Algunos Ejercicios Resueltos

Transcripción

1 lgunos Ejercicios Resueltos IS Paralelo 5 Prof. Rodrigo Vergara Segundo Seestre 6 ) Sobre un óvil de asa [kg] que se encuentra sobre una superficie sin roce, inicialente en reposo en el origen (x), actúa una fuerza (x) π (x+). (x corresponde a la posición del óvil). Después de recorrer 5[] la rapidez de la asa es de: a) 5 π s d) b) 4 π 3 π s s e) N.. c) 35 π s En virtud del teorea del trabajo y la energía cinética ( x 5) K( x ) W K Coo el cuerpo parte en reposo, K(x). Luego, W K ( x 5) V W es el trabajo de la fuerza entre x y x 5 [], y corresponde al área bajo la curva v/s x entre tales posiciones. En la figura del lado, tal área corresponde a un trapecio dado por: W inalente ( π + 6 π ) 5 35 π [ J ] [ J ] 35π V V 35 π (x) V Reeplazando valores, queda V 35 π s, que corresponde a la alternativa e). [N] 6π π V 5 x[] 5 x[] W

2 Una partícula de asa. [kg] se ueve sobre el eje x. En el instante que pasa por x su velocidad es xˆ [ ]. La fuerza que actúa sobre la partícula es función s de su posición y su gráfico se uestra en la figura adjunta. ) La velocidad de la partícula es cero en: a) x - [] y x 4 [] b) x - [] y x [] c) Solaente en x - [] d) x - [] y x 3 [] e) La partícula nunca tiene velocidad cero 3) El cuerpo alcanza su áxia energía cinética en: a) lgún punto en x < [] b) x [] c) x [] d) x [] e) lgún punto en x > [] Inicialente el cuerpo se ueve en dirección x y la fuerza apunta en dirección +x. Luego, la fuerza ejerce trabajo negativo sobre el cuerpo, lo que redunda en disinución de la energía cinética hasta que el cuerpo eventualente se detenga. Por teorea del trabajo y la energía cinética entre las situaciones y : V r x[] V r r x[] W K K Coo en el cuerpo está en reposo, K. Luego, W K V. El trabajo de la fuerza está dado por W 5 (x ), donde x es la posición donde se detiene el cuerpo. Luego, 5 x V x V. (-) [ ] [ ] Luego, el cuerpo tiene velocidad nula, es decir, energía cinética nula, en x - []. Esto descarta la alternativa E) de la pregunta.

3 En este punto, la fuerza sigue teniendo dirección +x, por lo que el cuerpo epieza a avanzar en esa dirección. Luego, la fuerza ejerce un trabajo positivo sobre el cuerpo, lo que redunda C en un auento de energía cinética. Cuando el cuerpo pasa nuevaente por el origen x, por teorea del trabajo y la energía cinética: V r C r x[] W K C K Coo en el cuerpo está en reposo, K. deás, tiene una agnitud de 5 [N] y el cuerpo recorre [] hasta llegar a la posición C, por lo que W 5 [N] [] [J]. Luego: VC VC. s s s V r D D x[] CD V r E E r x[] DE partir de este oento, epieza a cabiar. Entre C (x ) y D (x ), la fuerza disinuye linealente entre 5 [N] y. El área bajo la curva CD entre tales posiciones, que representa el trabajo de, es positiva, lo que redunda en un auento de la energía cinética. W K K K + K CD Sabeos que KC [J] y, del gráfico, CD.5 [J]. Luego, K D.5[ J] D C En el trayecto entre D y E (x ), la fuerza tiene dirección x y su agnitud crece linealente entre y 5 [N]. El área bajo la curva DE entre tales posiciones, que representa el trabajo de, es negativa, lo que redunda en una disinución de la energía cinética. DE E D D E CD W K K K + K Sabeos que KC.5 [J] y, del gráfico, DE -.5 [J]. Luego, K E [ J] DE C D

4 inalente, entre E y, el cuerpo avanza en dirección +x y la fuerza en dirección x, con agnitud 5 [N]. Luego, la energía cinética disinuye hasta que en la posición x el cuerpo se detiene. r V x[] Por teorea del trabajo y la energía cinética entre las situaciones E y : W K K E Coo en el cuerpo está en reposo, K. Luego, W K E. El trabajo de la fuerza está dado por W -5 (x ), donde x es la posición donde se detiene el cuerpo. Luego, ( x ) x x 4[ ] - 5 Luego, el cuerpo tiene velocidad nula, es decir, energía cinética nula, en x 4 []. Esto lleva indefectibleente a que la alternativa correcta de la pregunta sea la a) Por otra parte, del desarrollo queda claro que el punto de áxia energía cinética es el D, en la posición x [], que corresponde a la alternativa c) de la pregunta 3). Nota: Si continúan el desarrollo, se darán cuenta de que el cuerpo va a oscilar entre x - [] y x 4 []. 4) Un estudiante valiente, de 6 [kg] de asa, se deja caer desde un puente estando atado a una cuerda elástica de [] de longitud. El estudiante desciende verticalente 3 [] antes de detenerse y epezar a subir. Considere que la cuerda actúa coo un resorte cuando se le estira por sobre su largo natural. La constante elástica de la cuerda es, en [N/]: a) 38; b) 8 ; c) 9; d) 4; e) 3 En la situación, el cuerpo parte del reposo. Está a una altura h 3 [] sobre el nivel del suelo. La cuerda no está estirada, por lo que no ejerce fuerza alguna. En la situación, el cuerpo está al nivel del suelo, y está detenido a ese nivel. La cuerda actúa coo un resorte de constante elástica k y alargaiento x [] (pues su largo natural es [] y su largo total en ese punto es 3 []).

5 Haciendo un balance de energías Energías/Puntos Cinética (K) Potencial Gravitatoria (Ug) g h Potencial Elástica (Ue) k x Por conservación de la energía ecánica: g h 6 3 N N E E g h k x k 9 x Esta respuesta corresponde a la alternativa c) 5) Un bloque puede overse en una trayectoria circular sobre una esa horizontal, atado a un poste ediante una cuerda de asa despreciable. Existe roce entre el bloque y la superficie de la esa. La velocidad inicial que hay que darle al bloque para que éste se detenga justo después de dar una vuelta copleta es: I) Inversaente proporcional a la asa del bloque (auenta al doble si la asa se reduce a la itad) II) Directaente proporcional al largo de la cuerda (auenta al doble si el largo de la cuerda auenta al doble) Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Todas d) Ninguna e) Se requiere inforación adicional Considérese que la cuerda tiene longitud L. Inicialente el cuerpo va a tener una velocidad de agnitud V. Luego de dar una vuelta copleta exacta, el cuerpo se detendrá en el iso punto (Kfinal ). La fuerza de roce consuirá toda la energía cinética inicial. En virtud del teorea del trabajo y la energía cinética: V r L r roce W roce K final K inicial V Donde Wroce roce πl µ g πl. Cabe hacer notar que, durante toda la trayectoria, la fuerza de roce tiene dirección opuesta al desplazaiento. Luego, µ g πl V V 4µ g π L nalizando las afiraciones a la luz de este resultado:

6 La afiración I) es LS, pues V es independiente de la asa. Luego, se descartan las alternativas a) y c). La afiración II) es LS, pues si bien V depende de L, tal dependencia no es lineal, sino que proporcional a la raíz de L. Luego, la alternativa correcta es la d). 6) La asa de.4 [kg], en fora de cilindro hueco, puede deslizar sin roce por la barra rígida vertical. La asa está atada a un resorte de constante elástica [N/] que tiene un largo natural de.3 []. La asa se suelta con el resorte en posición horizontal. La rapidez de la asa cuando ha descendido una distancia de.4 [] es aproxiadaente:.3 [] g r.4 [] a) 6 [/s] b) 4 [/s] c) [/s] d) [/s] (se detiene allí) e) La asa no alcanza a llegar tan abajo En la posición, el resorte no tiene energía potencial pues está en su largo natural. Coo se suelta, la energía cinética es cero, y está a una altura h.4 [], por lo que tiene energía potencial gravitatoria con respecto de..3 [] g r En la posición, el resorte tiene un largo total de.5 [] (aplicar Teorea de Pitágoras considerando.3 [] y.4 [] coo catetos), por lo que su alargaiento es de x.5 [] -.3 []. []. Por otra parte, el cuerpo está al nivel (cero energía potencial gravitatoria) y el cuerpo se ueve con una velocidad de agnitud v..4 [] V r Haciendo un balance de energías Energías/Puntos Cinética (K) V Potencial Gravitatoria (Ug) g h Potencial Elástica (Ue) k x Por conservación de la energía ecánica: E E g h k x + V V g h - k x

7 Evaluando V Cuando uno se encuentra con un resultado de este estilo, hay dos opciones: ) hay que revisar el ejercicio; ) hay que considerar alternativas coo la e), en la cual se insinúa que el cuerpo no alcanza a llegar a esa posición. Para ello, vaos a calcular a qué altura h alcanzaría a bajar el cuerpo En la posición, el resorte no tiene energía po tencial pues está en su largo natural. Coo se suelta, la energía cinética es cero, y está a una altura h por lo que tiene energía potencial gravitatoria con respecto de. En la posición, el resorte tiene un largo total L dado por L.3 + h.9 + h (aplicar Teorea de Pitágoras considerando.3 [] y h coo catetos), por lo que su alargaiento es de (.9 + h.3)[ ] x L -.3. Por otra parte, el cuerpo está al nivel (cero energía potencial gravitatoria) y el cuerpo, al llegar a su ás baja posición posible, tiene velocidad cero, es decir, energía cinética cero. Haciendo un balance de energías Energías/Puntos Cinética (K) Potencial Gravitatoria (Ug) g h Potencial Elástica (Ue) k x Por conservación de la energía ecánica: E E g h.4 h k x k g h (.9 + h.3) (.9 + h.3) h h (.9 + h.3) (.9 + h.3).9 + h.3 5 La resolución analítica de esta ecuación resulta coplicada, por lo que conviene resolverla usando software especializado (en este caso, MTHCD ) L.3 [] k 5 g r h

8 En el gráfico del lado se uestra graficado cada lado de la ecuación para diversos valores de h entre y []. Se puede estiar que abas ecuaciones son iguales en h.335 []. Ese valor es enor que.4 [], por lo que el cuerpo no podría llegar a la situación descrita inicialente. Luego, la alternativa correcta es la e). h h ) ernando Gonzalez saca con una velocidad cercana a los 8 [k/h]. la asa de la pelota de tenis es de 5 [g]. Suponiendo que t (antes de golpear) el tiepo de contacto de la pelota con la raqueta es de. [s], el v V r ipulso dado por la raqueta a la pelota tiene una agnitud cercana a: x a) No se puede deterinar sin conocer la asa de la raqueta b).5 [N s] c) 9, [N s] d),5 [N s] e) 6,5 [N s] De la definición de ipulso coo cabio de oentu lineal entre y r r r J p p t. [s] (después de golpear) r r r r En, la pelota está en reposo, por lo que v p. r k En, la pelota tiene una velocidad v 8xˆ 5xˆ h s. Luego, r r p v.5[ kg] 5xˆ.5xˆ [ N s] s r r inalente, J p.5xˆ [ N s]. Luego, el ipulso aplicado tiene una agnitud de.5 [N s], lo que corresponde a la alternativa a)

9 8) Un sistea forado por dos bloques de igual asa, un resorte y una cuerda (abos ideales) se ueve con velocidad constante u sobre una superficie sin roce. De pronto, la cuerda se corta y los bloques continúan oviéndose en fora independiente. El de atrás queda en reposo y del adelante queda oviéndose con velocidad v. Con respecto a la situación presentada se asegura que: I) La energía cinética del sistea peranece constante. II) La cantidad de oviiento (oéntu) del sistea peranece constante III) La velocidad u es el doble de la velocidad v. Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) Todas En la situación, se aprecia que no existen fuerzas externas al sistea, por lo que su oéntu lineal se conserva. Luego, la afiración II es VERDDER, lo que lleva a descartar la alternativa a) ntes de que se corte la cuerda, abos cuerpos se r ueven con la isa velocidad v. Luego, el oentu lineal antes de que la cuerda se corte es uxˆ p antes Después de que se corta la cuerda, el cuerpo de atrás se queda en reposo (velocidad cero oentu cero), ientras que el r de adelante adquiere velocidad v. Luego, el oentu lineal después que la cuerda se corta es p despues vxˆ Por conservación de oéntu, p r p r u v v u. Luego, v es el doble antes despues de u, por lo que la afiración III es LS.. Luego, se descartan las alternativas d) y e). Calculando la energía cinética del sistea antes y después u K antes u u y K despues v ( u) K. antes Por lo tanto, No se conserva la energía cinética en el sistea, por lo que la afiración I es LS: inalente, se descarta la d) y queda coo alternativa correcta la b)

10 9) La asa se encuentra unida por una cuerda a un eje que rota con ω constante con radio horizontal de giro R. El valor de ω para el cual sen β es 3/5 es: a) 5g 4R b) 4g 3R c) 3g 5R d) 5g 3R e) 3g 4R La configuración corresponde a un péndulo cónico. Coo se ueve con ω constante, la fuerza neta es centrípeta. Haciendo el DCL veos que β T cos( β ) g [] ( β ) ω R T sen [] Dividiendo [] por [] T sen T cos ( β ) ( β ) ω R g tan ( β ) ω R g ω g tan R ( β ) T g 5 β 4 Del triángulo, podeos deducir que tan(β) ¾. inalente 3 3g ω, que corresponde a la alternativa e) 4R

11 ) Una persona está parada sobre una platafora que se antiene siepre horizontal ientras efectúa un oviiento circular en el plano vertical con rapidez angular constante. La persona siepre se antiene fija y quieta respecto de la platafora. La flecha que representa ejor la fuerza que la platafora ejerce sobre la persona cuando la platafora está pasando por el punto D es: Coo el cuerpo se ueve con rapidez angular constante, la fuerza neta debe ser centrípeta (dirección radial hacia dentro). En el punto D, la persona sufre tres fuerzas: su peso g, la noral de la platafora NP y una fuerza de roce estática horizontal re que aplica la platafora D Para que la fuerza sea centrípeta, NP g y re v /R. Las fuerzas NP y re son las coponentes de la fuerza total que la platafora ejerce sobre la persona P. De la figura, resulta evidente que la alternativa correcta es la d). re N P P N P g re

12 ) La figura uestra dos discos, de radios R y R, que rotan unifore y solidariaente debido a la presencia de una correa de transisión (cada punto de la correa se ueve con la isa rapidez constante). Con respecto a las aceleraciones (de agnitudes a y a) a que estará soetida la araña cuando ella pase por los traos circulares de su trayectoria, se cuplirá que: a) a a b) a a c) a a/ d) a 4a e) a a/4 En la situación, las dos ruedas se ueven en MCU, por lo que las aceleraciones correspondientes a y a son centrípetas. deás, coo están unidas por una correa de transisión, la rapidez tangencial para abas ruedas es la isa. v a R R a v Para el disco, v a, ientras que para el disco, R v a. Haciendo la división: R a a v R a a, que corresponde a la alternativa b) v R

13 ) Una barra hoogénea de largo L está pivoteada en su extreo por un pasador P sin roce, tal coo indica la figura. La barra se antiene horizontal gracias a una cuerda que la sostiene a una distancia L/4 del extreo pivotado y que fora un ángulo de 53º con la barra. Cuál de las siguientes flechas representa ejor la fuerza ejercida por el pasador sobre la barra? La barra está en equilibrio de fuerzas y de torques. El pivote aplica una fuerza horizontal PH y una fuerza vertical PV. La sua vectorial de estas dos fuerzas entrega el vector fuerza total del pivote sobre la barra P. Por las exigencia de equilibrio de fuerzas, resulta evidente que PH debe tener dirección. Con ello, se descartan autoáticaente las alternativas a), c) y d). alta saber cóo es la dirección de PV, si es ó T Mg PH PV. priori, no se puede afirar nada al respecto, por lo que hay que plantear las ecuaciones de equilibrio. Supondreos que PV tiene dirección y calculareos su valor. Si da positivo, esa es la dirección correcta y la respuesta correcta es la e). Si da negativa, entonces PV tiene dirección y la respuesta correcta es la b). Del equilibrio de fuerzas Eje x: PH T cos( 53º ) Eje y: + M g T sen( 53º ) PV Del equilibrio de torques con respecto a P (donde PV y PH no hacen torque) T sen ( 53º ) L 4 M g L Reeplazando en las otras ecuaciones 4 T 5 L 4 M g L T 5 M g T 5 M g PH 5 M g M g

14 PV 5 M g 4 M g M g M g M g 5 Luego, PV tiene dirección, por lo que la alternativa correcta es la e) P PH PV 3) Juanito, de asa, puede cainar a lo largo de un tablón hoogéneo de asa y largo L, que está apoyado en los puntos y. La distancia áxia desde el punto a la que puede llegar Juanito sin que el tablón se levante es: a) L/ b) L/3 c) 7L/9 d) 5L/6 e) L Para que el tablón no se vuelque, el centro de gravedad del conjunto tablón + Juanito tiene que estar entre los puntos y, es decir xcg < L/3. El centro de gravedad del conjunto está dado por: L + x ( L + x) L + x x cg l evaluar la condición, e). L + x 3 L < L + x < L x < L. Luego, la alternativa correcta es la 3

15 4) Una barra hoogénea de largo L y asa M peranece en equilibrio sin resbalar, apoyada contra un uro coo se indica en la figura. El roce de la barra contra el uro puede despreciarse. El coeficiente de roce entre la barra y el suelo es µe.. La agnitud de la fuerza noral ejercida por el uro sobre la barra es igual a: a) Mg/ b) Mg tanθ/ c) Mg d) Mg tanθ e) Cero En la figura se aprecian las fuerzas iplicadas. V y H son las fuerzas vertical y horizontal de contacto del suelo sobre la barra, y NP es la fuerza de contacto de la pared. La barra está en equilibrio estático. Por equilibrio de fuerzas θ θ V H g N P Eje x: Eje y: H Mg N V P Por equilibrio de torques con respecto del suelo (donde H y V) no ejercen torque. L M g tan ( ) ( ) ( θ ) M g senθ NP cosθ L NP Luego, la alternativa correcta es la b) 5) Un ladrillo hoogéneo de lados a y b, descansa sobre un tablón inicialente horizontal. continuación se coienza a elevar un extreo del tablón, sin que el ladrillo resbale. Entonces, el ladrillo estará a punto de volcar cuando se cupla que: a) θ a / b b) sen θ b / a c) tan θ b / a d) sen θ a / b e) tan θ a / b La situación líite del volcaiento se ilustra en la figura. En ella, el centro de gravedad del ladrillo está justo encia de una de sus bases de apoyo. En tal caso, de la figura se deduce que ( θ ) que corresponde a la alternativa c). b tan a b a, lo b/ a/ θ g θ

16 6) En un espectáculo circense, un león se encuentra en el centro de un disco giratorio de radio R y asa M, que gira libreente con una rapidez angular ω. Coo parte del núero, el león se desplaza de un par de saltos hacia el borde del disco, deteniéndose allí. Si la asa del león es igual a M/, la nueva rapidez angular con que girará el disco es (yuda: odele al león coo una partícula puntual, I disco MR ) a) ω b) ω c) ω/ d) ω/3 e) ω/4 Coo no hay torques externos al sistea león+disco, el oentu angular se conserva. Luego I ω I I ω ω I ω l inicio, el león está en el centro del disco y no aporta oento de inercia. Luego, el oento de inercia del sistea es igual al del disco. R R ω I Idisco MR ω l final, el león se ubica en el borde del disco, por lo que su oento de inercia pasa a ser M Ileon R M R. Luego, el oento de inercia total del sistea es: I Idisco + Ileon MR + MR MR MR inalente, reeplazando las expresiones correspondientes queda: ω ω ω, que MR corresponde a la alternativa c).