MODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD

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1 MODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD Límites Cotiuidad y Derivada.... y cotiuó Alicia: <Me podrías idicar por favor acia dode tego que ir desde aquí? > <Eso depede de a dode quieras llegar> cotestó el Gato. Alicia e el País de las Maravillas de Lewis Carroll. 5. Sucesioes y Límites. Itroducció. Objetivos.. Compreder los coceptos de sucesió de úmeros y su límite.. Calcular el límite de ua sucesió covergete.. Costruir sucesioes covergetes. Iiciamos el estudio de coocimietos de matemática creados a mediados del siglo XVII. Ese gra salto que diero Newto y Leibitz al descubrir el cálculo se basó e todos los saberes matemáticos desde la atigüedad asta ese mometo tal como lo expresó Newto al decir: si vi más allá fue porque me paré sobre los ombros de gigates. El cocepto de límite es idispesable para igresar e este uevo mudo. De los griegos os viee la coocida paradoja de Zeó sobre Aquiles y la tortuga. Segú esta paradoja si e ua carrera Aquiles le da vetaja a la tortuga cuado Aquiles llegue al puto que a abadoado la tortuga ésta abrá avazado u poco más y así sucesivamete asta el ifiito de modo que la tortuga siempre estará adelate de Aquiles quie o alcazará uca a la tortuga. La falsa paradoja trata de egar el movimieto y el cocepto de uidad (eteros) de los pitagóricos. Si Usted está frete a u espejo y toma otro espejo para mirar su figura del primer espejo e el segudo espejo tedrá toda ua sucesió itermiable de su image. El dibujo de polígoos de lados le dará u polígoo que tiede a la circuferecia como límite cuado sea u úmero bastate grade. De igual maera podrá teer ua sucesió de úmeros como dode cada vez el cociete es más pequeño y cuado es suficietemete grade será casi cero si llegar uca a ser cero. Ilustramos de esta maera el cocepto de sucesió como u cojuto de elemetos que se sucede uos a los otros co cierto orde y que se aproxima o o a otro elemeto.

2 55 Sucesió: Ejemplos de sucesioes so:. s { } { } 0 Es ua sucesió covergete que cuado crece o tiede a la sucesió tiede a 0. O sea que cuado etoces 0 Dode 0 es el límite pero 0 s.. s { } { } Es ua sucesió divergete que cuado crece o tiede a la sucesió tiede a. Ua sucesió es u cojuto de ifiitos térmios o úmeros que se sigue o sucede uo al otro cumpliedo ua regla o fórmula geeradora de todos los térmios y coocida como el térmio geeral o eésimo (-simo) de la sucesió. Coviee que cuado crezca la sucesió tieda o se acerque a u úmero cosiderado su límite. E este caso se dice que la sucesió es covergete. E otro caso si la sucesió o tiee límite se dice divergete. Formalmete ua sucesió s es ua fució defiida sobre los úmeros aturales N y valorada e los reales. O sea que la fució s aplica N er s: N R. Así s {x x x... x...} tal que s () x s () x... s () x... dode los valores de so úmeros aturales los x i so úmeros reales y x es el térmio geeral. Límite de ua sucesió. Ejemplos. So sucesioes las siguietes: a) { } { } 0 0 Esta sucesió coverge a. 0. b) { } { + }. c) { (-)...} {(-) }. Esta es ua sucesió divergete. d) { } + si.. es. impar si.. es. par... Es ua sucesió divergete. Los térmios de los lugares impares tiede a cero y los de los lugares pares tiede a ifiito. Si crece bastate los valores de la sucesió tiede se aproxima o acerca a u úmero llamado límite de la sucesió. Cuado la sucesió tiee límite se dice covergete e caso cotrario divergete. Si la sucesió s tiee como límite a esto se deota por: x a cuado que se lee x tiede a a cuado crece o tiede a. Otra otació es x a que se lee límite de x cuado tiede a es a. E Matemática la defiició de límite se da co muca precisió por medio de itervalos para todo radioε >0 co algua dificultad para su compresió. Pero siedo uestro curso de precálculo y además ituitivo vamos a iterpretar esta defiició de límite e forma geométrica. Defiició de Límite: Se dice que a es el límite de ua sucesió s si detro de todo itervalo que cotega a a siempre abrá térmios o elemetos de la sucesió s. Grafica: a Si la sucesió s tiee límite a se dice que coverge a a. Esto equivale a que la distacia etre cualquier par de térmios seguidos de la sucesió es casi cero o bie la podemos acer ta pequeña como queramos a medida que crece.

3 56 Ejemplo: La sucesió { + } desarrollada es: 0 { } y su gráfica 0. La sucesió es covergete co límite. Pero el úmero o perteece a la sucesió y además todos los térmios excede a. 0 Se ituye que al crecer los valores de + tiede a. Y más aú podemos estar ta 0 cerca de como lo deseemos co sólo tomar u suficietemete grade. O sea que al crecer la distacia etre y + se ace ta pequeña 0 como se quiera. Cálculo del Límite de Sucesioes. Si el térmio geeral -simo es ua expresió racioal etoces se da las siguietes reglas prácticas para calcular su límite cuado crece.. Si los dos térmios de la fracció so de igual grado etoces el límite es el cociete de los dos coeficietes pricipales.. Si el grado del umerador es meor que el grado del deomiador etoces el límite es cero.. Si el grado del umerador es mayor que el grado del deomiador etoces la sucesió o tiee límite y es divergete. Ejemplos: Si etoces Ejemplos: Si etoces Ejemplos: Si etoces + + Ejercicios 5.. Escriba los 5 primeros térmios de las sucesioes cuyo térmio -simo o geeral es: a) + b) c) 0 () d) e) f). Cuáles de las sucesioes ateriores so covergetes?. Costruya dos sucesioes que tieda acia el úmero real: a) 4 b) c) / 4. Idique el límite de las siguietes sucesioes covergetes: a) b) c) d) e) f) 4 ( ) 5. Costruya tres sucesioes divergetes cualesquiera.

4 Límite de ua Fució. Objetivos:. Defiir los límites laterales y el límite de ua fució.. Compreder las propiedades de los límites.. Calcular límites de fucioes. Si la sucesió s {x x x... x...} tiede a a y existe ua fució f(x) tal que cada térmio x i de la sucesió s está e el domiio de la fució f de modo que f(x ) está defiida etoces ) Puede ocurrir que la sucesió de imágees {f(x ) f(x ) f(x )... f(x )...} tieda a L ó o coverja. ) Y para otra sucesió s {x x x... x...} tambié co límite a puede ocurrir que la sucesió de imágees {f(x ) f(x ) f(x )...f(x )...} tieda a L ó a u L diferete de L o o coverja e absoluto. Resumamos: Si. s {x x x... x...} a f(s) {f(x ) f(x ) f(x )...f(x )...} L etoces f(x) tiede a L cuado x tiede a a.. s {x x x... x...} a f(s ) {f(x ) f(x ) f(x )...f(x )...} etoces f(x) tiede a L cuado x tiede a a. L' E este caso el límite de f(x) o existe porque las dos sucesioes de imágees tiede a dos valores diferetes. f(x) tiede a cuado x tiede a por la dereca. f(x) tiede a - cuado x tiede a por la izquierda E este caso cuado x tiede a el límite de f(x) o existe. Defiició de límite de ua Fució. Si ambas sucesioes de imágees de f(x) coverge al mismo úmero L etoces se dice que la fució f(x) tiee límite L cuado x tiede a a. Esto se deota por L y se lee límite de f(x) es L cuado x tiede a a. Nota: El límite de ua fució poliómica f(x) cuado x tiede a a es su image f( a ). Si ambas sucesioes de imágees de f(x) coverge a diferetes úmeros L L o o coverge etoces se dice que la fució f(x) o tiee límite cuado x tiede a a y sólo se cosiderará los límites laterales: + f(x) L cuado por la dereca y se escribe L. + f(x) L' cuado x se escribe L'. a por la izquierda y

5 58 Geométricamete si f(x) tiede a L cuado x tiede a a por ambos lados (dereca e izquierda) se represeta como que todo itervalo alrededor de L por pequeño que sea cotiee las imágees de todos los putos x de algú itervalo alrededor de a. Aplicar la defiició de límite para calcular el límite de f(x) x cuado x tieda a. Solució: Se costruye dos sucesioes que tieda a ua por la dereca y la otra por la izquierda así: s d { + } { } 0 s i { } { } 0 Luego se obtiee las sucesioes de las imágees: f (s d ) { } 5 f (s i ) { } 5 Etoces ( ) 5 x x ( x ) 5 x Propiedades de los Límites. Ua propiedad fudametal del límite es la de ser úico si existe sólo puede ser u valor y sólo ese. Esta propiedad se llama propiedad de uicidad del límite. Otras propiedades importates está relacioadas co las operacioes (o teoremas que se demuestra e cursos de ivel superior) que expoemos e seguida: Sea f(x) y g(x) dos fucioes tales que A y g( x) B etoces Límite de operacioes co símbolos Observacioes ( ± g( x) ) ± g( x) A ± B g( x) A ( g( x) ) B ( g( x) ) g( x) A B f ( x ) A si A 0. log log log A A > 0. si B 0. Límite de la suma de fucioes es igual a la suma de los límites de las fucioes. Límite de la multiplicació de fucioes es igual a la multiplicació de los límites de las fucioes. Límite de la divisió de fucioes es igual a la divisió de los límites de las fucioes si el divisor o es cero. Límite de la raíz de ua fució es igual a la raíz del límite de la fució si el límite o es egativo. Límite del logaritmo de ua fució es igual al logaritmo del límite de la fució si el límite es positivo.

6 59 Ejemplos de cálculos de alguos límites:. 5 5 (Si c es costate: c c ). x. (5 + x) 5 + x x x x. x x x ( )( ) 4 x x x 4. ( x x ) x x x 5 x 5 x 5 5. x + 0 ( x + 0 ) 6 4 x x 6. log (x + ) log (x + ) log 9 x x Ejercicios 5.. Para cada ua de las siguietes graficas calcule: i) f ( x ) ii) f ( x ) y iii) f ( x ) x + x x si existe: a) b) c). Calcule co las propiedades de los límites: a) ( x x) b) ( x + x ) x x c) (x 5) d) x 5 x x + e) ( x + )( x ) f) x x x x g) x + ) x x x x 0. Evalúe los siguietes límites simplificado o racioalizado ates de acer el cálculo para evitar las formas idetermiadas de 0/0. a) x b) x + x x x x c) x 4 d) 4 x x x + x x e) x f) x x 4 x 4 x x 4. Evalúe los siguietes límites (atieda a la variable): a) ( x y ) b) ( xy y + x) x y c) ( + ) x 0 xy d) ( x + ) 0 e) ( x + x + ) f) ( + a) Ecuetre el límite del cociete de Newto: f ( x + ) dode: 0 a) f(x) x b) f(x) x c) f(x) x + d) f(x) e) f(x) x f) f(x) x

7 Cotiuidad de Fucioes. Objetivos:. Defiir la cotiuidad de ua curva e u puto.. Defiir la cotiuidad e el domiio de ua fució.. Obteer las asítotas a ua curva. La cotiuidad de ua fució se observa directamete e su gráfica. Pero la defiició formal de cotiuidad de ua fució e u puto tiee relació co la image de la fució siempre que coicida co su límite e dico valor de x. El aálisis de las siguietes figuras os permitirá llegar a compreder la defiició de cotiuidad de ua fució e u determiado puto. c L L L L L a a a a i) Discotiua e a ii) discotiua e a iii) discotiua e a iv) cotiua e a y D ruptura de puto ruptura de tramo ruptura de puto ( a L) e la gráfica f( a ) o está defiida f( a ) L f( a ) c f( a ) L L. oexiste L L Las figuras ateriores muestra que (iv) es cotiua e a porque f está defiida e a existe el límite de la fució cuado x tiede a a y la image coicide co el límite. Defiició de Cotiuidad e u Puto: Ua fució f(x) es cotiua e x a si y sólo si cumple las tres codicioes siguietes: i) f( a ) está defiida ii). existe iii) f ( a) Nota: Si o se cumple las dos primeras codicioes o puede obteerse la tercera. Etoces la tercera codició requiere la existecia previa de las dos primeras y que sea iguales. Ejemplo: Veamos el caso cuado La fució f(x) o está defiida e x. Sea x 4 si x etoces x x 4 ( x )( x + ) ( x + ) 4 x x x x x La gráfica es discotiua e x. A pesar de la existecia de límite ace falta que f() esté defiida. Nota: El cálculo directo de x x x 4 ( x x ( x x es ua forma idetermiada que sólo da resultado al eiar el factor comú x 4 ) ) 0 0

8 6 E el ejemplo aterior la fució es discotiua e u solo puto (4) que o perteece a la gráfica de f(x). E este caso ay ua ruptura de puto que podría evitarse redefiiedo la fució de la siguiete maera: f ( x ) x 4.. si. x x 4... si.. x La figura i) muestra la cotiuidad e x. La figura ii) es discotiua e x porque f() es diferete del límite 4 de f(x). i) f() 4 ii) f() 4 f () 4 x x f () La propiedad de cotiuidad o discotiuidad de ua fució es ua codició local o sea que ocurre e putos especiales. Las fucioes poliómicas so cotiuas e todo su domiio real e cambio las fucioes racioales ofrece discotiuidades o rupturas de tramo o de salto e los ceros de su deomiador. Para las demás fucioes tedrá que acer aálisis de su comportamieto co coocimietos que tedrá e cursos superiores. Fucioes que tiede a Ifiito: E el estudio de las fucioes racioales (Uidad ) se aalizó el comportamieto de la gráfica de la fució f(x) x destacado ua discotiuidad de salto e + x 0 de maera que cuado x 0 por la dereca etoces la fució crece y se dice que tiede a ifiito (acia arriba ) y cuado x 0 por la izquierda etoces f(x) tiede a meos ifiito (acia abajo ). E geeral para ua fució racioal f(x) es ecesario aalizar las discotiuidades que origia los ceros de su deomiador. Si x a es u cero del deomiador etoces el valor absoluto de f(x) crece idefiidamete al acercarse x (por la dereca o por la izquierda) al valor de a etoces se dice que x a es ua asítota vertical de f(x). Simbólicamete f(x) cuado. La forma corriete de deotar esto es cuado x tiede a a es ifiito. que se lee el límite de f(x) Nota: o se crea que ifiito es u úmero es sólo u símbolo que os idica que f(x) crece muco y sobretodo que sigue creciedo. Y - es el otro símbolo os idica que f(x) decrece grademete.

9 6 Ejemplo: Aálisis de la fució racioal: x.. si. x ±. x El deomiador tiee los ceros x x -. + i)si x etoces f(x) - Si x etoces f(x) + La asítota vertical es x + ii) Si x etoces f(x) - Si x etoces f(x) + La asítota vertical es x - La fució f(x) tiee asítota orizotal y 0. Si x + etoces f(x) 0 (por bajo). Si x - etoces f(x) 0 + (por arriba). Ejercicios 5.. Clasifique las figuras e cotiuas o discotiuas Discotiuas de puto o de salto e idique cuales de las codicioes de cotiuidad o se cumple. a) b). Grafique las siguietes fucioes e idique si so cotiuas o o e x 0. Justifique su respuesta co la defiició de cotiuidad. a) f ( x ) b) x + f ( x ) x x c) x d) x... si. x 0 f ( x ) x +.. si. x < 0 e) x +... si. x > 0 f ( x ) x... si. x 0. Idique cuales de las fucioes ateriores so cotiuas e el itervalo]0 [. 4. Dadas f(x) y x a. Aalice la fució alrededor de a costruyedo dos sucesioes (por la dereca y por la izquierda) que tieda a a. c) d) a) x + a b) x a x x c) x + a - d) x a x + + x 5. Grafique las fucioes ateriores y determie sus asítotas verticales y orizotales. e) f)

10 Pediete de ua Curva: Derivada. Objetivos:. Compreder el cocepto de recta tagete a ua curva.. Calcular la pediete de la recta tagete: derivada de la fució.. Aplicar el cálculo de razó de cambio. Coocemos la pediete de ua recta como la medida de su icliació y además que e la fució f(x) mx + b el coeficiete m de x es la pediete de la fució lieal. Tambié sabemos calcular la pediete m para dos putos cualesquiera y y y P(x y ) y Q(x y ) de la recta dode m tal que y y - y x x x x x - x. Pero qué etederemos por pediete de ua curva?- La pediete de ua curva e u puto P será la pediete de su recta tagete e P. El cocepto geométrico de recta tagete a ua curva difiere del que apredimos como la recta tagete que sólo toca u puto de la circuferecia. La tagete a ua curva puede tocar más de u puto de la curva. Ilustramos como ejemplos de rectas tagetes (T) o o tagetes (S) e las siguietes figuras: T T S T S T S Parece ua decisió arbitraria las rectas tagetes corta o toca más de u puto e alguos casos y las o tagetes tambié cómo difereciarlas? Teemos a la vista dos problemas: uo es defiir geométricamete la tagete a ua curva y el otro es calcular exactamete la pediete de esa tagete a la curva cuado esté dada por ua ecuació o fórmula co coeficietes uméricos. Es ua feliz coicidecia como la solució geométrica del primer problema os coduce al método para calcular la pediete de la curva del segudo problema. Podemos observar e las figuras que la tagete a ua curva cosidera los putos cercaos y o iteresa otros cortes de putos alejados auque esté e la misma curva. Lo importate es lo que suceda cerca del puto P. P Q Q Defiició de tagete. Sea ua curva y dos putos diferetes P y Q e la misma curva. Etoces los putos P y Q determia ua secate. Supogamos que Q se acerca o tiede a P pasado por los putos Q Q... etoces la tagete e P será el límite de la sucesió de secates PQ i.

11 64 Este proceso diámico (co movimieto) para defiir la recta tagete como el límite de la sucesió de secates permite allar la maera de calcular su pediete tambié como el límite de la sucesió de las respectivas pedietes de las secates. Las secates (pedietes) se acerca tato uas a las otras que su diferecia tiede a cero eco que será utilizado para acer el cálculo. Ejemplo: Para f(x) x se calculará su Tagete e el puto P (). Solució. Sea Q(4) Q (.5.5) Q (..44) Q (..)... otros putos de la curva tal que sus respectivas pedietes forma la sucesió m PQ m.5 m. m... PQ PQ PQ que tiede al límite. A la dereca la gráfica muestra que su tagete e ( ) co pediete tiee ecuació y x. Defiició de Pediete de ua Curva e u Puto: Dadas ua curva y f(x) y u puto P de la curva. La pediete de la curva e P es el límite de las pedietes de las rectas que pasa por P y otro puto Q sobre la curva cuado Q tiede a P. Aora la pretesió es coseguir ua fórmula para el cálculo de la pediete de la curva e cualquiera de sus putos. Se a establecido que P y Q so dos putos diferetes pero cercaos e la curva o sea que podemos supoer que sus abscisas difiere u valor pequeño positivo o egativo pero distito de cero. De maera que las coordeadas de P so (x f(x)) y las de Q so (x + f(x + )) y la pediete de la secate PQ será el cociete que llamaremos el cociete de Newto: f ( x + ) f ( x + ) m PQ x + x El límite de este cociete cuado tieda a 0 será la pediete de la curva e cualquier puto. P(x f(x)) Q(x + f(x + )) x x + x y f(x + ) f(x) Defiició de Derivada: La derivada de ua fució f e x es el límite cuado tiede a cero del cociete de Newto: Derivada de f e x 0 f ( x + ) f ( x ) La derivada de f e x se deotará de maera abreviada co los símbolos f (x) df/dx o bie df(x)/dx y se leerá: f prima de x o la derivada de f co respecto a x.

12 65 d f (x) dx 0 f ( x + ) f ( x ) La derivada existe cuado el límite del cociete de Newto existe. Si ua fució tiee derivada e todo su domiio se dice que es difereciable e su domiio. Las fucioes poliómicas so ejemplos típicos de fucioes difereciables e su domiio de los úmeros reales. Ejemplos:. Hallar la derivada de f(x) x e x. Primero calcularemos el cociete de Newto: f ( x + ) ( x + ) x x + x + x x + x + Luego (x + ) x cuado 0. Etoces f (x) x. Hallar la derivada de f(x) x e x. Primero calcularemos el cociete de Newto: f ( x + ) f ( x ) ( x + ) x x + x + x + x x + x + Así (x + x + ) x cuado 0. Etoces f (x) x E el siguiete curso aprederá las reglas (teoremas) para el cálculo de derivadas de todas las fucioes que emos estudiado y sobretodo sus aplicacioes. Es posible que los ejemplos ateriores lo lleve a ituir que la derivada de f(x) x es f (x) x y si f(x) a x su derivada es f (x) a x. Razó de Cambio: Las ideas que emos expuestos fuero descubiertas por Leibitz y Newto a mediados del siglo XVII. Newto co sus estudios y aplicacioes de la Física sobretodo del movimieto de los cuerpos: u cuerpo e caída libre o cae a ua velocidad uiforme sio que cae más y más rápido cada vez. Si s es la distacia a través de la cual el cuerpo se mueve e t segudos etoces s es ua fució de t y la velocidad co que se mueve el cuerpo es la razó o cociete del cambio de la distacia e s co respecto (divido por) al cambio del tiempo e t: s 0 s t 0 t cambio. de. posicio. de. s0a. s s s0 s Velocidad promedio cambio. de. tiempo. de. t0a. t t t0 t s v : razó de cambio de la distacia respecto al tiempo t dode v es la velocidad promedio.

13 66 Qué vamos a eteder por la velocidad de u cuerpo que cae e u istate dado e u valor de t? Claramete la velocidad promedio para u itervalo muy pequeño de tiempo se acerca a lo que llamaremos velocidad istatáea. La velocidad promedio se iterpreta como la pediete de la secate y la velocidad istatáea como la pediete de la tagete o sea la derivada de la fució s (t). cambio. de. posicio. ist. s ds Velocidad istatáea s'( t) cambio. de. tiempo. ist. t 0 t dt Termiemos co más coceptos: si la velocidad istatáea v es la razó de cambio istatáea del desplazamieto respecto al tiempo o sea v ds s' ( t) es la derivada dt de s(t) etoces a la razó de cambio istatáea de la velocidad co respecto al tiempo se le llama aceleració. Así dv d ds d s Aceleració v (t). dt dt dt dt Nota : Posiblemete estas otacioes le cofuda pero después le será más amistosas. La velocidad es la derivada de la distacia y la aceleració es la derivada de la velocidad. Se dice tambié que la aceleració es la seguda derivada de la distacia (la derivada de la derivada) porque la velocidad es su primera derivada. ds dv v s' ( t) y a v (t) s (t). dt dt Nota. La expresió df/dx es la otació de u límite o sigifica el cociete de df y dx. E cursos de Cálculo verá otras iterpretacioes por el mometo atégase al uso que se de e este texto. Gracias. Ejemplo: La distacia s pies que a rodado ua pelota a lo largo de u plao icliado al fial de t segudos está dada por s (t) t - t +. a) Cuál es la velocidad promedio para los primeros dos segudos? b) Cuál es la velocidad istatáea e t? c) Ecuetre la aceleració e cualquier istate. Solució: s() s(0) 7 a) v p/s 0 b) v s (t) 4t v() 7 p/s c) a v (t) s (t) 4 p/s.

14 67 Ejercicios 5.4. E cada uo de los ejercicios siguietes ecuetre: i) la derivada de la fució (calcule el límite al cociete de Newto): f (x). ii) la pediete de la recta tagete a la curva e el puto de abscisa x : f (). iii) la ecuació de la tagete a la curva e x. iv) la gráfica de f(x) y de la tagete e x. a) f(x) x b) f(x) - x c) f(x) x d) f(x)x - x + e) f(x) x f) f(x) x. Halle la derivada de f(x) mx + b. Cuál es su recta tagete?. Halle la derivada de f(x) a x + bx + c. 4. Ua pelota lazada acia arriba e u plao icliado su distacia desde el puto iicial está dada por s (t) 00 t 0 t dode s se mide e pies y t e segudos. a) Ecuetre expresioes para la velocidad y la aceleració e cualquier istate. b) Cuál es la velocidad e t 5 t 0 t 5? 5. U globo está siedo iflado ecuetre la razó de cambio istatáeo del volume respecto al 4 radio si la formula del volume es V π r. 6. Ecuetre la razó de cambio del área de u círculo co respecto a su radio si A π r.

15 68 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS UNIDAD 5: LÍMITES CONTINUIDAD Y DERIVADA. Ejercicios 5... a) { }. b) { } 0. c) { } d) { ( ) } 0 e) { } 0 f) { }.. Todas las sucesioes ateriores so covergetes.. Puede ser ejemplos los siguietes térmios -simos: a) b) + c) + 4. a) 0 b) 0 c) d) / e) / f). 5. Puede ser ejemplos los siguietes térmios -simos: + (-). + Ejercicios 5.. f(x) f() x + f ( x ) x f ( x ) a) No existe b) c) No está defiido x f ( x ). a) 4 b) c) 9 d) e) 0 f) / g) 5 ).. a) / b) c) 4 d) e) /4 f) a) y b) x 4 c) d) x e) x f) a. 5. a) x b) c) 4x d) 0 e) f) x x Ejercicios 5.. f(x) Cualidades de las gráficas. a) Cotiua e todos los reales. b) Discotiua de salto e x. Cuado x + etoces f(x) y tambié cuado x. No está defiida f() y. x c) Discotiua de puto (evitable) e x -. Cuado x - + y cuado x - f(x) 4 pero f(4) o está defiida. d) Discotiua de salto e x 0. Cuado x 0 + etoces f(x) y cuado x 0 la fució f(x). No existe límite i f(0) está defiida. e) Discotiua de salto e x -. Cuado x - + f(x) - y cuado x - f(x) 0. No existe el límite de f(x) cuado x - a pesar de que f(- ) 0. f) Discotiua de puto e x. Cuado x + y cuado x f(x) 0 pero f() o está defiida.

16 69 a) c) e). Gráfica Justificació Gráfica Justificació 4 y 5. a) f(x) es discotiua e x0. f (0) o está defiida. Límite de f(x) o existe cuado x tiede a 0. c) f(x) es cotiua e x0 f (0) 0. Límite f(x) 0 cuado x tiede a 0 por la dereca. e) f(x) es discotiua e x 0. f (0) 0. Límite f(x) o existe es diferete cuado x tiede a 0 por la dereca de cuado tiede a 0 por la izquierda. b) d) b) f(x) es cotiua e x 0. f (0) Límite f(x) cuado x tiede a cero. d) f(x) es discotiua e x 0 f (0) 0. Límite f(x) o existe es diferete cuado x tiede a 0 por la dereca de cuado tiede a 0 por la izquierda. Todas las fucioes so cotiuas e ]0 [ excepto b) que es discotiua de salto e x (asítota). Límite de la fució o existe porque cuado x tiede a la f(x) tiede a. a)discotiua e x : asítota v x y : asítota. b) Discotiua e x : asítota v - x y -: asítota. c)discotiua e x -: asítota v x y : asítota. d)discotiua e x : asítota v x y : asítota.

17 70 Ejercicios 5.4. f (x) a) b) c) d) e) f) i) f (x) - x x 4x - - /x / x ii) f () /4 / iii) y f ()x + b. iv) y x y -4x + 4 y x - y 5x - 7 y - x/4 + y x/ +/ a) b) c) d) e) f). f (x) m. La misma recta es su propia recta tagete.. f (x) ax + b. 4. a) v (t) s (t) 00 0t aceleració v (t) s (t) - 0. dv da 5. 4π. r 6. π. r dr dr