Análisis de Volumen de Control

Transcripción

1 Capítulo 5 Análisis de olumen de Control Una técnica muy importante en mecánica de fluidos es el análisis a través de volúmenes de control. Ésta consiste en reexpresar las leyes básicas de conservación para un volumen fijo (con respecto a un sistema de referencia). Así, evaluando los flujos a través de las parades del volumen podemos calcular fuerzas, cambios de, etc. Estas ecuaciones, en particular la conservación de y momentum lineal, se derivaron en uno de los capítulos anteriores. En esta sección se volverán a derivar utilizando el teorema de transporte de Reynolds Ecuaciones básicas para un sistema istema. Es la colección arbitraria de de identidad fija. Es decir, una de las mismas partículas para todo t. Las ecuaciones básicas para todo sistema son: 1. Conservación de. La del sistema debe ser constante: DM sistema = 0 Podemos escribir M sistema = sistema 51 dm = olumen ρd

2 52 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL donde ρ es la densidad de la material dentro del volumen. 2. egunda ley de Newton. Para un sistema que se mueve relativo a un marco de referencia inercial, la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo del momentum lineal del sistema. F = D P sistema donde F es la fuerza total y P es el momentum lineal del sistema definido como P = sistema Udm = Uρd donde U es la velocidad de las partículas del sistema dentro del volumen. 3. Conservación del momentum angular. La razón de cambio del momentum angular es igual a la suma de los torques (pares), T, que actúan sobre el sistema: T = D H sistema El momentum angular del sistema esta definido como H sistema = r Uρd 4. Primera ley de la termodinámica. La conservación de energía para un sistema esta dada por la relación donde donde u es la energía interna. Q Ẇ = DE sistema E sistema = m e = u + edm = gz eρdb

3 5.2. TEOREMA DE TRAPORTE DE REYNOLD egunda ley de la termodinámica. i cierta cantidad de calor δq se transfiere a un sistema a una temperatura T, su entropía,, satisface d δq T o para un proceso t δ Q T donde Q es la tasa de transferencia de calor. La entropía del sistema es sistema = sdm = m sρd donde s es la entropía por unidad de Teorema de Trasporte de Reynolds Una propiedad es la cuantificación de un atributo o una cualidad esencial del estado de un sistema. Una propiedad extensiva, N, es aquella cuya medida es absoluta (el valor de una propiedad extensiva puede sumarse, N t = N 1 + N 2 ). Una propiedad intensiva, η, es la medición de una característica del sistema por unidad de (el valor de una propiedad intensiva NO puede sumarse, η t η 1 + η 2 ). Así, N sistema = ηdm = ηρd m Naturalmente, existe una propiedad intensiva por cada propiedad extensiva. Por ejemplo, si N = M η = 1 N = P N = E η = v η = e

4 54 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL Podemos analizar como es que una propiedad extensiva cambia con respecto al tiempo para un sistema contenido dentro de un volumen de control. Considere el siguiente esquema: sistema C sistema C I II III y x z t=to t=to+ t Un volumen de control esta fijo en el espacio, inmerso en un flujo. En el instante t = t o, un sistema (un conjunto de partículas) esta completamente contenido dentro del la superficie del volumen de control C. ea N una propiedad extensiva del sistema y sea η su correspondiente propiedad intensiva. i consideramos un elemento diferencial de volumen, d dentro del volumen de control entonces dn sistema = ηρd Así, N sistema = ηρd sistema N C = ηρd C Note que en t = to la suma total de N en el sistema y el volumen de control son iguales debido a que en ese momento el sistema y el C coinciden: N sistema (t o ) = N C (t o ) in embargo, en t = t o + t el sistema y el C no ocupan el mismo espacio. Entonces podemos decir que N sistema (t o + t) N C (to + t)

5 5.2. TEOREMA DE TRAPORTE DE REYNOLD 55 De la figura, la región I representa N entra (t o + t), y la region III representa N sale (t o + t), correspondiente a las cantidades de N que entra y salen del C respectivamente. Nótese además que puesto que N puede también estar cambiando con respecto al tiempo, en general, N sistema (t o ) N sistema (t o + t). De la figura podemos entonces deducir que N C (t o + t) = N sistema (t o + t) N sale (t o + t) + N entra (t o + t) Restando N sistema (t o ) a ambos lados de la ecuación y dividiendo entre t tenemos N C (t o + t) N sistema (t o ) t = N sistema(t o + t) N sistema (t o ) t N sale(t o + t) + N entra(t o + t) t t Del lado izquierdo de la ecuación podemos sustituir N sistema (t o ) por N C (t o ). Además podemos restar N sale (t o )/ t y N entra (t o )/ t del lado derecho de la ecuación. (note que N sale (t o ) = N entra (t o ) = 0). Tenemos entonces, tomando el límite en que t 0: N C (t o + t) N C (t o ) lím t 0 t Por lo tanto dn C dt = lím t 0 N sistema (t o + t) N sistema (t o ) t = DN sistem N sale (t o + t) N sale (t o ) lím t 0 t + lím t 0 N entra (t o + t) N entra (t o ) t d dt (N sale N entra ) La notación D/ representa la razón de cambio de un conjunto de partículas específicas (descripción Lagrangiana). Rearreglando la ecuación anterior tenemos, [ ] D ηρd = d [ sistema dt ] ηρd + d dt (N sale N entra )

6 56 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL El último término de esta ecuación representa la tasa neta a la cual N esta saliendo del volumen de control a través de la superficie de éste. Podemos hacer una análisis más detallado de un elemento diferencial de la superficie del C, d. n d ( n) t C sistema La componente de flujo que puede arrastrar una propiedad hacia afuera del C a través de d es v ˆn. Note que v es la velocidad del flujo con respecto al C. El elemento diferencial de volumen de fluid que sale del C a través de d en el tiempo t es: d = ( v ˆn) td = ( v ˆ d) t Podemos entonces definir un flujo volumétrico infinitesimal a través de d dq = v ˆ d

7 5.3. ECUACIÓN DE CONERACIÓN DE MAA 57 Entonces, d dt (N sale N entra ) = ηρdq = η(ρ v d) ˆ Por lo tanto la ecuación para describir el cambio total de una propiedad de un sistema que atraviesa un C se puede escribir como: [ ] D ηρd = [ ] ηρd + η(ρ v d) ˆ (5.1) sistema t Esta ecuación es el Teorema de Trasporte de Reynolds (TTR). El término de la izquierda representa la tasa de cambio de la propiedad N dentro del sistema. El primer término de la derecha representa la razón de acumulación de N dentro del C; el segundo término de la derecha representa el flujo neto de N a través de la superficie que envuelve al C Ecuación de conservación de La ecuación de conservación de para un sistema es DM sistema = 0 Para este caso N = M y por lo tanto η = 1. ustituyendo estas cantidades en el TTR tenemos por lo tanto DM sistema = t [ ] ρd + ρ v ˆ d 0 = t [ ] ρd + ρ v ˆ d (5.2) que es la ecuación de conservación de para un C.

8 58 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL Casos especiales Flujo incompresible En este caso ρ = constante. Por lo tanto la ecuación de conservación de se puede simplificar: 0 = t [ ] d + v ˆ d Por definición, el C no cambia como función del tiempo. Por lo tanto: 0 = v d ˆ i definimos el flujo volumétrico Q como Q = v d ˆ entonces la ecuación de conservación de se puede escribir como A 0 = N Q i i 1 A: También podemos definir la velocidad media a través de una superficie, Ū = Q A = 1 A A v ˆ d Flujo estacionario compresible Para este caso / t = 0, entonces 0 = Ejemplos Aun no escrito. ρ v ˆ d

9 5.4. ECUACIÓN DE CONERACIÓN DE MOMENTUM LINEAL Ecuación de conservación de momentum lineal La ecuación de conservación de momentum lineal para un sistema es F = D P sistema Para este caso N = P y por lo tanto η = v. ustituyendo estas cantidades en el TTR tenemos [ ] D vρd = [ sistema t Por lo tanto ] vρd + v(ρ v ˆ d) F = t [ ] vρd + v(ρ v ˆ d) (5.3) que es la ecuación de conservación de momentum lineal para un C. El primer término del lado derecho representa la acumulación de momentum dentro del C, mientras que el segundo representa el flujo neto de momentum a través de la superficie del C. La fuerza neta sobre el C puede separarse en dos tipos donde y F = F + F F = F = A P d ρ Bd donde B puede ser un campo gravitacional, magnético, etc.

10 60 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL Algunas observaciones Recuerde que la ecuación de conservación de momentum es una ecuación vectorial. Entonces, de hecho, son en realidad tres ecuaciones. in consideramos que v = (u, v, w) en las coordenadas (x, y, z), entonces [ (F ) x + (F ) x = t (F ) y + (F ) y = [ t (F ) x + (F ) x = [ t ] uρd + ] vρd + ] wρd + u(ρ v ˆ d v(ρ v ˆ d w(ρ v ˆ d Debe siempre tenerse en cuenta que la velocidad v que aparece en al ecuación de conservación de momentum es una velocidad relativa con respecto al C. La derivación del TTR se llevó a cabo considerando que el C estaba fijo en el espacio (o que se trasladaba a una velocidad constante). Es decir, para un sistema de referencia inercial. i el C se esta acelerando (sistema de referencia no inercial), el TTR no es aplicable. Existe una derivación generalizada para el TTR para este caso. Para resolver un problema cd C se debe ser cuidadoso. recuerde: 1. Dibuje el C sobre el cual se aplicará la ecuación de conservación 2. Indique el sistema de referencia 3. Escriba explícitamente las suposiciones 4. Haga un diagrama de cuerpo libre 5. Escriba la ecuación e indique el valor de cada termino Aunque estas indicaciones pueden parecer triviales e innecesarias, seguir estos pasos reduce la posibilidad de equivocación.

11 5.5. ANÁLII PARA UN C QUE E MUEE A UNA ELOCIDAD CONTANTE Ejemplos Aun no escrito Análisis para un C que se mueve a una velocidad constante Para este caso simplemente debemos hacer un cambio de variables. i la velocidad a la que se desplaza el C es constante, entonces el sistema referencia sigue siendo inercial. El teorema de trasporte de Reynolds se escribe entonces como: [ ] D ηρd = [ sistema t ] ηρd + η(ρ v c.r. C ˆ d) (5.4) donde v c.r. C es la velocidad del flujo con respecto al volumen de control Ejemplos Calcule la fuerza que se ejerce sobre el carro mostrado en la figura si éste se esta moviendo a una velocidad constante C Conservación de momentum para un C donde con aceleración rectilínea Consideremos la conservación de momentum lineal para un sistema F = D P XY Z P XY Z esta evaluado para un sistema de referencia inercial XY Z. Podemos escribir la ecuación anterior tal que F = D XY Z dm

12 62 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL mas aun F = D XY Z dm = a XY Z dm i el volumen de control para el cual se desea aplicar las leyes de conservación se esta acelerando (sistema no inercial), debemos expresar veca XY Z como función de las coordenadas no inerciales, xyz: a XY Z = a xyz + a rf donde a rf es la aceleración lineal del sistema de referencia xyz con respecto a XY Z. ó Entonces podemos escribir F = F abemos que a xyz = D por lo tanto F xyz a xyz + a rf dm a rf dm = a xyz dm entonces a rf dm = F D xyz a rf ρd = D dm = D P xyz P xyz Utilizando en teorema de trasporte de Reynolds, podemos reescribir el ultimo término de la ecuación anterior. DP xyz = [ ] v xyz ρd + t Por lo tanto F a rf ρd = [ t ] v xyz ρd + v xyz (ρv xyz d) ˆ v xyz (ρv xyz d) ˆ

13 5.7. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA Ejemplos Aun no escrito Primera ley de la termodinámica abemos que Q Ẇ = DE sistema La energía de un sistema es E sistema = eρd donde e es la energía específica dada por e = u gz donde u es la energía interna, es el módulo de la velocidad y z es la altura con respecto a una referencia. Utilizando el TTR, considerando N = E y η = e, tenemos Q Ẇ = [ ] eρd + e(ρ v d) ˆ t C Podemos considerar que la razón de trabajo, Ẇ, o potencia, es positiva cuando el trabajo es realizado por el volumen de control sobre sus alrededores (convención). donde Además es usual dividir a la potencia en Entonces Ẇ = Ẇpar + Ẇnormal + Ẇcorte + Ẇotros Ẇ normal = Ẇ corte = Q Ẇpar Ẇnormal Ẇcorte Ẇotros = t C C [ P v d, τ v d eρd ] + (u gz)(ρ v d) ˆ

14 64 CAPÍTULO 5. ANÁLII DE OLUMEN DE CONTROL Ejemplos Aun no escrito.