Límite y Continuidad de Funciones.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Límite y Continuidad de Funciones."

Transcripción

1 Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por la derecha.. Fucioes que crece si límite. 8. Fucioes que decrece si límite. 9. Límites idetermiados. 0. Cotiuidad de ua fució. Límite de ua fució. La oció de límite de ua fució e u úmero (u puto de la recta real) se presetará mediate el siguiete ejemplo: Supogamos que se os pide dibujar la gráfica de la fució f ( ), Para todo puto podemos trazar la gráfica por los métodos coocidos por todos osotros. Ahora, para teer idea del comportamieto de la gráfica de f cerca de, usamos dos cojutos de valores, uo que se aproime al por la izquierda otro por la derecha. La siguiete tabla muestra los correspodietes valores de f (). se acerca al por la izquierda se acerca al por la derecha 0,9 0,99 0,999,00,0, f ( ),,90,9900?,0000,00, f () se acerca al f () se acerca al Figura f ( ) (,) La figura es la gráfica de la fució f ( ), como podemos observar, e dicha gráfica ha u salto e el puto (; ), esto se debe a que la fució f o está defiida e el úmero. Es de otar que ésta gráfica es la de la fució g( ) + + meos el puto (; ). La fució g se obtiee a partir de la fució f, factorizado el umerador simplificado. La discusió aterior coduce a la siguiete descripció iformal: Si f() se aproima arbitrariamete a u úmero L cuado se aproima a a por ambos lados, decimos que el límite de f() cuado tiede a a es L, escribimos lím f ( ) L. a

2 Defiició de límite de ua fució. Sea f ua fució defiida e todo úmero de algú itervalo abierto I que cotiee a a ecepto posiblemete e el úmero a mismo. El límite de f() cuado se aproima a a es L, lo cual se escribe como lím f ( ) L, si para cualquier ε > 0, o importa que ta pequeña sea, eiste ua δ > 0 tal que a si 0 < a < δ etoces f ( ) L < ε Esta defiició idica que los valores de f() se aproima al límite L coforme se aproima al úmero a, si el valor absoluto de la diferecia f ( ) L puede hacerse ta pequeña como de desee tomado suficietemete cerca de a pero o igual a a. E la defiició o se mecioa ada acerca del valor de f() cuado a; recordemos que la fució o ecesita estar defiida e a para que lím f ( ) eista. a Ejemplos. ) Utilicemos la defiició para demostrar que lím( ). Como la fució está defiida e todo itervalo abierto que cotiee a, etoces podemos utilizar la defiició para hacer la demostració. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0 eiste ua δ > 0 tal que si 0 < < δ etoces ( ) < ε (A) si 0 < < δ etoces 8 < ε si 0 < < δ etoces < ε ε si 0 < < δ etoces < Etoces, si tomamos ε δ se cumple la proposició (A). Esto demuestra que lím( ). Tomado ε 0, 0, δ 0,00, luego, para esos valores de ε δ, los úmeros que perteece al itervalo abierto (,99; ) ( ;,00) verifica la proposició(a). E efecto, tomado cualquier e el itervalo aterior, por ejemplo,99 se tiee: 0 <,99 0,00 0,00 < 0,00 etoces (,99 ), , 009 0, 009 < 0, 0 Esto verifica la proposició (A) para el valor específico tomado para. ) Demostrar usado la defiició de límite que lím.

3 Como la fució está defiida e cualquier itervalo abierto que cotega al, ecepto e el úmero, podemos aplicar la defiició para realizar la demostració. E efecto, si 0 < < δ etoces si 0 < < δ etoces < ε ( )( + + ) si 0 < < δ etoces + < ε si 0 < < δ etoces ( )( + ) < ε si 0 < < δ etoces + < ε < ε Ahora, cuado se acerca a, + se acerca a, luego, < +, etoces, ε + < ε, por lo tato, <. De la proposició (B) se obtiee que, si ε ε 0 < < δ etoces <. Si tomamos δ se cumple la proposició (B), lo que demuestra que. Ejercicios propuestos. ) ) ) ) Demuestre, aplicado la defiició que el límite es el úmero idicado. lím ( ) lím + lím ( + ) lím( + ) 8 Co la fialidad de calcular los límites de fucioes de ua maera más fácil eficaz, que aplicado la defiició, so empleados los teoremas. al.0. (B) Teorema. Límite de ua fució lieal. Sea f ( ) m + b dode m b so dos úmeros reales cualesquiera, etoces Ejemplo. lím f ( ) lím( m + b) ma + b a a lím( ) Teorema. Límite de ua fució costate. Si c es ua costate (u úmero real cualquiera), etoces

4 Ejemplo. lím lím c c a Teorema. Límite de ua fució idetidad. Sea f ( ), etoces lím a a Ejemplo. lím Teorema. Límite de la suma de la diferecia de fucioes. Si lím f ( ) L lím g( ) M, etoces a Ejemplo. Sea, a lím( ) lím 9, [ ] lím f ( ) ± g( ) lím f ( ) ± lím g( ) L ± M a a a (( ) ( )) ( ) lím lím lím 9 etoces, (( ) ( )) ( ) Teorema. Límite de la suma de diferecia de fucioes. Si a a a lím + lím + lím + 9 lím f ( ) L, lím f ( ) L,, lím f ( ) L, etoces: [ ] lím f ( ) ± f ( ) ± ± f ( ) lím f ( ) ± lím f ( ) ± ± lím f ( ) L ± L ± ± L a a a a Teorema. Límite del producto de dos fucioes. Si lím f ( ) L lím g ( ) M, etoces a a Ejemplo. Sea, [ ] lím f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a a lím( ) lím 9, etoces, () ( ) lím lím lím 9 8.

5 Teorema. Límite del producto de fucioes. f ( ) L, f ( ) L,, f ( ) L, etoces Si lím lím lím a a a [ ] lím f ( ) f ( ) f ( ) lím f ( ) lím f ( ) lím f ( ) L L L a a a a Teorema 8. Límite de la -ésima potecia de ua fució. Si f ( ) L es cualquier úmero etero positivo, etoces a Ejemplo. lím[ f ( ) ] lím f ( ) L a a Sea, lím ( 0) 0, etoces, lím ( ) lím ( ) ( ) ( ) Teorema 9. Límite del cociete de dos fucioes. Si lím f ( ) L lím g ( ) M, etoces a a Ejemplo 8. Sea, lím ( ) f ( ) lím f ( ) a L lím si M 0 a g( ) lím g( ) M a lím 9, etoces, lím 9 lím lím ( ) Teorema 0. Límite de la raíz -ésima de ua fució. Si es u úmero etero positivo lím f ( ) L, etoces a lím f ( ) lím f ( ) L co la restricció que si es par, L > 0. a a Ejemplo 9. Sea, ( ) lím + 0, etoces ( ) ( ) lím + lím + lím + lím

6 Teorema. Límite del logaritmo de ua fució. Ejemplo 0. Sea: b u úmero real positivo distito de, lím f ( ) L > 0, Calcule: l ( e) e a ( ) ( ) lím logb f log b f. a lím a lím aplicado el teorema.. Apliquemos el teorema eigido: Si aplicar el teorema: etoces ( e) ( e) e ( e e) ( e) lím l l l l l e lím lím lím e e e ( e) ( e e) ( e) lím l l l. e Teorema. Uicidad del límite de ua fució. Si lím f ( ) L lím f ( ) L, etoces, L L. a a Este teorema asegura que si el límite de ua fució eiste éste es úico. Ifiitésimo. La fució f es u ifiitésimo e el puto a si sólo si lím f ( ) 0. Ejemplos 0. ) La fució f () es u ifiitésimo e 0 pues 0 a lím 0. ) La fució g () es u ifiitésimo e porque lím ( ) ) La fució h () se es u ifiitésimo e 0 a que 0 0. lím se 0. ) La fució m() - es u ifiitésimo e pues lím ( ) ) La fució r() cos es u ifiitésimo e π porque 0. lím cos 0. Ifiitésimos equivaletes. Dos ifiitésimos e u mismo puto so equivaletes, cuado el límite de su cociete es la uidad. π f ( ) f ( ) g( ) lím a g( )

7 Cuado e u límite, u ifiitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro ifiitésimo equivalete. La suma de varios ifiitésimos de distito orde se puede reducir al ifiitésimo de meor orde. Ifiitésimos más frecuetes e 0. se arcse tg arctg cos l ( + ) e a l a + + ( ) Ejemplos. ) se lím se lím 0 0 lím lím lím 0 lím lím arctg lím arctg lím 0 0 ) lím lím lím 0 arcse lím arcse lím ) ) ( ) ( e ) ( + se ) 0 lím 0 lím l0 l0 0 0 lím ( l0) 0 lím lím e 0 0 lím lím se lím límse lím lím lím lím lím lím lím Ejercicios propuestos. Calcule los siguietes límites: ) ) lím se. ) 0 + ( cos ) se + arctg 0. lím 8) se + tg ( e ) lím. ) 0 l ( + ) Límite por la izquierda. e lím. ) 0 se ( cos ) l lím. ) lím. 9) 0 tg l lím. ) + lím. ) 0 m + ( + ) + l0 se + lím 0 cos l arcse tg lím 0. 0) + ( cos ) l ( + ) lím. ) 0 arcse tg ( ) lím 0 +..

8 Sea f defiida e cada úmero del itervalo abierto ( c; a ). El límite de f (), cuado se acerca al úmero a por la izquierda es L, lo cual se escribe lím f ( ) L, si para cualquier ε > 0, si importar que ta pequeña sea, eiste ua δ > 0 tal que a si 0< a < δ etoces f ( ) L < ε Límite por la derecha. Sea f ua fució defiida e cada úmero del itervalo abierto ( ) a; c. El límite de f(), cuado se acerca al úmero a por la izquierda es L, lo cual se escribe lím f ( ) L, si para cualquier ε > 0, si importar que ta pequeña sea, eiste ua δ > 0 tal que si 0 < a < δ etoces f ( ) L < ε Teorema. El lím f ( ) eiste es igual a L, si sólo si, lím f ( ) lím f ( ) eiste so iguales a L. a a + a + a lím f ( ) lím f ( ) lím f ( ) L a + a a Fucioes que crece si límite. Sea f ua fució defiida e algú itervalo abierto que cotiee al úmero a, ecepto posiblemete e a mismo. La fució f () crece si límite, cuado se aproima al úmero a, lo cual se escribe f ( ) + si para cualquier N > 0 eiste ua δ > 0 tal que: a si 0 < a < δ etoces f () > N Ejemplo. Supogamos que f es la fució defiida por f ( ). La gráfica de esta fució se muestra e la figura siguiete. Figura f ( )

9 El comportamieto de la fució f es que crece si límite cuado se acerca al úmero cero por la izquierda o por la derecha. Cuado esto sucede decimos que el límite de f() es meos ifiito cuado tiede al úmero 0, lo que se idica mediate la siguiete otació: + 0 Fucioes que decrece si límite. Sea f ua fució defiida e algú itervalo abierto que cotiee al úmero a, ecepto posiblemete e a mismo. La fució f () decrece si límite, cuado se aproima al úmero a, lo cual se escribe f ( ) si para cualquier N < 0 eiste ua δ > 0 tal que a si 0 < a < δ etoces f () < N Ejemplo. Supogamos que f es la fució defiida por la ecuació f ( ). La gráfica de f se muestra e la figura siguiete. Figura f ( ) A partir de la gráfica se observa que el comportamieto de la fució f es que decrece si límite cuado se acerca a 0 por la izquierda o por la derecha. Este comportamieto lo epresamos diciedo que el límite de f () es meos ifiito cuado tiede a cero, lo que se escribe de la siguiete maera:. 0 Ahora cosideremos la fució h defiida por la ecuació h( ). La gráfica de h se preseta e la figura.

10 Figura h( ) El comportamieto de h cuado se acerca al úmero por la izquierda es diferete a su comportamieto cuado se acerca al por la derecha. Cuado se acerca al por la izquierda h() decrece si límite, mietras que cuado se acerca al por la derecha h() crece si límite. Estos comportamietos de h lo escribimos de las siguietes maeras: +. + Ejemplos. Determie el límite aalíticamete apoe la respuesta trazado la gráfica de la fució. + ). + t + + Solució: La gráfica de la fució g ( ) + es mostrada a cotiuació. Figura ( ) g + E la gráfica se observa que cuado se acerca al úmero por la derecha g() crece si límite.

11 0 + ). 0 Solució ( ) La gráfica de la fució + f ( ) es mostrada e la figura. f( ) + Figura Observemos que f () decrece si límite cuado se acerca al 0 por la izquierda. ) + + t +. Solució: ( + ) ( ) ( ) t La gráfica de la fució f ( ) + + se muestra e la figura :

12 Figura + f( ) Observado la gráfica podemos verificar que cuado se acerca al úmero - por la derecha, f () decrece si límite. Límites idetermiados. Los límites idetermiados que estudiaremos e éste capítulo so: La forma idetermiada 0. 0 Si f g so dos fucioes tales que f ( ) 0 g( ) 0, etoces la fució f g tiee la forma idetermiada 0 0 e a. a La maera de resolver los límites idetermiados 0, será eplicada mediate dos: 0 Ejemplos. ) Calcular. 0 Se tiee que ( ) 0 ( ) 0, etoces,. 0 Para eiar la idetermiació, factorizamos el umerador el deomiador, simplificamos resolvemos el límite obteido, así: ( )( + ) a Por lo tato, ) Calcular. +. Aquí teemos:

13 ( ) + ( ) 0 0, luego, E éste caso procedemos de la siguiete maera: multiplicamos el umerador el deomiador por la cojugada de resultate, así: +, dicha cojugada es: ( ) ( ) ( ) + +, luego se resuelve el límite ( ) Por lo tato, La forma idetermiada. + Si f g so dos fucioes tales que f ( ) g( ), etoces la fució f g es idetermiada co la forma. La forma de resolver éstos límites será eplicada mediate dos ejemplos. Ejemplos ) Calcular Es evidete que ( ) + ( ) +, por lo tato, Para resolver éste límite dividimos el umerador el deomiador etre la de maor epoete, así: Por lo tato, ) Calcular. +

14 E este caso ( + ) + ( ) +, por lo tato, Para resolver, dividamos el umerador el deomiador etre pues éste es la potecia de de maor epoete, así: Por lo tato, 0. + La forma idetermiada. Si f g so dos fucioes tales que f ( ) g( ), etoces la fució f g es idetermiada de la forma. La maera de resolver éstos límites será eplicado co ejemplos. Ejemplos 8 ) Calcular ( ) +. + Como +, + + límite racioalizamos, así: ( ) ( ) + + etoces, ( ) +. Para resolver éste + ( + )( + + ) ( + ) , Hemos trasformado el límite e otro idetermiado de la forma, que se resuelve + dividiedo el umerador el deomiador etre, así: Por lo tato, ( ) + ) Calcular ( ) Como: , + Para resolver éste límite racioalizamos, así: + etoces, ( ). +

15 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) El límite se trasformó e otro idetermiado de la forma, que se resuelve dividiedo el + umerador el deomiador etre la potecia de de maor epoete, que e el caso que os ocupa es, así: Por lo tato, ( ) +. + Teorema. Teorema de estricció o del ecaje. h( ) f ( ) g para todo e u itervalo abierto que cotiee a a, ecepto e el propio Si ( ) a si h( ) L g( ), etoces f ( ) L. a a a Ejemplo.9. Sea f, g h las fucioes defiidas por g( ) +. Las gráficas de estas fucioes está trazadas e la figura 8. h( ) +, f ( ) + 9 Figura 8 g () f () h ()

16 Las gráficas de h, f g so parábolas que tiee sus vértices e el puto (; ). Las tres h( ) f ( ) g. Además, fucioes está defiidas e. Tambié se observa que ( ) ( + ) ( ) f ( ). Ejercicios propuestos Calcule los siguietes límites. razó. ) ) ) ) 8) 9 + ) +, +. Por lo tato, de acuerdo al teorema de estricció + + ) ) t 0 recuerde que: a b a b a + ab + b + +, recuerde que: + 9) ) ) ( + ) ) ( ) + a b a + b ab 9 t t a b a + ab + b ab + + ) ( ) + Dadas las fucioes idicadas, calcule el límite señalado si eiste, sio eiste establezca la si < ) f si si < ( a) f ( ); ( b) f ( ). ( ) si ) g( ) si < si < ( a) g( ); ( b) g( ). Utilice el teorema de estricció para determiar el límite. ) ) 8) f ( ), f ( ), π 0 si ( ) f ( ) + < para toda dado que si f ( ) si, f ( ), dado que cos f ( ), + para toda e el itervalo ( ) π ;0. para toda e el itervalo ( π π ) ;.

17 Cotiuidad de ua fució. Fució cotiua e u úmero. Ua fució f es cotiua e u úmero a si sólo si se satisface las tres codicioes siguiete: i) f (a) eiste; ii) f ( ) eiste; a iii) f ( ) f ( a). a Si por lo meos ua de estas tres codicioes o se cumple e a, etoces se dice que la fució f es discotiua e a. Ejemplos 0. ) La fució defiida por f ( ), es discotiua e, pues dicha fució o está defiida e el. Veamos como es su comportamieto gráficamete, mostrado e la figura 9. Figura 9 - f () - (; ) La gráfica muestra u salto e el puto (; ), esto se debe a la discotiuidad de la fució e, por lo tato, f() o eiste. Observado la gráfica se sospecha que f ( ) eiste es igual a. Veamos si esto es cierto: ( + )( ) ( + ). Cuado ua fució f preseta las características ateriores, es decir, o está defiida e u úmero a pero f ( ) eiste, se dice que f preseta ua discotiuidad removible o eiable, a

18 porque si f es redefiida e a de maera que f ( a) f ( ), la ueva fució es cotiua e a. Si ua discotiuidad o es removible se dice que es ua discotiuidad esecial. La discotiuidad de la fució f ( ), es removible, porque si se redefie e, se obtiee la siguiete fució: a si F( ) si La fució F es cotiua e, puesto que, F (). F( ) 0. ) Sea g la fució defiida por g( ). La gráfica de la fució es mostrada e la figura g () - Figura La gráfica de g se rompe e el puto dode pues la fució o está defiida e dicho puto. Además, i) ( ) g( ) + ( ) g o está defiida. ii) g( ) o eiste., g( ), luego, g( ) o eiste. Por lo tato, + ( ) Etoces, la fució g es discotiua e, la discotiuidad es esecial porque g( ) o eiste. La discotiuidad de éste ejemplo recibe el ombre de discotiuidad ifiita. ) Sea h la fució defiida por si h( ) si La gráfica de h es mostrada e la siguiete figura:

19 8 Figura Veamos que sucede co las codicioes de cotiuidad de la fució h e. i) g() ii) h( ) h( ) +, por lo tato, h( ) o eiste. + Como la codició ii) o se cumple, h es discotiua e. La discotiuidad es ifiita, desde luego esecial. Bibliografía [] Rabuffetti Hebe T. Itroducció al Aálisis Matemático, décima edició. [] Apostol Tom M. Calculus, seguda edició. Autor: Eleazar José García Profesió: Liceciado e Matemática País: Veezuela

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Unidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES

Unidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES Uidad 1: LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de iiitos úmeros reales. Los úmeros reales a1, a,..., a,... se llama térmios,

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

α β la cual puede presentar

α β la cual puede presentar 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

Fracciones. Prof. Maria Peiró

Fracciones. Prof. Maria Peiró Fraccioes Prof. Maria Peiró Recordemos Las partes de ua divisió so Dividedo Residuo divisor Cociete Defiició Ua fracció o querado, es ua divisió de la uidad e u determiado úmero de partes, de las cuales

Más detalles

Series alternadas Introducción

Series alternadas Introducción Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia

Más detalles

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:...... 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros

Más detalles

Función Logaritmo. 1 t dt, x > 0. ln x =

Función Logaritmo. 1 t dt, x > 0. ln x = Uidad 3 Fució Logaritmo Epoecial 3. Logaritmo a través de la itegral propiedades Fució Logaritmo Deició. Deimos la fució Logaritmo Natural l : (0, + R l = t dt, > 0 Observacioes: (a l = 0 Demostració.

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

1. Serie de Potencias

1. Serie de Potencias . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada

Más detalles

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:... EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas

Más detalles

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}

Más detalles

Objetivos partir de su. nte de una función, Relacionar ASÍN CON CLA 11.4.

Objetivos partir de su. nte de una función, Relacionar ASÍN CON CLA 11.4. CONTENIDOS.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD....- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNN EN UN PUNTO....- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN....- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES... 5.-

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO Nro 1

GUIA DE ESTUDIO Nro 1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro

Más detalles

Introducción básica a series

Introducción básica a series Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy

Más detalles

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.

TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias. TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar

Más detalles

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N. Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, 1 + + 3 + + 1 + 1. N, + 4. 3 N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Clasificación de Funciones

Ejercicios Resueltos de Clasificación de Funciones Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Ejercicios Resueltos de Clasificació de Fucioes.. Determie si f ( ) perteece a la clase idicada

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

TEMA 1 NÚMEROS REALES

TEMA 1 NÚMEROS REALES . Objetivos / Criterios de evaluació TEMA 1 NÚMEROS REALES O.1.1 Coocer e idetificar los cojutos uméricos N, Z, Q, I,R, Im O.1.2 Saber covertir úmeros racioales e fraccioes. O.1.3 Redodeo y aproximació

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

Introducción a las medidas de dispersión.

Introducción a las medidas de dispersión. UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION. Itroducció a las medidas de dispersió. Como su ombre lo idica, las medidas de dispersió so parámetros que os idica qué ta dispersos está los datos.

Más detalles

Números reales. Operaciones

Números reales. Operaciones Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas.

Más detalles

5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)

5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal) 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 46 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de

Más detalles

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent 4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales

Más detalles

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma

Más detalles

Sesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.

Sesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas. Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

1. Propiedades de los estimadores

1. Propiedades de los estimadores . Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente 1. Relacioes de recurrecia homogéeas co coeficiete costate 1. Demuestra que la sucesió {a } es ua solució de la recurrecia a = a 1 + 2a 2 + 2 9 si a) a = + 2 b) a = 5( 1) + 2 c) a = 3( 1) + 2 + 2 d) a

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació

Más detalles

. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k)

. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k) Permutacioes. E Matemáticas, dado u cojuto fiito co todos sus elemetos diferetes, llamamos permutació a cada ua de las posibles ordeacioes de los elemetos de dicho cojuto. Por ejemplo, e el cojuto 1, 2,

Más detalles

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como

Más detalles

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series uméricas M arcelo, de vez e vez, usa ua reata de 10 m de largo y cm de grueso para medir el cotoro de los terreos que fumiga. Para que la reata que usa o

Más detalles

Polinomio Mínimo en Campos Cuadráticos

Polinomio Mínimo en Campos Cuadráticos Poliomio Míimo e Campos cuadráticos Poliomio Míimo e Campos Cuadráticos 1. Método de solució Partiedo de que u cuerpo cuadrático es K = Q ( a + b), vamos a propoer u método o estructura para ecotrar el

Más detalles

PROBLEMAS DE OPOSICIONES MADRID (25/06/2010)

PROBLEMAS DE OPOSICIONES MADRID (25/06/2010) Academia DEIMOS OPOSIIONES A PROFESORES DE SEUNDARIA Y DIPLOMADOS EN ESTADÍSTIA DEL ESTADO.I.F. B409770 / Ferádez de los Ríos 75, º Izda. (Metro : Mocloa) 669 64 06 805 MADRID www.academiadeimos.es academia@academiadeimos.es

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE Derivada de ua ució e u puto Sea : D y u puto iterior de Se dice que es derivable e eiste lim Dicho límite recibe el ombre de derivada de e Notas ) Notaremos

Más detalles

Preguntas más Frecuentes: Tema 2

Preguntas más Frecuentes: Tema 2 Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,

Más detalles

Coeficientes binomiales

Coeficientes binomiales Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

Respuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción:

Respuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción: PRE EVALUACION: Resuelve la diferecia El m.c.m. de los deomiadores es el producto de ambos. tiees que dividir por cada deomiador y el factor que te queda como cociete, multiplicar por su umerador: E el

Más detalles

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC. APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas) TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

Competencia Matemática E. Paenza. Sexta Realización 1991

Competencia Matemática E. Paenza. Sexta Realización 1991 Competecia Matemática E. Paeza Seta Realizació 99 Resolució de los problemas Participate N : Problema. Sea C u cuadrilátero coveo. Si el área del cada uo de los cuatro triágulos determiados por las dos

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

Fracciones parciales

Fracciones parciales Fraccioes parciales Ua fució racioal puede ser llevada a otra equivalete depediedo del divisor 0de la misma, de tal modo que el divisor puede presetar térmios que permita factorizarlo atediedo a : a) Factores

Más detalles

El método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los

Más detalles

4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá

Más detalles

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas

Más detalles

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010 Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO Y RAÍCES DE UN OLINOMIO Sea u poliomio y a u úmero real cualquiera. Se llama valor umérico de e = a y se deota por a, al úmero que resulta al sustituir e la variable

Más detalles

Raices de Polinomios. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

Raices de Polinomios. Jorge Eduardo Ortiz Triviño Raices de Poliomios Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@ual.edu.co http://www.docetes.ual.edu.co/jeortizt/ Defiició U poliomio de grado es ua epresió de la forma: Dode a 0 P() = a + a - - +... +a +

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

Brook Taylor GUSTAVO A. DUFFOUR

Brook Taylor GUSTAVO A. DUFFOUR La aproimació de ua fució por u poliomio es ua de las ideas más atiguas e el aálisis umérico y es ua de las más usadas aú e la actualidad. Las razoes más importates para ello so posiblemete que: ) Los

Más detalles