, del valor de SHAPLEY a la funión de reenia mínima: 8 XII Jornadas de ASEPUMA

9 Teoría de juegos ooperativos versus teoría de la evidenia { } [ ] v : ( A = el ausado es el padre, A = el ausado no es el padre ) 0,1 v( ) = 0 { A} BEL{ A} = 0 { A } BEL{ A } = 0 { AA} BEL{ AA},, = 1 El defensor mostró que llevada a sus últimas onseuenias, semejante asignaión de probabilidades equivalía a delarar padre a ualquier adulto por el proedimiento de CARA o CRUZ. Una vez más, prosiguió el defensor, se onfundía ignorania on probabilidad. Para rematar su disurso obtuvo que representamos en la siguiente gráfia. PAB ( / ) para distintos valores de P(A) 1 P(A/B) P(A) Se ve que para valores bajos de P(A), entre 0 y 0.1, P( A/ B ) da valores bajos que difíilmente ondenan a ualquiera. Puesto que BEL(A) = inf {P(A): P probabilidad del simplex [0,1]}=0 es la reenia adeuada para el sueso A= el ausado es el padre, C ualquier redistribuión de la reenia total {, } BEL A A = 1 en alguna probabilidad del simplex [0,1], omo el valor de SHAPLEY, puede ser erróneo y puramente subjetivo. XII Jornadas de ASEPUMA 9

10 Nuñez del Prado, J.A., Garía Pineda, P., Heras Martínez A. BIBLIOGRAFIA C.G.G AITKEN y D.A STONEY: THE USO OF STATISTICS IN FORENSIC SCIENCES (Ellis Horwood 1991) A. P. DEMPSTER: Upper and lower probabilities indued by a multivalued mapping (Annals of Mathematial Statistis, 38 pág , 1967). S.F FIENBERG, ed.: THE EVOLVING ROLE OF STATISTICS ASSESSMENTS AS EVIDENCE IN THE COURTS (Springer-Verlag, 1989) F. MONTES SUAY: LEY Y PROBABILIDAD (Las matemátias y sus apliaiones en el mundo soial y eonómio, U.I.M.P. 2003) J. ROSENMÜLLER: THE THEORY OF GAMES AND MARKETS (North-Holland, Amsterdam 1981) G. SHAFER: A MATHEMATICAL THEORY OF EVIDENCE (Prineton University Press, 1976). 10 XII Jornadas de ASEPUMA