SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN

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1 CAPÍTULO 7 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN 7.1. INTRODUCCION Estudiaremos el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden: x 1 = a 11 (t)x 1 +a 12 (t)x a 1n (t)x n +f 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 +a 22 (t)x a 2n (t)x n +f 2 (t). (7.1) x n = a n1 (t)x 1 +a n2 (t)x a nn (t)x n +f n (t) el cual se denomina no homogénea si f i para algún i = 1,2,...,n. El sistema homogéneo asociado al anterior sistema es: x 1 = a 11 (t)x a 1n (t)x n. (7.2) x n = a n1 (t)x a nn (t)x n 247

2 248 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN x 1 (t) x 2 (t) a 11 (t) a 1n (t) Sea x(t) =., A(t) =.. y f(t) = a x n (t) n1 (t) a nn (t) entonces el sistema (7.1) se puede escribir: f 1 (t) f 2 (t). f n (t), x (t) = A(t) x(t)+ f(t) (7.3) y la homogénea asociada (7.2) se puede escribir como x (t) = A(t) x(t) (7.4) Consideremos el problema de valor inicial: x (t) = A(t) x(t)+ f(t), x(t ) = x (7.5) donde x = x 1 x 2. x n Decimos que la función vectorial φ 1 (t) φ 2 (t) φ(t) =. φ n (t) es solución de (7.5) en I, si φ(t) es derivable, satisface la ecuación diferencial en I y la condición inicial dada, es decir, si φ(t ) = x 1 x 2. x n = x Teorema 7.1. Sean A(t) y f(t) funciones matricial y vectorial respectivamente y continuas en [a,b], entonces existe una única función vectorial φ(t) que es solución del problema de valor inicial (7.5) en [a,b].

3 7.1. INTRODUCCION 249 (Ver la demostración de este teorema en el Apéndice) Ejemplo 1. Consideremos el sistema lineal x 1 = 4x 1 x 2 x 2 = x 1 2x 2 con x 1 () = 1 y x 2 () = 2. Solución: el sistema puede escribirse como: [ ] [ ] [ ] x x1 = 1 2 x 2 x 2 [ ] [ ] x1 () 1 x = = x 2 () 2 Sus soluciones son de la forma: [ ] [ ] e 3t φ 1 (t) =, φ2 (1 t)e 3t (t) = También e 3t [ ] (1 3t)e 3t φ(t) = (2+3t)e 3t te 3t es un vector solución que satisface la condición inicial. Nota: toda E.D. de orden n se puede reducir a un sistema de E.D. de primer orden. En efecto, sea x (n) = f(t,x,x,,x (n 1) ) (7.6) una E.D. de orden n (lineal o no lineal), donde t es la variable independiente, haciendo x = x 1, x = x 2, x = x 3,,x (n 1) = x n obtenemos el siguiente sistema de primer orden: x 1 = x 2 x 2 = x 3. (7.7) x n = f(t,x,x,,x (n 1) )

4 25 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN la E.D. 7.6 es equivalente al sistema 7.7, esto quiere decir que si x(t) es solución de 7.6 entonces x 1 = x, x 2 = x, x 3 = x,,x n = x (n 1) son solución del sistema 7.7 y recíprocamente, si x 1 (t), x 2 (t),,x n (t) son solución del sistema 7.7 entonces x(t) = x 1 (t) es solución de la E.D. de orden n 7.6. Ejemplo 2. Convertir en un sistema la siguiente E.D.: x 6x +11x 6x = sent Solución: hagamos x 1 = x, x 2 = x, x 3 = x y obtenemos el siguiente sistema x 1 = x = x 2 x 2 = x = x 3 x 3 = x = 6x 11x +6x+ sent = 6x 3 11x 2 +6x 1 + sent = 6x 1 11x 2 +6x 3 + sent matricialmente la E.D. queda así x x 1 1 = x 2 = 1 x x 1 x 2 x 3 + sent 7.2. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y SISTEMAS HOMOGÉNEOS Consideremos el sistema homogéneo x = A(t) x donde x es un vector de n componentes y A(t) una matriz de n n. Si φ 1 (t),..., φ n (t), son n soluciones linealmente independientes del sistema, entonces decimos que este conjunto es un conjunto fundamental de soluciones; la matriz Φ(t) = [ φ 1 (t),..., φ n (t)] = φ 11 (t) φ 1n (t).. φ n1 (t) φ nn (t), o sea, la matriz cuyas columnas son φ 1 (t),..., φ n (t) los cuales son linealmente independientes, la llamamos una matriz fundamental y decimos que Φ(t)

5 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 251 es una solución matricial ya que cada una de sus columnas es solución de x = A(t) x. Definición 7.1 (Matriz Principal). Decimos que la matriz fundamental ϕ(t) es matriz principal si 1 ϕ(t ) = I =.. 1 Nota: esta matriz es única. Definición 7.2 ( Wronskiano). Sea Φ(t) una matriz solución(es decir, cada columna es un vector solución) de x = A(t) x, entonces W(t) = detφ(t) lo llamamos el Wronskiano de Φ(t). Observación: si Φ(t) es una matriz fundamental, entonces W(t) = detφ(t) 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Consideremos el sistema donde x(t) = x 1 (t) x 2 (t). x n (t) x = A x (7.8) a 11 a 1n y A =.. es una matriz constante a n1 a nn Elobjetivoeshallarnsolucioneslinealmenteindependientes: x 1 (t),..., x n (t). Para ello imaginemos la solución del tipo x(t) = e λt v, donde v es un vector constante, como d dt eλt v = λe λt v

6 252 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN y A(e λt v) = e λt A v, de (7.8) tenemos que: luego λe λt v = A(e λt v) = e λt A v, A v = λ v (7.9) Es decir, x(t) = e λt v es solución de (7.8) si y solo si λ y v satisfacen (7.9). Definición 7.3 (Vector y valor propio). Un vector v que satisface A v = λ v se le llama vector propio de A con valor propio λ. NOTA: v = siempre satisface A v = λ v para cualquier matriz A, por esto no nos interesa. λ es un valor propio de la matriz A si y solo si A v = λ v A v λ v = (A λi) v = (7.1) es decir, v satisface sistema homogéneo de n ecuaciones con n incognitas (A λi) v = (7.11) donde I es la matriz identidad. La ecuación (7.11) tiene una solución v si y solo si det(a λi) =, luego los valores propios de A son las raíces de la ecuación. a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n = det(a λi) =... a n1 a n2 a nn λ = Polinomio en λ de grado n = p(λ).

7 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 253 Definición 7.4 (Polinomio Característico).. Al polinomio p(λ) de la nota anterior lo llamamos el Polinomio Característico de la matriz A. Como los vectores propios de A son los vectores v que satisfacen la ecuación vectorial (A λi) v =. y como p(λ) =, tiene a lo sumo n raíces, entonces existen a lo sumo n valores propios de A y por tanto existen a lo sumo n vectores propios linealmente independientes. El siguiente teorema se demuestra en los cursos de Algebra Lineal. Teorema 7.2. Cualesquiera k vectores propios v 1,..., v k correspondientes a k valores propios diferentes λ 1,...,λ k respectivamente, son linealmente independientes. Pasos para hallar los valores y vectores propios de A: Hallar p(λ) = det(a λi) =. Hallar las raíces λ 1,...,λ n de p(λ) =. Para cada valor propio λ i, resolver el sistema homogéneo (A λ i I) v =. Ejemplo 2. Hallar tres soluciones linealmente independientes, una matriz fundamental y la solución general del siguiente sistema: x = x Solución: el polinomio característico es 1 λ 1 4 p(λ) = det(a λi) = 3 2 λ 1 = (λ 3 2λ 2 5λ+6) = λ = (λ 1)(λ+2)(λ 3) = luego los valores propios son: λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3

8 254 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Hallemos los vectores propios: Para λ 1 = 1, tenemos que v v 1 (A 1.I) v = v 2 = v 2 = v v 3 escalonemos la matriz de coeficientes por reducción de filas R 21(1) 3 3 R 2( 1 3 ) 1 1 R 32( 1) 1 1 R (1) R ( 1 2 ) 1 1 luego v 2 = 4v 3, v 1 = v 3, v 3 = v 3, por lo tanto 1 1 e t v = 4 x 1 = e t 4 = 4e t 1 1 e t Para λ 2 = 2, tenemos que (A+2.I) v = v 1 v 2 v = v 1 v 2 v 3 = escalonemos la matrizde coeficientes por reducción defilas R 21(4) R 2( 1 15 ) 1 1 R 12( 4) 1 1 R (1) R ( 1 5 ) R ( 1) luego v 2 = v 1, v 3 = v 1, v 1 = v 1, por lo tanto 1 1 v = 1 x 2 = e 2t 1 = 1 1 Para λ 2 = 3, tenemos que e 2t e 2t e 2t v v 1 (A 3.I) v = v 2 = v 2 = v v 3

9 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 255 escalonemos la matriz de coeficientes por reducción de filas R 21( 1) 5 5 R 2( 1 5 ) 1 1 R 12(4) R (1) luego v 2 = 2v 1, v 3 = v 1, v 1 = v 1, por lo tanto 1 1 v = 2 x 3 = e 3t 2 = 1 1 e 3t 2e 3t e 3t Lastressolucionesson x 1, x 2, x 3,comolostresvalorespropiossondiferentes entonces x 1, x 2, x 3 son linealmente independientes, o sea que la matriz fundamental es e t e 2t e 3t Φ(t) = [ x 1, x 2, x 3 ] = 4e t e 2t 2e 3t e t e 2t e 3t La solución general es x(t) = C 1 x 1 (t)+c 2 x 2 (t)+c 3 x 3 (t) = Φ(t) RAÍCES COMPLEJAS. C 1 C 2 C 3 = [ x 1, x 2, x 3 ] Si λ = α+iβ es un valor propio o característico de A con vector propio asociado v = v 1 +i v 2, entonces x(t) = e λt v es una solución vectorial compleja de x = A x. C 1 C 2 C 3 La solución vectorial compleja da lugar a dos soluciones vectoriales reales, en efecto: Lema 7.1. Sea x(t) = x 1 (t) + i x 2 (t) una solución vectorial compleja de x = A x, entonces x 1 (t) y x 2 (t) son soluciones vectoriales reales de x = A x.

10 256 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Demostración: como x(t) es solución de x = A x entonces x 1 (t)+i x 2 (t) = A( x 1 (t)+i x 2 (t)) = A x 1 (t)+ia x 2 (t) e igualando parte Real y parte Imaginaria: o sea que x 1 (t) y x 2 (t) son soluciones. Obsérvese que x 1 (t) = R e { x(t)} x 1 = A x 1 y x 2 = A x 2, x 2 (t) = Im{ x(t)} NOTA: si λ = α+iβ es un valor propio complejo y v = v 1 +i v 2 es un vector propio complejo asociado a λ entonces x = e λt v = e (α+iβ)t ( v 1 +i v 2 ) = e αt (cosβt+isenβt)( v 1 +i v 2 ) = e αt [ v 1 cosβt v 2 senβt+i( v 1 senβt+ v 2 cosβt)] Por tanto si λ = α + iβ es un valor propio de A con vector propio v = v 1 +i v 2, entonces x 1 = e αt ( v 1 cosβt v 2 senβt), x 2 = e αt ( v 1 senβt+ v 2 cosβt) (7.12) son dos soluciones vectoriales reales de x (t) = Ax y son linealmente independientes. Ejemplo 3. Hallar dos soluciones [ vectoriales ] reales linealmente independientes del siguiente sistema: x = x Solución: hallemos el polinomio característico [ ] 12 λ 17 p(λ) = = λ 2 8λ+2 = 4 4 λ los valores propios son λ 1 = 4+2i, λ 2 = 4 2i,por tanto α = 4, β = 2. Si λ 1 = 4+2i entonces [ ] [ ] 8 2i 17 v1 = 4 8 2i v 2 [ ] (8 2i)v 1 17v 2 = y 4v 1 +( 8 2i)v 2 =

11 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 257 como estas dos ecuaciones son linealmente dependientes, se toma una cualquiera de las dos, por ejemplo la primera v 2 = 1 [ ] 17 (8 2i)v 1 1, v 1 = v 1 v = 1 (8 2i) v 1 17 [ ] [ ] [ ] tomando v 1 = 17 tenemos v = = +i [ ] 8 2i [ ] escogemos como v 1 =, v 8 2 = 2 Por lo tanto las dos soluciones vectoriales reales son: ([ ] [ ] ) 17 x 1 (t) = e αt ( v 1 cosβt v 2 senβt) = e 4t cos2t sen2t 8 2 [ ] = e 4t 17cos2t 8cos2t+2sen2t y también ([ ] [ ] 17 x 2 (t) = e αt ( v 1 senβt+ v 2 cosβt) = e 4t sen2t+ 8 2 [ ] = e 2t 17sen2t 8sen2t 2cos2t ) cos2t Nota: si se utiliza el otro valor propio λ 2 = 4 2i y se sigue el mismo procedimiento se llega a que [ ] [ ] x 1 (t) = e 4t 17cos2t, x 8cos2t 2sen2t 2 (t) = e 4t 17sen2t 8sen2t+2cos2t que también son dos soluciones linealmente independientes de la E.D., es decir, que de acuerdo a la selección que hagamos ya sea en los valores propios o en las ecuaciones lineales cuando escalonemos la matriz de coeficientes, tendremos respuestas diferentes, esto se debe a que escogemos vectores base v 1, v 2 diferentes. RAÍCES IGUALES. La matriz e At que definimos a continuación, cuya existencia esta demostrada en el Apéndice A.3.

12 258 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Definición 7.5 (Matriz exponencial). Si A es una matriz n n y constante e At = I +ta+ t2 2! A tn n! An +... Esta serie es convergente para todo t y para toda matriz A n n constante. Derivando formalmente (Ver la demostración de la derivada en el Apéndice A.4), tenemos d dt eat = A+A 2 t+...+ tn 1 (n 1)! An +... ) = A (I +At+...+ tn 1 (n 1)! An +... = Ae At Por tanto, e At v es una solución de x = A x, donde v es un vector constante. En efecto d dt (eat v) = Ae At v = A(e At v) } {{ } } {{ } x x También en el Apéndice se demuestran las siguientes propiedades. Propiedades: i). (e At ) 1 = e At ii). e A(t+s) = e At e As iii). Si AB = BA, donde A n n y B n n, entonces e At+Bt = e At e Bt Observación: e At v = e At λit+λit v = e (A λi)t e λit v (7.13) Ya que (A λi)λi = (λi)(a λi) Pero e λit v = = ] [I +λit+(λi) 2 t2 2! +... v ] [1+λt+ λ2 t I v = e λt v 2! sustituyendo en (7.13) e At v = e λt e (A λi)t v (7.14)

13 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 259 Si v satisface (A λi) m v = para algún entero m, entonces la serie infinita de e (A λi)t termina después de m términos; en efecto, (A λi) m+e v = (A λi) e (A λi) m v =. Por tanto e (A λi)t v = en (7.14): ] [I +(A λi)t+(a λi) t2 t m 1 2! +...+(A λi)m 1 v (m 1)! = v +t(a λi) v + t2 2! (A λi)2 v tm 1 (m 1)! (A λi)m 1 v e At v = e λt [ v +t(a λi) v + t2 2! (A λi)2 v tm 1 (m 1)! (A λi)m 1 v] (7.15) Algoritmo para hallar las n soluciones linealmente independientes 1. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A. Si A tiene n vectores propios linealmente independientes entonces x = A x tiene n soluciones linealmente independientes de la forma e λt v. 2. Si A tiene k < n vectores propios linealmente independientes, entonces setienenk solucioneslinealmenteindependientesdelaformae λt v.para encontrar las soluciones adicionales se toma un valor propio λ de A y se hallan todos los vectores v tales que (A λi) 2 v = y (A λi) v. Para cada uno de estos vectores v e At v = e λt e (A λi)t v = e λt [ v +t(a λi) v] es una solución adicional de x = A x. Esto se hace para todos los valores propios de A.

14 26 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 3. Si aún en el paso anterior no se han conseguido las n soluciones linealmente independientes, entonces se buscan los vectores v tales que (A λi) 3 v = y (A λi) 2 v por lo tanto e At v = e λt [ v +t(a λi) v + t2 2 (A λi)2 v] es una nueva solución linealmente independiente de x = A x. 4. Se continua de la misma manera hasta completar n soluciones linealmente independientes. Ejemplo 4. Resolver por el método anterior el problema de valor inicial x = 2 1 x x() = Solución: el polinomio característico de A = 2 1 es p(λ) = (2 λ) 3 2 luego λ = 2 es un valor propio de A con multiplicidad 3. Hallemos los vectores propios asociados a λ = 2, estos vectores deben satisfacer la ecuación 1 2 (A 2I) v = 1 v 1 v 2 v 3 = escalonemos la matriz de coeficientes por reducción de filas R 12(2) 1

15 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 261 luego v 2 =, v 3 = y v 1 = v 1, por lo tanto el vector propio asociado a λ = 2 es 1, la solución asociada a este vector propio es 1 x 1 (t) = e 2t v = e 2t, luego la dimensión del espacio propio asociado al valor propio λ = 2 es uno, esto quiere decir que debemos hallar un vector v tal que (A 2I) 2 v = y (A 2I) v (A 2I) 2 v = 1 1 v = v 1 v 2 v 3 = es decir v 3 =, v 1 y v 2 son parámetros; elegimos v 1 = y v 2 = 1 de tal manera que el vector v = 1 sea linealmente independiente con el vector 1 v = hallado anteriormente La solución asociada a v es x 2 (t) = e λt [ v +t(a λi) v] = e 2t [ v +t(a 2I) v] t = e 2t [ 1 +t 1 1 ] = e 2t [ 1 +t ] = e 2t 1 como (A 2I) 2 v = tiene dos soluciones linealmente independientes 1, 1

16 262 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN se debe buscar otra solución linealmente independiente con las anteriores, que cumpla la condición (A 2I) 3 v = y (A 2I) 2 v v 1 (A 2I) 3 v = 1 v = v 2 = v 3 luego v 1,v 2 y v 3 son parámetros, entonces escogemos v = de tal manera 1 1 que sea linealmente independiente con y 1 y que además cumpla (A 2I) 2 v. Como el sistema es 3 3, entonces la última solución es x 3 (t) = e λt [ v+t(a λi) v+ t2 2 (A λi)2 v] = e 2t [ v+t(a 2I) v+ t2 2 (A 2I)2 v] = e 2t [ +t 1 + t2 1 ] = e 2t [ +t 1 + t2 ] = e 2t [ +t 1 + t2 ] t2 2t = e 2t 2 t 1 La solución general es t2 1 t 2t x(t) = C 1 x 1 (t)+c 2 x 2 (t)+c 3 x 3 (t) = C 1 e 2t +C 2 e 2t 1 +C 3 e 2t 2 t 1 en t = se tiene que 1 1 x() = 3 = C 1 +C 2 1 +C 3 1 1

17 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 263 luego C 1 = 1, C 2 = 3 y C 3 = 1 La solución particular buscada es t2 1+5t x(t) = e 2t 2 3 t 1 Nota: en algunos casos el valor propio repetido λ de multiplicidad m puede producir m vectores propios, en otros casos (como en el ejemplo anterior) puede producir menos de m vectores propios, teniéndose que completar el resto (hasta completar m) con los que llamaremos vectores propios generalizados. Definición 7.6 (Valor propio defectuoso). Un valor propio λ de multiplicidad m > 1 se le llama defectuoso si produce menos de m vectores propios linealmente independientes. Si λ tiene p < m vectores propios linealmente independientes, al número d = m p de vectores propios faltantes se le llama el defecto del valor propio defectuoso λ En el ejemplo anterior λ = 2 tiene multiplicidad m = 3 y solo produjo p = 1 vector propio, al número d = m p = 3 1 = 2 de vectores propios faltantes se le llama el defecto del valor propio λ = 2, los dos vectores propios faltantes se consiguen con vectores propios generalizados. Observaciones. 1. Si λ es un valor propio de la matriz A, denominamos vector propio generalizado de rango m asociado a λ, al vector v tal que (A λi) m v = y (A λi) m 1 v Cuando m = 1, el vector v es un vector propio generalizado de rango uno y es también un vector propio ordinario; cuando m = 2, el vector v es un vector propio generalizado de rango dos, pero no es un vector propio ordinario. Una cadena de longitud m de vectores propios generalizados originados en el vector propio v 1 es un conjunto de m vectores propios generaliza-

18 264 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN dos { v 1, v 2,..., v m } tales que (A λi) v m = v m 1 (A λi) v m 1 = v m 2. (7.16) (A λi) v 2 = v 1 Si sustituimos v m 1 en la segunda expresión de (7.16) y luego v m 2 en la tercera expresión y así sucesivamente, tenemos que (A λi) m 1 v m = v 1, (7.17) y como v 1 es un vector propio ordinario, entonces premultiplicando (7.17) por (A λi) se llega a que en general para j = 1,...,m 1 : (A λi) m v m = (A λi) v 1 = (A λi) j v m = v m j (7.18) Utilizando (7.18) se puede mostrar que la cadena { v 1, v 2,..., v m } es un conjunto de vectores linealmente independientes, para ello suponemos que α 1 v 1 +α 2 v α m v m = se premultiplica por (A λi) m 1 y se llega a que α m =, en forma similar se demuestra que α m 1 = y así sucesivamente hasta mostrar que α 1 = 2. Utilizando (7.15) tenemos que x(t) = e λt [ v m +t(a λi) v m + t 2 2! (A λi)2 v m tm 1 (m 1)! (A λi)m 1 v m ] (7.19) donde v m satisface (A λi) m v m = y (A λi) m 1 v m = v 1 y por (7.18) x(t) = e λt [ v m + t v m 1 + t2 2! v m tm 1 (m 1)! v 1] (7.2)

19 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 265 Algoritmo para una cadena de longitud m a. Hallar v 1 vector propio de A asociado al valor propio λ que satisface el sistema: (A λi) v =. b. Hallar v 2 tal que (A λi) v 2 = v 1. c. Hallar v m tal que (A λi) v m = v m 1. d. La solución asociada a esta cadena es 3. Consideremos el sistema x(t) = e λt [ v m +t v m 1 + t2 2! v m tm 1 (m 1)! v 1] luego su ecuación característica es x = a 1 x+b 1 y y = a 2 x+b 2 y [ ] a1 λ b p(λ) = det 1 = (a a 2 b 2 λ 1 λ)(b 2 λ) a 2 b 1 (7.21) = λ 2 (a 1 +b 2 )λ+(a 1 b 2 a 2 b 1 ) = (7.22) y supongamos que tiene una raíz λ = m con multiplicidad dos. Supongamos también que [ ] A v 1 = B es el vector propio asociado a λ = m y que [ ] A1 v 2 = es el vector propio generalizado de rango dos, asociado al valor propio λ = m, es decir B 1 (A mi) 2 v 2 = y (A mi) v 2 = v 1 Por tanto las dos soluciones linealmente independientes son [ ] A x 1 (t) = e mt v 1 = e mt B

20 266 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN y por (7.2) la segunda solución es x 2 (t) = e mt [ v 2 +t v 1 ] = e mt [ [ A1 B 1 ] +t [ ] [ ] A ] = e mt A1 +At, B B 1 +Bt la solución general es [ ] x(t) x(t) = = C y(t) 1 x 1 (t)+c 2 x 2 (t) [ ] [ ] A = C 1 e mt +C B 2 e mt A1 +At B 1 +Bt finalmente x(t) = C 1 Ae mt +C 2 (A 1 +At)e mt (7.23) y(t) = C 1 Be mt +C 2 (B 1 +Bt)e mt (7.24) Teorema 7.3. La matriz X(t) n n es una matriz fundamental de la E.D. vectorial x = A x si y solo si satisface la E.D. matricial X (t) = AX(t) y además detx(t ). Demostración: sea X(t) = [ x 1 (t),..., x n (t)] una matriz fundamental de x = A x, entonces x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) son linealmente independientes y por tanto detx(t ). Derivando la matriz X(t), tenemos y como y sabiendo que X (t) = [ x 1(t), x 2(t),..., x n(t)] AX(t) = [A x 1 (t),a x 2 (t),...,a x n (t)] entonces A x 1 (t) = x 1(t), A x 2 (t) = x 2(t),...,A x n (t) = x n(t) X (t) = [A x 1 (t),a x 2 (t),...,a x n (t)] = AX(t)

21 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 267 luego X(t) es solucion de la E.D. matricial X = AX Recíprocamente como x 1 (t ),..., x n (t ) son linealmente independientes, ya que detx(t ) ; entonces por la nota ii. hecha en la página 95 del Cap. IV, tenemos que luego la matriz x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) son linealmente independientes es una matriz fundamental. X(t) = [ x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)] Teorema 7.4. La matriz e At es una matriz principal de x = A x. Demostración: en efecto, e At es solución de X = AX ya que d dt eat = Ae At y por el teorema anterior e At es una matriz fundamental, además, y para t = se tiene que e A = I. e At = I +At+A 2 t , Teorema 7.5. Sean X(t) y Y(t) dos matrices fundamentales de x = A x, entonces existe una matriz constante C n n tal que Y(t) = X(t)C. Demostración: como X(t) = [ x 1 (t),..., x n (t)] es fundamental entonces x 1,..., x n son linealmente independientes. Similarmente como Y(t) = [ y 1,..., y n ] es fundamental

22 268 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN entonces y 1,..., y n son linealmente independientes. Como x 1,..., x n es una base, entonces cada y i se puede expresar como una combinación lineal de esta base, es decir, y i = C 1i x C ni x n = [ x 1 (t),..., x n (t)] C 1i C 2i para i = 1,...,n, luego C 11 C 1n Y(t) = [ y 1,..., y n ] = [ x 1 (t),..., x n (t)].. = X C n n C n1 C nn donde C 11 C 1n C =.. C n1 C nn El siguiente teorema nos permite hallar una matriz exponencial, conociendo una matriz fundamental. Teorema 7.6. Sea X(t) una matriz fundamental de x = A x entonces e At = X(t)X 1 (). Demostración: sea X(t) una matriz fundamental y como e At es matriz fundamental (principal), entonces, existe C n n tal que e At = X(t)C Para t = e t = I = X()C C = X 1 (). Luego e At = X(t)X 1 ().. C ni Ejemplo 5. Hallar e At para x = x

23 7.3. MÉTODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS 269 Solución: Hallamos los valores propios, que en este caso son: λ = 1, λ = 3, λ = e t Para λ = 1 v 1 = x 1 (t) = e t = 1 1 e 3t Para λ = 3 v 2 = 2 x 2 (t) = e 3t 2 = 2e 3t Para λ = 5 v 3 = x 3 (t) = e 5t 2 = 2 e 5t 2e 5t 2e 5t y por Teorema7.2 x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) son linealmente independientes. e t e 3t e 5t Luego X(t) = 2e 3t 2e 5t es la matriz fundamental. 2e 5t Luego X() = Luego X 1 2 () = e t e 3t e 5t 1 1 e At = X(t)X 1 () = 2e 3t 2e 5t 2 1 2e 5t 1 2 = et et + e3t e3t + e5t e 3t e 3t +e 5t e 5t Ejercicios. En los siguientes ejercicios, hallar la solución general para x = A x y con el Wronskiano comprobar que los vectores solución son linealmente independientes. [ ] A = 16 8

24 27 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN [ ] [ ] 3 1 (Rta.: x(t) = C 1 e 4 4t +C 2 e 4 4t ) [ ] A = 4 4 [ ] [ ] 3 5 (Rta.: x(t) = C 1 e 2 2t +C 2 e 2 6t ) [ ] A = 4 4 [ ] [ ] [ ] [ ] 5 5 (Rta.: x(t) = C 1 [ cos 2t sen2t]+c [ cos 2t+ sen2t]) A = (Rta.: x(t) = C 1 3 e t +C 2 e t [ 1 cos2t sen2t] 2 1 +C 3 e t [ cos2t+ 1 sen2t]) 1 [ ] x = x 1 4 (Rta.: λ = 3(mult.2),vector propio v = [1 1] T, x 1 (t) = (C 1 +C 2 + C 2 t)e 3t,x 2 (t) = ( C 1 C 2 t)e 3t ) x = x 1 1 (Rta.:λ = 1(mult.3)defectuoso,x 1 (t) = ( 2C 2 +C 3 2C 3 t)e t,x 2 (t) = (C 1 C 2 +C 2 t C 3 t+ 1C 2 3t 2 )e t,x 3 (t) = (C 2 +C 3 t)e t ) 7. A = [ ] (Rta.: x(t) = C 1 [ 1 2 ] [ ] 1 2t e 2t +C 2 e 4t 2t )

25 7.4. VARIACIÓN DE PARÁMETROS VARIACIÓN DE PARÁMETROS En el capítulo 4. vimos que la solución general de una E.D. lineal no homogénea tenía dos partes que eran x h y x p y la solución general era x(t) = x h +x p. Lo mismo nos sucede cuando tenemos una E.D. lineal vectorial no homogénea x = A x+ f(t), su solución general es de la forma x = x h + x p, donde x h es la solución a la homogénea asociada x = A x y esta expresada por x h = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n El objetivo en esta sección es hallar la solución particular x p de la ecuación no homogénea, para ello utilizamos el método de varación de parámetros, de la misma manera como lo hicimos en el capítulo 4. Consideremos la E.D. vectorial no homogénea: x = A x+ f(t). (7.25) Sean x 1 (t),..., x n (t) las soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada, o sea que x h (t) = C 1 x 1 (t)+...+c n x n (t) = [ x 1, x 2,, x n ] C 1. C n = X(t) C y variando los parámetros C 1,C 2,...,C n tenemos u 1 (t) x(t) = u 1 (t) x 1 (t)+...+u n (t) x n (t) = [ x 1 (t), x 2 (t),, x n (t)]. = X u, u n (t) la cual suponemos que es una solución de x = A x+ f(t). Luego, x(t) = X(t) u(t), donde X(t) = [ x 1 (t),..., x n (t)] y u(t) = u 1 (t). u n (t) Como x (t) = d dt (X(t) u(t)) = X (t) u(t)+x(t) u (t),

26 272 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN A x+ f(t) = AX(t) u(t)+ f(t) = X (t) u(t)+ f(t) } {{ } X Sustituimos en (7.25) y cancelando, obtenemos: X(t) u (t) = f(t) Premultiplicando por X 1 (t) : u (t) = X 1 (t) f(t) u(t) = luego [ x(t) = X u = X(t) X 1 (t) f(t)dt+ C, donde C = ] X 1 (t) f(t)dt+ C = X(t) C 1. C n (7.26) X 1 (t) f(t)dt+x(t) C como x h (t) = X(t) C, entonces x p = X(t) X 1 (t) f(t)dt y la solución general es x = x h + x p = X(t) C +X(t) X 1 (t) f(t)dt, (7.27) Para resolver el problema de valor inicial: x (t) = A x(t)+ f(t) con x(t ) = x, como x(t ) = x = X(t ) C + X(t ) X 1 (t) f(t)dt t=t despejando C = X 1 (t ) x X 1 (t) f(t)dt y sustituyendo en la solu- t=t ción general ( x = X(t) X 1 (t ) x X 1 (t) f(t)dt t=t ) +X(t) X 1 (t) f(t)dt = X(t)X 1 (t ) x X(t) X 1 (t) f(t)dt +X(t) t=t X 1 (t) f(t)dt = t = X(t)X 1 (t ) x +X(t) t t X 1 (s) f(s)ds

27 7.4. VARIACIÓN DE PARÁMETROS 273 en resumen, la solución al problema de valor inicial es x(t) = X(t)X 1 (t ) x +X(t) En particular si t t X 1 (s) f(s)ds (7.28) entonces o sea que X(t) = e At X 1 (t) = e At X 1 (t ) = e At x(t) = e At e At x +e At t x(t) = e A(t t ) x + t t e As f(s)ds t e A(t s) f(s)ds (7.29) Ejemplo 6. Utilizar (7.28) para resolver el sistema: [ ] [ ] [ ] 6 3 e x 5t = x+, 9 x() = Solución: para [ resolver ] este ejercicio, utilizaremos el siguiente resultado 1 [ ] a b d b del álgebra lineal: = c d 1. ad bc c a Los valores propios de la matriz A son: λ = 3, λ = 4 Los vectores propios linealmente independientes son: [ ] [ ] 1 3 v 1 =, v 1 2 = 2 Las soluciones vectoriales linealmente independientes son: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 e x 1 (t) = e 3t 3t 3 3e = 1 e 3t, x 2 (t) = e 4t v 2 = e 4t 4t = 2 2e 4t Luego la matriz fundamental y su inversa en términos de s son: [ ] [ ] e 3t 3e X(t) = 4t 2e e 3t 2e 4t, X 1 3s 3e (s) = 3s e 4s e 4s

28 274 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN Pasos: a) hallemos: t X(t) X 1 (s) f(s)ds = t = [ e 3t 3e 4t ] t [ 2e 3s 3e 3s ] [ e 5s e 3t 2e 4t e 4s e 4s 4 [ ] e 3t 3e = 4t t [ ] 2e 2s +12e 3s e 3t 2e 4t e s 4e 4s ds [ ] [ ] e 3t 3e = 4t e 2t 4e 3t +5 e 3t 2e 4t e t +e 4t 2 [ ] 2e = 5t 1+5e 3t 6e 4t e 5t 2+5e 3t 4e 4t [ ] [ ] [ ] e 3t 3e 4t 2e = 5 e 3t 2 2e 4t + 5t 1 e 5t 2 = 5 x 1 (t) 2 x 2 (t)+ x p Luego la solución particular es [ ] 2e x p = 5t 1 e 5t 2 ] ds b) Hallemos X(t)X 1 () x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] e 3t 3e 4t e 3t 3e e 3t 2e 4t = 4t 6 6e e 3t 2e 4t = 3t +15e 4t 5 6e 3t +1e 4t De a) y b): x(t) = X(t)X 1 () x +X(t) t [ ] [ ] 6e = 3t +15e 4t 2e 6e 3t +1e 4t + 5t 1+5e 3t 6e 4t e 5t 2+5e 3t 4e 4t = X 1 (s) f(s)ds = [ e 3t +9e 4t +2e 5t 1 e 3t +6e 4t +e 5t 2 ]

29 7.4. VARIACIÓN DE PARÁMETROS 275 Ejercicios. 1. Hallar[ la solución ] particular [ ] del siguiente sistema: 6 7 2t x = x [ 3 ] t 575e (Rta.: x(t) = 1 t 91e 5t t 575e t 13e 5t ) 2. Hallar[ la solución ] particular [ ] del siguiente sistema: 3 2 x = x+ 2 3 e 3t. [ cos2t ] (Rta.: x(t) = 1 2tsen2t 4 e3t ) sen2t+2tcos2t 3. Hallar la solución general del siguiente sistema: x = 4y +1, y = x+2 (Ayuda: utilizar el resultado 7.27) (Rta.: x = 2C 1 cos2t+2c 2 sen2t+2; y = C 2 cos2t+c 1 sen2t 1 4 ) 4. Hallar la solución general del siguiente sistema: x = y +t, y = x t (Ayuda: utilizar el resultado 7.27) (Rta.: x = C 1 cost C 2 sent+1+t; y = C 2 cost+c 1 sent 1+t) 5. Sean ϕ 1 (t) una solución de x = A x + b 1 (t), ϕ 2 (t) una solución de x = A x+ b 2 (t),, ϕ n (t) una solución de x = A x+ b n (t). Demostrar que ϕ 1 (t)+ ϕ 2 (t)+ + ϕ n (t) es una solución de x = A x+ b 1 (t)+ b 2 (t)+ + b n (t). A este resultado también se le llama principio de superposición. 6. Sea b(t) = m k=1b k e iβkt. (o sea una suma finita de entradas periódicas). Suponga que iβ k no es raíz de la ecuación característica de A para k = 1,2,,m.Usar elprincipiodesuperposición delejercicio anterior paramostrarquelasolución x(t)delaecuación x = A x+ b(t)sepuede escribir en la forma m x(t) = x k e iβkt. k=1

30 276 CAPÍTULO 7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 7. Si las ecuaciones del movimiento de una partícula de masa m que se mueve en el plano XY son m d2 x dt 2 = f(t,x,y), md2 y dt 2 = g(t,x,y) dondef yg sonlascomponentesenxyy delafuerzaqueactúasobrela partícula. Reemplazar este sistema de dos ecuaciones de segundo orden por un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden.(sugerencia: haga x = x, y = y, x = v x, y = v y, donde v x y v y son las componentes en x y en y de la velocidad) TRANSFORMADA DE LAPLACE PA- RA SISTEMAS Definición 7.7. Si x 1 (t) x(t) =. { x(t)}(s) def. = X(s) = x n (t) Y si f 1 (t) F 1 (s) f(t) =. F(s) = { f(t)}(s) =. = f n (t) F n (s) Sea el P.V.I. x (t) = A x(t)+ f(t), x() = x. Luego { x (t)}(s) = {A x(t)+ f(t)} = A { x(t)}(s)+ { f(t)}(s) e st x 1 (t)dt. e st x n (t)dt e st f 1 (t)dt. e st f n (t)dt = AX(s)+ F(s) (7.3) {x 1 }(s) sx 1 (s) x 1 () Pero { x (t)} =. =. = sx(s) x() {x n }(s) sx n (s) x n () en (7.3): s X(s) x() = A X(s)+ F(s) Luego (si A) X(s) = x()+ F(s) = x + F(s)

31 7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS277 Ejemplo 7. Resolver el problema de valor inicial. ( si [ [ s s 1 [ ] [ ] [ ] x = x+ e t, x() = [ ] [ ] { x }(s) = { x}(s)+ {e t }(s) [ ] sx(s) x() 1 4 = X(s)+ 1 [ ] s 1 1 ]) X(s) = x()+ 1 [ ] 1 s 1 1 [ ] 2 = + 1 [ ] 1 1 s 1 1 ][ ] [ ] X1 (s) 2+ 1 = s 1 X 2 (s) 1+ 1 s 1 (s 1)X 1 (s) 4X 2 (s) = 2+ 1 s 1 X 1 (s)+(s 1)X 2 (s) = 1+ 1 s 1 Resolviendo el anterior sistema para X 1 (s), X 2 (s): X 1 (s) = 1 s s s+1 X 2 (s) = 1 1 4s x 1 (t) = 1 {X 1 (s)} { } 1 = 1 s 1 = e t e3t e t 1 s s { } { } 1 s s+1 x 2 (t) = 1 {X 2 (s)} = 1 { } { } 1 s { } 1 s s+1)

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