Prof. J. Contreras S. Prof. C. del Pino O. U de Talca

Transcripción

1 Sesión 7 Regla de L Hopital Temas Regla de L Hopital. Aplicaciones de la Regla de L Hopital a otras formas indeterminadas. 7. Introducción Johann Bernoulli Suizo. ( ) Capacidades Conocer y comprender la regla de L Hopital. Calcular límites de formas indeterminadas, usando la regla de L Hopital. La regla de L Hopital se atribuye al matemático francés Guillaume François Antoine, Marqués de L Hopital, quien dio a conocer el método en su obra Analyse des infiniment petits pour l intelligence des lignes courbes (692), el primer teto que se ha escrito sobre cálculo, influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores, Johann Bernoulli, Johann Bernoulli y Leibniz. Este método permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados en Cálculo I, es difícil determinar. Esta regla, llamada también, regla de L Hopital-Bernouilli, es utilizada para determinar límites de formas indeterminadas del tipo:,, y se puede aplicar también a otros casos indeterminados. 2

2 7.2 Formas indeterminadas En algunas aplicaciones del Cálculo se requiere calcular por ejemplo, límites del tipo donde f(a) = g(a) =. El cálculo de estos límites no es inmediato. a g() Nota 7.. Cuando una función, para cierto valor de la variable independiente, toma una de las formas:,,,,,, se dice que es indeterminada. Observación. En Cálculo I, se trató algunas técnicas para calcular límites de algunas formas indeterminadas. Por ejemplo: ( )( 2) = ( )( + ) = 2 + = 2 Sin embargo, con las técnicas tratadas no es posible determinar para =, la función sin es indeterminada. Pero, sin Otros ejemplos de límites de formas indeterminadas son: ln( ) e e sin sin. Notar que, eiste y es igual a. + e ln(e + ) La Regla de L Hopital proporciona un método para calcular límites de formas indeterminadas de los tipos:, que se puede etender a las otras formas indeterminadas. 7.3 Regla de L Hopital. Forma indeterminada. Teorema 7.. (forma débil). Sean f y g son funciones derivables en = a, tales que f(a) = g(a) =. Si g (a), entonces: a g() = f (a) g (a) Demostración Como f(a) = g(a) =, se tiene: g() = f(a) a a g() g(a) Como f y g son derivables en a, y como g (a), entonces: Instituto de Matemática y Física 22 Universidad de Talca

3 g() es no nulo en una vecindad de = a. ( ) f(a) a g() = a a a g() g(a) Ejemplo 7.. sin [ = ] cos = cos = = f (a) g (a) Nota 7.2. Observar los gráficos de y = sin e y = cos, en las cercanías de =, en el siguiente dibujo. Gráfico de y = sin e y = cos Teorema 7.2. Regla de L Hopital, primera generalización. Sean f y g funciones derivables en una vecindad del punto = a, tal que g () es distinta de cero en esa vecindad. Si = y g() = a a entonces a g() = f () a g () siempre que el límite del lado derecho sea un número real, o bien +, o. Nota 7.3. En esencia, la regla de L Hopital dice que, si tiene la forma indeterminada en = a, entonces, con algunas restricciones, este cuociente tiene el mismo g() límite que en = a que el cuociente de las derivadas f (), siempre que este último g () límite eista (finito o infinito). Ejemplo 7.2. e [ = ] e = Instituto de Matemática y Física 23 Universidad de Talca

4 Ejemplo 7.3. ln( ) [ ] = 2 2 = 2 Ejemplo sin [ = ] cos + } 2 + {{ 3 2 } no es indeterminada [ ] = Ejercicio 7.. Calcular d t 2 d. t dt /2 ln 3/2 Nota 7.4. Aplicación reiterada de la regla de L Hopital. Si el cuociente f () g () resulta indeterminado, entonces se puede aplicar nuevamente la regla de l Hopital por segunda vez (o tercera vez, etc.) siempre que se cumplan las condiciones. Es decir: Ejemplo a g() = f () a g () = f () a g () + ln + cos π [ = ] + π sin π = π sin π [ ] = π sin π + π 2 cos π = π Regla de L Hopital. Forma indeterminada. Teorema 7.3. Regla de L Hopital, segunda generalización. Sean f y g funciones derivables en una vecindad de a, tales que: = ± y g() = ± a a Si g () no se anula en la vecindad de a entonces: a g() = f () a g () siempre que el límite del lado derecho sea un número real, o bien +, o. Nota 7.5. El teorema anterior dice que, la regla de L Hopital también se puede aplicar cuando g() tiene la forma. Instituto de Matemática y Física 24 Universidad de Talca

5 Nota 7.6. La Regla de H Hopital también se cumple cuando tiende a +, o, tal como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo [ = ] [ ] = [ ] = 8 6 = 3 Ejemplo e 2 + [ ] = + e }{{} 2 [ 2 ] = + no es indeterminada Nota 7.7. Resumiendo, la Regla de L Hopital se puede enunciar como sigue: - Sean y g() funciones derivables en una vecindad de a, tal que que g () cerca de a. Si para = a, siendo a un número real, o + o, el cuociente tiene la forma indeterminada del tipo: [ ] o [ ], entonces g() a g() = f () a g () siempre que el ite del segundo lado eista, o bien sea + o 7.5 Otras formas indeterminadas - Por medio de arreglos algebraicos, es posible aplicar la regla de L Hopital a otras formas indeterminadas: 7.5. Forma indeterminada Si para = a, la función h() toma la forma indeterminada, la función se escribe en la forma: h() = h() tomando la forma o bien: h() = h() tomando la forma Instituto de Matemática y Física 25 Universidad de Talca

6 y luego se aplica la regla de L Hopital. Ejercicio 7.2. Probar que π 2 (sec 3 cos 5) = 5 3 Ejercicio 7.3. Calcular + 2 e Forma indeterminada Si = + = g() entonces se dice que g() tiene la forma. a a Para calcular ( g()) se transforma la epresión g() en una fracción a de la forma o, de modo que se pueda aplicar la regla de L Hopital. Ejemplo ( ) sin [ ] sin = sin [ = ] cos cos + sin [ = ] sin sin + 2 cos = Gráfico de y = sin e y 2 = sin sin +2 cos Ejercicio 7.4. Probar que + (2 e 2 ) =. Sugerencia: Factorizar. Instituto de Matemática y Física 26 Universidad de Talca

7 7.5.3 Formas indeterminadas,, Si una función de la forma h() toma una de las siguientes formas indeterminadas, cuando a:,, entonces, para calcular a h(), se procede como sigue: Sea y = h() Se aplica logaritmo natural a ambos lados: ln y = ln h() obteniendo: ln y = h() ln donde h() ln tiene la forma indeterminada: o bien. Determinando ln y = ln h() usando un método ya tratado, se obtiene L = ln y. a a a Luego: Ejemplo 7.9. Calcular + Solución ( ln y ) a h() = y = e ln y = e a = e L a a La función toma la forma cuando +. Sea y =. ln y = ln = ln es de la forma, cuando + ln ln y = + + Luego: ln y = + = + 2 = +( ) = Por lo tanto: y = = e = + + Instituto de Matemática y Física 27 Universidad de Talca

8 Ejercicio 7.5. Probar que + ( + ) = e 7.6 Autoevaluación Calcular los siguientes límites a) cot b) ( ln ln(t 2 + 4) c) + (e/ ) d) t + ln(t ) ) e) tan sin u g) u 3 u 3 3 f) π 2 sin d h) ln(sin ) (π 2) 2 t + t e ( )d Respuestas: a) b) 2 c) d) 2 e) 2 f) 8 g).47 h) 7.7 Desafío Las siguientes figuras muestran dos, A y B regiones en el primer cuadrante: A(t) es el área bajo la curva t = sin( 2 ) de a t, y B(t) es el área del triángulo con vértices O, P y (t, ). Area A(t) - Area B(t) Calcular A(t) t + B(t) Instituto de Matemática y Física 28 Universidad de Talca