Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple

Transcripción

1 Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko. Objetivos. Definir el orden de convergencia de una sucesión a su límite. Requisitos. Límite de una sucesión, método del punto fijo, teorema del valor medio, fórmula de Taylor. 1. Definición (orden de convergencia). Sea {a n } n=0 con a n b para todo n N y sean α > 0 y λ > 0. Si una sucesión que converge a b, a n+1 b lim n a n b = λ, α entonces se dice que la sucesión {a n } n=0 error asintótica λ. converge a b con orden α y una constante de una sucesión conver-. Definición (convergencia lineal y cuadrática). Sea {a n } n=0 gente. Se dice que la sucesión {a n } n=0 : converge linealmente, si el orden de la convergencia es 1; converge cuadráticamente, si el orden de la convergencia es. 3. Ejemplo. Consideremos las sucesiones {a n } n=0 y {c n} n=0 definidas mediante las siguientes reglas: a 0 = 1, a n+1 = 0.3a n ; c 0 = 1, c n+1 = 0.6 c n. Claramente ambas sucesiones convergen a 0. Calcular a n y c n para n = 1,, 3, 4, 5. Calcular N 1 := min{n: a n < 10 6 }, N := min{n: c n < 10 6 }. Órdenes de la convergencia, página 1 de 5

2 Solución. Calculemos a 1,..., a 5 : a 1 = 0.3, a = 0.09, a 3 = 0.07, a 4 = , a 5 = Resolvemos la desigualdad a n < 10 6 : a n < n < 10 6 n ln(0.3) < 6 ln(10) n > 11.4 n 1, así que N 1 = 1. Calculemos c 1,..., c 5 : c 1 = 0.6, c. 10 1, c , c , c Se ve que c n es decreciente y N = Ejercicio. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones converge linealmente al número 0: 1 n, 1 n, 1 3. n 5. Ejercicio. Muestre que la sucesión 3 n converge cuadráticamente a Ejemplo simple de una sucesión que converge a 0 linealmente. Sea λ (0, 1). Hallar la fórmula general para la sucesión {x n } n=0 definida por: x 0 = 1, x n+1 = λx n. Solución. El n-ésimo término de la sucesión está dado por: x n = λ n. 7. Ejemplo simple de una sucesión que converge a 0 cuadráticamente. Sea λ (0, 1). Hallar la fórmula general para la sucesión {x n } n=0 definida por: x 0 = 1, x n+1 = λ(x n ). Solución. El n-ésimo término de la sucesión está dado por: x n = λ n 1. Órdenes de la convergencia, página de 5

3 Multiplicidad del cero de una función 8. Definición (multiplicidad del cero). Se dice que el cero p de la función f tiene multiplicidad m (m {1,, 3,...}) si la función f se puede escribir en forma f(x) = (x p) m g(x) (x p), donde lim x p g(p) Criterio de cero simple. Sea f C 1 [a, b] y sea p (a, b). Entonces f tiene un cero simple (de multiplicidad 1) en p si, y sólo si, f(p) = 0 y f (p) Criterio de cero de multiplicidad m. Sea f C m [a, b] y sea p (a, b). Entonces p es un cero de f de multilicidad m si y sólo si: f(p) = 0, f (p) = 0,..., f (m 1) (p) = 0, f (m) (p) Ejemplo. Calcular la multiplicidad de cero de f(x) = e x x 1 en el punto p = 0. Solución. Calculamos las dos primeras derivadas: f (x) = e x 1, f (x) = e x. Ahora evaluamos las funciones f, f y f en el punto p = 0: f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 1. Por el criterio, p = 0 es un cero de multiplicidad m =. 1. Ejercicio. Calcular la multiplicidad de cero de f en el punto p = 0: 1. f(x) = cos x 1.. f(x) = sen x tg x. Órdenes de la convergencia, página 3 de 5

4 Condiciones suficientes de la convergencia lineal y cuadrática del método de punto fijo 13. Teorema (condición suficiente para la convergencia lineal). Sea g C 1 [a, b] tal que g[a, b] [a, b] y g (x) k para todo x [a, b], donde k (0, 1). Denotemos por p el punto fijo de g en el intervalo [a, b]. Si g (p) 0, entonces para cualquier x 0 [a, b]\{p} la sucesión {x n } n=0 definida por la fórmula recursiva x n = g(x n 1 ) converge linealmente a p. Demostración. Por la definición de x n+1 y p, = g(x n ) g(p). El teorema del valor medio aplicado a la función f en el intervalo con extremos x n y p nos da un punto ξ n entre x n y p tal que g(x n ) g(p) = g (ξ n ) x n p, Como ξ n está entre x n y p, tenemos que ξ n p x n p y ξ n p. En la igualdad x n p = g (ξ n ). pasemos al límite cuando n. Como ξ n p y g es continua, g (ξ n ) g (p). lim n x n p = g (p). 14. Teorema (condición suficiente para la convergencia cuadrática). Sea p una solución de la ecuación x = g(x). Supongamos que g (p) = 0, g es continua y existe un intervalo abierto I tal que p I y sup g (x) < M. x I Entonces existe un δ > 0 tal que para todo x 0 [p δ, p + δ] la sucesión {x n } definida por x n = g(x n 1 ) converge al menos cuadráticamente a p. Además, para los valores suficientemente grandes de n, p n+1 p n < M p n p. Demostración. Escribamos la fórmula de Taylor para g: g(x) = g(p) + g (p)(x p) + g (ξ) (x p). Órdenes de la convergencia, página 4 de 5

5 Aquí g(p) = p, g (p) = 0. Poniendo x = x n, obtenemos: donde ξ n está entre p y x n. x n+1 = p + g (ξ n ) (x n p), x n p = g (ξ n ) g (p). 15. Ejercicio: deducción del método de Newton como un caso particular del método de punto fijo. Para la búsqueda de raíces de la ecuación f(x) = 0, consideremos un problema de punto fijo con la función g de la forma g(x) = x f(x)h(x). Para tener g (p) = 0 en el punto p donde f(p) = 0, necesitamos h(p) = 1/f (p). Es natural pedir h(x) = 1/f (x), y en esta manera obtenemos el método de Newton. Complete los razonamientos. 16. Ejercicio. Muestre que la sucesión {x n }, definida por: x 0 = 1, x n+1 = + x n, converge a, y calcular el orden de la convergencia. i) Para calcular el límite, pase al límite en la igualdad x n+1 = + x n. ii) Para demostrar que el límite efectivamente existe y calcular el orden de la convergencia, exprese x n+1 a través de x n. 17. Ejercicio: orden de la convergencia en el algoritmo babilónico para el cálculo de la raíz cuadrada. Sea c > 1. Usando la definición del orden de convergencia, muestre que la sucesión {x n } definida por: x 0 = 1, x n+1 = 1 ) (x n + cxn, converge cuadráticamente a c. Sugerencia: exprese x n+1 c a través de x n c. Órdenes de la convergencia, página 5 de 5