Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden

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1 Capíulo 4 Sisemas lineales de primer orden 4. Definición de sisema lineal de primer orden Un sisema de primer orden es aquel cuya salida puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden como: d a + a 0 =bf) 4.) d donde f) es la enrada al sisema. Si a 0 0: donde: a d + = b f) a 0 d a 0 Si se define a a 0 = y b a 0 = K p ysesusiuyeenlaecuaciónaneriorseobiene: d d es la consane de iempo del proceso K p es la ganancia del proceso + =K p f) Si y f) esán definidos mediane la uilización de variables de desviación alrededor del esado esacionario, las condiciones iniciales son y0)=0 y f0)=0. Opernado se encuenra la función de ransferenica de un proceso de primer orden: Gs)= K p s + Los sisemas de primer orden son los más frecuenes en los procesos de la indúsria alimenaria, por ello su esudio es de gran imporancia. Esos sisemas se caracerizan por:. Su capacidad de almacenar maeria, energía o canidad de movimieno. Esa capacidad esá direcamene relacionada con la ganancia del proceso. 2. Una resisencia asociada con el caudal de maeria, energía o canidad de movimieno. Esa resisencia o inercia viene dada por la consane de iempo. En el caso paricular de que a 0 =0: Gs)= K p s Se raa de aquellos sisemas de primer orden denominados inegradores puros y se hablará de ellos más adelane. 4.2 Respuesa a una enrada en escalón Para un escalón de alura A yunsisemadeprimerordenlasalidays) es: ys)= A s K p s + 47

2 48 Sisemas lineales de primer orden En iempo real, inviriendo las ransformadas de Laplace, se obiene: ) =AK p e 4.2) Represenando la función en coordenadas adimensionales, salidad de un sisema de primer orden: frene, se obiene la ípica AK p AKp Figura 4.. Respuesa de un sisema de primer orden a una enrada escalón de alura A. Cabe desacar las siguienes caracerísicas de cualquier sisema de primer orden:. Auorregulación: El proceso alcanza un nuevo esado esacionario sin necesidad de un sisema de conrol. 2. La pendiene de la respuesa es: Para =0 : [ ] d AK p = e d [ ] d AK p = d Cuano mayor sea,menorserálapendieneinicialdelarespuesadelsisemaymayor será el iempo necesario en alcanzar el nuevo esado esacionario. 3. Evaluando al ecuación 4.2 para diferenes iempo se obiene la siguiene abla: Tiempo ranscurrido como porcenaje de su valor esacionario Tabla 4.. Evolución de la salida de un sisema de primer orden con el iempo. Transcurrido cuaro veces la consane de iempo del proceso se puede asegurar que ha llegado el sisema al nuevo esado esacionario. 4. La salida del proceso en el nuevo esado esacionario es: lím =AK p Cuano mayor es la ganancia menor debe ser la enrada del sisema perurbación) para producir el mismo efeco final.

3 4.4 Respuesa a una función sinusoidal 49 Puede ocurrir que la consane a 0 de la ecuación 4. sea nula. Ese ipo de procesos se conocen como inegradores puros ya que la salida es la inegral de la enrada con el iempo. Esos procesos pueden ser difíciles de conrolar debido a que no presenan auorregulación. Ejemplos comunes de ese ipo de sisemas son los anques con líquidos, depósios de gases y sisemas de almacenamieno de maeiras primas y producos. 4.3 Respuesa a una función impulso Al inroducir un impulso de área A se obiene la siguiene respuesa: que en iempo real es: ys)= K p s + A =K p Ae De forma adimensional se puede escribir: K p A =e se obiene la función simérica a la respuesa a una enrada en escalón,loqueimpkicaqueiene las mismas caracerísicas. AKp Figura 4.2. Respuesa de un sisema de primer orden a una enrada impulso unidad. 4.4 Respuesa a una función sinusoidal Para una enrada sinusoidal de ipo: se obiene la siguiene respuesa: que en iempo real es: = f)=mu) sen ω K p ys)= s + K p M +ω 2 2 Aplicando la propiedad rigonomérica: Mω s 2 + ω 2 ω e cos ω+ sen ω x sen α + y cos α = z senα + ϕ) )

4 50 Sisemas lineales de primer orden donde z 2 = x 2 + y 2 yanϕ = y x,seobiene: = K p Mω +ω 2 2 τ e p + K p M senω+ ϕ) 4.3) +ω 2 2 donde ϕ = aan ω ). El primer érmino de la respuesa es un érmino ransiorio, ya que iende a cero cuando el iempo iende a infinio. Ese érmino pierde imporancia para iempos grandes. La respuesa obenida es de ipo sinusoidal con la misma frecuencia de oscilación ω que la enrada pero con un desfase ϕ. Además el desfase esá direcamene relacionado con la frecuencia angular. Al aumenar el desfase, aumena el desfase. En el caso de que la frecuencia angualar ienda a infinio, el desfase iende a π 2,queeseldesfase máximo. 0 Transiorio Reraso Enrada Salida Figura 4.3. Respuesa oscilaoria de un sisema de primer orden. 4.5 Problemas Problema 4.. Esudiar la respuesa de un proceso de función de ransferencia: con las siguienes enradas: a) función escalón unidad. τs+ Gs)=K p s + b) enrada sinusoidal. Esudiar especialmene el comporamieno del sisema para iempos largos es decir, para ) Solución a) La respuesa de ese proceso para una enrada en escalón unidad será: ys)=gs) s = K p τs+ s + s Para obener la respuesa en iempo real hay que realizar la ransformada inversa de Laplace: C4) =ilk_p*au*s+)/au[p]*s+)*/s,s,); D4) = K p τ K p ) e +K p

5 4.5 Problemas 5 Reordenando la ecuación anerior se obiene: ] =K p [ )e τ Se obiene una ecuación muy similar a la ec. 4.2). Evidenemene el senido físico e influencia sobre la respuesa del sisema de la ganancia del proceso K p )seránlosmismosqueparaunsisema de primer orden. La influencia de la consane de iempo del proceso )ambiénserá muy parecida. La única diferencia es el érmino τ/. Para ver el significado físico de la consane de iempo τ se puede represenar la respuesa para diferenes valores K p = =): au = 5 au = 0 au = Se puede comprobar que τ acua como un adelano, adelanando la respuesa del proceso de primer orden en un valor igual a τ. En el caso de una enrada sinusoidal senω)), la ransformada de Laplace de la respuesa es: ys)= K pτs+) s + ω s 2 + ω 2 Recurriendo de nuevo a Maxima para realizar la ransformada inversa de Laplace: C) ilkp*au*s+)/aup*s+)*omega/s^2+omega^2),s,); Is ω zero or nonzero? nonzero; Kp ω aup 2 Kp ωτaup ) e aup D) aup ω 2 aup 2 +) cos ω)kp ω aup Kp ωτ) ω 2 aup 2 + Por ano: = + sin ω) Kp ω 3 τ aup + Kp ω ) ω ω 2 aup 2 +) Kp ω au 2 ) p K p ωτ au p e <au>p au p ω2 τ 2 p + ) + K p ω 3 τ +K p ω ω ) ω 2 τ 2 sen ω ) p + K p ω K p ωτ ω 2 τ 2 cos ω) p + Considerando la propieda rigonomérica: x senα + y cosα = z senα + ϕ)

6 52 Sisemas lineales de primer orden donde z 2 = x 2 + y 2 yanϕ = y x,seobiene: donde ϕ = aan Kp ω au 2 ) p K p ωτ au p e <au>p = au p ω2 τ 2 p + ) + K p 2 ω 2 τ K p ω 2 τ 2 senω+ ϕ) p + ) ω 2 K p ω K p ωτ) 2 K p ω 3 τ au p +K p ω) 2 ) ω = aan 2 τ) 2. ω 2 τ +) 2 Se obiene una respuesa con una pare ransioria, que rápidamene se anula al aumenar el iempo: Kp ω au 2 ) p K p ωτ au p e <au>p Transiorio = lim au p ω2 τ 2 p + ) =0 La pare esacionaria de la respuesa es: ω =K 2 τ 2 + p ω 2 τ 2 p + senω+ ϕ) Si se compara la respuesa esacionaria respeco a la enrada se comprueba que iene la misma frecuencia angular ω yqueieneundesfaseϕ, loquesignificaqueesárerasada.esedesfase depende de la frecuencia angular. La ampliud de la respuesa ambién depende de la frecuencia angular de la enrada. Nuevamene la respuesa obenida es muy similar a la de un proceso de primer orden. Por ano, la influencia de la ganancia y consane de iempo del proceso serán similares. La consane de iempo τ nuevamene acua como un adelano, compensando en ciera medida el efeco de la consane de iempo del proceso. Al aumenar su valor disminuye el desfase y la ampliud disminuye en menor medida que para un proceso de primer orden. Problema 4.2. Dibujar la respuesa de un sisema de primer orden de consane de iempo 0.5 y ganancia para las siguienes enradas: a) un impulso unidad b) un pulso unidad de duración 5 c) un cambio sinusoidal de ampliud unidad y frecuencia ω = 0.5. Problema 4.3. Sea un sisema de primer orden de ganancia unidad y consane de iempo 0.5. Inicialmene el sisema esá en esado esacionario. Se inroduce una enrada en rampa unidad cuando el iempo es igual a 0. a) Desarrollar una expresión que muesre los cambios en el proceso con el iempo b) Cuál es la mínima y la máxima diferencia enre la salida y la enrada? c) Dibujar la enrada y la salida en función del iempo Solución a) Hay varias esraegias para desarrollar una expresión que muesreloscambiosenelproceso ras una rampa unidad ). Se puede resolver direcamene la ecuación diferencial o se puede uilizar la función de ransferencia y realizar la ransformada inversa de Laplace. Resolución de la ecuación diferencial Un sisema de primer orden viene descrio por la siguiene ecuación diferencial ec. 3.3 de la eoría): dy d + y = K p f) donde f) es la enrada al sisema, en nuesro caso una rampa unidad f) =). Susiuyendo las consanes y la función de enrada, se obiene la ecuación diferencial a resolver: 0.5 dy d + y = Se puede resolver la ecuación diferencial uilizando Maxima:

7 4.5 Problemas 53 C).5* diff,)+= ) d D) 0.5 d + = C2) avalue,=0,0); D2) 0 C3) desolved,) RAT replaced 0.5 by //2 = 0.5 D3) = e Se ha supueso que se esán uilizando variables de desviación, lo que supone que y =0)= Función de ransferencia La función de ransferencia de ese proceso es: G = ys) fs) = 0.5s + ylaenradaesunarampaunidad,cuyaransformadadelaplacees: Por ano la respuesa del proceso es: fs)= s 2 ys)=gfs)= 0.5s + s 2 Para obener la respuesa dependiene del iempo hay que realizar la ransformada inversa de Laplace: ) =L 0.5s + s 2 Para realizar la ransformada inversa se puede uilizar la écnica de separar en fracciones simples osimplemeneuilizarmaxima: maxima] =il/.5*s+)*/s^2,s,) RAT replaced 0.5 by //2 = 0.5 D4) = e Lógicamene la respuesa obenida es igual a la obenida por el méodo anerior. b) La diferencia enre la enrada y la salida es: f)= e La función exponencial es coninua y decreciene, si se raa de exponenes negaivos, para valores de mayores que cero, como es el caso. Cuano =0, e 2 =.Sieliempoiendeainfinio, e 2 0.Porano,ladiferenciamínimasedarácuandoeliempoesigual a cero, en ese caso la diferencia es de 0. La diferencia máxima se produce cuando el iempo iende a infinio, la diferencia es f). 2

8 54 Sisemas lineales de primer orden c) El gráfico de la enrada y la salida en función del iempo es: f) Esa gráfica se ha dibujado a parir de la función respuesa obenida en el aparado a). En caso de no querer obener esa función se puede programar el problema con VisSim y obener el resulado mediane méodos numéricos. Aconinuaciónsemuesraelprogramajunoconelresuladoobenido: Problema 4.4. En la figura siguiene se muesra un anque agiado de mezcla, donde F i son caudales voluméricos y c i son concenraciones: F,c A,c B F 2,c A2,c B2 F 4 c A,c B F 3,c A,c B Asumiendo que odos los caudales de enrada y salida son consanes pero que las concenraciones de las corrienes de enrada puede cambiar, conesar a las siguienes pregunas: a) Demosrar que la composición de la corriene de salida iene un comporamieno de un sisema de primer orden para cambios en la composición de enrada. b) Enconrar las funciones de rasnferencia enre las composiciones de las corrienes de salida y las de enrada. Dibujar el diagrama de bloques correspondiene. c) Definir la ganancia y la consane de iempo de ese sisema.

9 4.5 Problemas 55 Problema 4.5. Repeir el problema anerior con el siguiene anque de mezcla: F,c A,c B F 2,c A2,c B2 F 4 c A,c B F 3,c A,c B

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