6 Análisis en el dominio del

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1 6 Aálii e el omiio el tiempo e itema e primer y eguo ore Báicamete, la propieae iámica e la plata puee er aproximaa por la caracterítica temporale e itema má imple. Se etiee por moelo imple, aquello que efie u iámica por ecuacioe ifereciale lieale e primer o e eguo ore. Como e verá e el iguiete capítulo, lo moelo e lo equipo puee er aborao por fucioe e traferecia ecilla. Ete pao e a e ua oble vertiete. Dee el puto e vita el aálii, al reucir el moelo e porá preecir u caracterítica temporale, empleao expreioe matemática e lo moelo ecillo. Por otro lao, ee la viió el ieño, e uele emplear la meia e la caracterítica temporale e lo moelo imple para fijar lo requiito el comportamieto iámico e lo itema a compear. Por toa eta razoe, ete tema pretee aalizar el comportamieto iámico temporal e lo itema imple, fijao u evolució temporal aí como e tato parámetro como exija, para u etermiació matemática. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 9

2 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació 6. Sitema e primer ore Se eomia ore e u itema al grao e u poliomio caracterítico, eto e, al úmero e polo que tiee el itema e u cojuto. La fució e traferecia e u itema e primer ore e: ( ) N( ) ( a) (6. ) oe N() e el poliomio el umeraor e coeficiete cotate al er e tipo LI. Por el pricipio e caualia, el grao e N() e uo o cero, bie e ua cotate o e u cero e primer ore. Coiéree el cao má imple, el umeraor correpoe a ua gaacia. La relació etre la etraa y alia el itema verá aa por ua ecuació iferecia oriaria e primer ore: ( t) y( t) x( t) y (6. ) oe x(t) repreeta la eñal e la etraa e y(t) e la alia. Aplicao a ambo lao e la iguala la traformaa e Laplace y coierao coicioe iiciale ula, e coeguirá la FD e lo itema e primer ore: ( ) Y X ( ) ( ) / (6. 3) El valor e erá la gaacia etática el equipo y erá la cotate e tiempo. E geeral, eomiao a i y b i a lo coeficiete e lo poliomio el eomiaor y el umeraor, repectivamete, e grao i, la o FD e primer ore e lo itema cauale erá: a. y a y b x ( ) b a a (6. 4) a. y a y b x b x. ( ) b a b a (6. 5) Si embargo, para etermiar la repueta iámica el itema e primer ore e empleará el moelo e la ecuació (6. 3). E el cao e que tuviera u cero e primer ore, ee luego, u iámica cambiará. Pero ee el puta e vita metoológico, e plateará como la aició e u cero al itema imple efiio e la ec. (6. 3). Eto apecto erá tratao e el capítulo iguiete. Por tato, e va a tratar e efiir la repueta iámica e u itema imple e primer ore y i poeyee u cero, u efecto e verá como ua aició a la iámica el itema imple. 3 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

3 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º 6.. Repueta temporal ate la etraa e ecaló Para aalizar la iámica el itema e primer ore e requiere coocer qué tipo e etraa excitará al equipo. Como a priori o e cooce la aturaleza e eta eñal, tal cual e cometó e el aterior capítulo, e empleará la eñale e prueba. E el omiio temporal e efiiero tre etraa ormalizaa: ecaló, rampa y parábola. Por icha razó, la caracterizació e lo itema e primer y eguo ore e el omiio temporal e ará co eta excitacioe uitaria. Supoieo u itema e primer ore imple caracterizao por u gaacia y u cotate e tiempo, al er etimulao por ua eñal e etraa e ecaló uitario evolucioará a partir e la covolució etre la etraa y el itema. Aplicao la traformaa e Laplace y hacieo ecompoició e fraccioe imple, la repueta traformaa valrá: Y ( ) (6. 6) Empleao el cálculo e lo reiuo erá fácil e etermiar la atitraformaa y por ee la evolució temporal e la eñal e alia, e fució e u o parámetro caracterítico, y : Y [ Y ( ) ] ( ) y t / ( t) ( e ) Pero ate e repreetar la evolució temporal e u itema e primer ore imple co ua etraa e ecaló, véae la correlació etre el omiio complejo y el temporal. Utilizao el teorema el valor fial obre la traformaa e Laplace e la alia y hacieo el límite cuao el tiempo tiee a ifiito e la ec.(6. 7), lo reultao o iético. La alia alcazará, e el régime permaete, el ivel e la gaacia etática el itema, : Valor fial: lim Y ( ) lim y( t) t (6. 7) Nótee que i el móulo e la gaacia,, e mayor que uo el itema amplifica, e cao cotrario, ateúa, eto e, la amplitu e la alia e má pequeña que la etraa. Para reolver el valor iicial ólo bata co aplicar el teorema el valor iicial obre la ec.(6. 6) o hacer teer el tiempo a cero e la ec. (6. 7): Valor iicial: lim Y ( ) ( t) lim y t Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 3

4 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació La cotate e tiempo el itema,, efie la rapiez el equipo. De hecho, cuao el itervalo e tiempo recorrio ee el iicio e la etimulació hata la cotate e tiempo, la eñal e alia ya ha alcazao ua buea parte e u recorrio: Valor t : y( t ) ( e ). 63 (6. 8) Se efie el tiempo e etablecimieto, t, como el que eceita el itema para alcazar el régime permaete. El valor e la eñal el permaete o e exactamete el valor fial. Ateieo a la ec. (6. 7) y i e puiera la coició e lograr el valor e ivel e ate ua etraa e ecaló uitario, el tiempo ería ifiito y o habría meia e comparació etre eto itema obre u velocia e repueta. Por icha razó, e uele emplear el error el 5% o el % el valor fial. E ete curo, e empleará el 5% e error el valor el régime permaete. Para u valor e tre vece la cotate e tiempo el itema e primer ore,, coicie co llegar al 5% e error el valor fial: 3 Valor t 3 : y( t 3 ) ( e ). 95 (6. 9) Por tato, para itema e primer ore imple, el tiempo e etablecimieto e e tre vece la cotate e tiempo. Si la efiició etá aa co el %, etoce el tiempo e etablecimieto e e cuatro vece la cotate e tiempo. Cocluyeo, i el itema e e primer ore imple, lo valore caracterítico puee er etermiao experimetalmete ate la repueta e ua etraa e ecaló uitario. La gaacia etática,, erá el valor fial e la eñal e alia y la cotate e tiempo,, etá aa por el tiempo e que alcaza.63 vece el valor e o tre vece u valor coiciirá co el tiempo e etablecimieto, t, eto e, el tiempo e alcazar la eñal Repueta al ecaló uitario x(t) x(t) x() () y(t) y().63 Amplitu 3 iempo () Figura 6.. Repueta e u itema e primer ore imple ate ua etraa e ecaló uitario 3 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

5 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º 6.. Repueta impulioal La repueta impulioal e u itema coicie co u propia fució e poeració, g(t). De hecho, eta propiea e empleaa como técica experimetal para realizar la ietificació e itema. La forma e emotrarlo coite e etermiar la traformaa e Laplace e la excitació impulioal y luego aplicar el teorema e la covolució cotiua. Se efie ua etraa impulioal, aquella que e u tiempo ifiiteimal, ε, a u pulo e eergía que tiee a er ifiito, /ε. δ ( t) / ε t < ε t < o t > ε (6. ) ε Su traformaa e Laplace coicie co la uia: L ε t e ε ε ε H t ε [ δ ( t) ] e t [ e ] ε e ε (6. ) Cocluyeo que al ar ua etraa e ete tipo, la eñal e alia coicie co la propia aturaleza e la plata, y(t)g(t), por el teorema e la covolució. Para el cao que ocupa e itema imple e primer ore, reultará: Y t / ( ) ( ) y( t) e g( t) (6. ) Y ( ) / (6. 3) Aemá, para itema LI, la repueta al impulo e la erivaa e la alia al ecaló: y t / t / ( t) ( e ) y ( t) e g( t) ecalo ecalo (6. 4) Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 33

6 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació La aplicació e lo teorema el valor fial y el iicial ebe e coiciir co la repueta e la excitació impulioal e lo itema e primer ore, efiio por la ec.(6. ): Valor fial: ( t ) y lim (6. 5) Valor iicial: ( t ) y lim (6. 6) Lo valore caracterítico e la alia cuao el tiempo coicie co la cotate e tiempo o cuao el tiempo e e tre vece la cotate e tiempo el itema etá ao por la ec.(6. ), implemete utituyeo: Amplitu / Repueta al impulo y( t ) e / y( t 3 ) e / 3 iempo () Figura 6.. Repueta impulioal e u itema imple e primer ore Ejemplo 6. Para el cuaripolo e la figura etermiar u repueta ate la etraa e ecaló uitario y ate ua excitació impulioal. Coiéree coicioe iiciale ula. ue(t) - R C F u(t) - Al haber u elemeto e almaceamieto e eergía, el itema terá u moelo e primer ore: u u ( t) ( t) RC u ( t) ( ) e t RC A V 3 34 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

7 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º.95 Repueta al ecaló uitario V Repueta al impulo Amplitu.63 Amplitu 367V m 3 m 5V Repueta a la rampa Do métoo e puee platear para etermiar la repueta ate ua excitació e rampa uitaria e u itema e primer ore imple. Bie a travé e la traformaa e Laplace e la alia o bie empleao el teorema e la itegració. Ete último proceer e baa e que la rampa uitaria correpoe co la itegral e el tiempo e ua eñal e ecaló uitario.. Decompoició e fraccioe imple: La rampa uitaria preeta u polo oble e el orige, el cálculo e lo reiuo e la atitraforma e la alia exige la formulació e la multiplicia e la raíce: Y ( ) a a [ Y ( ) ] a (6. 7) (6. 8) a ( ) ( ) ( ) (6. 9) / / ( / ) (6. ) Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 35

8 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º y t / ( t) ( t e ) Apute e Regulació (6. ). La repueta a la rampa e la itegral e la repueta al ecaló: t t τ / τ / ( t) y ( ) ( ) [ ] t ecalo τ τ e τ τ e yrampa y rampa t / ( t) ( t e ) (6. ) (6. 3) E geeral, para itema LI, la repueta a la erivaa e ua eñal e etraa, puee er obteia erivao la repueta el itema, a la eñal origial. Aí mimo, la repueta a la itegral e ua eñal e puee obteer itegrao la repueta a la eñal origial. Por ambo métoo lo reultao o iético, la ecuacioe fiale (6. ) y (6. 3) o iguale. E la alia, exite u traitorio al iiciar la excitació y luego la compoete rampa e el efecto omiate. E la figura 6.3 e puee apreciar la evolució temporal. La alia, e el régime permaete, igue a la e mao co u error ao por la gaacia y la cotate e tiempo el itema. Para el cao e teer ua gaacia etática uitaria e el itema,, el error coicie co la cotate e tiempo el itema: lim e t ( t) lim( x( t) y( t) ) t ( t ) t Repueta a la rampa uitaria Amplitu iempo () Figura Evolució e u itema e primer ore co gaacia uitaria ate ua rampa uitaria 36 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

9 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º 6. Aálii temporal e itema e eguo ore La ecuacioe ifereciale lieale e coeficiete cotate e eguo ore, ecribe la iámica e itema co o elemeto e almaceamieto e eergía e u iterior. La expreió matemática que geeraliza a eto equipo etá efiia por: y a y a y b x b x b x a (6. 4) oe a i y b i o ecalare cotate, x(t) e la excitació e y(t) e la alia. Coierao coicioe iiciale ula o variacioe lieale alreeor e u puto e repoo, la FD erá: ( ) Y X ( ) ( ) b a b a ( ) b ( ) a (6. 5) El cao má imple e itema e eguo ore e cuao lo coeficiete b y b o ulo: ( ) a b a a La iámica e ete cao, como la e too lo itema LI, etá efiia báicamete por la raíce el eomiaor. La aturaleza e lo polo puee er e tipo real o compleja cojugaa. Si lo polo o reale, la repueta a la etraa al ecaló etará efiia por la o expoeciale, cuyo expoete epeerá e la ubicació e lo polo. Nótee que la cotate e tiempo e u polo real e la ivera el valor el polo, i -/p i p i <. Empleao la traformaa e Laplace e fácil coeguir la repueta temporal ate ua excitació e etraa e ecaló uitario: ( ) ( p )( p ) b P P (6. 6) j Figura Raíce reale e u itema e eguo ore (6. 7) Y ( ) b ( p )( p ) p p 3 (6. 8) Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 37

10 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació t p t ( ) p t e e y 3 (6. 9) E cambio, ya o reultará ta eviete la alia i la raíce o compleja y cojugaa. Ate e etermiar la evolució temporal e la alia, e va a aalizar lo parámetro que efie la repueta e eto itema. Si e lo itema e primer ore imple, lo parámetro era la gaacia etática,, y la cotate e tiempo,. E lo itema e eguo ore imple lo parámetro o tre: la gaacia etática,, el factor e amortiguamieto, ξ, y la frecuecia atural o amortiguaa,. La ec. (6. 6) quea etermiaa por u moelao a partir e u parámetro caracterítico: ( ) ξ ξ (6. 3) La frecuecia atural,, correpoe a ua velocia agular cotate y u imeioe o raiae/eguo. Su iterpretació e el omiio complejo, e la itacia euclíea etre el orige e cooreaa y lo polo. El factor e amortiguamieto, ξ, e aimeioal. Si e mayor a ó, e valor aboluto, la raíce o reale, e cao cotrario, o compleja y cojugaa. La olucioe el poliomio el eomiaor e eguo grao etará etermiaa por u reolució e fució e lo parámetro y ξ: ξ ± ( ξ ) 4 ξ ± j ξ (6. 3) Si el factor e amortiguamieto, ξ, e e valor aboluto meor que la uia, la raíce erá compleja, egú e epree e la ec. (6. 3). Para eto cao, habrá ua compoete real y otra imagiaria cojugaa. La primera e llamará cotate e amortiguamieto,, cuya ubicació e ará e el eje real: ξ La egua e la frecuecia e amortiguamieto,, y e ecotrará e el eje imagiario: [ ra ] ξ / La frecuecia atural,, erá la hipoteua el triágulo rectágulo formao por lo cateto e cotate e amortiguamieto,, y frecuecia e ξ co ( θ ) j j Figura Polo complejo y cojugao e u itema e eguo ore 38 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

11 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 39 amortiguamieto, : ξ Aemá, el águlo e apertura e lo polo complejo, θ, etará relacioao co el coeficiete e amortiguamieto, ξ: co ξ θ ξ 6.. Repueta al impulo e u itema e eguo ore ubamortiguao. A lo itema e eguo ore, cuyo factore e amortiguamieto etá etre y, < ξ, u olucioe o compleja y cojugaa. Si aemá e pie que ea etable, e exigirá que lo factore e amortiguamieto ea mayore que cero. Se llama itema ubamortiguao, aquello que lo factore e amortiguamieto ea mayor que cero y meor que uo. Lo polo erá complejo y cojugao y e ecuetra e el emiplao egativo el omiio complejo. La repueta impulioal e u itema ubamortiguao imple iicará la aturaleza el itema. Aplicao ecompoició e fraccioe imple e u traformaa, permitirá ver la evolució temporal: ( ) ( )( ) ( ) ( ) j j j j ξ Hacieo la atitraformaa y empleao el cálculo e lo reiuo e o polo imple (a igual que ea reale que complejo): ( ) ( ) ( )t j t j e e t g ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ξ ξ j j j j j j j j (6. 3) (6. 33) (6. 34)

12 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació Itroucieo el cálculo e lo reiuo e la ec.(6. 3) y acao factor comú a t e, e coeguirá ua expreió a la que poteriormete e empleará la ξ relació e Euler: g e j t e j j t t t ( t) e e e( t) ξ ξ (6. 35) La repueta impulioal para u itema ubamortiguao e ua combiació e ua expoecial moótoamete ecreciete co el tiempo y u armóico e frecuecial. El reto e la expreió e ua valor cotate. La excitació epee e la cotate e amortiguamieto,, y e la frecuecia e amortiguamieto. La cocluioe e la ec. (6. 35) requiere e u aálii etallao. E primer lugar, coiéree el efecto e la cotate e amortiguamieto,. El lugar geométrico e la cotate e amortiguamieto o recta paralela al eje imagiario. Lo polo complejo ituao obre eta recta paralela terá igual cotate e amortiguamieto. A meia e que la cotate e amortiguamieto,, e hace mayor, o cocluioe e extrae: el itema e má etable y e má rápio. La primera por que alejare el emiplao poitivo iica mayor etabilia, la egua por que a meia e que aumeta la cotate e amortiguamieto, má rápio ceará la alia a coecuecia el térmio expoecial co el tiempo, e t..5 Repueta impulioal co igual frecuecia e amortiguamieto Ma rápio Etable j Amplitu , 3, iempo [] Figura a) Lugar geométrico e la cotate e amortiguamieto b) Repueta impulioal e o itema co igual frecuecia e amortiguamieto y itita cotate e E cambio, el lugar geométrico e la frecuecia e amortiguamieto,, erá recta paralela al eje real. Aquella raíce el eomiaor que eté a la mima altura repecto al eje real, terá igual frecuecia e amortiguamieto. E cuato aumete la frecuecia e amortiguamieto,, meor erá el perioo el armóico y para u mimo valor e coeficiete e amortiguamieto,, el úmero e ocilacioe, ate e apagare la alia, erá mayor. 4 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

13 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º.5 Repueta impulioal co igual cotate e amortiguamieto j Amplitu..5..5, 3, iempo [] Figura a) Lugar geométrico e la frecuecia e amortiguamieto, b) Repueta impulioal e o itema co igual cotate e amortiguamieto y iferete frecuecia e amortiguamieto La aturaleza e lo polo e lo itema e eguo ore etá etermiaa por el factor e amortiguamieto. Si el ξ e meor a cero el itema e ietable. Cuao etá etre y la raíce o compleja y cojugaa, ituaa e el emiplao egativo. U valor el ξ igual a la uia, iica que lo polo o oble y reale, co valor egativo. Por último, valore el coeficiete e amortiguamieto mayor a, iica o raíce egativa y reale: ξ < ξ < > ξ ξ j < ξ < ξ < Figura Polo e eguo ore e fució el coeficiete e amortiguamieto <ξ< Subamortiguao ξ ± j ξ ξ Críticamete etable ± j j ξ No amortiguao (polo oble real) ξ> Sobreamortiguao ξ ± ξ ξ< Ietable (6. 36) (6. 37) (6. 38) (6. 39) 6.. Repueta e ecaló Se propoe al lector que emuetre que la repueta al ecaló uitario e u itema e eguo ore imple: Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 4

14 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació ( ) ξ (6. 4) e igual a: y ( t) e( t θ ) e t ξ (6. 4) De o maera itita puee er aboraa la problemática. Ua a travé e la ecompoició e fraccioe imple e la traformaa e Laplace e la alia. La otra poibilia e la itegració e el tiempo e la repueta al impulo (ver ec. (6. 35)). Al igual que e el aterior capítulo, e itetiza el comportamieto e lo itema e eguo ore ate ua etraa e ecaló uitario a travé e u cuaro reume. Aparecerá lo polo egú el coeficiete e amortiguamieto y cuál e la evolució temporal e u alia: Situació el polo Repueta al ecaló Sitema Sobre Amortiguao ξ> 4 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

15 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Críticamete amortiguao ξ Sub amortiguao <ξ< Críticamete etable ξ Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 43

16 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació INESABLE -<ξ< INESABLE ξ<- 44 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

17 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º 6..3 Caracterizació e la repueta temporal al ecaló e u itema ubamortiguao La importacia e efiir parámetro temporale e u itema ubamortiguao al ecaló, e ebe a que mucha plata o proceo fíico, u iámica, o aproximaa a eta FD. Por lo que ete moelao implificao permite coocer caracterítica e la etabilia y e la aturaleza e la repueta el régime traitorio. Aicioalmete, o ólo permite aalizar o preecir el comportamieto temporal, io que, a vece, lo requiito e ieño e lo regulaore e cotrol, emplea efiicioe aa e ete epígrafe, como por ejemplo el valor e obreocilació. Por toa eta razoe, e trata e caracterizar meiate meia e tiempo y e valor e pico, la alia e u itema ubamortiguao ate ua excitació e ecaló uitario. x(t) x(t) y(t) () x() y() iempo e u itema ubamortiguao M p Amplitu t r t p t iempo [] Segú e oberva e la figura ajuta, lo tiempo que e efie o: iempo e etablecimieto, t : valor e tiempo que el itema eceita e alcazar u error el 5% ó %, egú criterio, el valor fial el régime permaete. iempo e pico, t p : itervalo e tiempo e are la máxima amplitu e alia ( ólo e válio i el factor e amortiguamieto etá etre y.7, < ξ <.7 ). E cao cotrario, o habrá obreocilació y o tiee etio ete parámetro. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 45

18 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació Sobreocilació, M p : Valor e pico máximo e la alia poerao co el valor fial. Sólo ucee i < ξ <. 7. iempo e ubia, t r : el tiempo tracurrio e alcazar por primera vez el % el valor fial e la eñal e alia. El objetivo que e pretee e obteer expreioe matemática que etermie lo valore caracterítico temporale y e obreocilació, a travé e lo parámetro, ξ, y θ,. caracterítico e lo itema e eguo ore ( ), iempo e etablecimieto, t El tiempo que eceita e alcazar el régime permaete co u error el 5% o el % el valor fial, epee báicamete e la compoete evolvete e la eñal e alia. Nótee e la ec. (6. 4) que la alia e ua combiació etre u armóico y ua expoecial moótoamete ecreciete. Simplificao y o coierao el efecto eoial, el 95% e la eñal e alcazará cuao la evolvete valga.5 ó., egú criterio el 5% o el % el valor fial. y ( t) e( t θ ) e t ξ (6. 4) Co el criterio el 5% e error el valor fial, el tiempo e etablecimieto e aproximaamete: e t ξ.5 e π (6. 43) Para valore pequeño e coeficiete e amortiguamieto, < ξ <. 7, el tiempo e etablecimieto e iveramete proporcioal a la cotate e amortiguamieto: ξ << t t π (6. 44) iempo e pico, t p Ete valor e ará cuao e alcace el valor máximo e la amplitu e la eñal e alia. omao la primera erivaa e la expreió aalítica e la repueta al ecaló uitario e igualao a cero, permitirá efiir lo tiempo e máximo y míimo e amplitu e la eñal: 46 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

19 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º. y. t p t p ( ) e e e( t θ ) co( t θ ). ξ p ξ p (6. 45) Reoreao la expreió, lo tiempo e máximo y míimo etará valiao por la coiciecia el águlo e apertura e lo polo complejo y cojugao, θ, co vuelta etera e π raiae e : t t ξ ( t θ ) tgθ g p ξ (6. 46) La primera vuelta e π raiae e t coiciirá co la amplitu máxima e la eñal e alia. El tiempo e pico e iveramete proporcioal a la frecuecia e amortiguamieto. Habrá tiempo e pico i hay obreocilació y éta la habrá i el factor e amortiguamieto etá etre.77 y. t p t π t p p π (6. 47) π π 3π 4π 5π 6π Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 47

20 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació Sobreocilació, M p Hay obreocilació i el factor e amortiguamieto etá etre.77 y. La obreocilació e ará e el tiempo e tipo, t p, y correpoerá co el valor poerao etre la máxima amplitu repecto al valor e alia e el régime permaete. Al teer u itema e gaacia etática, la repueta al ecaló uitario, epué e acabar el régime traitorio, tambié erá vece e amplitu. Itroucieo el valor e tiempo e pico e la ec. (6. 4), para calcular el valor máximo y ao la efiició e obreocilació, M P, queará como: M p y max y y rp rp e π / ξ e π / e ξ ( π θ ) e( θ ) (6. 48) El eo el águlo e apertura y el raicao o amba iguale expreioe. La obreocilació epeerá excluivamete el águlo e apertura e lo polo complejo, θ. Obviamete, para lo itema ubamortiguao, el factor e amortiguamieto etá correlao co θ, a travé el coeo, luego a meor ξ implica ua mayor obreocilació. Por tato, la obreocilació etá uia a la etabilia. Se coiera que u itema e etable y co repueta temporal aceptable (compromio etre etabilia y rapiez), i el factor e amortiguamieto etá etre.4 y.7, lo cual igifica ua obreocilació etre el % y el 3% (ver capítulo 3): M p e π / e π / tgθ ; M p [%] e π / tgθ % ξ M p (6. 49) iempo e ubia, t r Muy empleao e lo catálogo e compoete electróico e el apartao e la caracterítica iámica. El tiempo e ubia e el itervalo e tiempo que tara el itema o el ipoitivo e paar el % al 9% e ua e u eñale. Para el tratamieto matemático y co el objeto e implificar la expreió, e coierará el pao e tiempo etre el % al % el valor fial, eto e, la primera vez que paa la eñal por el valor fial. E itema ubamortiguao excitao co ua etraa e ecaló, uceerá cuao el eguo térmio e la ec.(6. 4) e haga ulo: 48 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

21 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º e t ξ e ( t θ ) e( t θ ) r r (6. 5) La primera vez paará cuao el arco eo pae por el valor e π: t r θ π t r π θ (6. 5) 6..4 Repueta e u itema e º ore al impulo y a la rampa La repueta al impulo e u itema e eguo ore erá la erivaa e la ec.(6. 4), repecto al tiempo, cuya ecuació hace referecia a la alia e u itema e eguo ore ate ua etraa e ecaló. Obviamete la cocluioe eberá e coiciir co la coeguia por ecompoició e fraccioe imple e lo polo y aa por la ec. (6. 35): y impulo t ( t) e e( t) y ( t) ξ ecaló (6. 5) Repueta al ecaló.5 Repueta al ecaló Amplitu.5 Amplitu Repueta al impulo Repueta impulo Amplitu.3.. Amplitu iempo () iempo () Figura 6. 9 a) Sitema obreamortiguao b) itema ubamortiguao La alia el itema ate ua etraa e rampa uitaria erá la itegral repecto al tiempo e la repueta al ecaló uitario: Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 49

22 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació y rampa ξ t ( t) t e( t θ ) y ( τ ) e t ecaló τ (6. 53) Repueta al ecaló.5 Repueta al ecaló Amplitu.5 Amplitu ξ 5 Amplitu 5 Amplitu 5 ξ 5 5 iempo () 5 5 iempo () Figura 6.. Repueta a la rampa uitaria co gaacia etática uitaria a) Sobreamortiguao b) Subamortiguao 6.3 Retaro puro Como coecuecia e la iercia e lo elemeto e almaceamieto e eergía que hay e lo itema, uele aparecer retaro eto e tiempo etre la eñal e alia repecto a la excitació e etraa. Hay mucho moelo e plata que ua retaro puro e u fució e traferecia. Aí, por ejemplo, e la propueta e Ziegler-Nichol para itema que ate ua etraa e ecaló, u alia e parezca a u itema obreamortiguao, el moelo el itema e cofigura co u retaro e la tramiió má u polo e primer ore: 5 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

23 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º p ( ) (6. 54) u(t) Plata y(t) Plata K Moelo L Figura 6.. Propueta e moelao e plata e Ziegler-Nichol El térmio e, por el teorema e tralació temporal e la traformaa e Laplace, correpoe co u retaro puro e tiempo, ieo el tiempo e ee retrao. Ete cocepto e empleao cuao e quiere exprear aalíticamete u efae e tiempo e la propagació e la eñal al paar por el itema. Eta expreió e o lieal y hace que la relació caua efecto o e puea formalizar e ua FD e poliomio e coeficiete cotate. Por tato, o e el tipo LI. Si embargo, exite varia aproximacioe e la fució expoecial e térmio lieale e ivariate co el tiempo. Para valore pequeño e tiempo e retaro e puee aproximar a u polo e primer ore: e Auque e má correcto meiate Pae: Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 5

24 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació e (6. 55) Eta aproximació hace que la plata que tiee u retaro puro e covierta e itema e fae o míima, al teer u cero e el emiplao poitivo. Lo itema e fae míima o aquello cuyo polo y cero, e u FD LI, e ecuetra e el emiplao egativo el omiio complejo. Ejemplo 6. El equipo e práctica Peltier ate ua repueta e 5V e ecaló, u alia e: 7 Repueta el equipo Peltier 6 5 Experimetal Amplitu 4 3 Moelo Z-N iempo (ec) LI. Moelar la plata egú el criterio e Ziegler-Nichol y u FD e tipo La gaacia etática el equipo Peltier verá aa por el valor fial e el régime permaete poerao por la amplitu el ecaló: Sobre la gráfica e oberva que hay u retaro puro e 4 y que el itema tara e alcazar el 95% el valor fial e 45 eguo: 5 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

25 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º El moelo e Z-N y u aproximació por Pae erá: ao valore, p ( ) p ( ) e e Empleao ua aproximació má implificao el retaro, itema quea como: e, el p ( ). /( ).9.45 (.5)(.73) (.5)(.73) (.7)(.55) Similar a la última expreió coeguia por otra técica e ietificació e itema y uaa e la práctica e la aigatura. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 53

26 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació 6.4 Problema Ejercicio 6. Dibujar aproximaamete, la repueta al impulo, ecaló y rampa el itema cuya FD e: Ejercicio 6. ( ) Dibujar la repueta al ecaló el itema e: Ejercicio 6.3 ( ) La figura repreeta la repueta al ecaló e u itema e FD ecoocia. Obteer la repueta el itema ate ua etraa e impulo: Step Repoe A mp litu e ime (ec) Ejercicio 6.4 Dibujar aproximaamete la repueta al ecaló e lo iguiete itema: ( ) ( ) 54 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

27 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º 3 ( 5 ( ) ) ( )( ) 4 ( 6 ( ) ) ( )( ) 7 ( ) ( j)( j) 8 ( ) ( j)( j) ) ( 9 ( ) ) ( ( ) Ejercicio 6.5 El itema e la figura etá formao por 3 bloque e FD ecoocio. E u iterior e ha repreetao la repueta a iferete etraa. Ecuétree la FD el itema. E etable el itema reultate?. Cómo repoerá al ecaló?. - Repueta al impulo t Repueta al ecaló.7 Repueta al ecaló Ejercicio 6.6 El equipo e práctica e cotrol e temperatura obre ua célula peltier tiee el iguiete iagrama a bloque: ( ) u cp ( ) Amplificaor racouctivo [ ms ] i p ( ) Célula Peltier u Aco ( ) Acoicioamieto V K Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 55

28 Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Apute e Regulació La iámica e la Peltier e aproximao por: ( t) Pe ( t) CH ( t) R H [ α ] i ( ) P ( t) t (liealizació) e c oe u cp (t): teió e cotrol peltier p i p (t): corriete que circula por la Peltier (t) c - f, c temperatura cara caliete f temperatura cara fría u ACOND (t): teió e alia proporcioal a (t) P e (t): potecia eléctrica aa a la peltier α: coeficiete e Seebec.3 V/K Ate ua etraa e ecaló e 5V, la repueta e la aa por la figura. Coiere que la temperatura ambiete e e ºC. Determiar: 7 6 a) FD equivalete b) Diagrama e bloque c) Cálculo e R H y C H Ejercicio 6.7 Dibujar la eñal e alia ate ua etraa e ecaló uitario, para lo iguiete valore e : a).; b).5; c).5, comparáolo e cuato a t p, t, M p y t r. () 56 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial

29 Apute e Regulació Capítulo 6: Aálii temporal e itema e er y º Ejercicio 6.8 A u itema que ate ecaló uitario repoe co y(t)5-5e -t e le añae e erie u itegraor y e realimeta el cojuto uitaria y egativamete. a) Obteer la repueta impulioal el cojuto. b) Dibujar la repueta a ua etraa e ecaló e 3 uiae e amplitu. Ejercicio 6.9 El itema e la figura repoe ate ua aplicació bruca e ua fuerza e g apartáoe e u poició e equilibrio como e iica a cotiuació: M g x(t) x(t).m 9.5mm B Determiar M, B y. Derecho e Autor 8 Carlo Platero Dueña. Permio para copiar, itribuir y/o moificar ete ocumeto bajo lo térmio e la Licecia e Documetació Libre NU, Verió. o cualquier otra verió poterior publicaa por la Free Software Fouatio; i eccioe ivariate, i texto e la Cubierta Frotal, aí como el texto e la Cubierta Poterior. Ua copia e la licecia e icluia e la ecció titulaa "Licecia e Documetació Libre NU". La Licecia e ocumetació libre NU (NU Free Documetatio Licee) e ua licecia co copyleft para coteio abierto. oo lo coteio e eto apute etá cubierto por eta licecia. La verio. e ecuetra e La traucció (o oficial) al catellao e la verió. e ecuetra e Dpto. Electróica, Automática e Iformática Iutrial 57

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