Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange

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1 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 Resumen TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange. Prncpos de dnámca clásca.. Leyes de ewton a) Ley de nerca: enúncela! b) 2ª ley de ewton: enúncela! c) 3ª ley de ewton: Ley de accón y reaccón (enúncela tambén).2. Comentaros a las leyes de ewton a) Prmera ley: - Crea el ámbto lógco del movmento: espaco homogéneo e sótropo, tempo homogéneo - Excluye varacones espontáneas de la velocdad b) Segunda ley: - Concepto de masa nerte como magntud constante, postva y adtva c) Tercera ley: - Velocdad nfnta del fenómeno de nteraccón gravtatora.3. Ley de la gravtacón unversal m F m m G ( ) m F F = r 3 r r r G: Constante de la gravtacón unversal ( cuál es el valor de G?) - Concepto de masa pesante - Expermento de Galleo: dentfcacón numérca de las masas nerte y pesante. TECU, 2006

2 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 2. Sstema cnétco a) Defncón: sstema de vectores lgados obtendo al aplcar en cada punto de un sstema materal un vector equpolente a m.v ( m es la masa de tal punto y v, su velocdad). b) - Resultante general: es el momento lneal - ó cantdad de movmento -: = p mv y tenendo en cuenta las propedades del centro de masas, G, = p = mv = v m = Mv () (M = masa total del sstema ) G G = = - El momento resultante del sstema cnétco respecto de un punto O, se llama momento angular - ó momento cnétco - en dcho punto: = O m = H OA v ( A punto ocupado por la masa m ) - - Energía cnétca: = 2 T mv 2 = 3. Teoremas de Köng Tenendo en cuenta las propedades del centro de masas se puede establecer que: v = vg + v r ( v r es la velocdad de la masa m en su movmento relatvo respecto a unos ees con orgen en G que se trasladan permanentemente). º Teorema: 2 2 vg v r = = T = mv = m( + ) 2 2 Hacendo operacones (hágalas): T = Mv + mv = Mv + T = 2 (sendo Tr m.v r) 2 2 = 2 2º Teorema: G r G r = H = GA mv = GA m ( v + v ) G G r = = TECU, 2006

3 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 Hacendo operacones (hágalas): = G m r = H GA v, pues m G = GA v = 0 por qué? 4. Sstema dnámco a) Defncón: sstema de vectores lgados consttudo por las fuerzas actuantes sobre sus puntos materales. b) - Resultante general: F= F = F + F = F ac ext nt ext = = = = (pues por la 3º Ley de ewton = F = 0) nt - Momento resultante en un punto O: = OA F = OA F + OA F = OA F O ac ext nt ext = = = = pues por la 3º Ley de ewton nt = OA F = 0 ( O ) - Trabao elemental: = dw F.dr ( dw no es una dferencal exacta) = ac 5. Teoremas fundamentales de la dnámca p H o T Sstema cnétco Teoremas fundamentales Sstema dnámco F o dw TECU, 2006

4 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 dp a) = F (demuéstrelo) o ben, tenendo en cuenta () dt Ma = F Teorema del momento lneal G dho b) + vo p = O (demuéstrelo) y tenendo en cuenta (): dt dh dt G = G Teorema del momento angular c) dt = dw (demuéstrelo) Teorema de la energía 6. Prncpo de D Alembert a) Defncón de fuerza de nerca φ φ = ma b) Enuncado del prncpo: F + φ = 0 =... ac Todo sstema materal se encuentra en equlbro cuando se añade a cada punto materal su correspondente fuerza de nerca. c) Comentaros a este prncpo: - es una nueva perspectva no causal; sucesón temporal de equlbros. - posbldad de aplcar a ese equlbro el teorema de los trabaos vrtuales para determnar las fuerzas de nerca equlbrantes y, por tanto, el movmento del sstema. 7. Ecuacones de Lagrange a) Requstos que se han de mponer a los sstemas materales: - formados por sóldos ndeformables - con enlaces ( qué es un enlace? qué tpos exsten?) holónomos ( qué son enlaces holónomos?) y perfectos ( cuándo son perfectos los enlaces?) b) Concepto de desplazamento vrtual, elemental, δr : Lleva al sstema desde la confguracón que realmente ocupa a otra nfntamente próxma que podía haber ocupado en el msmo nstante: TECU, 2006

5 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 r δ r = δq (el tempo se congela ) n = c) otas matemátcas prevas: v v r = = d r dt (demuestre estas gualdades) d) F + φ = 0 ( F + φ ) δ r = 0 ac ac = luego: 0 = F δ r + φ δr (2) ac = = * F δ r = F δr ( por qué?) ac ap = = r r δ = δ = δq n n Fap r Fap ( q ) F ap = = = = = y de ahí se concluye que: n F δ r = F δ r = Qδq (3) ac ap = = = ( Qué es Q y cómo se obtene en la práctca?) r r δ = δ = δ = δ = n n * φ r ma r m a ( q) ma q = = = = = = = n d m v r δq dt = = Hacendo las operacones (hágalas) se llega a: d T T φ δ r = δ q + δq (4) n n = = dt = TECU, 2006

6 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 En defntva, llevando (3) y (4) a (2): n n n d T T 0 Qδq δ q + δ q = = dt = y de aquí a que: d T T Q = =, 2...n ( por qué?) dt q q que son las ecuacones de Lagrange. d) S, además, las fuerzas aplcadas fueran conservatvas: se demuestra que Q V = q (demuéstrelo) y entonces s L=T-V las ecuacones de Lagrange toman la sguente forma: d L L = 0 dt =, 2...n e) En el caso general de que las fuerzas aplcadas fueran unas conservatvas y otras no conservatvas, las ecuacones de Lagrange serían: d L L = Q dt =, 2...n, L=T-V (V de las fuerzas conservatvas) Q obtendo tan sólo a partr de las fuerzas aplcadas no conservatvas. 8. Momentos canóncos. Teorema de conservacón a) Defncón: p L = q es el momento canónco asocado a la coordenada q b) Teorema de conservacón: en el caso de que se puedan establecer las ecuacones de Lagrange y todas las fuerzas aplcadas sean conservatvas, s la L = T-V no fuera funcón explícta de una coordenada (por eemplo q k ), aunque s lo sea de q k, al aplcar la ecuacón de Lagrange correspondente a ese coordenada: TECU, 2006

7 TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 d L L d L = 0 = 0 p k = 0 pk = cte dt dt k k k * La coordenada q k se llama coordenada cíclca o gnorable, en consecuenca el momento canónco asocado a una coordenada cíclca se conserva constante durante el movmento. 9. Teorema de conservacón de la energía a) Condcones que hay que mponer al sstema materal: Formado por sóldos ndeformables Con enlaces esclerónomos y perfectos Sometdo a fuerzas aplcadas conservatvas En estas condcones: sóldos ndeformables dt = dw dt = dw = dw + dw enlaces perfectos dt = dw aplc ext enl aplc Pero s las fuerzas aplcadas son conservatvas: F = grad, luego: aplc V enlaces esclerónomos aplc = grad r aplc = = = = = = dw V d dw dv dv (V V ) Fnalmente: dt = dv d(t + V) = 0 T + V = E (constante) b) A déntco resultado se hubera llegado medante las ecuacones de Lagrange. En efecto, como: d T T V = =,2...n dt Resultaría tambén que: n n n d T T = V q q q = dt = = O ben ( obténgalo!): n n n n d T T T = V q q q q dt q q q q = = = = TECU, 2006

8 Ahora ben: TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 n q = T = 2T ( por qué?) n T + T dt (q q ) = q q dt = ( demuéstrelo!) n = V q dv = dt ( por qué?) Luego: d(2t) dt dv = T + V = cte dt dt dt 0. Integrales prmeras del movmento Las ntegrales prmeras son aquellas ecuacones que se obtenen al aplcar los teoremas de conservacón, tanto el de conservacón de la energía como el asocado a la exstenca de coordenadas cíclcas (conservacón del momento canónco). Las ecuacones asocadas a los teoremas de conservacón son sempre ecuacones de prmer orden, por lo que podrían consderarse como procedentes de una prmera ntegracón de las ecuacones unversales de la dnámca que son de segundo orden -. S hubera tantas ntegrales prmeras como grados de lbertad es posble llegar a establecer unas ecuacones dferencales de prmer orden de una sola varable, que se conocen como ecuacones del movmento undmensonal equvalente, de las que por smples consderacones geométrcas pueden deducrse propedades mportantes del movmento del sstema mecánco. FI DEL TEMA TECU, 2006