Resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) con Elementos Finitos usando FreeFem++

Transcripción

1 Resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) con Elementos Finitos usando FreeFem++

2 Esquema del curso Qué problemas queremos resolver? Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos Implementación numérica con FreeFem++

3 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Mecánica de Fluidos Ω Γ V

4 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)

5 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Difusión de Calor D q κ

6 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Ecuación del Calor Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

7 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Electrostática

8 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío James Clerk Maxwell (1862)

9 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Membrana Elástica Sujeta en el Borde f Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos x f L u(x)

10 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Elasticidad Lineal. Caso Estático Robert Hooke (1678)

11 QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER? Más modelos.. y ecuaciones en derivadas parciales Etc, etc, etc.

12 UN POCO DE HISTORIA El Laplaciano Pierre-Simon Laplace ( ) Sir Isaac Newton ( )

13 CONCLUSIONES I La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto. Galileo Galilei ( ) Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

14 CONCLUSIONES II 1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología. 2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente. 3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

15 SIGLO XX: AÑO 1946 Teoría de las Distribuciones (1946). Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales Laurent Schwartz ( ) John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Richard Courant (1943)

16 SIGLO XXI: Método Científico 1. Modelización Matemática 2. Análisis Matemático 3. Análisis y Simulación Numérica 4. Control, Diseño, etc

17 ANÁLISIS MATEMÁTICO Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos ( PM ) L /2 ( PM )

18 QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES? ( PM ) L /2 ( PV )

19 ANÁLISIS MATEMÁTICO L /2 Paul Dirac ( )

20 ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

21 ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

22 ANÁLISIS MATEMÁTICO Ejemplos de Distribuciones

23 ANÁLISIS MATEMÁTICO

24 ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) L /2 ( PV )

25 ANÁLISIS MATEMÁTICO L /2 ( PM ) ( PV ) a(u,v) < f,v >

26 ANÁLISIS MATEMÁTICO

27 ANÁLISIS MATEMÁTICO Formulación en Mínima Energía Principio de Mínima Energía Principio de los Trabajos Virtuales Ecuación de Euler- Lagrange

28 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Idea General del MEF

29 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

30 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

31 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación

32 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS A modo de Resumen MEF Sistema de ecuaciones algebraico

33 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Estructura de la Matriz de Rigidez

34 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Simulación Numérica con Matlab

35 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Ensamblado de la Matriz de Rigidez = Ah Ah1 Ah2 Ah3

36 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Control del Error en el MEF ( PV )

37 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El caso de las dimensiones 2 y 3 Fórmula de integración por partes (Teorema de Green) 1D 2D D ND

38 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Forma Clásica de la EDP Fórmulación Variacional de la EDP Multiplicar la EDP por v e integrar Integrar por partes Condiciones de frontera Forma variacional de la EDP

39 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Función de forma en dimensión 2 Discretización de la forma variacional de la EDP de forma similar al caso 1D. y llegamos a un sistema lineal de ecuaciones algebráico Función de forma para elementos finitos de Lagrange P1 en 2D

40 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Función de forma en dimensión 2 Qué es FreeFem++? Software libre para resolver EDP usando el Método de los Elementos Finitos. Funciona bajo Windows, Linux y Mac OS Se puede bajar de la página Ha sido desarrollado en el Laboratoire Jacques-Luis Lions de la Université Pierre et Marie Curie (Paris, Francia) Cómo funciona?, cómo se maneja? Veamos un primer ejemplo sencillo en la versión gráfica FreeFem++-cs

41 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ La ecuación Función de de forma Poisson en en dimensión el disco 2 unidad (2D) Forma variacional: border C(t=,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);} // frontera mesh Th = buildmesh(c(1)); // malla. 1 puntos en el borde plot(th,ps= malla1.eps ); //dibujamos y grabamos la malla fspace Vh(Th,P1); // espacio de elementos finitos Lagrange P1 Vh uh,vh; // uh,vh pertenecen a Vh func f=1; // término de la derecha solve Poisson(uh,vh)= // definimos el problema int2d(th)(dx(uh)*dx(vh)+dy(uh)*dy(vh)) -int2d(th)(f*vh) +on(c,uh=); plot(uh); // gráfica de la solución

42 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ La ecuación Función de de forma Poisson en en dimensión el disco 2 unidad (2D) Forma variacional: control del error func u=.25*(1-x^2-y^2); // solución exacta real L2error; //variable real L2error=sqrt(int2d(Th)(u-uh)^2); // error en norma L^2 cout<< L2error = <<L2error<<endl; // imprimir en pantalla

43 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ La ecuación Función de de forma Poisson en en dimensión el cubo 2 unidad (3D) Forma variacional:

44 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor Concepto de solución débil. Se ha de cumplir: Solución del problema discretizado con elementos finitos:

45 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: incógnita matriz de masa matriz de rigidez término independiente

46 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Finalmente, se ha de discretizar la variable temporal. Por ejemplo con un esquema de Euler implícito. Veamos un ejemplo concreto: Forma variacional discretizada con un esquema de Euler implícito:

47 INTRODUCCIÓN A FreeFem++

48 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ El sistema Función de de la forma elasticidad en dimensión lineal 2 2D Forma variacional:

49 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Función de forma en dimensión 2

50 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Skin Función effect de in forma AC Power en dimensión electromagnetics 2 Forma variacional:

51 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Función de forma en dimensión 2

52 INTRODUCCIÓN A FreeFem++ Lubricación Función hidrodinámica. de forma en Ecuación dimensión de 2 Reynolds Forma variacional: