Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones

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1 Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007

2 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará para denotar las sucesiones las letras s,u,v,w,a,b,c, etc. en lugar de f, además la imagen de n, es decir, s(n) se anota s n en forma subindical. En lugar de escribir s : N R n s n anotaremos alguna de las siguientes formas: (s n ), {s n }, (s n ) n N, {s n } n N, {s n } n=0, (s n) n=0. Informalmente se anota lo siguiente Donde j N. (s n ) = (s 0, s 1, s 2,, s j, s j+1, ) La imagen de n N, es decir s n, se llama término n de la sucesión. Aceptaremos muchas veces que un número finito de términos de la sucesión no estén definidos, o sea, funciones cuyo dominio no sea exactamente N.

3 Semana 09 [3/28] Ejemplos s n = n2 +8 n n (s n ) es la sucesión definida en forma recursiva por: s 0 = 1, s 1 = 1, s n+2 = s n+1 + s n. (s n ) es la sucesión tal que su término n es el enésimo decimal de π (π = 3, ) s 0, s 1 = 1, s 2 = 4, s 3 = 1, s 4 = 5,... s n = n 2 9 s 0 s 1, s 2 =, s 3 = 0, s 4 = 7,... Ésta es una sucesión porque sólo tres términos no están definidos. s n = ( 1) n (s n ) = (1,, 1,, 1,, 1,...) Esta función no está definida para los valores de n impar y esto no es una cantidad finita de términos. Es decir, no es una sucesión. Observación Las sucesiones como cualquier función pueden graficarse en un sistema coordenado {OXY }. Sin embargo este método es poco utilizado ya que sus dominios son siempre N que es un conjunto de puntos aislados. Además este tipo de gráfico no presenta interés práctico como se verá más adelante en las aplicaciones. El tipo de gráfico más utilizado consiste en gráficar sólo el conjunto imagen en una recta, indicando sobre cada punto el orden correspondiente.

4 Convergencia de sucesiones Semana 09 [4/28] Convergencia de sucesiones Convergencia (definición informal) Sea (s n ) una sucesión real y sea l R. Diremos que (s n ) converge a l, o bien que los términos s n tienden a l (lo que se anota s n l), si dado cualquier intervalo cerrado del tipo [l ε, l + ε] con ε > 0, sólo una cantidad finita de términos de la sucesión quedan fuera de él. Es decir, todo el resto de los términos de esta sucesión están dentro del intervalo. Ejemplo Consideremos la sucesión (s n ) definida por s n = 1 n, es decir: (s n) = (, 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,...). A simple vista pareciera que al crecer n, los valores de s n se parecen cada vez más a 0. Esto nos trae serias sospechas de que esta sucesión tiende a l = 0. Para verificar esto, consideremos ε > 0 arbitrario y analicemos cuales términos de la sucesión quedan dentro del intervalo [0 ε, 0 + ε] y cuales quedan fuera. Vemos que s n [ ε, ε] ε s n ε ε 1 ε n 1 ε n n ε 1. La última desigualdad se verifica n, salvo para un número finito. Con esto, es claro que sólo una cantidad finita de términos de la sucesión quedan fuera del intervalo [ ε, ε], quedando todo el resto dentro de él. Es importante observar que en la medida que ε sea más y más pequeño, el número de términos de la sucesión que quedan fuera del intervalo [ ε, ε] es cada vez más grande, sin embargo siempre serán una cantidad finita.

5 Convergencia de sucesiones Semana 09 [5/28] Convergencia de sucesiones Para formalizar la definición informal dada anteriormente, se debe explicitar qué significa, matemáticamente, que sólo una cantidad finita de términos de la sucesión quedan fuera de [l ε, l + ε]. Esto se hace escribiendo que a partir de un cierto término, todos los que siguen están dentro del intervalo. Es decir, ( n 0 N)( n n 0 ) s n [l ε, l + ε]. Con esta consideración, la definición formal de convergencia es la que sigue: Convergencia Diremos que la sucesión (s n ) converge a l o bien que los términos s n tienden a l (lo cual anotaremos s n l) si se cumple que: ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) s n [l ε, l + ε]. Observación Las siguientes expresiones son equivalentes a la anterior: ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) l ε s n l + ε ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) s n l ε ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) s n l < ε ( ε > 0)( n 0 R)( n n 0 ) s n l ε

6 Convergencia de sucesiones Semana 09 [6/28] Observaciones Observación El intervalo [l ε, l + ε] suele llamarse en el contexto de la Topologia, vecindad en torno de l. Luego, decir que s n l es equivalente a decir que a partir de cierto natural n 0 (es decir, para todo n n 0 ), los términos s n están todos dentro de esta vecindad en torno de l. El factor s n l es la distancia entre s n y l, luego decir que s n l es equivalente a decir que a partir de cierto n 0 la distancia entre s n y l es menor o igual que ε. Como esto último debe ocurrir ε, se concluye que cuando s n l, la distancia entre s n y l puede hacerse tan pequeña como se desee. Cuando una sucesión no converge a real alguno, se dice que es una sucesión divergente.

7 Convergencia de sucesiones Semana 09 [7/28] Ejemplos Probar que 1 0 n Por demostrar que: ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) 1 0 ε. n Como 1 n 0 ε 1 n ε n 1 ε, basta tomar n 0 = [ 1 ε ] + 1, y se tendrá que: n n 0 n 1 ε. Observemos que en la demostración también pudo haberse elegido n 0 = [ 1 ε ] (o algo similar). Notamos entonces que el valor de n 0 no es único, ya que tomar cualquier otro valor mayor que él, también es útil para la prueba. Es decir, en la demostración de la convergencia sólo debemos probar la existencia de algún n 0, sabiendo que habrán otros que también pueden ser usados. Es posible dar una demostración alternativa recordando que la propiedad arquimediana dice: ( ε > 0)( n 0 N) n 0 ε > 1. Notando que ( n n 0 ) se cumple además que nε n 0 ε > 1, es decir, nε > 1, la propiedad arquimediana puede escribirse, convenientemente, del siguiente modo: ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) nε > 1.

8 Convergencia de sucesiones Semana 09 [8/28] Ejemplos Probar usando la definición que no es cierto que 1 n 2 Debe probarse que: [( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) 1 n 2 ε], es decir: ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) 1 n 2 > ε. Pero 1 2 n = 2 1 1, n N. n Luego basta tomar ε = 1, con lo cual dado cualquier n 2 0 N, si se toma n = n 0 la proposición es cierta. En el próximo Teorema veremos que el resultado de este ejemplo es más general, ya que siempre se cumple que cuando una sucesión converge a un real l, no converge a otro real distinto.

9 Convergencia de sucesiones Semana 09 [9/28] Unicidad del punto de convergencia Teorema Si (s n ) es una sucesión que converge a l 1 R y también a l 2 R, entonces necesariamente l 1 = l 2. Demostración. Como la sucesión converge a l 1 y también a l 2, se cumplen simultáneamente las siguientes dos proposiciones y ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0) s n l 1 ε ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0) s n l 2 ε. Notemos que hemos puesto n 0 y n 0 en las dos frases anteriores, en lugar de un único n 0 para ambas. La razón de esto es que como, en general, n 0 depende de la sucesión, de ε y del punto al cual la sucesión converge, en la primera y segunda frase, los n 0 no tienen porqué ser iguales entre sí. De hecho, si supusieramos a priori que el n 0 es el mismo, la demostración no sería correcta. Como las dos frases anteriores son datos, dado ε > 0 arbitrario, si tomamos n 0 = m«ax{n 0, n 0 } se cumple simultáneamente que ( n n 0 ) s n l 1 ε s n l 2 ε continua...

10 Convergencia de sucesiones Semana 09 [10/28] Observaciones Continuación demostración. En consecuencia, tomando n = n 0, se deduce que: l 1 l 2 = l 1 s n0 + s n0 l 2 l 1 s n0 + s n0 l 2 ε + ε = 2ε Es decir ε (0, ), l 1 l 2 2 ε. Esto lo podemos interpretar, diciendo que l 1 l 2 es una cota inferior de (0, ), cuyo ínfimo es 0. 2 Por lo tanto concluimos que l 1 l 2 0. Además, es bien sabido que l 1 l Por lo tanto se concluye que l 1 l 2 = 0, es decir, que l 2 1 = l 2.

11 Límite Semana 09 [11/28] Límite Definición de límite de una sucesión Si (s n ) es una sucesión que converge a l, entonces l se llama límite de la sucesión, lo cual se anotará: l = lim s n o bien l = lim n s n o bien l = lim n s n. Observación La proposición anterior nos dice que el límite de una sucesión cuando existe, es único.

12 Límite Semana 09 [12/28] Ejemplo 1 Probar que lim ( n+1 2n+3 ) = 1 2 Debemos demostrar que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) Para hacer esta demostración, comencemos notando que n+1 = 2n n + 1 2n ε. (1) 2n+2 (2n+3) 2(2n+3) = 1 4n+6 1 = 4n n Usando lo anterior, notamos que para demostrar (1), basta con demostrar la siguiente proposición auxiliar ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) 1 4n ε. 1 En efecto, esta última implica (1) ya que si ε entonces por el desarrollo anterior, se tendrá que 4n n+1 1 ε. 2n+3 2 La demostración de la proposición auxiliar es muy fácil, ya que basta con utilizar la propiedad arquimediana, poniendo en ella 4ε en lugar de ε.

13 Límite Semana 09 [13/28] Ejemplo 2 Probar que lim = 2 n Aquí debemos demostrar que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) n 2 ε. Análogamente al ejemplo anterior, comencemos estudiando la diferencia entre módulo. Notemos que n 2 = n + 2 n 2+ 1 n + 2 = 1 n 2 1. n 1 n 2+ 1 n + 2 Usando este desarrollo, vemos que para realizar la demostración, basta con estudiar la siguiente proposición auxiliar: 1 ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) n ε. Esta proposición es cierta en virtud de la propiedad arquimediana.

14 Álgebra de sucesiones Semana 09 [14/28] Álgebra de sucesiones Definición de sucesión nula (s n ) se llamará sucesión nula si s n 0. Recordando que una sucesión es una función con un dominio particular, las siguientes definiciones son una adaptación de las definiciones correspondientes ya hechas para las funciones en general. Recuerdo de sucesión acotada (s n ) se llamará sucesión acotada si ( M > 0) ( n N) s n M. Recuerdo del álgebra de sucesiones Sean (u n ) y (v n ) sucesiones y sea λ R. Se definen las nuevas sucesiones (u n + v n ),(u n v n ),(u n v n ),(u n /v n ) y (λu n ) de la forma normal, es decir: (u n + v n ) = (u 0 + v 0, u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3,..., u n + v n,...). (u n v n ) = (u 0 v 0, u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3,..., u n v n,...). (u n v n ) = (u 0 v 0, u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3,..., u n v n,...). (u n /v n ) = (u 0 /v 0, u 1 /v 1, u 2 /v 2, u 3 /v 3,..., u n /v n,...). Obs: ésta es una sucesión sólo cuando v n = 0 sólo para un número finito de términos. (λu n ) = (λu 1, λu 2, λu 3,..., λu n,...).

15 Álgebra de sucesiones Semana 09 [15/28] Algebra de sucesiones nulas y acotadas Teorema Sean (u n ), (v n ) sucesiones. Las siguientes proposiciones son ciertas 1 (u n ) es nula si y sólo si ( u n ) es nula. 2 Si (u n ) es una sucesión nula entonces (u n ) es una sucesión acotada. 3 Si (u n ) es una sucesión nula y n 0 N, n n 0, v n u n entonces (v n ) es una sucesión nula. 4 Si (u n ) y (v n ) son sucesiones nulas entonces (u n + v n ) y (u n v n ) son sucesiones nulas. 5 Si (u n ) y (v n ) son sucesiones acotadas entonces (u n + v n ) y (u n v n ) son sucesiones acotadas. 6 Si (u n ) es una sucesión nula y (v n ) es una sucesión acotada entonces (u n v n ) es una sucesión nula. Un caso particular de esto es cuando v n = c constante. Ejemplo u n = 1 n 0 y v n = cos( n! n n tan n ) es acotada, luego 1 n cos( n! n n tan n ) 0.

16 Álgebra de sucesiones Semana 09 [16/28] Demostraciones (Álgebra de sucesiones) Demostración. Demostración de la propiedad 1. Que (u n ) y que ( u n ) sean nulas equivale a decir respectivamente que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n 0 ε y ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n 0 ε. Las que claramente son equivalentes. Demostración de la propiedad 2. Como (u n ) es una sucesión nula se tiene que: ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n ε. Luego tomando ε = 1, concluimos que existe n 0 N de modo que ( n n 0 ) u n 1. Esta frase dice que {u n : n n 0 } es acotado. Para probar que el conjunto de todos los términos de la sucesión es acotado, consideremos el real M = m«ax{ u 1, u 2,..., u n0, 1}. Claramente, se obtiene que ( n N) u n M lo que significa que (u n ) es acotada.

17 Álgebra de sucesiones Semana 09 [17/28] Demostraciones (Álgebra de sucesiones) Demostración. Demostración de la propiedad 3. Como (u n ) es una sucesión nula se tiene que: Además el acotamiento del enunciado dice que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0) u n ε. n 0 N, n n 0, v n u n. Luego, para todo ε > 0, existe n 0 = m «ax {n 0, n 0 } tal que para todo n n 0 se cumplen simultáneamente que v n u n ε. Lo que corresponde a la definición misma de que (v n ) es una sucesión nula. Demostración de la propiedad 4. Sean (u n ) y (v n ) son sucesiones nulas, es decir ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0) u n ε y ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0) v n ε. Tomando n 0 = m«ax {n o, n o} deducimos que simultáneamente se cumple que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n ε v n ε.

18 Álgebra de sucesiones Semana 09 [18/28] Demostraciones (Álgebra de sucesiones) Demostración. Como esta proposicion se cierta para todo ε > 0, podemos escoger valores apropiados para ε que faciliten la demostración. De este modo, en el caso de suma de sucesiones, dado ε > 0 arbitrario, tomaremos ε = ε de modo que se 2 cumpla que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n ε 2 v n ε 2. De aquí, sumando las desigualdades y considerando que u n + v n u n + v n, obtenemos que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n + v n ε, lo que significa que la sucesión (u n + v n ) es nula. En el caso de producto de sucesiones, dado ε > 0 arbitrario, tomaremos ε = ε de modo que se cumpla que ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n ε v n ε. De aquí, multiplicando las desigualdades y considerando que u n v n = u n v n, obtenemos que lo que significa que la sucesión (u n v n ) es nula. ( ε > 0) ( n 0 N) ( n n 0 ) u n v n ε,

19 Álgebra de sucesiones Semana 09 [19/28] Demostraciones (Álgebra de sucesiones) Demostración. Demostración de la propiedad 5. Como (u n ) y (v n ) son sucesiones acotadas entonces existen M 1 > 0 y M 2 > 0 tales que ( n N) u n M 1 v n M 2 Luego, sumando o multiplicando las desigualdades se obtiene que y ( n N) u n + v n u n + v n M 1 + M 2 ( n N) u n v n = u n v n M 1 M 2 Lo que implica que las sucesiones (u n + v n ) y (u n v n ) son acotadas. Demostración de la propiedad 6. Como la sucesión (v n ) es acotada entonces existe M > 0 tal que ( n N) v n M Como además (u n ) es nula entonces, dado ε > 0 arbitrario, existe n 0 N tal que ( n n 0 ) u n ε M Luego ( n n 0 ), u n v n = u n v n ε, lo que significa que (u n v n ) es una sucesión nula.

20 Álgebra de sucesiones Semana 09 [20/28] Álgebra de sucesiones Para aprovechar el álgebra de sucesiones nulas para sucesiones convergentes a cualquier real, usamos la siguiente proposición Proposición Sea (s n ) una sucesión de números reales entonces s n l (s n l) es una sucesión nula. Demostración. Basta con mirar la siguiente cadena de equivalencias s n l ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) s n l ε (s n l) es una sucesión nula. Proposición Sea (s n ) una sucesión de números reales. Si (s n ) es convergente entonces (s n ) es acotada. Demostración. Sea l = lim s n. Como s n l entonces (s n l) es una sucesión nula, luego (s n l) es acotada, es decir ( M > 0)( n N) s n l M Luego ( n N) s n = s n l + l s n l + l M + l Tomando M = M + l > 0 se deduce que (s n ) es acotada.

21 Álgebra de sucesiones Semana 09 [21/28] Álgebra de límites Álgebra de límites Sean (u n ) y (v n ) dos sucesiones convergentes a u y v, respectivamente. Sea λ R, entonces las sucesiones (u n + v n ), (u n v n ), (u n v n ) y (λu n ) son también convergentes a u + v, u v, u v y λu, respectivamente. Es decir, si u n u y v n v entonces: lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n lim (u n v n ) = lim u n lim v n lim (u n v n ) = lim u n lim v n lim (λu n ) = λ lim u n. Demostración. Hay que demostrar que: (u n + v n ) u + v. Sea w n = (u n + v n ) (u + v). Reordenando, es claro que w n = (u n u) + (v n v), queda expresada como la suma de sucesiones nulas. Luego es nula. Con esto se ha probado que (u n + v n ) u + v. Se debe probar que: (u n v n ) u v Sea w n = (u n v n ) (u v). Es claro que w n = (u n u) (v n v) es la diferencia de sucesiones nulas, luego es nula. Con esto se ha probado que (u n v n ) u v. Continúa...

22 Álgebra de sucesiones Semana 09 [22/28] Álgebra de límites Continuación demostración. Se debe demostrar que: (u n v n ) u v. Sea w n = (u n v n ) (u v). Reordenando se tiene que w n = u n v n u v n + u v n u v = (u n u)v n + u(v n v). O sea (w n ) es una combinación de sucesiones nulas y acotadas, luego es nula. Con esto se ha probado que (u n v n ) u v. Se debe probar que: (λu n ) λu. Basta considerar la igualdad λ = v n, n N, con lo cual esta proposición es un caso particular del caso anterior.

23 Álgebra de sucesiones Semana 09 [23/28] Cuociente de Con el teorema anterior pueden calcularse los límites de sucesiones formadas como sumas, diferencias, producto o ponderación de sucesiones convergentes. Queda el problema de calcular el límite de una sucesión obtenida como el cuociente de sucesiones convergentes. Con respecto a este problema se tienen los siguientes resultados. Proposición Si (s n ) es una sucesión nula entonces la sucesión ( 1 s n ), de estar bien definida, es no acotada y en consecuencia no es convergente. Demostración. Por contradicción, supongamos que ( 1 s n ) es acotada, entonces la sucesión (v n ) definida por v n = s n 1 s n es el producto de una sucesión nula por una acotada. Esto implica que (v n ) es una sucesión nula, es decir, v n 0. Sin embargo, claramente, v n = s n 1 s n = 1 es la sucesión constante que converge a 1. Esto es una contradicción, ( ya que Luego no es una sucesión acotada. s n )

24 Álgebra de sucesiones Semana 09 [24/28] Cuociente de Proposición Sea (s n ) una sucesión real. Si (s n ) converge a l 0 entonces: 1 ( n 0 N)( n n 0 ), s n tiene el mismo signo de l (es decir s n l > 0 ). 1 La sucesión ( 1 s n ) es acotada. Ejemplo: la sucesión (( 1) n ) no converge Supongamos que si lo hace, es decir, que existe l tal que ( 1) n l. Si l > 0 entonces, sólo un número finito de términos de la sucesión podría ser negativo. Esto no es posible ya que ( 1) n = 1 para todo n impar. Análogamente, si l < 0 entonces sólo un número finito de términos podría ser positivo. Esto tampoco es posible pues ( 1) n = 1 para todo n par. Nos queda como única posibilidad que l = 0. En este caso, es fácil ver que para ɛ = 1, el número de términos 2 de la sucesión fuera del intervalo [ ɛ + 0, 0 + ɛ] es infinito, contradiciendo la definición de convergencia. Concluímos que a pesar de ser acotada la sucesión ( 1) n diverge.

25 Álgebra de sucesiones Semana 09 [25/28] Cuociente de Demostración. Para fijar ideas, supongamos que l > 0. Que s n l significa que ( ε > 0)( n 0 N)( n n 0 ) l ε s n l + ε Luego tomando ε = l 2 > 0 se tiene que existe n 0 N tal que ( n n 0 ) l 2 s n 3 l 2. Con esto se ha probado (1) ya que l 2 > 0. Para probar (2) escribamos lo siguiente ( n n 0 ) 2 3l 1 s n 2 l y consideremos el real M = m«ax{ 1 s 1, 1 s 2,..., 1 s n0 }. Con esto es claro que ( n N) 1 s n M, es decir, la sucesión( 1 s n ) está bien definida y es acotada.

26 Álgebra de sucesiones Semana 09 [26/28] Cuociente Proposición Sean (u n ) y (v n ) dos sucesiones convergentes a u y v respectivamente. Si v 0, la sucesión (u n /v n ) es convergente a (u/v). Es decir lim u n v n = lim u n lim v n. Demostración Veamos que: un v n u v Sea w n = un v n u. v Ordenando esta expresión, es claro que w n = u nv uv n = ( 1 v n v v )( 1 )[u n v uv n ]. v n ( 1 Por la proposición anterior, se deduce que es una sucesion acotada y por álgebra se tiene que (u n v uv n ) es una sucesión nula, luego(w n ) es una sucesión nula. Con esto se ha probado la proposición. v n )

27 Álgebra de sucesiones Semana 09 [27/28] Cuociente Observación Si la sucesión (v n ) es nula pueden obtenerse diferentes casos, dependiendo de cual sea la sucesión del numerador (u n ). Algunos casos son los siguientes: Si (u n ) converge a l 0 entonces (u n /v n ) no es acotada puesto que (v n /u n ) es nula. Si (u n ) es también nula, no hay regla para el cuociente. Algunos ejemplos sencillos son: Si u n = 1 n y v n = 1 n entonces (u n/v n ) converge a l = 1. Si u n = 1 n y v n = 1 entonces (u n 2 n /v n ) no es acotada y luego no converge. Si u n = 1 y v n 2 n = 1 n entonces (u n/v n ) es una sucesión nula. Si u n = ( 1)n n y v n = 1 n entonces (u n/v n ) es una sucesión acotada pero no convergente.

28 Aplicaciones del Algebra Semana 09 [28/28] Límites importantes (1) Usando los teoremas de álgebra de sucesiones se prueban fácilmente los siguientes resultados. s n = a, para a R, satisface lim s n = a. lim 1 = 0. n lim 1 = 0, para k N. n k s n = n k, para k N, no es acotada luego diverge. para p, q N {0}. s n = a pn p + a p 1 n p a 1 n + a 0 b q n q + b q 1 n q b 1 n + b 0, si p < q, entonces s n 0 si p = q, entonces s n ap ( ) b q si p > q, entonces 1 0. Entonces (s sn n ) no es acotada y luego diverge. lim n! = 0. n n lim an = 0, para a R. n!

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