El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

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1 Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2, es la sucesió de los úmeros pares positivos El primer elemeto de esta sucesió es 2, el segudo es 4, el quito es 0 y el elemeto que ocupa el lugar es 2 Vemos e este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada úmero atural, 2, 3, u úmero par 2, 4, 6, de la siguiete maera: Por lo tato, ua sucesió o es más que ua fució defiida sobre los úmeros aturales Depediedo del espacio e el cual tome valores esta fució tedremos sucesioes de distitos tipos: de úmeros reales, de úmeros complejos, de vectores e R, de fucioes, etc La defiició formal es la siguiete: Defiició 3 Si X es u cojuto, ua sucesió e X es ua fució f : N X Si f() = x, decimos que x es el -ésimo térmio de la sucesió Usualmete escribiremos (x ) = o {x, } para deotar esta sucesió y e alguos casos simplemete (x ) E geeral tomaremos X = R pero muchos de los resultados que veremos a cotiuació so válidos e otros cojutos E ocasioes cosideraremos sucesioes que comieza co el ídice cero e lugar de comezar co el uo: (x ) =0 o {x, 0} Tambié es posible cosiderar sucesioes doblemete ifiitas {x, Z} o sucesioes que comieza e el ídice p : {x, p} = {x +p, 0}

2 46 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Defiició 32 Sea (x ) = ua sucesió e u espacio métrico (X, d) y x X Decimos que la sucesió (x ) = coverge a x, si para todo real positivo ɛ existe u etero positivo N = N(ɛ) tal que x B(x; ɛ), siempre que N Si (x ) = coverge a x escribimos x x cuado o lim x = x, decimos que x es el límite de la sucesió (x ) = y que la sucesió es covergete Ua sucesió que o es covergete, es divergete E R co la métrica usual, la defiició de covergecia puede reformularse de la siguiete maera: si x R, B(x, ɛ) = {y : y x < ɛ} de modo que x x cuado, si dado ɛ > 0 existe u etero positivo N = N(ɛ) tal que x x < ɛ siempre que N Ejemplos 3 x = Esta sucesió coverge a 0 e R: dado ɛ > 0 escogemos N = N(ɛ) tal que N < ɛ (esto es posible por la propiedad Arquimedeaa de N) Etoces teemos que para todo N, x x = 0 = N < ɛ Si embargo, si cosideramos esta sucesió e el cojuto de los reales positivos (0, + ) la sucesió o es covergete, ya que el límite o perteece al cojuto dode hemos defiido la sucesió Gráficamete (ver figura 3), la covergecia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de u cierto ídice N, todos los miembros de la sucesió caiga detro de ua bada de acho 2ε cetrada e el valor del límite, que es cero e este caso ε 0 ε 2 3 N Figura 3: La sucesió / 2 x = e R Esta sucesió es divergete ya que para cualquier x R y cualquier ɛ > 0 fijo existe N N tal que N > x + ɛ y la codició de la defiició o se satisface

3 3 DEFINICIONES GENERALES 47 3 Cosideremos la sucesió x = + ( ) para N Hemos visto e el primer ejemplo que la sucesió ( ) coverge a 0 y por lo tato uestra idea ituitiva es que la sucesió x = + ( ) debe coverger a +0 = Veamos a partir de la defiició que esto es efectivamete cierto Sea ɛ > 0, queremos ver que existe N = N(ɛ) tal que si N, x < ɛ x = + ( ) = ( ) = Al igual que e el ejemplo, basta escoger N de modo que N teer x = N < ɛ, siempre que N < ɛ para + ε ε N Figura 32: La sucesió + ( ) La oció de covergecia de ua sucesió es ua de las ideas primordiales del Aálisis Matemático y será fudametal para lo que estudiaremos e este texto Es importate que sea compredida a cabalidad por el estudiate El próximo teorema os muestra que ua sucesió o puede teer más de u límite Teorema 3 Si (x ) es ua sucesió e (X, d) y coverge tato a x como a y, etoces x = y Demostració Supogamos x y, etoces d(x, y) = η > 0 (ver figura 33) y existe eteros positivos N y N 2 tales que > N d(x, x) < η/2, > N 2 d(x, y) < η/2 Tomemos N = máx(n, N 2 ), etoces si > N teemos, usado la propiedad triagular, que η = d(x, y) d(x, x ) + d(x, y) < η, ua cotradicció

4 48 CAPÍTULO 3 SUCESIONES η x y Figura 33: Defiició 33 Ua fució f : Y X es acotada si el recorrido f(y ) = {x X : existe y Y tal que f(y) = x} es u cojuto acotado, es decir, si para algú x X y R +, f(y ) B(x; ) E particular para ua fució real (X = R) podemos tomar x = 0 y etoces f es acotada sí y sólo sí existe R + tal que f(y) < para todo y Y Si Y = N la fució es ua sucesió y es acotada si existe > 0 tal que x < para todo N Teorema 32 Toda sucesió covergete es acotada Demostració Sea (x ) = ua sucesió covergete e (X, d) y sea x su límite Existe u etero positivo N tal que d(x, x ) <, si > N Defiimos = máx{, 2d(x, x ), 2d(x, x 2 ),, 2d(x, x N )} etoces {x, } B(x; ) de modo que (x ) = es acotada x j x x x 2 x x N+ N Figura 34: Toda sucesió covergete es acotada Teorema 33 Sea (x ) = ua sucesió e u espacio métrico (X, d), (i) (x ) = coverge a x X sí y sólo sí toda vecidad de x cotiee todos los térmios de (x ) = excepto u úmero fiito de ellos (ii) Si E X y x es u puto de acumulació de E, existe ua sucesió (x ) = e E para la cual x = lim x

5 3 DEFINICIONES GENERALES 49 Demostració (i) Sea V ua vecidad de x, etoces existe r R, r > 0, tal que B(x; r) V Para este r existe N = N(r) tal que si N, d(x, x ) < r; es decir, que para todo N, x B(x; r) Supogamos ahora que toda vecidad de x cotiee a todos los elemetos de la sucesió, excepto por u úmero fiito de ellos Dado ɛ > 0, cosideremos como vecidad a B(x; ɛ) Etoces existe N = N(ɛ) tal que si N, x B(x; ɛ), es decir d(x, x ) < ɛ y por lo tato la sucesió coverge a x (ii) Como x es puto de acumulació de E, para cada N existe x E tal que d(x, x) < / Veamos que (x ) = coverge a x: dado ɛ > 0 tomamos N de modo que Nɛ > Etoces, si N, d(x, x) < / /N < ɛ Ejercicios 3 Establezca la covergecia o divergecia de la sucesió (x ) N e R co la métrica usual: x = + ; x = ( ) + ; x = ; x = ; x = (a) De u valor de N tal que si > N, 2 4 > 0 6 (b) De u valor de N tal que si > N etoces x x < 0 00, dode x = 2 + y x es el límite de 2 esta sucesió 3 Muestre que ((x, y )) N coverge a (x, y) e R 2 co la métrica usual: (i) (x, y ) = (, ) co (x, y) = (0, ); (ii) (x, y ) = (, + ) co (x, y) = (0, ) (iii) (x, y ) = (2 +, + ( ) ) co (x, y) = (2, ) 2 4 Sea (X, d) u espacio métrico discreto Muestre que ua sucesió (x ) N coverge sí y sólo sí es costate a partir de algú ídice 0 5 Muestre que (x, y ) (x, y) e R 2 cuado sí y sólo sí x x e y y e R 6 La sucesió (x ) N coverge a x e (X, d) sí y sólo sí la sucesió (d(x, x)) N coverge a 0 e R 7 Si (x ) N e (y ) N so sucesioes e (X, d) tales que { N : x y } es fiito, etoces o bie ambas sucesioes coverge al mismo límite o bie ambas diverge 8 Si (x ) N es ua sucesió e (X, d), p N, e y = x +p etoces o bie ambas sucesioes coverge al mismo límite o bie ambas diverge 9 Si (x 2) y (x 2+) coverge al mismo límite x etoces (x ) coverge a x 0 Sea d y d 2 dos métricas equivaletes e el espacio X y sea (x ) ua sucesió e X Demuestre que x coverge a x X e la métrica d sí y sólo sí coverge al mismo puto e la métrica d 2

6 50 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 32 Sucesioes de Números Reales Cosideraremos ahora el caso particular X = R co la distacia usual d de los úmeros reales: si x, y R d(x, y) = x y E R teemos ua relació de orde y ua serie de operacioes que hemos estudiado e capítulos ateriores El primer teorema de esta secció os idica como se relacioa los límites co las operacioes de los úmeros reales Teorema 34 Supogamos que (x ) y (y ) so sucesioes de úmeros reales y x x, y y Etoces i) lim(x + y ) = x + y ii) Para c R, lim(cx ) = cx iii) lim(x y ) = xy iv) lim(x /y ) = x/y si y 0, y 0 para todo N Demostració i) Dado ɛ > 0, existe N y N 2 e N tales que N x x < ɛ 2, N 2 y y < ɛ 2 Tomado N = máx(n, N 2 ) teemos N (x + y ) (x + y) x x + y y < ɛ lo que muestra i) ii) Dado ɛ > 0 escogemos N N de modo que etoces iii) Teemos N x x < ɛ ( + c ), N cx cx = c x x < c ɛ + c < ɛ x y = x y xy x y + xy + xy + x y xy = (x x )(y y ) + xy + x y xy

7 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 5 Usado i) y ii) vemos que lim x y = lim(x x )(y y ) + x lim y + y lim x xy = lim(x x )(y y ) + xy Por lo tato basta ver que lim(x x )(y y ) = 0 Dado ɛ > 0 existe N y N 2 e N tales que y si máx(n, N 2 ) etoces N x x < ɛ N 2 y w < ɛ (x x)(y y) = x x y y < ɛ iv) Por iii) basta ver que lim(/y ) = /y si y 0, y 0 para todo N Sea ɛ > 0 fijo Como y 0 y está fijo, escogemos N 0 N tal que si N 0 etoces y y < y /2 Etoces, si N 0 la desigualdad y y + y y implica y y y y > y /2 Ahora escogemos N N 0 e N tal que si N y y < y 2 ɛ/2 Usado ambas desigualdades teemos 32 Límites ifiitos N y y = y y < 2 y y y y y 2 < ɛ Defiició 34 Sea (x ) = ua sucesió e R, decimos que esta sucesió tiee límite ifiito o tiede a ifiito, si dado cualquier a R existe N N tal que si N etoces x > a Escribimos x cuado o lim x = De maera similar decimos que la sucesió tiee límite meos ifiito o tiede a meos ifiito si dado cualquier a R existe N N tal que si N, etoces x < a Escribimos x cuado o lim x = Ejemplos 32 x = 2 Esta sucesió tiede a ifiito: como los térmios de la sucesió so positivos basta cosiderar a > 0 e la defiició E este caso basta tomar N a para obteer que N x > a

8 52 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 2 x = Veamos que esta sucesió tambié tiede (2 + ) /2 (2 ) /2 a ifiito x = (2 + ) /2 (2 ) /2 = (2 + )/2 + (2 ) /2 (2 + ) (2 ) = 2 ((2 + )/2 + (2 ) /2 ) 2 (2(2 )/2 ) = (2 ) /2 Dado a > 0 basta tomar N > a2 + 2 para obteer que > N > a (2 + ) /2 (2 ) /2 Resaltamos la diferecia etre x x y x E el primer caso x es u úmero y podemos medir la distacia etre x y x E cambio, o es u úmero Si embargo, podemos uificar las tres defiicioes de límite de la siguiete maera Defiició 35 Ua vecidad de e R es cualquier itervalo de la forma (a, ], dode a R Ua vecidad de es cualquier itervalo de la forma [, b), dode b R Teiedo e cueta el Teorema 33 podemos afirmar lo siguiete: si (x ) = es ua sucesió e R y x R, lim x = x sí y sólo sí cada vecidad de x cotiee a todos los putos x, excepto, quizás, para ua catidad fiita de ídices Las sucesioes que o tiee límite e el setido que acabamos de describir, se cooce como sucesioes oscilates Ejemplo 33 Sea x = ( ) Si es par, x = mietras que si es impar, x = ; pero i i puede ser límites de esta sucesió: supogamos que es límite, etoces a partir de u cierto etero N, todos los térmios de la sucesió debería estar e la vecidad B(; 0,2) : > N x B(; 0,2) Pero si > N es impar etoces x = / B(; 0,2), y la sucesió o coverge a De maera similar se muestra que tampoco coverge a Uo podría pesar que si (x ) = es ua sucesió covergete co límite x y b es u úmero real tal que x < b para todos los ídices N, etoces

9 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Figura 35: La sucesió ( ) tambié x < b Pero esto o es cierto: basta tomar x = / para todos los eteros positivos, x = y b = Co este ejemplo vemos que el resultado del próximo teorema es lo mejor que se puede esperar Teorema 35 Sea (x ) = ua sucesió covergete de úmeros reales co límite x Si b R es tal que x b para todo N, etoces x b Demostració Supogamos que x > b, etoces tomado h = x b 2 > 0 existe N h N tal que x B(x; h) para todo N h y esto implica x > x h = x 2 (x b) > b + (x b) > b 2 lo que cotradice la hipótesis Corolario 3 Sea (x ) = y (y ) = sucesioes covergetes de úmeros reales co límites x e y respectivamete Si x y para todo N, etoces x y Demostració Aplicamos el teorema aterior a la sucesió z = x y Esta sucesió tiee límite x y y como z 0 para todo, x y 0 Corolario 32 Si (x ) =, (y ) = y (z ) = so sucesioes de úmeros reales co y x z para todo y lim y = lim z = l etoces (x ) = es covergete y lim x = l Demostració Ejercicio Defiició 36 Sea (x ) = ua sucesió de úmeros reales Defiimos sup x = sup{x : N}, if x = if{x : N} Ejemplos 34 Para la sucesió x = ( ),, sup x =, if x = 2 Para la sucesió x =,, sup x =, if x = 0

10 54 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 322 Sucesioes Moótoas Defiició 37 Si x x + para todo N, decimos que la sucesió (x ) = es creciete y escribimos a Es útil cosiderar el crecimieto de la sucesió e setido amplio, permitiedo que térmios sucesivos sea iguales Si x < x + para todo N, decimos que la sucesió es estrictamete creciete y escribimos a Si x + x para todo N, decimos que la sucesió es decreciete, escribimos a, y si x + < x para todo, que es estrictamete decreciete y escribimos a Decimos además que cualquiera de estas sucesioes es moótoa Ejemplos 35 La sucesió x =,, es creciete 2 La sucesió,, es decreciete 3 La sucesió x = ( ),, o es moótoa Probaremos a cotiuació ua propiedad importate de las sucesioes moótoas: o puede ser oscilates Teorema 36 Toda sucesió moótoa e R tiee límite e R Ua sucesió moótoa e R coverge sí y sólo sí es acotada Demostració Cosideremos ua sucesió creciete (x ) = e R : x x 2 x 3 y sea x = sup{x : N} Veamos que x = lim x : Caso : x =, etoces x = para todo N y es fácil ver que lim x = Caso 2: x =, es decir (x ) = o está acotada superiormete Por lo tato, dado M > 0 existe N N tal que x N > M Pero como la sucesió es creciete se cumple que N x x N > M es decir, lim x = Caso 3: x R Dado ɛ > 0 existe N N tal que x N > x ɛ De uevo, como la sucesió es creciete N x ɛ < x N x x de modo que si N, d(x, x) < ɛ y cocluimos que lim x = x La demostració para sucesioes decrecietes es similar tomado x = if{x : N} Corolario 33 Si (x ) = es ua sucesió creciete e R, lim x = sup{x : N} Si (x ) = es ua sucesió decreciete e R, lim x = if{x : N}

11 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 55 Ejemplo 36 La sucesió a U ejemplo útil e importate es el de la sucesió x = a, para a R El comportamieto de esta sucesió cuado depede del valor de a Si a = 0, x = a = 0 y lim x = 0 2 Si a =, x = a = y lim x = 3 Si a =, la sucesió toma alteradamete los valores + y y es oscilate 4 Si a > la sucesió x = a es creciete: x x = a a = a (a ) > 0 Por el Corolario 33, lim x = sup x Veamos que la sucesió o está acotada Sea k = a > 0 y escribamos a = + k Usado el desarrollo biomial obteemos x = a = ( + k) = j=0 ( ) k j > + k j Como k > 0, la sucesió ( + k) = tampoco lo está (x ) = o está acotada y por lo tato 5 Si 0 < a < etoces < a Sea k > 0 tal que a = + k Etoces 0 < x = ( + k) < + k Es fácil ver que cuado, /( + k) 0, de modo que por el Corolario 32, x 0 6 Si a < etoces a = b, co b > y por (4) b Por lo tato la sucesió (b ) toma alteradamete valores positivos y egativos que so cada vez mas grades e valor absoluto, es decir la serie es oscilate y o es acotada Resumiedo teemos () a >, a (2) a =, a (3) < a <, a 0 (4) a =, a oscila y es acotada (5) a <, a oscila y o es acotada

12 56 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 323 El úmero e Proposició 3 El úmero e Para N sea ( a = + ), ( b = + ) +, etoces (a ) = es creciete, (b ) = es decreciete y ambas sucesioes coverge al mismo límite Este límite comú se deota por e y se cumple que 2 < e < 4 Demostració Necesitamos el siguiete resultado, coocido como la desigualdad de Beroulli (ver Ejercicio 44) E la parte (4) del ejemplo aterior demostramos u caso particular: Si x y k N etoces ( + x) k + kx Hay igualdad solo si k = ó x = 0 Haremos la demostració de la mootoía de las sucesioes por iducció Veamos que la sucesió (a ) = es creciete: queremos ver que ( + ) ( + ) + + Multiplicado y dividiedo el primer térmio por ( + ) esto es equivalete a y esto es + ( ) + + ( ) + ( ) = por lo tato queremos ver que + ( + ) + + ( ) + ( + 2) ( + ) 2 = ( ) + ( + ) 2 ( ( + ) 2 ) + ( + ) 2, y esto es cierto por la desigualdad de Beroulli, tomado x = (+) y k = + 2 Veamos que la sucesió (b ) = es decreciete Queremos mostrar que ( + ) + ( + ) +2, + es decir ( ) + + y esto equivale a ( ( + ) 2 ( + 2) ( ) ) ,

13 32 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 57 o sea ( ) ( + 2) + Por la desigualdad de Beroulli co k = + y x = (+2) teemos ya que ( ) ( + 2) ( + 2) > + + ( + ) 2 ( + 2) = > + 2 Hemos visto etoces que (a ) es creciete y (b ) es decreciete Además a < b y por mootoía de las sucesioes, para cualquier N teemos 2 = a 0 a < b b 0 = 4 es decir, las sucesioes está acotadas y como so moótoas, ambas coverge Supogamos que a a y b b, usado la mootoía de uevo y el Corolario 3 teemos ( + ) ( a b + ) + de aquí obteemos b a + Como esto es cierto para todo cocluimos que a = b Ejercicios 32 Si lim x = x etoces lim x = x, pero el recíproco es falso a meos que x = 0 2 Si x > 0, lim x / = 3 Demuestre que para cualquier x R, lim x! = 0 Deduzca que ((!) / ) o es acotada 4 Discuta el comportamieto cuado, de la sucesió a / k, dode k es u etero positivo fijo 5 Si s > 0 y s + Ks, dode K >, para todos los valores de, etoces s + 6 Si para todo, s + K s, dode 0 < K <, etoces s 0 La coclusió es válida si la hipótesis se satisface sólo para > N 7 Si lim x + x = h, co < h <, muestre que x 0 Si h > demuestre que (x ) o está acotada Si h = la sucesió puede ser covergete o divergete De ejemplos de sucesioes x para las cuales h = y (a) x, (b) x 5, (c) x 0

14 58 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 8 Si x > 0, N y x / h cuado demuestre que si h <, (x ) coverge a cero mietras que si h >, (x ) o está acotada Si h =, (x ) puede ser covergete o divergete De ejemplos de sucesioes s para las cuales h = y (a) s, (b) s 5, (c) s 0 9 Si x > 0, N y lim x + x = h demuestre que x / h cuado E cosecuecia, el método del problema 8 es más fuerte que el del problema 7 (Ayuda: Si h > 0 y 0 < ε < h, demuestre que para algú N N: x N (h ε) N < x < x N (h + ε) N si > N Luego use el problema 2 para mostrar que existe N N tal que, si > N, h ε < x / < h + ε) 0 Demuestre que si (a ) coverge a cero y (b ) está acotada, etoces (a b ) coverge a cero E cambio, si (a ) coverge a u úmero distito de cero, es posible que (a b ) o coverja Demuestre que sup + + = 2 3, if = 0 2 De u ejemplo de ua sucesió (x ) para la cual, si A es u cojuto fiito cualquiera de valores de la sucesió, if x < if A < sup A < sup x 3 Si (x ), (y ) so sucesioes acotadas y positivas de úmeros reales, demuestre que sup(x y ) sup x sup y, if(x y ) if x if y 4 Si x coverge a x e y coverge a y, etoces máx{x, y } coverge a máx{x, y} y mí{x, y } coverge a mí{x, y} 5 Si (x ) es ua sucesió acotada demuestre que sup x + + x sup x, if x + + x if x, y si x 0 etoces sup(x x 2 x ) / sup x, if(x x 2 x ) / if x 6 Sea (x ) ua sucesió moótoa Muestre que (x +x 2 + +x )/ es moótoa y crece o decrece segú x sea creciete o decreciete 7 Si (x ) es ua sucesió de úmeros reales, (y ) ua sucesió de reales positivos y (x /y ) es moótoa, etoces la sucesió defiida por z = (x + x x )/(y + y y ) es moótoa 8 Sea 0 < a < b < Defiimos x = a, x 2 = b, x +2 = (x + x + )/2 Es covergete la sucesió (x )? Si la respuesta es afirmativa, Cuál es el límite? 33 Límites superior e iferior de ua sucesió Defiició 38 Sea (x ) = ua sucesió e R Para cada k N defiimos α k = sup k x ; β k = if k x

15 33 LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR DE UNA SUCESIÓN 59 Vemos que la sucesió (α ) = es decreciete mietras que (β ) = es creciete Defiimos el límite superior de la sucesió (x ) =, lim x ó limsup x por lim x = lim k α k = lim k sup x, k y el límite iferior de la sucesió: lim x ó limif x por lim x = lim k β k = lim k if k x Ambos límites está siempre defiidos y so elemetos de R Por la mootoía de las sucesioes (α k ) y (β k ) teemos lim x = lim k lim x = lim k sup k x = if k if x = sup k k Además como β k α k para todo k se tiee que lim x lim x sup k x, if x k Ua forma equivalete de escribir ambas defiicioes es la siguiete: lim x = lim sup p lim x = lim x +p, if p x +p Teorema 37 Sea (x ) = ua sucesió e R y a, b R Etoces lim x = a sí y sólo sí se cumple las siguietes dos codicioes: a) Si α < a el cojuto { N : x > α} es ifiito b) Si β > a el cojuto { N : x > β} es fiito 2 lim x = b sí y sólo sí se cumple las siguietes dos codicioes: a) Si α < b el cojuto { N : x < α} es fiito b) Si β > b el cojuto { N : x < β} es ifiito Demostració Haremos solo el caso () co a fiito Sea α k = sup k x y a = lim α k Sea α < a, etoces α k > α para todo k Por la defiició de α k, para cada k existe k k tal que α k x k > α Por lo tato y este último cojuto es ifiito { N : x > α} { k : k N}

16 60 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Sea ahora a < β Como α k a existe k 0 tal que α k0 < β y por lo tato si k 0, x α k0 < β Esto quiere decir que el cojuto { N : x > β} es fiito Supogamos ahora que se satisface las codicioes a) y b) Si < a <, dado β > a podemos escoger k 0 N tal que x β para todo k 0 Por lo tato α k α k0 β para todo k k 0 y limsup x = lim k α k β Como esto es cierto para todo β > a cocluimos que limsup x a Por otro lado, si α < a el cojuto { N : x > α} es ifiito y por lo tato α k > α y limsup x = lim α k α Como esto es válido para cualquier α < a cocluimos que limsup x a Teorema 38 Sea (x ) = ua sucesió e R Etoces lim x existe e R sí y sólo sí lim x = lim x E este caso lim x = lim x = lim x Demostració Supogamos que lim x = lim x = l Si l R etoces ( ) ( ) lim sup x +p = lim if x +p = l p p y dado ɛ > 0 existe u etero N tal que Por lo tato sup x +p l + ɛ para todo N, p if x +p l ɛ para todo N p l ɛ x l + ɛ para todo N + y de aquí cocluimos que x l cuado Si l = +, etoces a) del Teorema 37 dice que para cualquier α R, existe N N tal que x > α para todo > N, y por lo tato lim x = + De maera similar se trata el caso l = Supogamos ahora que lim x = l Si l R, dado ɛ > 0 existe N tal que Por lo tato l ɛ < x < l + ɛ para todo N l ɛ if x +p sup x +p l + ɛ para todo N p p y etoces ( ) ( ) l ɛ lim if x +p lim sup x +p l + ɛ p p Como esto es cierto para cualquier ɛ cocluimos lim x = lim x = l

17 33 LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR DE UNA SUCESIÓN 6 Si lim x = +, dado M R existe N N tal que si N etoces x > M Por lo tato if x +p M para N p y e cosecuecia lim x = lim if p x +p M Esto quiere decir que + = lim x lim x + De maera similar se muestra el resultado e el caso lim x = Defiició 39 Sea (x ) = ua sucesió e R U puto x R es u puto de acumulació de la sucesió si toda vecidad de x cotiee a ifiitos elemetos de la sucesió Es decir, si B = {x : N}, x es u puto de acumulació de la sucesió sí y sólo sí es puto de acumulació del cojuto B Teorema 39 Sea (x ) = ua sucesió e R y sea A el cojuto de putos de acumulació de esta sucesió Etoces i) lim x A y lim x A ii) lim x c lim x para todo c A Demostració Esto es cosecuecia imediata del Teorema 37 Corolario 34 Ua sucesió e R tiee límite e R sí y sólo sí tiee u solo puto de acumulació Ejercicios 33 Si x = ( ), muestre que limx =, limx = 2 Sea (x ) e (y ) sucesioes reales acotadas, etoces lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y De ejemplos que muestre que estas desigualdades puede ser estrictas 3 Sea (x ) y (y ) sucesioes acotadas de úmeros reales positivos Demuestre que lim x lim y lim (x y ) lim x lim y lim (x y ) lim x lim y 4 Sea (s ) N ua sucesió de úmeros reales positivos Demuestre que lim s+ s lim s lim s lim s+ s 5 Demuestre que si x es ua sucesió acotada de úmeros reales, lim (x x +) 0 lim (x x +)

18 62 CAPÍTULO 3 SUCESIONES 34 Sucesioes de Cauchy E lo que hemos estudiado hasta ahora, para poder determiar si ua sucesió x coverge es ecesario saber previamete el valor de su límite x, para así poder calcular la distacia del térmio -ésimo x al límite x: x x y aplicar la defiició 32 E muchas situacioes esto resulta icoveiete (y aú imposible), por la dificultad e determiar el valor del límite Sería sumamete útil e estos casos, dispoer de u criterio que permita determiar si ua sucesió coverge, si que sea ecesario determiar previamete el valor del límite, Esto es posible gracias al Criterio de Cauchy, que se basa e el cálculo de la distacia etre térmios de la sucesió, y que estudiamos a cotiuació Defiició 30 Ua sucesió (x ) = e u espacio métrico (X, d) es ua sucesió de Cauchy si para todo ɛ > 0 hay u etero N tal que d(x, x m ) < ɛ si N, m N Toda sucesió covergete e u espacio métrico es de Cauchy: si lim x = x y ɛ > 0 existe N N tal que d(x, x) < ɛ 2 para N Por lo tato, si N, m N se tiee El recíproco o siempre es cierto d(x, x m ) d(x, x) + d(x m, x) < ɛ Defiició 3 Sea (X, d) u espacio métrico Si toda sucesió de Cauchy (x ) = e X coverge a u puto x X, decimos que el espacio X es completo U ejemplo de u espacio métrico que o es completo es el de los racioales co la distacia usual Teorema 30 R es u espacio métrico completo Demostració Supoemos que para todo ɛ > 0 existe N N tal que si > N y m > N etoces x x m < ɛ Tomemos ɛ = y m = N +, obteiedo Por lo tato x x N+ < para todo > N x máx{ x,, x N, x N+ + } de dode cocluimos que (x ) = está acotada Sea β = lim x, teemos la siguiete propiedad: dado ɛ > 0 hay u N tal que x x m < ɛ si N y m N Por el Teorema 37, parte a existe M > N tal que β x M < ɛ Por la desigualdad triagular teemos que para > N x β x x M + x M β < 2ɛ de dode cocluimos que x coverge a β cuado

19 35 SUBSUCESIONES 63 Ejercicios 34 Demuestre que todo espacio métrico discreto es completo 2 Si (X, d) es completo y A X es cerrado, etoces (A, d A) es completo, dode d A es la restricció de la métrica d al cojuto A 3 E cualquier espacio métrico, ua sucesió de Cauchy es covergete sí y sólo sí tiee ua subsucesió covergete 4 Demuestre que (x, y ) es ua sucesió de Cauchy e R 2 sí y sólo sí (x ) e (y ) so sucesioes de Cauchy e R 35 Subsucesioes Defiició 32 Sea (x ) = ua sucesió e el cojuto X Si < 2 < 3 < es ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales, decimos que la sucesió (x k ) k= es ua subsucesió de (x ) = Teorema 3 Sea (x ) = ua sucesió e (X, d), (x ) = coverge a x X sí y sólo sí toda subsucesió de (x ) = coverge a x Demostració Supogamos que x coverge a x y sea (x k ) k= ua subsucesió de (x ) = Dado ɛ > 0 etoces existe N N tal que si N, x B(x; ɛ) Para la subsucesió tomamos K N tal que K > N Etoces para todo k K se tiee x k B(x, ɛ) y x k x cuado k Por otro lado, si toda subsucesió de (x ) = coverge a x, basta cosiderar (x ) = como subsucesió de sí misma Teorema 32 Toda sucesió acotada e R tiee ua subsucesió covergete Demostració Sea E = {x, N}, el cojuto de los valores que toma la sucesió Por el Teorema 39, lim x es puto de acumulació de E y por el Teorema 33 (ii) existe ua subsucesió (x k ) k= que coverge a lim x Ejemplo 37 Tomemos x = ( ) para N Etoces x 2k =, x 2k = Por lo tato hay subsucesioes que coverge a cada uo de estos valores Teorema 33 Sea K R K es compacto sí y sólo sí toda sucesió e K tiee ua subsucesió que coverge a u puto de K

20 64 CAPÍTULO 3 SUCESIONES Demostració Supogamos que K es compacto y sea (x j ) j= ua sucesió e K Como este cojuto es compacto sabemos que es cerrado y acotado, y por lo tato, la sucesió (x j ) es acotada Si x j = (x j, x2 j,, x j ), cosideremos la sucesió (x j ) j= de las primeras coordeadas, que es ua sucesió acotada e R Por el Teorema 32 existe ua subsucesió covergete (x j i ) i= cuyo límite llamaremos x Si tomamos ahora la subsucesió de segudas coordeadas (x 2 j i ) i= co ídices iguales a los de la subsucesió covergete de primeras coordeadas que acabamos de hallar y usamos el mismo argumeto obteemos ua ueva subsucesió (x 2 j ik ) k= que coverge a u real x2 y además la subsucesió (x j ik ) k= coverge a x por el Teorema 3 Repetimos ahora este argumeto cosiderado todas las coordeadas ua por ua y termiamos co ua subsucesió de ídices (j h ) tal que todas las sucesioes de coordeadas tomadas sobre esta subsucesió de ídices so covergetes, lo cual quiere decir que x jh = (x j h, x 2 j h,, x j h ) x = (x, x 2,, x ) K Supogamos ahora que toda sucesió e K tiee ua subsucesió que coverge a u puto de K y sea E u subcojuto ifiito de K, etoces podemos ecotrar ua sucesió (x j ) j= e E tal que todos sus térmios so distitos Por hipótesis esta sucesió tiee ua subsucesió covergete El límite de esta subsucesió es u puto de acumulació de E y por el Teorema 24, K es compacto Ejercicios 35 Costruya ua sucesió divergete e R que tega ua subsucesió covergete 2 Muestre que toda sucesió real tiee ua subsucesió moótoa Ejercicios Complemetarios Las otacioes o, O y Estas otacioes fuero itroducidas por Ladau y resulta muy coveietes para cosiderar las propiedades de sucesioes de úmeros reales Sea (x ), (y ) sucesioes de úmeros reales La otació x = O() idica que la sucesió x es acotada, es decir, que existe M tal que x < M para todo N Si y 0, la otació x = O(y ) idica que existe M tal que x < Ky, para todo N a) Demuestre que (i) = O( 2 ), (ii) 2 = O( ), (iii) = O( 2 ) b) Supoga que x = O(y ), y = O(z ), demuestre que (i) x = O(b ), (iii) x + y = O(z ), (ii) x = O(z ), (iv) x 2 = O(y 2 )

21 35 SUBSUCESIONES 65 c) Supoga x = O(y ), demuestre que (x + +x )/ = O(y + +y /) y si además x 0 etoces (x x ) / = O((y y ) / ) Si x es ua sucesió de úmeros co x 0 cuado 0, escribimos x = o() Si y es ua sucesió estrictamete positiva y x /y = o(), escribimos x = o(y ) Si (x ), (y ) satisface x /y cuado escribimos x y d) Demuestre (i) 2 + = o(), (ii) ( ) 2 = O( 2 ), (iii) + 2 e) Demuestre las siguietes proposicioes (i) Si x = o() e y = O() etoces x y = o() (ii) Si x = o(y ) e y = O(z ) etoces x = o(z ) (iii) Si x = o(y ) e y z etoces x = o(z ) (iv) Si x y e y z etoces x z (v) Si x y e y = o() etoces x = o() f) Supoga que x y = o(), /y = O(), demuestre que x y De u ejemplo de sucesioes x, y para las cuales la relació x y = o() es cierta pero la relació x y es falsa g) Supoga que x y, y = O(), demuestre que x y = o() De u ejemplo de sucesioes x, y para las cuales la relació x y es cierta pero la relació x y = o() es falsa 2 Costrucció de los Números Reales por sucesioes de Cauchy a) Decimos que dos sucesioes de Cauchy (x ), (y ) de úmeros racioales so equivaletes si lim x y = 0, y e este caso usamos la otació (x ) (y ) Demuestre que esta es ua relació de equivalecia E cosecuecia podemos dividir el cojuto de las sucesioes de Cauchy racioales e clases de equivalecia: (x ) = {(y ) : (y ) es ua sucesió de Cauchy racioal y (y ) (x )} Los úmeros reales R so estas clases de equivalecia El cojuto Q de los úmeros racioales puede ser cosiderado como subcojuto de R idetificado cada úmero racioal q co la clase de equivalecia que correspode a la sucesió costate {q, q, q, }: {q, q, } b) Defiimos ahora las operacioes de suma y multiplicació etre úmeros reales Supogamos que x = (x ) e y = (y ) so dos úmeros reales, defiimos x + y = (x + y ), x y = (x y ) Verifique que ambas sucesioes (x +y ) y (x y ) so sucesioes racioales de Cauchy Verifique tambié que la defiició es cosistete, es decir, que o depede de los represetates de las clases de equivalecia que escojamos Fialmete, verifique que co estas operacioes los úmeros reales satisface los axiomas i) - ix) del Capítulo

22 66 CAPÍTULO 3 SUCESIONES c) Sea x = (x ) e y = (y ) dos úmeros reales, decimos que x < y si existe u racioal ε > 0 y N N tales que para todo N se tiee que x y ε, y decimos que x y si x < y ó x = y Verifique que la relació está bie defiida (o depede de los represetates escogidos e las clases de equivalecia) Por que o es suficiete pedir que x < y? Demuestre que esta es ua relació de orde (es reflexiva, atisimétrica y trasitiva) y satisface los axiomas x) - xii) del Capítulo d) Defiimos el valor absoluto de ua úmero real x = (x ) por x = ( x ) Demuestre que la desigualdad triagular es válida y e cosecuecia podemos defiir ua métrúmeros reales usado el valor absoluto de la diferecia etre ellos e) Pruebe que ua sucesió de úmeros reales es covergete sí y sólo sí es ua sucesió de Cauchy f) Fialmete demuestre que los úmeros reales satisface el axioma de completitud

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