Test de Wilcoxon de rangos signados

Transcripción

1 5 Elea J. Martíez do cuat. 0 Test de Wilcoxo de ragos sigados Hemos visto que, co míimas hipótesis sobre la distribució subyacete (úica mediaa y distribució cotiua), el test del sigo es UMP para las hipótesis uilaterales. Veremos ahora que, si agregamos la hipótesis de simetría, es posible hallar u test más potete que el test del sigo, u test basado e ragos. La teoría de los tests basados e ragos es más complicada que la del test del sigo. Bajo H o, el estadístico de u test de ragos puede ser represetado como ua suma de v.a. idepedietes pero o idéticamete distribuidas y, bajo H, se pierde iclusive la idepedecia. Por ello, ecesitaremos uevas versioes del TCL. Cómo justificar la hipótesis de simetría? E el problema de ua muestra (posició) puede haber razoes valederas para supoer simetría de la distribució subyacete. E el caso del diseño de datos apareados, sea (T,C) dos v.a. represetado u tratamieto y u cotrol, respectivamete y sea F TC (t,c) su fució de distribució cojuta. Supoiedo que los sujetos so asigados a tratamieto o cotrol e forma aleatoria e idepediete, la hipótesis ula de o diferecia etre tratamieto y cotrol, implica que F TC (t,c) = F TC (c,t) y por lo tato que X=T-C tiee distribució simétrica (es decir, F(x) = - F(-x)). Si la alterativa especifica que el tratamieto agrega ua costate al cotrol, el problema se reduce a u problema de posició sobre X, es decir a testear H o : θ = 0 vs H : θ > 0 siedo θ el cetro de simetría de X (será además la media si ésta existe). Supodremos que X,...,X es ua muestra aleatoria de ua distribució F(x-θ) co F Ω s, siedo Ω s = {F / F es absolutamete cotiua, simétrica y co úica mediaa e 0} y que se desea testear H o : θ = 0 vs H : θ > 0 El test del sigo se basa e iformació sobre el sigo de las observacioes y o utiliza iformació sobre la distacia de las observacioes al cero. Si embargo, si la distribució es simétrica alrededor de 0, el vector de valores absolutos X, X,..., X es u estadístico suficiete y por lo tato, parece razoable tratar de icorporar esta iformació. Sea X () X ()... X (), la muestra de valores absolutos ordeados y R j = rago ( X j ) es decir X j = X (Rj) D j = j-ésimo atirago es decir X Dj = X (j) Estadístico del test: el estadístico del test de Wilcoxo (945), T +, es la suma de los ragos de los valores absolutos de las observacioes mayores que 0 e la muestra origial. Es decir, si defiimos

2 53 Elea J. Martíez do cuat. 0 ó 0 0 siedo Observació: Si θ > 0 y la distribució simétrica se halla desplazada hacia la derecha, las observacioes positivas tiede a estar más alejadas del 0 que las egativas, etoces T + tiede a ser grade y se rechazaría H o. La mediaa puede ser 0 auque la distribució sea asimétrica. Observemos la siguiete fució de desidad: Es fácil ver que, e este caso, T + tederá a ser grade au cuado la mediaa es 0. La hipótesis de simetría es ecesaria para evitar iterpretacioes erróeas de los valores grades del estadístico. Si se cooce la mediaa de la distribució, T + provee u test de simetría.

3 54 Elea J. Martíez do cuat. 0 Hipótesis a testear y regió de rechazo: Al testear H o : θ = 0 vs H : θ > 0 se rechazará H o si T + > w -α, dode w -α es el percetil -α de la distribució exacta del estadístico, que ha sido tabulada. Si las hipótesis a testear fuese H o : θ = 0 vs H : θ < 0 se rechazaría H o si T + w α, dode w α es el percetil α de la distribució exacta. Tambié se podría defiir T - como la suma de los ragos de los valores absolutos de las observacioes meores que 0 e la muestra origial. Es decir, defiimos ~ si x < 0 s ( x) =. 0 si x 0 T + = R ~ ( ) j s ( X j ) = T j= + La última igualdad vale si o hay observacioes iguales a 0. Usado T - se rechazaría H o si T - > w -α. E caso de producirse empates, se asiga a cada observació empatada el promedio de los ragos que tedría si o fuese empates. Por ejemplo, si las observacioes ordeadas so los correspodietes ragos sería Cómo se trabaja si hay observacioes iguales al valor a testear (que podemos supoer es 0)?. Hay dos propuestas: Elimiar los valores iguales a 0 y trabajar co el tamaño de muestra reducido, es decir co ( o ). Pratt (959) sugiere ordear los datos icluyedo los ceros, calcular los ragos co todos los datos y luego, calcular T + como ates, es decir si cotar los ceros. Si se usa esta forma, se debe usar la aproximació Normal o las tablas exactas dadas por Rahe (974, JASA, ).

4 55 Elea J. Martíez do cuat. 0 Si hay empates o si es grade, coviee usar el siguiete estadístico: / co T o + = T T. Si o hay empates, 6 6 El estadístico T tiee distribució asitótica Normal stadard. Resumamos las hipótesis a testear y las zoas de rechazo. A. H o : θ = 0 vs H : θ 0 Se rechaza H o si T + > w -α/ o si T + w α/, o bie si hay empates o la muestra es grade, si T > z α/. B. H o : θ = 0 vs H : θ < 0 Se rechaza H o si T + w α (o equivaletemete si T - > w -α ), o bie si hay empates o la muestra es grade, si T -z α. C. H o : θ = 0 vs H : θ > 0 Se rechaza H o si T + > w -α, o bie si hay empates o la muestra es grade, si T > z α. Distribució del estadístico de Wilcoxo bajo H 0 : θ = 0: Teorema: Bajo H o, y si F Ω s a) (s(x ),...,s(x )) y (R,...,R ) so idepedietes. b) W,...,W so idepedietes e idéticamete distribuidos co W j ~Bi(,/) Etoces, T + = j W es combiació lieal de v.a. i.i.d. Bi(,/) bajo H o, y por lo j= tato es distribució libre. Además E ( T j ( + ) ) = 4 V ( T ( + )( ) = )

5 56 Elea J. Martíez do cuat. 0 Demostració: a) Como (R,..., R ) es fució de ( X,..., X ), y los pares (s(x i ), X i ), i =,..., so idepedietes, es suficiete mostrar que s(x i ) y X i so idepedietes. s(x i ) =, X i x) = 0 < X i x) = F(x) F(0) = = F(x) ½ = ½ ( F(x) ) = s(x i ) = ) X i x) Del mismo modo, se trabaja co s(x i ) = 0, X i x). Así como los sigos so idepedietes de los ragos, lo so tambié de los atiragos, o sea (s(x ),...,s(x )) y (D,...,D ) so idepedietes. b) Sea D=(D,...,D ) y d=(d,...,d ), etoces usado que, W = d = w,..., W s( X d = w ) = ) = w,..., s( X d d s( X ) = w D ) = w,..., s( X D ) D = d) = ) = w / D = d) D = d) D = d ) = d Por lo tato, P ( W = w,..., W = w ) = Wi = wi ), i= P ( W i w ) = /. = i Además, como T + = j W, bajo H o, j= j Veamos cómo se obtiee la distribució exacta de T + co u ejemplo: Sea =4. Los posibles ragos de los valores absolutos so,, 3 y 4. E la siguiete tabla se preseta las posibles asigacioes de sigos a los ragos,, 3 y 4, co el valor asociado del estadístico T +. Recordemos que cada sigo es + o co probabilidad ½.

6 57 Elea J. Martíez do cuat. 0 Ragos T Como, bajo la hipótesis ula, cada cofiguració tiee probabilidad /6, podemos obteer T + = k) para todo k. Por ejemplo, T + = 0) = /6 T + = 6) = /6 T + > 8) = /6 Otra forma de obteer la distribució exacta es usado la fució geeradora de mometos. Lema: Bajo H o, la fució geeradora de mometos de T + es Por otro lado, co. A partir de la fució geeradora de mometos podemos obteer los mometos de T + y su fució de probabilidad putual. Cómo lo haríamos para uestro ejemplo (=4)?.

7 58 Elea J. Martíez do cuat. 0 Si =, t t t t M ( t) = ( + e )( + e ) = ( + e + e + e etoces, T + = 0) = T + = ) = T + = ) = T + = 3) = ¼. Si =3, t t 3t M 3 ( t) = ( + e )( + e )( + e ) = M ( t)( + e 3 3t ) 3t ) Si =4, t t 3t 4t M 4 ( t) = ( + e )( + e )( + e )( + e ) = M 3( t)( + e 4 4t ) y obteemos, el siguiete desarrollo: 0t t t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t M 4 ( t) = ( e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e 6 y por lo tato la siguiete fució de probabilidad de T + : T p /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 0t ) Es posible programar este algoritmo recursivo y obteer la distribució exacta de T + para cualquier valor de. Distribució asitótica del estadístico de Wilcoxo bajo H 0 : θ = 0: Supogamos que es grade. Dado que T + es ua combiació lieal de los W i, que bajo H 0 so idepedietes e idéticamete distribuidos, debemos utilizar la siguiete versió del Teorema Cetral del Límite (Lideberg): Teorema: Sea V,...V v.a. i.i.d co E(V i )=0 y Var(V i ) = σ, 0 < σ <. Defiamos max ai Si 0, etoces i= a i S i= = a i V i S [ Var S) ] d Z ~ N(0,) co Var( S) = σ a / ( i= i /

8 + T = j WW j = Métodos No Paramétricos I 59 Elea J. Martíez do cuat. 0 Demostració: Teorema A9, pag 30, Hettmasperger. E uestro caso, T + = j= j W j etoces, eligiedo V i = W i / y valores adecuados de a i y verificado las codicioes del teorema, se obtiee que T + ( + ) / 4 ( + )( + ) 4 d Z ~ N(0,) Observacioes: ) Al usar la aproximació, puede aplicarse correcció por cotiuidad. ) Hay alguas modificacioes que mejora la aproximació, como por ejemplo ua debida a Felligham y Stocker (JASA, 964), quiees mostraro que T + ( ) 3 ( t 3t) ϕ( t) k) Φ( t) + 0( + )( + ) + + dode [ ] / t = ( k E( T )) / Var( T ) y ϕ es la fució de desidad ormal stadard. Aplicació del test de Wilcoxo a datos apareados: Sea (X,Y ),..., (X,Y ) observacioes idepedietes. Podemos pesar que X i es el resultado correspodiete al cotrol e Y i el correspodiete al tratamieto. Sea Di = Yi X i i =,..., El test de Wilcoxo para datos apareados cosiste e la aplicació del test a las diferecias D i, supoiedo que la distribució de las diferecias es simétrica. Ejemplos: ) U fabricate de plachas, deseado probar la precisió del cotrol del termostato e la posició de 500 F, da istruccioes a u igeiero para que obtega temperaturas reales a ese ajuste e 5 plachas, utilizado u termopar. Las medicioes obteidas so:

9 60 Elea J. Martíez do cuat. 0 Se desea testear Temperaturas H o : θ = 500 vs H : θ 500 siedo θ la mediaa de la distribució subyacete. Restado 500 a cada observació y ordeado esas diferecias segú sus valores absolutos, se obtiee (+)0.65 (-)4.87 (-)0.83 (-)0.93 (-)3.96 (+)7.88 (+)9.77 (+)3.09 (+)3.73 (-)3.09 (-)35.80 (-)37.5 (+)39.94 (+)4.08 (+)4.5 Costruimos el estadístico T +, sumado los ragos correspodietes a las diferecias positivas T + = = 73 A ivel 0.05, se rechaza H o si T + > w = 0 6 = 94 ó T + w 0.05 = 6. Estos valores se ecuetra e la tabla A3 del libro de Coover. Por lo tato o se rechaza H o. S-PLUS o R provee el p-valor. Por ejemplo, la salida de R correspodiete a estos datos es la siguiete: wilcox.test(ejemplo59,mu=500,alterative="two.sided") Wilcoxo siged rak test data: ejemplo59 V = 73, p-value = alterative hypothesis: true locatio is ot equal to 500 ) Se realizó u estudio comparativo e el cual se evaluó la efectividad de dos métodos, uo tradicioal y uo modero de eseñaza del álgebra. E ese estudio 4 idividuos fuero extraídos al azar de la població de iterés y se formaro 7 pares e base a su IQ. Los miembros de cada par fuero asigados al azar a uo de los dos métodos de eseñaza, y posteriormete ambos grupos fuero istruidos durate 3 semaas. Todos los estudiates ridiero el mismo exame al fial del periodo de istrucció y los resultados obteidos fuero los siguietes:

10 6 Elea J. Martíez do cuat. 0 Par Modero Tradicioal D i Rago (+) Rago (-) Se deseaba testear H o : θ = 0 vs H : θ > 0 siedo θ la mediaa de las diferecias D = Modero Tradicioal. La zoa de rechazo de ivel 0.05 para = 7 es T + > 4, etoces a este ivel, como T + = 4 o se rechaza H o. La correspodiete salida de R es wilcox.test(ejemplo60[,],ejemplo60[,],alterative="greater", paired=true) Wilcoxo siged rak test data: ejemplo60[, ] ad ejemplo60[, ] V = 4, p-value = alterative hypothesis: true locatio shift is greater tha 0