PROFESOR: FRANCISCO HERNANDEZ LUGO PRIMERA PARTE ESTADISTICA

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1 GUIA DEL TALLER DE PREPARACION DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I (2015A) PROFESOR: FRANCISCO HERNANDEZ LUGO PRIMERA PARTE ESTADISTICA RECOPILACION DE LA INFORMACION Para el aálisis de u feómeo cualquiera e cierta Població es muy importate que los datos e que se susteta sea relevates y completos, por lo tato debe de partir de diseño adecuado del experimeto, o bie de u diseño adecuado del experimeto, o bie, de ua hipótesis correctamete plateada, posteriormete, se debe realizar u muestreo. CENSO Formas de Recopilar la Iformació Estadística { MUESTREO EXPERIMENTO E geeral se pretede que la muestra seleccioada sea represetativa de la població. Esto quiere decir que la muestra refleje de la maera más precisa posible las características de la població de dode proviee, de lo cotrario las coclusioes obteidas o será cofiables y los resultados o tedrá validez. ALEATORIOS TIPOS DE MUESTREO { NO ALEATORIOS PASOS PREVIOS PARA LA TOMA DE UNA MUESTRA Es muy importate que ates de proceder a seleccioar ua muestra se realice toda ua etapa de plaeació que ivolucre etre otras cosas, la defiició de Variable que iteresa medir y los istrumetos adecuados de medició. EN RESUMEN : Aspectos como A quié le preguto?, Cómo preguto?, a cuátos les preguto?, debe estar perfectamete defiidos ates de la selecció de la muestra. MUESTREO ALEATORIO: SIMPLE, ESTRATIFICADO, SISTEMÁTICO, POR CONGLOMERADOS. MUESTREO NO ALEATORIO: DE VOLUNTARIOS Y POR CONVENIENCIA. EJEMPLO N 1 De u recorte de ua ota periodística Idetificar los ocho térmios básicos de la Estadística.

2 MEDIDAS DE POSICIÓN Tambié llamadas de cetralizació o de tedecia cetral. Sirve para estudiar las características de los valores cetrales de la distribució atediedo a distitos criterios. Veamos su sigificado co u ejemplo: Supogamos que queremos describir de ua forma breve y precisa los resultados obteidos por u cojuto de alumos e u cierto exame; diríamos: a) La ota media de la clase es de 6,5. b) La mitad de los alumos ha obteido ua ota iferior a 5. c) La ota que más veces se repite es el 4,5. E la expresió a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemete la media. E la b) se emplea como medida la mediaa, que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las otas y por ecima de ella la otra mitad. Y e la c) se usa el valor de la ota que más veces se ha repetido e ese exame, este valor es la moda. MEDIA ARITMÉTICA Normalmete se suele distiguir etre media aritmética simple y media aritmética poderada. Media aritmética simple: Es la suma de todos los elemetos de la serie dividida por el úmero de ellos. Se calcula como: Siedo: x : la media k x i i 1 : suma de elemetos : úmero de elemetos (icluyedo a los de igual valor) k : úmero de elemetos co distito valor. x k i 1 Ejemplos: 1. Hallar la media aritmética de los siguietes valores: 5, 7, 8, 10, 15. x = = 45 = 5 x = 9 2. Si las otas de u alumo e las distitas asigaturas de u curso durate ua evaluació fuero: 7; 5; 6.5; 3.7; 5, 6.2. Hallar la ota media de la evaluació. (Resp. 5, ) 3. La media de 6 elemetos se sabe que es 10. Sabiedo que cico de ellos so: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemeto que falta. (Resp. 13) x i

3 Media aritmética poderada: Por lo geeral, e Estadística, los datos se os preseta agrupados mediate ua distribució de frecuecias que hace que o todos los elemetos de la serie tega el mismo peso específico, y eso ifluye a la hora de calcular la media, por eso se llama media poderada. Se defie como la suma de los productos de cada elemeto de la serie por su frecuecia respectiva, dividida por el úmero de elemetos de la serie. x k i 1 dode i es la frecuecia o úmero de veces que se repite u valor. Tambié i puede ser la poderació de cada valor x i. Ejemplos: x 1. Durate el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por u obrero fuero: Salario e pesos Frecuecia e días Hallar el salario medio durate ese mes. i i (200)(5) ( 220)(15) (300)(4) x U alumo obtiee e tres exámees parciales las siguietes otas: 7, 5 y 3; e el exame fial cosigue u 6. Supoiedo que esta ota fial tega doble valor que las parciales, cuál será su ota media? (Resp. 5,4) 3. Si la reta aual media de los trabajadores del campo es de pesos y la reta aual media de los trabajadores de la costrucció e esa població es de pesos, sería la reta aual media para ambos grupos de pesos? Explica. Si embargo, lo ormal es Estadística es que los datos vega agrupados e clases o itervalos, o que osotros mismos hagamos esa agrupació cuado el úmero de elemetos sea muy exteso, ya que e ese caso el cálculo de la media por los procedimietos vistos para datos si agrupar sería muy laborioso. Ates de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media co datos agrupados, vamos a ver alguas propiedades de la media aritmética que os ayudará a compreder mejor el coteido de esos métodos. Propiedades de la media aritmética: Las propiedades más importates so 1. La suma algebraica de las desviacioes de u cojuto de úmeros respecto de su media aritmética es cero. 2. La suma de los cuadrados de las desviacioes de u cojuto de úmeros co respecto a cualquier otro úmero es míima cuado ese otro úmero es precisamete la media aritmética. 3. Si supoemos, ates de calcularla, que la media de u cojuto de úmeros es cualquier úmero A, resulta que la verdadera media aritmética es: x A d

4 Dode A: media supuesta d : suma de las desviacioes respecto de A. : úmero de elemetos. 4. Si A 1 úmeros tiee ua media m 1, A 2 úmeros ua media m 2,..., A úmeros ua media m, etoces la media de todos ellos es: x A m A m A m 1 1 A A A o sea, es la media aritmética poderada de todas las medias. Ejemplo: E ua cierta empresa de 80 empleados, 60 de ellos gaa 500 pesos al mes y los 20 restates gaa 700 pesos al mes, cada uo de ellos. Se pide: a) Determiar el sueldo medio b) Sería igual la respuesta si los primeros 60 empleados gaara u sueldo medio de 500 pesos y los otros 20 u sueldo medio de 700 pesos? c) Cometar si ese sueldo medio es o o represetativo. Cálculo de la media aritmética a partir de datos agrupados e clases. Hay dos métodos pricipalmete para calcular la media de ua distribució co datos agrupados: método directo (o largo) y método abreviado (o corto). Método directo Cosiste e aplicar la fórmula ya vista para el cálculo de la media poderada, co la úica salvedad de que se toma como valores represetativos de la variable los putos medios de cada itervalo, que se deota co x m. O sea: x x m f i Ejemplo: Hallemos la media aritmética por el método directo de la siguiete serie: (Resp: 23,76) Método abreviado Cosiste e elegir u itervalo e el que se supoe que estará la media (auque o sea así), y llamamos A al valor de la media supuesta, que coicidirá co el cetro del itervalo elegido. Etoces aplicamos la fórmula.

5 d x A Siedo d las desviacioes de las marcas de clase co respecto a la media supuesta A, y i la frecuecia de cada itervalo. Ejemplo: Realizar el mismo aterior para poder comparar mejor los procedimietos. Este método abreviado es más rápido que el método directo, pues las operacioes que hay que realizar so más secillas. Método clave Se diferecia fudametalmete del método abreviado e que e lugar de calcular las desviacioes d de cada marca de clase a la media supuesta, simplemete se escribe al lado de cada marca uos úmeros eteros d, que expresa el úmero de clases, más uo, que hay desde la marca cosiderada a la marca que coicide co la media supuesta. A estos úmeros se les asiga sigo meos si está por debajo de la media cosiderada y sigo más si está por ecima. La fórmula que se utiliza es la siguiete: i i d x A I Dode I es u úmero igual a la amplitud o logitud de las clases o itervalos. Como ejemplo cosiderar el mismo de los dos casos ateriores. MEDIANA Ua vez dispuestos todos los valores que toma la variable e ua serie creciete o decreciete, el valor cetral de esa serie, si existe, es la mediaa. Así pues, la mediaa deja el mismo úmero de valores a su izquierda como a su derecha. Cuado o existe u valor cetral se puede defiir como la media aritmética de los valores medios. Para su cálculo distiguiremos tres casos: a) Mediaa de ua serie co datos o agrupados. b) Mediaa de ua serie co datos agrupados por frecuecias y agrupados e itervalos. c) Mediaa de ua serie co datos agrupados sólo por frecuecias, pero si agrupar e itervalos. Cálculo de la mediaa co datos o agrupados Para calcular la mediaa co datos o agrupados se ordea los elemetos e orde creciete o decreciete, y la mediaa 1 es el valor que ocupa el lugar 2 Ejemplos: Determiar la mediaa de la serie 5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27. Luego de la serie 5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 27. E los dos ejemplos ateriores ocurría que la frecuecia de cada elemeto era 1. Pero o siempre sucede así. Sea ahora la serie: 3, 4, 4, 4, 6, 8 dode el elemeto 4 tiee ua frecuecia 3. Cosideremos el itervalo que comprede cada elemeto desde 0,5 uidades a loa izquierda hasta 0,5 uidades a la derecha. E uestra serie, los tres elemetos 4 se distribuye etre 3,5 y 4,5. Los represetamos e el eje real de la siguiete forma:

6 Vemos que el valor 4,16 deja a su izquierda tres elemetos (3, 4 y 4) y a su derecha otros 3 (4, 6 y 8), luego la mediaa es 4,16. De la misma forma determia la mediaa de 5, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 12, 13. (Resp. 8,125) Cálculo de la mediaa co datos agrupados Cuado los datos coviee agruparlos por itervalos, debido al elevado úmero de ellos, la mediaa se calcula de la siguiete forma: 1. Se calcula /2. 2. A la vista de las frecuecias acumuladas, se halla el itervalo que cotiee a la mediaa. 3. Se calcula la frecuecia del itervalo que cotiee a la mediaa. 4. Se halla uo cualquiera de los límites exactos (el superior o el iferior) del itervalo que cotiee a la mediaa. Sabiedo que límites exactos de u itervalo a b, se refiere a los úmeros a-0,5 y b+0,5. 5. Se halla la frecuecia de los valores que queda por debajo del itervalo que cotiee a la mediaa, o la frecuecia de los valores que queda por ecima, y segú hayamos decido hacer, calculamos la mediaa por algua de estas dos fórmulas, respectivamete: ( Ls Li)(0.5 Fa) x Li Fm Siedo: x: Mediaa Li: Límite iferior del itervalo de la mediaa. Ls: Límite superior del itervalo de la mediaa Fa: frecuecia relativa acumulada de la clase aterior a la clase media. Fm: Frecuecia relativa de la clase de la media. Ejemplo 1: Itervalos Frecuecias (fi) Frecuecias Acumulada (Fa) Frecuecia Relativa (fr) Frecuecia Relativa Acumulada (Fra) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Co los tres primeros itervalos o clases, abarcamos 17 elemetos y co las cuatro primeras abarcamos 29, luego está claro que la mediaa se ecuetra e la cuarta clase, pues /2 = 20. Etoces:

7 Li = 145 (límite iferior de la clase mediaa) Ls = 153 (límite superior de la clase mediaa) I = 9 (amplitud de cada itervalo) F M = 0.3 (frecuecia relativa de la clase mediaa) Fa = (frecuecia relativa acumulada e el itervalo imediatamete aterior al de la mediaa) = 40 (úmero total de elemetos de la serie) Luego ( )( ) x Ejercicio: Determiar la mediaa de la siguiete serie de valores, agrupado los datos por itervalos y por frecuecia co amplitud 4 y como primera clase la Te presete para este caso que los límites se hace coicidir co los extremos. (Resp. M = 23) Cálculo de la mediaa co datos agrupados sólo por frecuecias Se puede decir que es u caso particular del método aterior. El procedimieto es el siguiete: Ua vez calculado el úmero alrededor del cual se ecuetra la mediaa, se cosidera este úmero como cetro de u itervalo de amplitud 1; a cotiuació se aplica la fórmula aterior para el cálculo co datos agrupados e itervalos. Ejemplo: = 89/2 = 44,5 x f f a Por tato, la mediaa es u valor próximo a 5. MODA 1 M 4,5 (44,5 30) 5, La moda de ua serie de úmeros es el valor que se preseta co mayor frecuecia; es decir, el que se repite u mayor úmero de veces. Es por tato, el valor comú. Por ejemplo, e la serie: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, la moda es 5. E ua distribució puede ocurrir que haya dos o más modas, etoces se habla de distribució bimodal, trimodal, etc. Icluso puede o existir la moda, como e la serie 2, 3, 4, 5, 7, 10.

8 Cálculo de la moda co datos agrupados E el caso de ua distribució de frecuecias co datos agrupados, si hiciéramos ua gráfica o curva de frecuecias, la moda sería el valor (o valores) de la variable correspodiete al máximo (o máximos) de la curva. La moda se puede calcular aplicado la siguiete fórmula: M o 1 l ( ) I 1 2 Dode: l: límite iferior de la clase que cotiee a la moda. (Clase Modal) 1: Diferecia etre la frecuecia de la clase modal y la frecuecia de la clase cotigua iferior. 2: Diferecia etre la frecuecia de la clase modal y la frecuecia de la clase cotigua superior. I: Amplitud del itervalo de la clase. Ejemplo: Determiemos la moda de la siguiete distribució de frecuecias: Clase Frecuecia Mo Ua maera más simple para determiar la Moda de datos agrupados como e el caso aterior es partir de que la moda está ubicada e la clase que cotiee mayor frecuecia absoluta por lo tato Mo = 45 Ejercicio: Hallar las tres medidas de tedecia cetral, media, mediaa y moda, de la siguiete tabla: Escriba aquí la ecuació. Iterva f i F a fr Fra Resp: 44,91; 44,5; 44,28 respectivamete.

9 Cosideracioes fiales E geeral, la media aritmética es la medida más utilizada ya que se puede calcular co exactitud y se basa e el total de las observacioes. Se emplea preferetemete e distribucioes simétricas y es el valor que preseta meores fluctuacioes al hacer variar la composició de la muestra. Fialmete, la media aritmética es especialmete útil cuado se precisa después calcular otros valores estadísticos, como desviacioes, coeficietes de correlació, etc. La mediaa es preferida cuado la distribució de los datos es asimétrica, y cuado los valores extremos está ta alejados que distorsioaría el sigificado de la media. Tambié se calcula la mediaa e aquellas distribucioes e las que existe valores si determiar, por ejemplo, aquellas cuya primera clase es del tipo meos que x, y la última clase: más de y. E defiitiva, lo más importate de esta medida es que o se ve afectada por los valores extremos. Tiee, si embargo, como icoveiete que se presta meos a operacioes algebraicas que la media aritmética. La moda es ua medida que o suele iteresar especialmete, a o ser que haya tal cocetració de datos e la distribució que u valor destaque claramete sobre todos los demás. Puede servir tambié para cuado queramos estimar de ua forma rápida, y o muy precisa, ua medida de tedecia cetral. La moda, al igual que la mediaa, es u valor que o se ve afectado por los valores extremos de la distribució y tambié es poco susceptible de efectuar co él operacioes algebraicas. Fuete: Estadística; Ferado García y Ferado Garzo, Editorial McGraw-Hill; Madrid EJERCICIOS: 1. L a s a l t u r a s d e l o s j u g a d o r e s d e u e q u i p o d e b a l o c e s to v i e e d a d a s p o r l a t a b l a : A l t u r a N º d e j u g a d o r e s [ 1 7 0, ) [ 1 7 5, ) [ 1 8 0, ) [ 1 8 5, ) [ 1 9 0, ) [ 1 9 5, ) C a l c u l a r : 1. La media. 2. La media a. 3. La de s v i a c i ó típica. 2. E l h i s t o g r a m a d e la d i s t r ibució c o r r e sp o d i e te a l p e so d e a l u m o s d e B a c h i l lerato e s e l s i g u i e t e : 1. Formar la tabla de la distribució. 2. Si A d r é s p e s a 7 2 k g, c u á t o s a l u m o s h a y m e o s p e s a d o s q u e é l? 3. Calcular la m od a. 4. Hallar la mediaa. 5. A partir de que v a l o r e s s e e c u e t r a e l 25% d e l o s a l u m o s m á s p e s a d o s?

10 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Ua empresaria etrevista a u cadidato para el puesto de operario e su fábrica. Le ofrece $ semaales, pero le advierte que sólo será por u período de prueba ya que luego su sueldo será mayor. Aquí pagamos bie. El salario medio es de $ semaales dice el empresaria. Luego de 4 días de trabajo, el operario vuelve dode su jefa y le dice: Usted me ha egañado. He pregutado a todos los operarios y iguo gaa más de $ semaales. Por qué me dijo que el salario era de $60.000? La jefa le respode: Yo o lo he egañado. Tome la ómia semaal y calcule: Yo gao $ ; el segudo jefe: $ ; los seis empleados $ cada uo; los cico capataces $ y los diez operarios $ cada uo. La ómia semaal suma $ y como hay 23 persoas recibiedo el salario : 23 = el promedio de los salarios es de $ O me equivoco?. José, el operario, le respode Está bie! Pero au así me ha egañado. La jefa le respode: Pude ir diciédole los salarios por orde; y el salario medio sería $ Pero eso o es la media sio la mediaa. Y qué sigifica etoces los $20.000? preguta José. La jefa respode: Eso represeta la moda. Es el salario gaado por el mayor úmero de persoas... pero yo hable de media, o de moda. 2. Si e la serie datos: , se cambia el 29 por 40, cuál de las medidas (media, moda y mediaa) se ve afectada? PROMEDIO, MODA, MEDIANA Estos úmeros se ubica e la parte cetral de ua distribució de datos y se llama medidas de tedecia cetral y so promedio, la moda y la mediaa. A) El Promedio o media aritmética de datos uméricos es el cociete etre la suma total de estos, dividida por Si las otas so iguales, Qué sucede co el promedio?. Si tuviésemos 5 otas e total y ua de ellas es muy baja respecto a las otras cuatro, Cómo ifluye esta ota e el promedio?. Si las otas fuese 10 e total, la ota baja ifluiría de la misma forma? Durate ua semaa de vacacioes la asistecia de jóvees a ua discoteca ha sido la siguiete: Día Jóvees Lues 57 Martes 72 Miércoles 65 Jueves 89 Vieres 348 Sábado 461 Domigo 49 Cuál es el promedio diario de asistecia? Está muy distorsioada esta iformació? Por qué? El admiistrador podría cofiar e el promedio para abastecer de refrescos a la discoteca diariamete? y semaalmete? Al calcular el promedio de ua muestra co gra úmero de datos, podemos ahorrar tiempo si teemos los datos ordeados y calculadas las frecuecias correspodietes. 3.- los siguietes datos correspode a los kilómetros recorridos por los ciclistas participates e ua competecia acioal, durate el etreamieto: KILÓMETROS RECORRIDOS

11 a) Orgaizar la iformació e la siguiete tabla de frecuecias y calcular la media y la mediaa. Nº de Km f i b) La Moda de ua muestra de datos es aquel que preseta la mayor frecuecia. 4.- E la tabla siguiete aparece la accioes más trasadas durate la tercera semaa del mes de octubre de 1996, segú iformació del diario El Mercurio. Determiar la mediaa de los precios. Accioes más trasadas Precio al cierre ($) Variació (%) ENDESA ,68 CTC A ,20 ENERSIS ,90 CHILECTRA ,89 CHILGENER ,62 IANSA ,24 EMEC ,87 VAPORES ,00 SOQUIMICH B ,41 SANTANDER ,93 Ordeamos los precios e orde creciete. Como so 10 valores, buscaremos los dos datos cetrales: Los dos precios cetrales so y etoces la mediaa es la media aritmética o promedio de ambos valores Md La mediaa de la muestra es Este es el precio que se ecuetra al cetro de la ordeació de los precios de las accioes cosideradas. Sería iteresate que averiguar qué tipo de empresas so las que aparece e la muestra. Ejercicios: 1. U equipo de básquetbol ha obteido los siguietes putajes e u campeoato: Cuál es la media aritmética de sus putos? Cuál es la mediaa? 2. Si e la serie datos: , se cambia el 29 por 40, cuál de las medidas (media, moda y mediaa) se ve afectada?

12 Medidas de posició cetral Las medidas de posició os facilita iformació sobre la serie de datos que estamos aalizado. Estas medidas permite coocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posició so de dos tipos: a) Medidas de posició cetral: iforma sobre los valores medios de la serie de datos. b) Medidas de posició o cetrales: iforma de cómo se distribuye el resto de los valores de la serie. a) Medidas de posició cetral Las pricipales medidas de posició cetral so las siguietes: 1.- Media: es el valor medio poderado de la serie de datos. Se puede calcular diversos tipos de media, siedo las más utilizadas: a) Media aritmética: se calcula multiplicado cada valor por el úmero de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra: Xm = (X1 * 1) + (X2 * 2) + (X3 * 3) (X-1 * -1) + (X * ) b) Media geométrica: se eleva cada valor al úmero de veces que se ha repetido. Se multiplica todo estos resultados y al producto fial se le calcula la raíz "" (siedo "" el total de datos de la muestra). x g = x i Segú el tipo de datos que se aalice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. La media geométrica se suele utilizar e series de datos como tipos de iterés auales, iflació, etc., dode el valor de cada año tiee u efecto multiplicativo sobre el de los años ateriores. E todo caso, la media aritmética es la medida de posició cetral más utilizada. Lo más positivo de la media es que e su cálculo se utiliza todos los valores de la serie, por lo que o se pierde igua iformació. Si embargo, preseta el problema de que su valor (tato e el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy ifluido por valores extremos, que se aparte e exceso del resto de la serie. Estos valores aómalos podría codicioar e gra medida el valor de la media, perdiedo ésta represetatividad. 2.- Mediaa: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamete e el cetro de la muestra (u 50% de valores so iferiores y otro 50% so superiores). i=1

13 No preseta el problema de estar ifluido por los valores extremos, pero e cambio o utiliza e su cálculo toda la iformació de la serie de datos (o podera cada valor por el úmero de veces que se ha repetido). 3.- Moda: es el valor que más se repite e la muestra. Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribució de frecuecias co los datos de la estatura de los alumos que teemos e la tabla siguiete. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% Vamos a calcular los valores de las distitas posicioes cetrales: 1.- Media aritmética: (1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) (1,29 * 3) + (1,30 * 3) Xm = Luego: Xm = 1,253 Por lo tato, la estatura media de este grupo de alumos es de 1,253 cm. 2.- Media geométrica: ((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) *...* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ X = (1/30) Luego: Xm = 1,253 E este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coicide, pero o tiee siempre por qué ser así. 3.- Mediaa: La mediaa de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al aalizar la columa de frecuecias relativas acumuladas. E este ejemplo, como el valor 1,26 se repite e 3 ocasioes, la media se situaría exactamete etre el primer y el segudo valor de este grupo, ya que etre estos dos valores se ecuetra la divisió etre el 50% iferior y el 50% superior. 4.- Moda: Hay 3 valores que se repite e 4 ocasioes: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tato esta seria cueta co 3 modas. Medidas de posició o cetral

14 Medidas de posició o cetrales Las medidas de posició o cetrales permite coocer otros putos característicos de la distribució que o so los valores cetrales. Etre otros idicadores, se suele utilizar ua serie de valores que divide la muestra e tramos iguales: Cuartiles: so 3 valores que distribuye la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e cuatro tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 25% de los resultados. Deciles: so 9 valores que distribuye la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e diez tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 10% de los resultados. Percetiles: so 99 valores que distribuye la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e cie tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 1% de los resultados. Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de u grupo de alumos (lecció 2ª). Los deciles y cetiles se calcula de igual maera, auque haría falta distribucioes co mayor úmero de datos. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% 1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se sitúa el 25% de la frecuecia (tal como se puede ver e la columa de la frecuecia relativa acumulada). 2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que etre este valor y el 1º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuecia. 3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que etre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuecia. Además, por ecima suya queda el restate 25% de la frecuecia. Ateció: cuado u cuartil recae e u valor que se ha repetido más de ua vez (como ocurre e el ejemplo e los tres cuartiles) la medida de posició o cetral sería realmete ua de las repeticioes. CUARTILES DE DATOS AGRUPADOS Posició del cuartil Q i = 1 + i( 1) 4 Valor del cuartil d(q i ) = L i + i( 4 ) F a 1 Frecuecia de clase (c)

15 Posició del Percetil P i = 1 + i( 1) 100 Valor del percetil d(p i ) = L i + i( 100) F a 1 (c) Frecuecia de clase Li = Límite iferior que cotiee el cuatil deseado Fa-1 = Frecuecia acumulada de la clase aterior a la que cotiee el cuatil deseado Frecuecia de clase = frecuecia de la clase que cotiee el cuatil deseado C = Amplitud del itervalo Ejemplo N 2 de la siguiete Tabla de distribució de frecuecias determia: Q3, P37 y P68 N de clase Itervalos Frecuecia absoluta (fi) Frecuecia absoluta acumulada (Fa) Frecuecia relativa (fr) Frecuecia relativa acumulada (Fra) 1 (8 14 ] (14 20 ] (20 26 ] (26 32 ] (32 38 ] (38 44 ] (44 50 ] (150 1) Q 3 = = d(q 3 ) = (150 4) (6) = Medidas de dispersió Estudia la distribució de los valores de la serie, aalizado si estos se ecuetra más o meos cocetrados, o más o meos dispersos. Existe diversas medidas de dispersió, etre las más utilizadas podemos destacar las siguietes: 1.- Rago: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferecia etre el valor más elevado y el valor más bajo. 2.- Variaza: Mide la distacia existete etre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferecias al cuadrado etre cada valor y la media, multiplicadas por el úmero de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obteido se divide por el tamaño de la muestra.

16 La variaza siempre será mayor que cero. Mietras más se aproxima a cero, más cocetrados está los valores de la serie alrededor de la media. Por el cotrario, mietras mayor sea la variaza, más dispersos está. 3.- Desviació típica: Se calcula como raíz cuadrada de la variaza. 4.- Coeficiete de variació de Pearso: se calcula como cociete etre la desviació típica y la media. Ejemplo: vamos a utilizar la serie de datos de la estatura de los alumos de ua clase (lecció 2ª) y vamos a calcular sus medidas de dispersió. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% 1.- Rago: Diferecia etre el mayor valor de la muestra (1,30) y el meor valor (1,20). Luego el rago de esta muestra es 10 cm. 2.- Variaza: recordemos que la media de esta muestra es 1,253. Luego, aplicamos la fórmula: Por lo tato, la variaza es 0, Desviació típica: es la raíz cuadrada de la variaza. Luego: 4.- Coeficiete de variació de Pearso: se calcula como cociete etre la desviació típica y la media de la muestra. Cv = 0,0320 / 1,253 Luego, Cv = 0,0255 El iterés del coeficiete de variació es que al ser u porcetaje permite comparar el ivel de dispersió de dos muestras. Esto o ocurre co la desviació típica, ya que viee expresada e las mismas uidas que los datos de la serie.

17 Por ejemplo, para comparar el ivel de dispersió de ua serie de datos de la altura de los alumos de ua clase y otra serie co el peso de dichos alumos, o se puede utilizar las desviacioes típicas (ua viee viees expresada e cm y la otra e kg). E cambio, sus coeficietes de variació so ambos porcetajes, por lo que sí se puede comparar. SEGUNDA PARTE (RECTA DE REGRESION Y COEFICIENTE DE CORRELACION) ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N 3 E esta actividad se relacioa la problemática del campo y os permitirá desarrollar uestra capacidad reflexiva y crítica, cosiderado elemetos estadísticos e la toma de decisioes co respecto a la problemática del campo. 1.- Resuelve el siguiete Problema: A cotiuació se preseta los datos del decremeto de precios de los champiñoes frescos, e comparació co otros alimetos de alto cosumo e México. Expresado e USD/kg AÑO CHAMPIÑONES ARROZ JITOMATE Calcula la variaza y la desviació estádar de cada uo de los coceptos de este cojuto de datos. 3.- Realice gráficas de barras para comparar el decremeto de precios de los tres alimetos. 4.- Cómo explicas el sigificado de las medidas de variació utilizadas e esta actividad? SOLUCIÓN: (CHAMPIÑONES FRESCOS) (xi - x ) (xi x ) 2 AÑO PRECIO fi Fa xifi

18 X = xifi Fa = = variaza = S 2 = 1 (xi x )2 = ( ) = Desviació estádar = σ = = Sesgo = Asimetría = x Mo σ = = = El valor del sesgo sigifica que como es mayor que 0.1 tiee ua asimetría otoria co cola hacia la derecha (por el sigo positivo) tal y como podemos observar e la siguiete gráfica. fi = Precios e Dolares/kg de los Champiñoes

19 Los "MOMENTOS" so operadores que uifica el cálculo de las medidas de Posició, Dispersió y Forma, permitiedo difereciar así ua distribució de otra. Co los mismos datos del ejemplo aterior podemos determiar los Mometos co respecto al orige: a 2 y a 3 así como los Mometos co respecto a la media m 1, m 2 y m 3 a r= k i=1 xi r fi m r = 1 k (xi i=1 x )r fi (xi x )fi (x x ) 2 fi (x x ) 3 fi AÑO PRECIO (xi) fi Fa xifi m 1= 1 8 ( )= m 2= 1 8 ( ) = m 3 = 1 8 ( )= RECTA DE REGRESIÓN Para calcular el "Coeficiete de Correlació" es ecesario coocer el cocepto de "Covariaza". Estos ídices mide el grado de asociació etre dos variables.

20 COVARIANZA = CV XY = 1 1 [ (xi x )(yi y )] i=1 COEFICIENTE DE CORRELACION = Cr = CVxy SxSy RECTA DE REGRESION DE y SOBRE x y y = S xy S 2 x (x-x ) COEFICIENTE DE DETERMINACION = r 2 = S 2 xy S 2 xs 2 y N de (xi x ) (yi y ) (xi x )(yi y ) ( x i x ) 2 (y i y ) 2 Obser. xi yi x = = y = = 7.66 CV xy = (81.334) = C r= ( )(2.8089) = =0.7684

21 S x 2 = 1 1 (x i x )2 f i = i= ( ) = S y 2 = 1 1 (y i y ) 2 f i = i= (39.325) = y = y + S xy S x 2 (x x ) = = x = x (x 17.26) = (x 17.26) 12 Recta de Regresió y Coeficiete de Determiació y = x R² = "ERROR ESTANDAR DE ESTIMACIÓN" Para el caso de las Ecuacioes de las Rectas de Regresió, resulta importate cómo medir el grado de cofiabilidad de la ecuació de estimació desarrollada. Para medir la Cofiabilidad referida e el párrafo aterior, se utiliza el cálculo del error estádar. El " error estádar de estimació" ( Se ) mide la variabilidad o dispersió de los valores observados alrededor de la recta de regresió.

22 S e = y i 2 b y i a x i y i 2 Dode: y i = valores de la variable depediete x i = valores de la variable depediete a = coeficiete de regresió = S xy S x 2 b = la itersecció de la recta = y S xy S x 2 x = úmero de putos N de obser. Ejercicios (x i) Aciertos (y i) y 2 x iy i a = = b = (17.26) = =

23 S e = 921 (2.7326)(115) (0.2854)(2067) = = "Iterpreta el resultado". El valor míimo es 0, cuado todos los putos cae a lo largo de la ecuació de la recta. No hay u límite superior, por lo que puede ser difícil juzgarlo por ti mismo. COMPARA co otros modelos. El modelo co el meor error estádar de estimació es la mejor opció para la muestra. Compara co la media de la muestra de y. Etre mayor sea la diferecia, mejor ecajará. COMPARANDO MEDIA ARITMÉTICA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1. Para estimar el úmero de peces que hay e u lago, se realizó lo siguiete: se capturó ua muestra al azar de peces, se les marcó y fuero devueltos al agua. u breve tiempo después, se capturó ua ueva muestra, se registró la proporció de peces marcados versus el total de peces de la muestra. Si las muestras fuero efectivamete aleatorias, etoces se espera que la frecuecia relativa de peces marcados e la seguda muestra sea aproximadamete la misma que la de peces marcados e la població. Supó que e el primer proceso se captura y marca 120 peces. Posteriormete se captura 100 peces de los cuales 22 está marcados. Estima el úmero de peces del lago. (E el sitio se icluye u programa de simulació para el estudio de distribucioes de muestras de u mismo tamaño e la que iterviee dos atributos e ua proporció coocida.) 2. Ocho amigos coversa sobre el úmero de hermaos que tiee cada uo. Llega a la iformació que se resume e la tabla siguiete: N de hermaos frecuecia Total 8 Calcula el promedio de hermaos del grupo. Para experimetar e relació co las muestras, forma todos los dúos de amigos y para cada dúo calcula el promedio de hermaos. Hacer el gráfico de la distribució del promedio de hermaos de todas las muestras, calcula la desviació estádar de esta distribució y compárala co el promedio y la distribució estádar del úmero de hermaos del grupo de amigos. Forma todos los tríos de amigos y procede a hacer los mismos cálculos. Compara co los resultados obteidos e relació co los promedios calculados.

24 Costata la relació s = / e que s es la desviació estádar de la distribució de todas las muestras, es la de la població y es el úmero de elemetos de la muestra 3. Se dispoe de ua bolsa co 100 fichas umeradas: Se pide: Nº e la ficha Catidad Obteer muestras al azar de tamaño 10 y calcular para cada ua de ellas la media de los valores de las fichas como tambié su desviació estádar. Obteer muestras al azar de tamaño 20 y calcular para cada ua de ellas la media de los valores de las fichas como tambié su desviació estádar. Obteer muestras al azar de tamaño 30 y calcular para cada ua de ellas la media de los valores de las fichas como tambié su desviació estádar. Comparar los valores de las medias y desviacioes estádar obteidos e los experimetos ateriores. Realizar iferecias sobre el valor de la media poblacioal a partir de alguas de las muestras ateriores. PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SU SOLUCION 1. Idica que variables so cualitativas y c u a l e s c u a t i t a t i v a s : 1 C o m i d a F a v o r i t a. 2 P r o f e s i ó q u e t e g u s t a. 3 N ú m e r o d e g o l e s m a r c a d o s p o r t u e q u ipo favorito e la última temporada. 4 N ú m e r o d e a l u m o s d e t u I s t i t u to. 5 E l c o l o r d e l o s o jos de tus compañeros de clase. 6 C o e f i c i e t e i t el e ct u a l d e t u s c o m p a ñ e r o s d e c l a s e. 2. De las siguietes v a r i a b l e s i d i c a c u á l e s s o d i s c r e t a s y c u a l e s c oti ú a s. 1 N ú m e r o d e a c c i o e s v e d i d a s c a d a d í a e l a B o l s a. 2 T e m p e r a t u r a s r e g i st r a d a s c a d a h o r a e u o b s e r v a t o r i o. 3 P e r í o d o d e d u r a c ió de u automóvil. 4 E l d i á m e t r o d e l a s r u e d a s d e v a r i o s c o c h e s. 5 N ú m e r o d e h i j o s d e 5 0 f a m i l i a s.

25 6 C e s o a u a l d e l o s e s p a ñ o l e s. 3. C l a s i f i c a r l a s s i g u i e t e s v a r i a b l e s e c u a l i t a t i v a s y c u a t i t a t i v a s d i s c r e t a s o c otiuas. 1 L a a c i o a l i d a d d e ua p e r s o a. 2 N ú m e r o d e l i t r o s de a g u a c o t e i d o s e u d e p ó s i to. 3 N ú m e r o d e l i b r o s e u estate de librería. 4 S u m a d e p u t o s t e i d o s e e l l a z a m i e t o d e u p a r d e d a d o s. 5 L a p r o f e s i ó d e u a p e r s o a. 6 E l á r e a d e l a s d i s t itas baldosas de u e d i f i c io. 4. Las putuacioes obteidas por u grupo e ua pru e b a h a s i d o : 1 5, 2 0, 1 5, 1 8, 2 2, 1 3, 1 3, 1 6, 1 5, 1 9, 1 8, 1 5, 1 6, 2 0, 1 6, 1 5, 1 8, 1 6, 1 4, 1 3. C o s t r u i r l a t a b l a d e d i s t r i b u c i ó d e f r e c u e c i a s y d i b u j a e l p olígoo d e f r e c u e c i a s. 5. E l ú m e r o d e e s t r e l l a s d e l o s h o t el e s de u a c i u d a d v i e e d a d o p o r l a s i g u i e te s e r i e : 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. C o s t r u i r l a t a b l a d e d i s t r i b u c i ó d e f r e c u e c i a s y d i b u j a e l d i a g r a m a d e b a r r a s. 6. Las calificacioes de 50 alumo s e M a t e m á ti c a s h a s i d o l a s s i g u i e t e s : 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 1 0, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. C o s t r u i r l a t a b l a d e d i s t r i b u c i ó d e f r e c u e c i a s y d i b u j a e l d i a g r a m a de b a r r a s. 7. L o s p e s o s d e lo s 6 5 e m pl e a do s d e u a f á b r i c a v i e e d a d o s p o r l a s i g u iete t a b l a : Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90 ) [90, 100) [100, 110) [110, 120) f i C o s t r u i r l a t a b l a d e f r e c u e c i a s. 2 R e p r e s e t a r e l h i s t ogra m a y e l p olígoo de frecuecias. 3 D e t e r m i a Q 1, Q 3 y P 42 4 D e t e r mi a l a M e d i a, la Mediaa y l a M o d a. 8. L o s 4 0 a l u m o s d e u a c l a s e h a o b t e i d o l a s s i g u i e tes p u t u a c i o e s, s o b r e 5 0, e u e x a m e d e F í s i c a.

26 3, 1 5, 2 4, 2 8, 3 3, 3 5, 3 8, 4 2, 2 3, 3 8, 3 6, 3 4, 2 9, 2 5, 1 7, 7, 3 4, 3 6, 3 9, 4 4, 3 1, 2 6, 2 0, 1 1, 1 3, 2 2, 2 7, 4 7, 3 9, 3 7, 3 4, 3 2, 3 5, 2 8, 3 8, 4 1, 4 8, 1 5, 3 2, C ostruir l a tabla d e frec uec i as. 2 Di bujar el histogram a y el políg oo de frecuecias. 3.- Det erm i a los mometos a 1,a3, m3 y m Det erm i a los coefic ie tes de d eterm i ació y d e correlac ió. 5.- D eterm i a l a r ecta de R egresió y el Erro r est ád ar de e stim ac ió. 9. Sea ua distribució estadísti c a q u e v i e e d a d a p o r l a s i g u iete tabla: x i f i C a l c u l a r : 1 L a m oda, mediaa y media. 2 E l r a g o, desviació media, variaza y desviació típica. 10.C a l c u l a r l a m e d i a, l a m e d i a a y l a m oda d e l a s i g u i e t e s e r i e d e ú m e r o s : 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, H a l l a r l a v a r i a z a y l a d e s v i a c i ó típica d e l a s i g u i e t e s e r i e d e d a to s : 1 2, 6, 7, 3, 1 5, 1 0, 1 8, H a l l a r l a m e d i a, m e d i a a y m oda d e l a s i g u i e t e s e r ie de ú m e r o s : 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, H a l l a r l a d e s v i a c i ó m e d i a, l a v a r iaza y l a d e s v i a c i ó t í p i c a d e l a s e ri es d e ú m e r o s s i g u i e t es: 2, 3, 6, 8, , 6, 7, 3, 1 5, 1 0, 1 8, S e h a a p l i c a d o u t e s t a l o s e m pl e a do s d e u a f á b r i c a, o b t e i é d o s e l a s iguiete t a b l a : f i [38, 44) 7 [44, 50) 8 [50, 56) 15 [56, 62) 25 [62, 68) 18 [68, 74) 9

27 [74, 80) 6 D i b u j a r e l h i s t ogr a m a y e l p olígo o de frecuecias acu m u l a d a s. 15. Dadas las series estadísti c a s : 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1. C a l c u l a r : L a m od a, l a m e d i a a y l a m e d i a. L a d e s v i a c i ó medi a, l a v a r i a z a y l a d e s v i a c i ó típica. L o s c u a r t i l e s 1 º y 3 º. L o s d e c i l e s 2 º y 7 º. L o s p e r c e t i l e s 3 2 y Ua d i s t r i b u c i ó e s t a d í s ti c a v i e e d a d a p o r l a s i g u i e t e t ab l a : [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) f i H a l l a r : L a m od a, m e d i a a y m e d i a. E l r a g o, d e s v i a c i ó media y v a r i a z a. L o s c u a r t i l e s 1 º y 3 º. L o s d e c i l e s 3 º y 6 º. L o s p e r c e t i l e s 3 0 y 7 0. [0, 5) 17. Dada la distribució estadíst i c a : [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ) f i C a l c u l a r : L a m e d i a a y m od a. C u a r t i l 2 º y 3 º. M e d i a L a R e c t a d e Regresió y el Coeficiete de Determiació 18. L o s s i g u i e t e s d a t o s r e p re s e t a l o s a ñ o s d e p r á c ti ca p r o f e s i o a l de i g r e s o a u a l e ( M i l e s d e D ó l a r e s ) p a r a u c o j u t o d e Iterv e t o r e s P ú b l i c o s : A Ñ O S D E P R A C T I C A INGRESOS R e a l i z a r l o s i g u iete: a) R e p r e s e t a e l d i a g r a m a d e d i s p e r s i ó p a r a e s t e c o j u t o d e d a t o s. b) L a R e c t a d e Regresió y el Coeficiete de Determiació

28 19. U e s t a d í s t i c o d e u a d e t e r m i a d a l í e a a é r e a d e s e a d et e r m i a r l a e c u a c i ó q u e r e l a c i o a l a d i s t a c i a d e d e s t i o c o l a c a r g a d e m e r c a c í a p a r a u t a m a ñ o e s t á d a r d e e m b a l a j e. S e obtuviero l o s s i g u ietes d a t o s p a r a u a m u e s t r a a l e a t o r i a d e d i e z f a c t u r a c i o e s d e c a r g a : DISTANCIA CARGA 20. S e h a o b t e i do l o s s i g u i e tes d a to s e u a d e t e r m i a d a c i u d a d d o d e s e re l a c io a e l t a m a ñ o f a m i l i a r (x) c o l a u t i l i z a c i ó d e u d e t e r m i a d o p r o d u c t o de l i m pi e z a ( y ), s e g ú l a s u i d a d e s u t i li z a d a s : T A M A Ñ O U N IDADES F A M ILIAR U T ILIZ A D A S D e t e r mi a l o s i g u i e te: a.- D etermia lo s coefic ie tes de d eterm i ació y d e correlac ió. b.- D etermi a l a r ecta de R egresió y e l E rro r est á d ar de estimac ió. c.- I terpret a lo s result ado s. El propósito de esta guía es elaborar u esayo y resolver los problemas que está propuestos. Qué es u esayo? ALGUNAS CARACTERISTICAS SON: Ofrece claridad. Ofrece u estilo de redacció iteresate. Cosiste pricipalmete e que expogas tus ideas sobre el tema. Utiliza u too formal. Recuerda que para comezar a redactar el esayo ecesitas hacer lo siguiete: Redactado diversas pregutas. Localiza iformació que te permita cotestar las pregutas. Escribe tus propias ideas.

29 Idetifica la idea pricipal. Escribe de forma que se apoye tu idea pricipal.

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