Sucesiones de funciones

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1 Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci putul. Defiició 7. Diremos que l sucesió de fucioes f } = de A coverge e el puto A si, y sólo si, l sucesió uméric f } = es covergete. Es decir, si, y sólo si, eiste y es fiito el f. Defiició 7.3 Se f } = u sucesió de fucioes de A. Llmremos cojuto de covergeci de f } = l cojuto de putos de A e los que coverge l sucesió de fucioes, es decir, l cojuto C = A : f } = coverge}. A l fució f: C IR, defiid por f = f, se le llm fució límite de l sucesió de fucioes y diremos etoces que f } = coverge o coverge putulmete puto puto hci f e C. Usremos, pr epresr esto último, l otció f f e C. Ejemplo 7.4 Se f : [0, IR} =, defiids por f = Pr cd [0,, f = + = = 0, si = 0. = 0, si 0, = 3 4 = = 3 = 4. Fig. 7.. Gráfics de f y f, pr =,, 3, 4, 5, 6, 8, 0, 0. 6 Luego f: [0, IR, defiid por f = 0, es l fució límite de f } =. Ejemplo 7.5 Se f : [0, IR} =, defiid por f = f = f = = 0, si [0, =, si., si 0, si > Sucesioes y Series de Fucioes. 8

2 30 7. Covergeci uiforme. Fig. 7.. Gráfics de f y f, pr =,, 3, 4, 5, 0, 0, 30. Luego f: [0, IR, dd por f = 0, si [0,, si, es l fució límite. Ejemplo 7.6 Se f : IR IR}, si =, defiid por f =. Etoces, pr 0, si > cd IR, eiste IN tl que, luego pr todo, f =. E cosecueci, f = = f, pr todo IR. [, si 0, + [ Ejemplo 7.7 Se f : [0, IR} =, dode f = +, si +, [ 0, si, Etoces, pr cd 0,, eiste tl que <, luego pr todo, f = E cosecueci, f = f = 3 Fig Gráfics de f y f, pr =,, 3, 4, 5, 6. =, si = 0 0 = 0, si 0,. 7. Covergeci uiforme. coverge uiforme- Defiició 7.8 Diremos que l sucesió de fucioes f } = de A mete e el cojuto A hci l fució f si, y sólo si, pr cd > 0, 0 IN tl que si 0 = f f <, A. Usremos, pr idicrlo, l otció f f e A Observció 7.9 L covergeci putul e cd puto de u cojuto o es lo mismo que l covergeci uiforme e ese cojuto; e el primer cso, l covergeci putul e Sucesioes y Series de Fucioes. 8

3 7. Covergeci uiforme. el cojuto, es u reuió de putos e los que hy covergeci idividul, mietrs que e el segudo cso, l covergeci uiforme e el cojuto, es u covergeci que se verific pr todos los putos del cojuto l vez es decir, de mer uiforme. Si epresmos l defiició de covergeci putul e u cojuto e los mísmos térmios e que teemos defiid l covergeci uiforme, l difereci etre l covergeci uiforme y putul e A es más clr: f } = coverge putulmete e A hci f pr cd A, f f pr cd fijo de A y pr culquier > 0, eiste u 0 que depede de y del puto tl que si 0 = f f <. E el cso de l covergeci uiforme: f } = coverge uiformemete hci f e A pr cd > 0, eiste 0, que depede de, pero o depede de tl que si 0 = f f <, pr todos los de A. Es clro, por tto, que si hy covergeci uiforme e u cojuto hy covergeci putul e todos los putos f del cojuto. Luego pr que podmos hblr de covergeci uiforme e u cojuto A debe de hber cover- f + geci putul e el cojuto. Gráficmete, l covergeci uiforme sigific que pr cd > 0 tods ls fucioes de l sucesió, prtir de u dd, está detro de l bd formd por ls fucioes f y f +. Ejemplo 7.0 f : [0, IR, defiid por f = + Como = 0 = f, pr todo [0,, se tiee que f Si = 0, f 0 = 0,, luego f 0 0 = 0. Si > 0, + 0 = + < =. Luego ddo > 0, eiste 0 tl que 0 <, e cosecueci, si 0, se verific que f 0 = + 0 < < 0 <, pr todo [0,, luego f 0., si Ejemplo 7. Se f : IR IR defiid por f =, si < <., si Etoces, pr cd IR 0}, eiste 0 tl que 0 <, luego pr todo 0,, si < 0, si < 0 f =. E cosecueci,, si > 0 f = f = 0, si = 0 y, si > 0, si 0, si, si < < 0 +, si < < 0 f f = 0 0, si = 0 = 0, si = 0, si 0 < <, si 0 < <, si 0, si Sucesioes y Series de Fucioes. 83

4 7. Covergeci uiforme. Si tommos <, pr culquier, siempre podemos tomr el puto =, que verific que = <, y, e él, f f = = >. Luego, pr culquier podemos ecotrr putos que o verific que f f <, e cosecueci, o puede eistir u 0 como el propuesto e l defiició. Es decir, l sucesió o coverge uiformemete. Criterio del superior 7. Se l sucesió de fucioes f } = de A. Etoces f f e A si, y sólo si, sup f f = 0. A Demostrció: f f > 0, 0 IN / 0 = f f <, A > 0, 0 IN / 0 = sup f f sup f f A = 0. A Ejemplo 7.3 Estudir l covergeci uiforme de Solució: Pr cd [0, ], = 0, luego f + 0. Como, pr cd, l fució g = f f = f = + } = e [0, ]. 0 + = es cotiu + e el cerrdo y cotdo [0, ], el superior se lczrá e el máimo que eiste por el Teorem de Weierstrss. Busquemos sus etremos. Derivdo, obteemos que g = = = 0 + = 0, luego pr = de [0, ] el otro vlor, / [0, ]. E cosecueci, el máimo será g 0 = 0 ó g = ó g =. Como etoces g 0 = 0 = 0. g = = 0 g sup [0,] = f f = = sup [0,] g = m = 0 e = 0, g 0, g }, g = 0 y l covergeci es uiforme. Sucesioes y Series de Fucioes. 84

5 7. Covergeci uiforme. Ejemplo 7.4 Se f : [0, IR, defiids por f =. Pr todo [0,, se tiee que f = = 0 = f, luego f f = = pr todo. Como =, se tiee que sup = sup [0, [0, 0, luego f } = o coverge uiformemete e [0,. E l figur de l derech puede observrse l o covergeci uiforme. Proposició 7.5 Se f } = u sucesió de fucioes defiids e el cojuto A. Si f f e A = f f e B, pr todo B A. b Se B, C A. Si, f f e B y f f e C, etoces f f e B C. Demostrció: f f e A = > 0, 0 IN / 0 se tiee f f <, A = > 0, 0 IN / 0 se tiee f f <, B A = f f e B. b Si f f e B = > 0, IN / se tiee f f <, B, y si f f e C = > 0, IN / se tiee f f <, C. Tomdo 0 = m, }, se tiee que > 0, 0 IN tl que 0 se verific que si B, como 0, se cumple que f f <, y si C, como 0, se cumple que f f <. E cosecueci, 0, se verific f f <, pr todo B C, y, por tto, f f e B C. Observció 7.6 Es clro, que el resultdo terior es válido úicmete pr uioes fiits, y o port d pr uioes de ifiitos cojutos. E efecto, e l sucesió de fucioes f =, pr cd [0, se tiee que = 0, luego 0 e cd cojuto B = } formdo por u úico puto y, si embrgo, o coverge uiformemete e el cojuto [0, = } uió de todos ellos. [0, Ejemplo 7.7 Se f = Como f =, si [, 0, si [0, ]. } =, si [, 0 =, si [0, ] E [, 0, se tiee que f = y f =, luego sup f f = sup + = [,0 [,0 y coverge uiformemete e el itervlo [, 0. = f, es l fució límite. sup [,0 = = 0 Sucesioes y Series de Fucioes. 85

6 7. Covergeci uiforme. E [0, ], se tiee que f = y f =, luego sup f f = sup = [0,] [0,] y coverge uiformemete e ese cojuto. sup [0,] E cosecueci, f f e el cojuto uió [, ] = [, 0 [0, ]. = = Propieddes de l covergeci uiforme. Covergeci uiforme y cotiuidd 7.8 Se f } = u sucesió de fucioes defiid e A y que coverge uiformemete hci f e A. Si cd f es cotiu e el puto A, etoces l fució límite f es cotiu e A. Demostrció: f f e A > 0, 0 IN / 0 se tiee que f f < 3, A. Se m 0, etoces por ser f m cotiu e se tedrá que δ > 0 / A, < δ = f m f m < 3 Luego : f f = f + f m f m + f m f m f f m f + f m f m + f m f = siempre y cudo < δ, luego f es cotiu e. Observció 7.9 Es clro, que si ls fucioes f so cotius e todos los putos de A y f f e A, l fució límite f tiee que ser cotiu e todo A. Este resultdo es muy útil cudo se quiere probr que u sucesió de fucioes o coverge uiformemete e u cojuto: si ls fucioes f so cotius e A y l fució límite o es cotiu e A, l covergeci o puede ser uiforme e A. Pero teció!, sólo de que f o se cotiu e A o puede segurrse que l covergeci o se uiforme, puesto que podrí ocurrir que ls fucioes f o se tods cotius e A y l covergeci sí se uiforme. Ejercicio 7.0 Búsquese u ejemplo de sucesió de fucioes o cotius que coverj uiformemete u fucio cotiu. Puede obteerse uo modificdo decudmete l sucesió del ejemplo 7.7. Covergeci uiforme e itegrció 7. Se f } = u sucesió de fucioes defiids e el itervlo [, b], siedo ls f fucioes itegrbles Riem e [, b]. Etoces si f f e [, b], se tiee que f es itegrble Riem e [, b]. b f d = f d = Demostrció: fd. f f e [, b], luego > 0, 0 IN tl que 0 se tiee que f f <, pr todo [, b]. b Sucesioes y Series de Fucioes. 86

7 7. Covergeci uiforme. y, por tto, 0, f b < f < f +, pr todo [, b]. b Etoces, por ls propieddes de ls itegrles superior e iferior, se tiee b f d fd fd b f + d b y, como ls fucioes f ± b so itegrbles e [, b], l itegrl iferior y l itegrl superior coicide, obteiédose que Luego b f d fd fd b fd fd = y, por tto, f es itegrble e [, b]. f + b d = d b f + d. b f d b b Por el prtdo, f es itegrble e [, b] y fd eiste, etoces f d f d = b f f d f f d y, como f f e [, b], se tiee que > 0, 0 IN tl que 0 se verific que f f < b, [, b]. Luego, si 0, teemos que f d f d f f d < y, e cosecueci, f d = f d. Ejemplo 7. Clculr Solució: [ π + π se + d. Tomemos f : [, π ] IR dds por f = + π, π ], se tedrá que Como [ π + π + π se + = π se, π ]. Etoces, como π f f = se e [, π ], se tiee + π + d = π b d = se +. Etoces, si f f e f d. + = 0 se = 0, se tiee que f 0 e se + = + π + se π + π = π + Sucesioes y Series de Fucioes. 87

8 7.3 Ejercicios. [ π, π + π ], que tiede hci 0 si ; luego l covergeci es uiforme. E cosecueci, se + d = 0. Covergeci uiforme y derivció 7.3 Se f } = u sucesió de fucioes defiids e, b y derivbles e, b. Supogmos que e u puto 0, b, l sucesió f 0 } = coverge. Si eiste u fució g tl que f g e, b, etoces: Eiste f:, b IR tl que f f e, b. b f es derivble e, b y f = g = f Ejemplo 7.4 Estudir l covergeci uiforme de f = l+ E = coverge, pues f l+ = = 0. Ls fucioes f = l+ derivds es f = + e 0, e. so derivbles e 0, e y l sucesió de ls fucioes = +. Como f = + coverge uiformemete hci g = 0 e [0, ver ejemplo 7.0, coverge uiformemete hci g = 0 e 0, e. E cosecueci, f f e 0, e, siedo f derivble e 0, e co f = g. Como g = 0, se tiee que f es costte y, como f = f = 0, es l fució Ejercicios. 7. Estudir l covergeci uiforme de ls siguietes sucesioes de fucioes. f =, si 0 0, si b f = +, e [0, ]., e [0,. 7. Se f = +, co [0, 3]. Hllr. Estudir su covergeci uiforme. Pr qué vlor de 0 se verific l defiició si hcemos = 0.3? 7.3 Estudir l covergeci uiforme de l sucesió de fucioes f = + e [, 5]. π 7.4 Clculr 0 f d, siedo f = +se Se f =, co [0, ]. Hllr f y clculr I = Qué se puede decir de l covergeci uiforme de f } =? 0 f d. 7.6 Se f =!. Hllr su cojuto de covergeci y estudir si coverge uiformemete e él ver ejercicio 6.4. Qué se puede decir de l covergeci de f } =? 7.7 Dd l sucesió de fucioes f = +, co,, estudir su covergeci uiforme sí como l covergeci uiforme de f } =. Sucesioes y Series de Fucioes. 88

9 7.3 Ejercicios. 7.8 Estudir l covergeci putul y uiforme de l sucesió de fucioes dd por, si [0, f =, si [, ]. Represetr gráficmete sus primeros térmios. 7.9 Hllr f, siedo f =. Qué se puede decir de l covergeci uiforme de f } = e [0, ]? 7.0 Se f = +. Hllr el cojuto de covergeci y l fució límite. b Estudir l covergeci uiforme e [, ], e [, 3] y e [, 4]. 7. Se f u fució cotiu e [0, ] tl que f = 0. Probr que l sucesió de fucioes g : [0, ] IR defiids por g = f coverge uiformemete e [0, ]. Sucesioes y Series de Fucioes. 89

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