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1 LÍMITES LECCIÓN 6 Índice: Cálculo de ites en el infinito. Epresión indeterminada -. Epresión indeterminada /. Epresión indeterminada 0. Epresión indeterminada ±. Límites de sucesiones. Cálculo de ites en -. Problemas..- Cálculo de ites en el infinito El cálculo de ites en el infinito se reduce a aplicar sistemáticamente las reglas enunciadas en el apartado de la lección anterior, así como la tabla de los ites. Además se utilizan dos resultados ya vistos (problemas 2 y 3 de la lección 2): º) El ite de la función f()k, tanto en - como en + : kk - kk 2º) El ite de la función f(), tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el ite de la función polinómica f()3 2 - en + : f() (32 -) (32 )- 2 3 ( )2-4 3 (+ ) Como se ve, todos estos pasos se reducen a sustituir por +, lo que se conoce con el nombre de dar el paso al ite. Eso es lo que haremos de ahora en adelante: f() (32 -) 5 3 (+ ) (+ ) En este caso se trata de un ite determinado. Si fuese indeterminado, esto es, si al dar el paso al ite aparece una epresión indeterminada, hay que operar adecuadamente para convertirlo en determinado. Las operaciones que se hacen dependen del tipo de indeterminación que aparezca. Es lo que veremos en los siguientes apartados. El ite de una resta es la resta de los ites (primera regla de las operaciones con ites). 2 El ite del producto de un número por una función es el producto del número por el ite de la función (segunda regla de las operaciones con ites). 3 El ite de un producto ( 2 ) es el producto de los ites (tercera regla de las operaciones con ites). 4 Por los resultados mencionados más arriba (los problemas 2 y 3 de la lección 2). 5 Damos el paso al ite. 6 Aplicamos la tabla de ites. - -

2 2.- Epresión indeterminada - Las funciones más sencillas en las que puede aparecer esta epresión indeterminada son las funciones polinómicas: (2 -) (+ ) 2 -(+ ) 2 - A diferencia de lo que nos ocurría en el ejemplo anterior, aquí aparece una epresión indeterminada. Para eliminarla, se saca factor común 3 la máima potencia de : (2 -) 2 - (+ ) (-0) Observa que este método funciona incluso en aquellos casos en los que no necesita ser aplicado: (32 -) (+ ) (3-0) Por tanto, lo utilizaremos siempre que tengamos que calcular el ite en el infinito de un polinomio, sin esperar a ver si sale o no la indeterminación Epresión indeterminada / Las funciones más sencillas en las que puede aparecer esta epresión indeterminada son las funciones racionales (cocientes de polinomios): (+ ) 2 - (+ ) [-0] Por tanto, la epresión indeterminada / se elimina sacando factor común la máima potencia de en el numerador y en el denominador, y simplificando a continuación. Damos el paso al ite. 2 Aplicamos la tabla de ites. 3 Recuerda lo dicho en el apartado 4 de la lección anterior. 4 Procedemos con cada polinomio como hemos indicado antes. 5 Si diésemos aquí el paso al ite, aparecería la indeterminación /. Antes de darlo, simplificamos numerador y denominador L-6

3 4.- Epresión indeterminada 0 La epresión indeterminada 0 suele aparecer en algunas restas de raíces. Por ejemplo: [ ] ( 0-2) La epresión indeterminada 0 se elimina multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada (A+B y A-B son epresiones conjugadas): ( ( ) ( ) ) / No siempre que estamos ante una resta de raíces aparece la indeterminación 0 : [ 42 --] ( ) 4 + Es fácil distinguir ambos casos. La indeterminación 0 aparece cuando el grado y el coeficiente principal (coeficiente de mayor grado) de minuendo y sustraendo coinciden. Observa que en ambos ejemplos hay coincidencia de grados 7, pero en el segundo ejemplo el coeficiente principal del minuendo es 2, mientras que el del sustraendo es. De todos modos, en ambos casos puede aplicarse el procedimiento de multiplicar y dividir por el conjugado. Aunque, como hemos visto con el segundo ejemplo, se ahorra tiempo procediendo directamente. Procedemos con cada polinomio como hemos indicado antes. 2 Si diésemos aquí el paso al ite, aparecería la indeterminación -. Por tanto, sacamos factor común la máima potencia de. 3 Damos el paso al ite. 4 Aplicamos la tabla de ites. 5 Sacamos factor común la máima potencia de. Nos hemos saltado el paso previo de hacerlo primero en el radicando. 6 Si diésemos aquí el paso al ite, aparecería la indeterminación /. Antes de darlo, simplificamos numerador y denominador. 7 Al ser el minuendo la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado, su grado es. Ya que L-6

4 5.- Epresión indeterminada ± Evidentemente, esta indeterminación solo puede aparecer al calcular el ite de una potencia. Por ejemplo: La epresión indeterminada ± se elimina aplicando la regla 4 siguiente, que no vamos a demostrar. Esta regla solo se puede aplicar cuando aparezca dicha indeterminación: Si 0 f() y 0 g()±, entonces 5 : [f()] g() 0 e [g() (f()-)] 0 Apliquémosla al ejercicio anterior: - e - - e (--) e (-) e Límites de sucesiones Como las sucesiones son funciones de dominio N*N-{0}, sus ites en +, que son los únicos que tiene sentido plantear, se calculan igual que los ites de las funciones. La única diferencia es que la variable es n en lugar de. Por ejemplo 6 : +2n +2n n 7 n +2 +2n Como hemos indicado antes, la regla del apartado anterior solo puede aplicarse cuando aparece la indeterminación ±. Observa qué Procedemos con cada polinomio como hemos indicado antes. 2 Damos el paso al ite. 3 Aplicamos la tabla de ites. 4 Aunque en esta lección estamos calculando ites en el infinito y, por tanto, 0 es aquí + o -, esta regla también vale cuando 0 es un número real o cuando se trata de ites laterales. Por eso la hemos enunciado en general. 5 Observa que con esta regla transformamos la indeterminación ± en 0. 6 Como el único ite que tiene sentido con sucesiones es el ite en +, no se suele poner debajo de la epresión n +. 7 En lugar de sacar la máima potencia de n en los polinomios del eponente para deshacer la indeterminación /, hemos hecho la división. En la base de la potencia no aparece ninguna indeterminación, por lo que puede dejarse como está L-6

5 hubiera pasado si en este ejercicio hubiésemos aplicado (erróneamente) dicha regla: +2n +2n n e +2n n +2n - e +2n n --2n +2n e (-2) e Cálculo de ites en - En - se hace igual que en +, solo que en el paso al ite se sustituye por -. Cuando se trata de funciones con raíces de índice par hay que tener especial cuidado a la hora de meter factores o divisores dentro del signo radical (o de sacarlos): (- ) No obstante, como f() y f(-) son funciones simétricas respecto del eje de ordenadas, se puede aplicar, como vimos en la lección 2, la fórmula: - f() f(-) Veámoslo con el ejercicio anterior: (-) (+ ) Procedemos con cada polinomio como hemos indicado antes. 2 Recuerda que 2, y que - cuando <0. 3 Damos el paso al ite. 4 Aplicamos la tabla de ites. 5 Ya nos hemos encontrado en esta misma situación en algún problema de esta lección. Aunque no reparamos en ello, conviene hacerlo de ahora en adelante: como >0, L-6

6 .- Problemas ) Calcula: a) - ( ) 2 c) n 2 b) n 3 -n 2 -n+ d) n 2 +4 n2 5n 2 e) [3-4 ] f) 2 + g) + h) ( ) i) e 3 j) k) 2 -- n n 3-3n l) 4n 3-5n 2 m) [ ( +- )] n) ñ) p) - (2-2 ) 2) Halla: a) o) q) n b) 3 n 2 c) [ ] e) - [ ] 2 d) f) - g) ( n 2 +4n- n 2 +n) h) i) n 3 n 3 +3n-2 2 n +3 n 4 n j) (+sen ) k) - (3 /2 ) l) n m) n 2 n) ( ) ñ) o) [e (2+sen )] p) [+2/ ] - q) ) Calcula el valor de m para que se verifique la igualdad: +2m -m L-6

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