Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 8
|
|
- Salvador Sáez Segura
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja Se puede dibujar un triángulo equilátero que tenga los tres vértices sobre puntos de una malla cuadrada? Qué polígonos regulares se pueden dibujar con todos los vértices en puntos de una malla cuadrada? Se puede dibujar un cuadrado con los cuatro vértices sobre puntos de una malla triangular equilátera? Qué polígonos regulares se pueden dibujar con todos los vértices en puntos de una malla triangular equilátera? (Estas mallas son como las de las figuras, pero se entiende que se pueden extender hasta el infinito.) En la malla cuadrada: (a) No se puede dibujar un triángulo equilátero con los tres vértices en puntos de la malla. Demostración. Supongamos que se pudiera dibujar uno. Entonces, por un lado, el área del triángulo sería un número racional, ya que calculándola por ejemplo con la fórmula de Pick, si la unidad de área es el área del menor cuadrado de la malla, = i + b 2, donde i, el número de puntos de malla interiores al triángulo, y b, el número de puntos de malla en el borde del triángulo incluidos los vértices, son números enteros. x y (También se podría razonar esto utilizando la fórmula = 2 x 2 y 2 x y siendo (x i, y i ) las coordenadas (enteras) de los tres vértices). Pero, por otro lado, si la longitud del lado del triángulo (en unidades de longitud de malla) es l, el área del triángulo es = l2, 4 donde, si (x, y ) y (x 2, y 2 ) son las coordenadas de malla de dos vértices del triángulo, l 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 es un número entero, luego es un número irracional, contradicción. (b) El único polígono regular que se puede dibujar con todos los vértices en puntos de la malla es el cuadrado.
2 Demostración. (b.) No hay hexágonos regulares: si hubiera uno, sean A, A 2, A tres vértices consecutivos. El vector u = A 2 A es un vector de la malla y por tanto el punto B = A + u que completa un rombo con A, A 2 y A, es un punto de la malla y el A A 2 B sería un triángulo equilátero con vértices en la malla, absurdo. (b.2) Sea n > 6 fijo; no hay n-gonos regulares: si hubiera alguno, sean A, A 2, A tres vértices consecutivos del n-gono de lado más pequeño posible. Completando un rombo A A 2 A B 2, el punto B 2 será un punto de la malla. Además, B 2 está en la recta que une A 2 con el centro O del n-gono, ya que A 2 B 2 es bisectriz del A A 2 A. Si l es es lado del n-gono y r su circunradio, se tiene l < r porque n > 6. Luego B 2 está en el segmento entre O y A 2. Al hacer esto para cada terna de vértices consecutivos resulta un n-gono regular (B i ) de menor área que el (A i ) y por lo tanto de menor lado, absurdo. (b.) No hay pentágonos regulares: si hubiera uno, con la construcción anterior para n = 5 también resulta un pentágono regular más pequeño, en este caso invertido respecto del original, porque O pertenece en cada caso al segmento A i B i. En la malla triangular equilátera: (c) No se puede dibujar un cuadrado con los cuatro vértices en puntos de la malla. Demostración. Supongamos que se pudiera dibujar uno. Tomando como unidad de área el área del menor triángulo equilátero de la malla, la fórmula de Pick para esta malla da el área de cualquier 2
3 polígono con vértices en la malla con la cuenta 2i + b 2, donde i es el número de puntos de malla interiores, y b es el número de puntos de malla en el borde del polígono, incluidos los vértices. Entonces, por un lado, el área del cuadrado así calculada sería un número entero. Por otro lado, si la unidad de longitud es la longitud del menor segmento de malla, el cuadrado de la distancia d entre dos puntos de la malla (0, 0) y (a, b) es, por el teorema del coseno, d 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(π/) = a 2 + b 2 + ab. Y el área de un cuadrado de lado l es l 2 4 (ya que el área de un cuadrado de lado es ahora 4 ). Entonces tendríamos = l 2 4, donde, si (x, y ) y (x 2, y 2 ) son las coordenadas de malla de dos vértices consecutivos del cuadrado, l 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (x x 2 )(y y 2 ) es un número entero, así que sería un número irracional, contradicción. (d) Los únicos polígonos regulares que se pueden dibujar en una malla triangular equilátera son triángulos equiláteros y hexágonos: Sirve una demostración ahora completamente similar a la hecha para la malla cuadrada, pues la traslación por un vector cualquiera definido por dos puntos de la malla conserva la malla. 4. Demuestra que si a, b y c son números reales positivos, se cumple la desigualdad Solución. (a 2 b + b 2 c + c 2 a)(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) 9a 2 b 2 c 2. Aplicando la desigualdad AM-GM a los términos de cada factor, se obtiene Solución 2. (a 2 b + b 2 c + c 2 a)(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) ( a b c )( a b c ) = 9a 2 b 2 c 2. Reordenando los términos de cada factor y aplicando la desigualdad de Cauchy Schwarz, (a 2 b + b 2 c + c 2 a)(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) ( a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 ) 2 = 9a 2 b 2 c 2. Solución. Desarrollando el término de la izquierda de la desigualdad, y aplicando la desigualdad AM-GM, se obtiene (a 2 b + b 2 c + c 2 a)(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) = a b + a 2 b 2 c 2 + a 4 bc + ab 4 c + b c + a 2 b 2 c Halla las soluciones enteras de la ecuación + a 2 b 2 c 2 + abc 4 + a c 9 9 a 8 b 8 c 8 = 9a 2 b 2 c 2. x + y = x 2 xy + y 2.
4 Pongamos x + y = a; sustituyamos a la derecha y = a x. a = x 2 x(a x) + (a x) 2, a = x 2 ax + x 2 + a 2 2ax + x 2, x 2 ax + a 2 a = 0, que tratada como ecuación de 2 grado en x permite despejar x = 6 (a ± 2a a 2 ) = 6 (a ± a(4 a)). Para que x tenga valores enteros el discriminante a(4 a) debe ser no negativo y cuadrado perfecto. Para que sea no negativo, debe ser a [0, 4], y los únicos valores enteros de a en este intervalo para los cuales a(4 a) = son a = 0,, y 4. Sustituyendo estos valores de a resultan las siguientes soluciones enteras de la ecuación (que son todas): a = 0, x = 0, y = Sea n 2. Prueba la desigualdad a =, x =, y = 0; x = 0, y = ; a =, x = 2, y = ; x =, y = 2; a = 4, x = 2, y = 2. 2n + n n 2 < n n. Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de n números positivos (GM AM) obtenemos la siguiente desigualdad que es equivalente a la dada: ( 2n + n ) = ( + n 2 n ) n > n 2 2 n n = n n. 50. Prueba que al pintar de rojo 5 de los puntos de una malla cuadrada de puntos, siempre va a haber un rectángulo de lados paralelos a los ejes de la malla con los cuatro vértices rojos. Suponer que se pintan de rojo a i puntos de la fila i (i =, 2,..., ); se tiene a i = 5. En la malla hay un total de ( ) 2 = 78 parejas de columnas. Cada pareja de puntos rojos ( de una misma fila da un total de ai ) 2 parejas de columnas que vamos a decir que 4
5 están marcadas de rojo. Una fila podría tener como máximo sus trece puntos rojos, y eso marcaría de rojo como máximo las 78 parejas de columnas que hay. Si pudiéramos demostrar que siempre va a ocurrir que ( ) ai > 78, () 2 entonces por el principio del palomar habrá al menos una misma pareja de columnas de la malla que está doblemente marcada de rojo por dos parejas de puntos rojos que están (cada una de estas parejas) en dos filas distintas, y así estas dos parejas de puntos conforman los cuatro vértices rojos de un rectángulo de lados paralelos a los ejes de la malla y habremos terminado. La desigualdad () equivale sucesivamente a a i (a i ) > 56, a 2 i > a i + 56 = = 209. Pero aplicando, por ejemplo, la desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética de los a i (es decir, que A 2 ( A ) 2 ), se tiene ( ) 2 a 2 i a i = ( 5 ) 2, es decir, y hemos terminado. a 2 i 52 > 4 5 = 22 > 209, 5
Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 6
Seminario de problemas-bachillerato. Curso 2012-13. Hoja 6 37. Dada una cuerda AB de una circunferencia de radio 1 y centro O, se considera la circunferencia γ de diámetro AB. Sea P es el punto de γ más
Más detalles1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a
Más detallesEl ejercicio de la demostración en matemáticas
El ejercicio de la demostración en matemáticas Demostración directa En el tipo de demostración conocido como demostración directa (hacia adelante) se trata de demostrar que A B partiendo de A y deduciendo
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 5
Seminario de problemas. Curso 2014-15. Hoja 5 29. Encuentra los números naturales N que cumplen las siguientes condiciones: sus únicos divisores primos son 2 y 3, y el número de divisores de N 2 es el
Más detallesn Por ejemplo, en un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del pentágono son 108º.
MATEMÁTICAS 3º ESO TEMA 10 PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL PLANO- 1. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS La suma de los ángulos de un polígono de n lados es: 180º (n-2) 180º(n - 2) La medida de cada ángulo de un polígono
Más detallesEnunciados y Soluciones
LIV Olimpiada matemática Española (Concurso Final) Enunciados Soluciones 1. Determina todos los enteros positivos x, tales que 2x + 1 sea un cuadrado perfecto, pero entre los números 2x + 2, 2x + 3,, 3x
Más detallesGUIA Nº3 GEOMETRIA EN EL ESPACIO
GUIA Nº Obtenga las longitudes de los lados del triángulo ABC determine si éste es rectángulo, isósceles o ambos: a) A(,, ) B(,, ) C(,, ) b) A(,, ) B(,, ) C(,, ) c) A(,, ) B(,, ) C(6,, ) d) A(,, ) B(,,
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. 6.- Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.- a) Expresa en forma paramétrica y continua la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta s de ecuación s: 5x y + 1 = 0 y pasa por el punto B: (, 5). b) Halla la ecuación
Más detallesPrueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3 Matemático. Nombre: Curso: Fecha: Porcentaje de logro Ideal: 100 % Porcentaje Logrado: Nota:
1 Centro educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Nivel: NM- 3 Prueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3 Matemático Nombre: Curso: Fecha: Porcentaje de logro Ideal:
Más detallesSeminario de problemas Curso Hoja 17. Soluciones
Seminario de problemas Curso 2016-17. Hoja 17. Soluciones 105. Dos aristas opuestas de un tetraedro, de longitudes a y b, son perpendiculares. La distancia entre ambas aristas, es decir, la mínima distancia
Más detallesConstrucciones con regla y compás
Universidad de Buenos Aires - CONICET Semana de la Matemática - 2009 Algunos ejemplos Vamos a hacer algunos dibujos usando un papel, un lápiz, un compás y una regla sin medidas marcadas. Algunos ejemplos
Más detallesCurso Curso
Problema 77. Se considera un triángulo equilátero de lado 1 y centro O, y vértices A, B y C. Un rayo luminoso parte de O, se refleja una vez en cada uno de los tres lados, AB, AC y BC (en el orden dado)
Más detalles2. Hallar las soluciones enteras de la ecuación. x 4 + y 4 = 3x 3 y.
Sesión 1. Se considera un polígono regular de 90 vértices, numerados del 1 al 90 de manera aleatoria. Probar que siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto es mayor o igual que 014.
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I. VECTORES LIBRES 1. Dada la siguiente figura, calcula gráficamente los siguientes vectores: a. AB BI b. BC EF c. IH 2BC d. AB JF DC e. HG 2CJ 2CB 2. Estudia si las siguientes
Más detallesDesafío 77. Epi, Blas y el triángulo de la rima
Desafío 77. Epi, Blas y el triángulo de la rima Siendo ABC un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es BC, y F la intersección de la bisectriz por B con la mediana por A, hallar que dimensiones debe tener
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesMATHEMATICA. Geometría - Recta. Ricardo Villafaña Figueroa. Material realizado con Mathematica. Ricardo Villafaña Figueroa
MATHEMATICA Geometría - Recta Material realizado con Mathematica 2 Contenido Sistema de Coordenadas... 3 Distancia entre dos puntos... 3 Punto Medio... 5 La Recta... 8 Definición de recta... 8 Pendiente
Más detallesEjercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detallesEjercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detallesSeminario de problemas-eso. Curso Hoja 14
Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 14 6. Determina el valor de m tal que la ecuación en x x 4 (3m + )x + m = 0 tenga cuatro raíces en progresión aritmética. Como la suma de las cuatro raíces
Más detallesProblema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente.
Problema 717.- a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos comunes a
Más detallesSeminario de problemas-eso. Curso Hoja 10
Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 10 5. Dado un triángulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos triángulos iguales al dado, de forma que estos triángulos no se
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesEL LENGUAJE MATEMÁTICO
Actividad 1 Lee las siguientes frases con contenido matemático y averigua qué objetos matemáticos aparecen y qué símbolos matemáticos se utilizan: a) Los números dos y cuatro son números pares. b) Los
Más detallesCurso Curso
Problema 7. Sea n un número entero. Demuestra que el número n 5 5n 3 + 4n es divisible por 120. Y que, si n es par, el número n 3 4n es siempre divisible por 48. Problema 7. Sea n un número entero. Demuestra
Más detalles1.2. Producto escalar, longitud y distancia
22 Cálculo vectorial 27. Si PQR es un triángulo en el espacio y b > 0 es un número, existe un triángulo con lados paralelos a los de PQR y con longitudes b multiplicado por las longitudes de PQR. 28. Las
Más detallesEJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 3º ESO
EJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 3º ESO Página 1 de 14 Entregar el día del examen de recuperación de matemáticas. Será condición indispensable para aprobar la asignatura. 1. Calcula: NUMEROS ENTEROS. FRACCIONES.
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 9
Seminario de problemas. Curso 204-5. Hoja 9 57. Se pincha aleatoriamente un punto P en el interior de un triángulo equilátero ABC. Cuál es la probabilidad de que los segmentos P A, P B y P C sean los lados
Más detallesDepartamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 3: POLÍGONOS.
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 3: POLÍGONOS Página 1 de 15 1. POLÍGONOS 1.1. Conocimiento de los polígonos regulares Polígono: Proviene de la palabra compuesta de Poli (muchos) Gonos (ángulos). Se
Más detallesEjercicio 8. a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2,1,1) sobre el plano
Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proección ortogonal del punto B (2,1,1) sobre el plano π : 2 x 2z 6 b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX tal que el área del triángulo ABC valga 6. Cuántas
Más detallesCurso Curso
Problema 71. En una corona circular se inscribe un cuadrado de modo que uno de sus lados es tangente a la circunferencia menor (de radio r) y tiene sus dos vértices en la circunferencia mayor (de radio
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
1. [01] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0.. [01] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 10
Seminario de problemas. Curso 015-16. Hoja 10 55. A un fabricante de tres productos cuyos precios por unidad son de 50, 70 y 65 euros, le pide un detallista 100 unidades, remitiéndole en pago de las mismas
Más detallesLos números complejos
7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0
Más detallesESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07
EL LENGUAJE MATEMÁTICO Actividad 1 Cuando hablamos o escribimos en Matemáticas lo hacemos en nuestra lengua habitual, el español, pero utilizamos frases con palabras que designan objetos y símbolos que
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 14
Seminario de problemas. Curso 2015-16. Hoja 14 79. (a) Prueba que en cualquier conjunto de 27 números impares distintos, todos ellos menores que 100, habrá dos que sumen 102. (b) Cuántos conjuntos de 26
Más detalles4. GEOMETRÍA // 4.3. PROPIEDADES DE LOS
4. GEOMETRÍA // 4.3. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS. 4.3.1. La geometría del triángulo. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO La mediatriz de un segmento AB
Más detallesGeometría 3. Ejercicio 2. Dados los puntos = ( 1, 0, 0 ),
Geometría 3 Ejercicio. Sean los puntos P (,, ), Q (,, 3) R (,3,). ) Calcula el punto P que es la proección del punto P sobre la recta que determinan Q R ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los
Más detallesIntroducción a la geometría
Introducción a la geometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares. Plan de estudios (217 temas)
Más detallesFacultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 CONTENIDOS: Geometría. Progresiones aritméticas y geométricas. Coordenadas cartesianas y polares Parte I: Geometría 1) Las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. los
Más detallesTema 2: Figuras geométricas
Tema 2: Figuras geométricas En este tema empezaremos a estudiar: 1. la circunferencia. 2. los triángulos. 3. los cuadriláteros. 4. los poĺıgonos. 1 2 La circunferencia (p. 31) El cerebro humano es muy
Más detallesGUÍA NÚMERO 22 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Saint Gaspar College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formando Personas Íntegras Departamento de Matemática RESUMEN PSU MATEMATICA GUÍA NÚMERO 22 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Definición: Se llaman transformaciones
Más detallesProblemas de fases nacionales e internacionales
Problemas de fases nacionales e internacionales 1.- (China 1993). Dado el paralelogramo ABCD, se consideran dos puntos E, F sobre la diagonal AC e interiores al paralelogramo. Demostrar que si existe una
Más detallesEXAMEN A: Ejercicio nº 1.- Página 1 de 25 Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: Ejercicio nº 2.- La siguiente figura es una esfera de centro C y radio 3 unidades. Cómo definirías dicha
Más detalles6 Propiedades métricas
6 Propiedades métricas ACTIVIDADES INICIALES 6.I Dados los puntos P(, ) Q(, 5), la recta r :, calcula: a) d(p, Q) b) d(p, r) c) d(q, r) 6.II Se tienen las rectas r :, s : 4 t :. Halla: a) d(r, s) b) d(r,
Más detallesUNIDAD 8 Geometría analítica
Pág. 1 de 5 I. Sabes hallar puntos medios de segmentos, puntos simétricos de otros y ver si varios puntos están alineados? 1 Los puntos A( 1, 3), B(2, 6), C (7, 2) y D( 5, 3) son vértices de un cuadrilátero.
Más detallesGeometría en una retícula
Geometría en una retícula Pascual Jara Luis Merino 19 de octubre de 2013 * Resumen Vamos a estudiar problemas relativos a polígonos simples (aquellos en los que los lados no se cruzan) cuyos vértices son
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesFacultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº
CONTENIDOS: Geometría. Progresiones aritméticas y geométricas. Coordenadas cartesianas y polares Parte I: Geometría 1) Las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. los pares de ángulos alternos
Más detallesXVI. Cuarta Fecha. Primer Nivel. = 3 3 r 2. 4 de Agosto de 2018 Soluciones. Individual
XVI Cuarta Fecha 4 de Agosto de 018 Soluciones Individual Primer Nivel 1 En una circunferencia de radio r se inscribe un triángulo equilátero (es decir, los tres vértices del triángulo pertenecen a la
Más detallesPOLIGONOS. Nº DE LADOS NOMBRE 3 Triángulos 4 Cuadriláteros 5 Pentágonos 6 Hexágonos 7 Heptágonos 8 Octógonos 9 Eneágonos 10 Decágonos
1 POLIGONO POLIGONOS Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Lados Vértices Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que polígono irregular
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.2. GEOMETRÍA
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.2. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS 3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio La recta que pasa por el punto
Más detallesMemorial Peter O Hallaran 2004 Problema 1 ( ) ( ) = y.
Memorial Peter O Hallaran 004 Problema 1 Hallar todos los números naturales m tales que ( + 1) m m 1!!5! ( m 1! ) =! Solución de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, Navarra, España Denotaremos por x m al
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 17
Seminario de problemas. Curso 015-15. Hoja 17 11. [Olimpiada Matemática de Española, 00, Islas Canarias] Las alturas de un triángulo ABC se cortan en un punto H. Sabemos que AB = CH. Determinad el valor
Más detallesTransformaciones isométricas
Tema 4: Geometría Contenido: Criterios de congruencia de triángulos Nivel: 1 Medio Transformaciones isométricas 1. Transformaciones isométricas Una transformación isométrica es un movimiento en que se
Más detallesACTIVIDADES DE GEOMETRÍA PARA 4º ESO DE EPV Nombre y apellidos:
ACTIVIDADES DE GEOMETRÍA PARA 4º ESO DE EPV Nombre y apellidos: Curso: TEMA 1: TRAZADOS BÁSICOS. 1. RECTAS PARALELAS Las rectas paralelas son aquellas que por mucho que las prolongues nunca se van a cortar.
Más detallesCuadratura. Cuadratura del Rectángulo
Introducción 1 Cuadratura Denición 1. Cuadratura: en Geometría, determinación de un cuadrado equivalente en supercie a una gura geométrica dada. Cuadratura del Rectángulo Lema 1. el segmento CD de la gura
Más detallesACTIVIDADES DE 2ºESO DE EPV DEL PRIMER TRIMESTRE Nombre y apellidos: TEMA 1: TRAZADOS BÁSICOS
ACTIVIDADES DE 2ºESO DE EPV DEL PRIMER TRIMESTRE Nombre y apellidos: Curso: TEMA 1: TRAZADOS BÁSICOS 1. LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN. Observando tu escuadra y tu cartabón describe su forma y sus ángulos.
Más detallesPOLÍGONOS POLÍGONOS. APM Página 1
POLÍGONOS 1. Polígonos. 1.1. Elementos de un polígono. 1.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono. 1.3. Diagonales de un polígono. 1.4. Clasificación de los polígonos. 2. Polígonos regulares. Elementos.
Más detalles*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
*DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 x a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular bajada del vértice al
Más detallesIII: Geometría para maestros. Capitulo 1: Figuras geométricas
III: Geometría para maestros. Capitulo : Figuras geométricas SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS SITUACIONES INTRODUCTORIAS En un libro de primaria encontramos este enunciado: Dibuja un polígono convexo
Más detallesProblemas Primera Sesion
Problemas Primera Sesion 1 Los enteros positivos x, y, z cumplen x + y = z, x 4y + z = 310. Halla todos los posibles valores del producto xyz. Solución 1. Podemos despejar y de la primera ecuación y sustituir
Más detallesTORNEOS GEOMÉTRICOS 2016 Segunda Ronda. Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad. Apellido Nombres.. DNI Tu Escuela. Localidad Provincia
TORNEOS GEOMÉTRICOS 2016 Segunda Ronda Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad justificar tus respuestas. hacerla cada participante. 1. Halla la suma de los ángulos marcados en el cuadrilátero inscripto en
Más detallesEDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL. Trabajo de Recuperación de Pendientes Para 3º ESO. Geometría. IES Ramón Menéndez Pidal DPTO. DE DIBUJO 3º ESO 1
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL Trabajo de Recuperación de Pendientes Para 3º ESO Geometría IES Ramón Menéndez Pidal DPTO. DE DIBUJO 3º ESO 1 TEOREMA DE THALES El Teorema de Thales sirve para dividir un segmento
Más detallesFacultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 1
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 CONTENIDOS: Geometría. Progresiones aritméticas y geométricas. Coordenadas cartesianas y polares Parte I: Geometría 1) Las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. los
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Dada la recta del plano de ecuación x 6y + = 0, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. La recta x 6y + = 0 pasa por el punto (0,
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detallesTEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación general de la recta. Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección (llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta. Tipos de ecuaciones
Más detallesTEMA 6: GEOMETRÍA EN EL PLANO
TEMA 6: GEOMETRÍA EN EL PLANO Definiciones/Clasificaciones Fórmulas y teoremas Dem. Def. y Clasificación de polígonos: Regular o irregular Cóncavo o convexo Por número de lados: o Triángulos: clasificación
Más detallesCuadratura. Cuadratura del Rectángulo
Denición 1. : en Geometría, determinación de un cuadrado equivalente en supercie a una gura geométrica dada. del Rectángulo Lema 1. el segmento CD de la gura es la media geométrica de AC y CB, es decir
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES - MATEMÁTICA I - AÑO 2012 TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS Definición: Dados tres puntos no alineados, A, B y C, se llama triángulo a la intersección de los semiplanos que tienen como borde la recta determinada por dos de estos puntos y contiene al
Más detalles3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:
III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden
Más detallesSOLUCIONES ENERO 2018
Página 1 de 9 SOLUCIONES ENERO 018 Soluciones extraídas del libro: XVIII CONCURSO DE PRIMAVERA 014 Obtenibles en http://www.concursoprimavera.es#libros NIVEL: Segundo ciclo de la E. S. O. AUTORES: Colectivo
Más detallesb) Halle el punto de corte del plano π con la recta que pasa por P y P.
GEOMETRÍA 1- Considere los puntos A(1,2,3) y O(0,0,0). a) Dé la ecuación de un plano π 1 que pase por A y O, y sea perpendicular a π 2 : 3x-5y+2z=11. b) Encuentre la distancia del punto medio de A y O
Más detallesGuía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Wilson Herrera 1 Guía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
Más detallesMATEMÁTICA N O 3. Santillana FASCÍCULO PSU N O 3 MATEMÁTICA. Santillana
MATEMÁTICA N O FASCÍCULO PSU N O MATEMÁTICA 1 MATEMÁTICA N O 1. 2 ( 4 ) 2 =? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24 2. Al escribir la expresión (0,0006) 2 en notación científica se obtiene: A),6 10 - B),6 10 9 C),6
Más detallesTORNEOS GEOMÉTRICOS 2016 Primera Ronda. Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad
TORNEOS GEOMÉTRICOS 2016 Primera Ronda Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad 1- En el triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo en C mide 48º se trazan la bisectrices de los ángulos B y C, que se cortan en O.
Más detallesPENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I EJERCICIOS BLOQUE II
PENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I EJERCICIOS BLOQUE II 5. Geometría analítica 1.- Calcula el módulo y el argumento del vector v ( 3, 4) v = 5, a = 33 7 48.- Dados los puntos A( 5, 3) y B(, 7), calcula
Más detallesFunción lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.
Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F
Más detalles( ) 5 x [ ) [ ) VERSIÓN 0. cos ln e π. sgn 3
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS INGENIERÍAS GUAYAQUIL, AGOSTO 27 DE 2012 Nombre: Paralelo: VERSIÓN 0 INSTRUCCIONES Escriba sus
Más detallesEXAMEN: TEMAS 4 Y 5 BCT 1º OPCIÓN A 25/02/2015
EXAMEN: TEMAS 4 Y BCT 1º OPCIÓN A 2/02/201 1. (1 punto) Sea M el punto medio del segmento AB. Expresa el vector OM como combinación lineal de los vectores OA y OB. Realizar una construcción gráfica de
Más detallesSeminario de problemas Curso Soluciones HOJA 4
Seminario de problemas Curso 04-5 Soluciones HOJA 4. Sea ABCD un trapecio cuya base mayor es AB. Las diagonales AC y BD se cortan en el punto P. Si llamamos respectivamente A, A, A y A a las áreas de los
Más detallesProblemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6
página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto
Más detalles[2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Solución
Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2008 [2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. La recta x = a es una asíntota vertical (A.V.) de la función
Más detallesTEMA 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES
TEMA 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES GEOMETRÍA: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras geométricas, incluyendo puntos, rectas, planos Proviene del Griego GEO (tierra) METRÍA
Más detallesConsideraciones previas: *DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x. ). Q(x. d= ( ) ( ) 2. *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
Consideraciones previas: *DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) x 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA CONTENIDO
UNIDAD DIDÁCTICA CONTENIDO TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULO - SEGÚN SUS LADOS - SEGÚN SUS ÁNGULOS ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO 1 ANALIZA LAS SIGUIENTES FIGURAS: Son polígonos: No
Más detallesEl ejercicio de la demostración en matemáticas
El ejercicio de la demostración en matemáticas Demostración directa En el tipo de demostración conocido como demostración directa(hacia adelante) se trata de demostrar que A B partiendo de A y deduciendo
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B =
S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 8 - IV 4 CURSO 03-4 a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro
Más detallesCircunferencias. d) A( 1, 5) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. b) dist (X, A) = d
Circunferencias 6 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es d. a) A(, ) y d = b) A(, ) y d = 1 c) A(, ) y d = 1 d) A( 1, ) y d = X = (x, y) punto genérico
Más detallesLos números reales Los números naturales... 2 Los números enteros... 2 Las leyes de los signos... 3 Los números racionales...
ÍNDICE Capítulo 1 Introducción... 1 Los números reales... 2 Los números naturales... 2 Los números enteros... 2 Las leyes de los signos... 3 Los números racionales... 4 Los números reales... 7 Los exponentes...
Más detallesTORNEOS GEOMÉTRICOS Segunda Ronda. Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad. Apellido Nombres. DNI Tu Escuela. Localidad Provincia
TORNEOS GEOMÉTRICOS 2017. Segunda Ronda Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Apellido Nombres DNI Tu Escuela. Tu domicilio: Calle. Nº Piso Dpto C.P... Localidad Provincia Lee con atención: 1- Es posible
Más detallesEJERCICIOS PARA VERANO. MATEMÁTICAS I 1º BACH
Desarrollar los siguiente valores absolutos f(x) = x² + 5x 4 - x - 2 f(x) = x² -4x + 3 + x - 3 f(x) = x x f(x) = x / x Resolver las ecuaciones exponenciales: Resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales:
Más detallesINTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO EJE NUMÉRICO - VECTORES EN EL PLANO
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO EJE NUMÉRICO - VECTORES EN EL PLANO Ciencias Básicas y Tecnológicas 2018-I Trujillo, 2018 Contenido 1 2 3 4 Competencia/Capacidades Competencia Demuestra compromiso,
Más detallesdonde n es el numero de lados. n APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos vértices consecutivos.
Polígonos regulares 1 POLIGONOS REGULARES DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos congruentes. DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices
Más detalles