LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA

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1 LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA. LA MEDIANA: Es una medda de tendenca central que dvde al total de n observacones debdamente ordenadas o tabuladas en dos partes de gual tamaño, cada una con el 50% de los datos observados. Notacón: Me..1. Formas de cálculo.1.1. Para datos no agrupados: Para calcular la medana, los n datos orgnales se ordenan en forma ascendente o descendente, luego se halla el lugar en donde se encuentra la medana (lugar = (n + 1)/) y fnalmente se determna su valor. Se presenta dos casos: ) Para un número par de datos: La medana será el promedo de los dos valores centrales.. Ejemplo 7: Calcular e nterpretar la medana del Ejemplo 1 de la sesón de aprendzaje 07: X : 650, 750, 850, 1000, 750, 80, 850, 100, 1000, 1000 Ordenando en forma ascendente Lugar 5.5 Ubcando el lugar en donde se encuentra la Me n Lugar = = = Fecha : Dcembre 007

2 Cuando se tene un número par de datos la medana será el valor será el promedo de los dos valores centrales: Me = Me = 850 soles. Interpretacón: El 50% de los trabajadores tenen un ngreso máxmo de 850 soles, no más del 50% supera dcho ngreso. ) Para un número mpar de datos: La medana será el valor que está ocupando la poscón central. Ejemplo 8: Los sguentes datos corresponden a los tempos de acceso en mnutos a 11 Págnas Web cargadas por la tarde en el horaro de 14 a 15 horas desde un ordenador domestco: X :.9, 1.4, 1.,.4, 1.,.5, 1.6, 1.8,., 1.5, 1.0 Ordenando los datos en forma ascendente Lugar 6 Hallando el lugar en donde se encuentra la medana: n Lugar = = = 6 Cuando se tene un número mpar de datos la medana será el valor que está ocupando la poscón central. Fecha : Dcembre 007

3 Interpretacón: El 50% de las págnas Web son cargadas en un tempo de acceso máxmo de 1.6 mnutos., el otro 50% supera dcho tempo..1.. Para datos agrupados La medana cuando la varable es cuanttatva dscreta: Cuando la varable es cuanttatva dscreta y los datos se encuentra agrupados la medana será el valor de la varable cuya frecuenca acumulada sea la prmera en exceder a n/, así: Me = X tal que: F > n/ determna clase en donde se encuentra la Me. Ejemplo 9: Calcular e nterpretar la medana de los datos de la tabla N 07 de la sesón de aprendzaje 07: N de cabnas y Tabla N 11 N de cbernautas Total f F Aquí vemos que n = 100, luego n/ = 50 Entonces la prmera frecuenca acumulada que excede a n = 50 es 70, esto es: 70 > 50 F > 10 Me = 50 cbernautas =, la medana se encuentra en la ra. clase. Fecha : Dcembre 007

4 Interpretacón: Al 50% de las cabnas acuden como máxmo 50 cbernautas durante el mes anteror, el otro 50% de las cabnas supera dcho número La medana cuando la varable es cuanttatva contnua: Para calcular la medana cuando la varable es cuanttatva contnua se utlzará la sguente fórmula: Se debe cumplr la sguente relacón: [ n F ] / 1 Me = LI( ) + C f Cuando: F = 1 n n F < 1 F determna el ntervalo en donde se encuentra la Me. La medana está dado por: Me = LI ( ) Además: LI () : Límte nferor del ntervalo en donde se encuentra la Me. C : Ampltud o ancho del ntervalo en donde se encuentra la Me. n : Número de observacones de la muestra. F 1 : Frecuenca acumulada nmedata anteror al ntervalo en donde se encuentra la Me. f : Frecuenca absoluta del ntervalo en donde se encuentra la Me 4 Fecha : Dcembre 007

5 Ejemplo 10: Calcular e nterpretar la medana de los datos de la Tabla N 09 de la sesón de aprendzaje 07: Edad en en años LI - LS Tabla N 1 N de trabajadores f F [5-0) [0-5) [5-40) [40-45) 9 9 [45-50) 8 00 TOTAL 00 - Vemos que n = 00 n = 150 y de acuerdo a la relacón dada tenemos: 100 < 150 < 00 F < 150 < F =, la medana se encuentra en el er. ntervalo. Reemplazando el subíndce = en la fórmula y los valores correspondentes tenemos: Me = LI + C () [ n / F ] f Me = [ ] 100 Me = 7.5 años. Interpretacón: El 50% de los trabajadores tenen una edad máxma de 7.5 años, el otro 50% supera dcha edad... Característcas: 5 Fecha : Dcembre 007

6 La medana es un estadígrafo que no está afectada por valores extremos muy altos o muy bajos y por lo tanto es más representatva que la meda artmétca, o cuando las dstrbucones son poco smétrcas. Es útl cuando los datos agrupados tenen clases abertas en los extremos. Es una medda únca; esto es, una dstrbucón tene solamente una medana. 4. LA MODA: Es una medda de tendenca central que corresponde al valor de la varable que tene frecuenca máxma. Notacón: Md. Una dstrbucón puede ser amodal sno tene nnguna moda, unmodal s tene una moda, bmodal s tene dos modas y multmodal s tene tres o más modas. En consecuenca es necesaro consderar modas absolutas y modas relatvas Formas de cálculo Para datos no agrupados La moda será el valor que se repte el mayor número de veces. Ejemplo 11: Calcular e nterpretar la moda del Ejemplo 1 de la sesíón de aprendzaje 07. Observamos que el valor que se repte frecuentemente es 850 y Entonces: Md = 850 y 1000 soles. Interpretacón: El mayor número de trabajadores tene un sueldo mensual de 850 y 1000 soles. Ejemplo 1: Calcular e nterpretar la moda del coefcente ntelectual expresado en puntaje del sguente grupo de alumnos. X : 95, 100, 105, 110, 95, 100, 110, 110, 95 6 Fecha : Dcembre 007

7 Md = 95 y 110 Interpretacón: El mayor número de alumnos tene un coefcente ntelectual de 95 y 110 puntos. En este caso la sere es bmodal Para datos agrupados La moda cuando la varable es cuanttatva dscreta La moda será clase cuya frecuenca es máxma. Así: Md = y Tal que: f -1 < f > f + 1 determna la clase en donde se encuentra la Moda Ejemplo 1: Calcular e nterpretar la moda de los datos de la tabla N 07 de la sesón de aprendzaje 07: N de cbernautas y Tabla N 1 N de cabnas f Total 100 Observamos que la mayor frecuenca es 40 y se cumple que: 0< 40 > 15 f < f > f 4 = la moda se encuentra en la ra. clase. Por lo tanto: Md = 50 cbernautas 7 Fecha : Dcembre 007

8 Interpretacón: Al mayor número de cabnas acuderon 50 cbernautas durante el mes anteror La moda cuando la varable es cuanttatva contnua: Para calcular la moda cuando la varable es contnua se utlzará la sguente fórmula: d Md 1 = LI () + C d d 1 + Se debe cumplr la sguente relacón: Además: d 1 = f f -1 d = f f +1 f < f > f ' determna el ntervalo en donde se encuentra la Moda. Ejemplo 14: Calcular e nterpretar la moda de los datos dados en la tabla N 09 de la sesón de aprendzaje 07: Edad en en años LI - LS Tabla N 14 N de trabajadores f [5-0) 40 [0-5) 60 [5-40) 100 [40-45) 9 [45-50) 8 TOTAL 00 Observamos en la tabla N 14 que la mayor frecuenca es 100 y se cumple que: 60 < 100 > 9 f < f > f 4 =, la Md. se encuentra en el er. ntervalo. 8 Fecha : Dcembre 007

9 d 1 = f f = = 40 d = f f 4 = = 8 Reemplazando el subíndce = tenemos: d1 Md = LI() + C d + d 1 en la fórmula y los valores correspondentes 40 Md = Md = 9.17 años. Interpretacón: El mayor número de trabajadores tene 9.17 años. 4.. Característcas: No se encuentra afectada por valores extremos. Puede usarse cuando los datos presentan clases abertas en los extremos. No es sgnfcatva a menos que la dstrbucón contenga un gran número de datos y exsta sgnfcatva repetcón de alguno de ellos. Muchas veces la sere no tene moda porque nngún valor se repte. Cuando la sere tene dos, tres, o más modas, se hace dfícl su nterpretacón y comparacón. 9 Fecha : Dcembre 007

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