REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES. Yu TAKEUCHI. Departamento de Matematicas, Universidad Nacional Colombia. l. INTRODUCCION

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1 Boleti de Materat icas Nueva Serie VoU No.2 (1994) y Vol.1I No.1 (1995) (17-33) REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES Yu TAKEUCHI Departameto de Matematicas, Uiversidad Nacioal Colombia RESUMEN. Se establece propiedades que puede cosiderarse como versioes de reglas de L'H6pital para series de ureros reales e alguos casas y de complejos e otros; e todos ellos se reduce el limite de u cociete de series al limite de u cociete de las sucesioes que geera a las series. Se aplica los resultados al a alisis de la covergecia de la sucesio lieal dcfiida mediate ua formula de recurrecia de primer orde muy geeral. l. INTRODUCCION Para el estudiate promedio o es diffcil resolver ua buea catidad de problemas de calculo que ivolucra fucioes cotiuas y derivables. Por ejemplo, si se quiere hallar el limite del eociete de dos fucioes, geeralmete basta aplicar la regla de L'Hopital. E cambia los problemas sabre sucesioes y series so mas dificiles para ellos ya que o eooee metodos seeillos de soluci6. Parece que los matematicos del siglo XIX.0 de comiezos del siglo XX, era muy habiles para resolver problemas de sucesioes y series, puesto que ellos eotaba ca herramietas de trabajo adecuadas, hoy e dia igoradas 0 desaparecidas, E el cooeido libro de Bromwich [1] publieado e 1907(1), que era posi- (1) Thomas Joh I'Aso Bromwieh,

2 18 YU TAKEUCHI blemete u texto para el estudio del calculo a comiezos de este siglo, aparece los temas del calculo de hoy e dia, e forma paralela a sus similares e teorfa de series. POl' ejemplo, ademas de la regla de L'H6pital usual, se halla ua versio discreta de la misma: Primer Teorema sobre el limite del Cociete Si lim a = 0, lim b = 0, y aderas la sucesio (b) es estrictamete -+oo -+oo decreciete, etoces supoiedo que el limite del segudo cociete exista. Segudo Teorema sobre el limite del Cociete (Cauchy-Stolz] Si (o) es eslrictamete creciete y diverge a +00, etoces '. a _. a+ 1 - a 11m h = 11m h ; -+CX) v?'"!.--+oo b "". supoiedo queel limite del segudo cociete exista, E las seccioes que sigue se dara otra versio de la Regia de L'Hopital, equivalete a los teoremas aqui mecioados, pero mas comoda para ser aplicada e problemas de series. Los teoremas 2 y 4 so las formulas para calcular el valor estimado de la cola de ua serie covergete y de la cabeza de ua serie divergete. 2. RegIa d~ L'Hopital para series del tipo ~ Sea (a) y (b) dos sucesioes tales que lim ab = 1. Decimos e tal -too caso que "(a)" es asit6ticamete igual a (b)". Es se cillo comprobar que est a relacio es de equivalecia e el cojuto de todas las sucesioes de reales Aderas si ~ ak Y ~ bk so covergetes y lim ~ = L i= 0, etoces -+oo a ;::;;Lb«. Esto sigifica que e este caso para k suficietemete grade, ak

3 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 19 es casi igual a Lbi: Se deduce que para suficietemete grade, L ak ~ L bk. k=+1 k=+1 As! se obtedra la aproximaci6: para "" suficieterete grade. E forma mas precisa, se obtiee el siguiete teorema: Teorema 1. (Regia de L'Hopitel tipo OjO) Sea L ak Y L bk dos series covergetes Y supogamos que 1a ultima satisface 1a codicio adicioal: (1) si existe e1 limite (2) 1. 1m -- a =L etoces: ~co b (3) Demostracum.. De la covergecia de L b k Y de (1), se sigue que L b k coverge absolutamete. Dado ( > 0 existe N tal que lak/bk - LI < ( para todo k co k > N, o sea lak - L okl < E Ib k : para todo k C0 k > N. Asi, para > N se tiee: /,,!!...m oo L ak - L L bkl:s: }~~ L lak ~ L bk\ < ('}!...ffi oo L Ibki. k=+l k=+1 k=+1 k=+1

4 20 YU TAKEUCHI Dividiedo la desigualdad aterior por I L bk I se obtiee: k= (4) De la co dicio (1), 1a desigualdad (4) garatiza 1a existecia del limite (3). 0 Observaci6.. Si b k > 0 para todo k, etoces 1a codicio (1) se cumple automdticamete y e este caso e1 teorema 1 es "equiva1ete" a1 Primer Teorema sobre el limite del cociete", citado e la itroduccio. Si e el teorema 1 se su prime la codicio (1), el result ado o es valido, como se ve e el ejemplo que sigue Ejerplo 1. Sea (a)" y (b) dadas mediate y etoces se tiee evidetemete que: 1 im. L a = 1. -OO Si embargo para par, teemos: U L bk = 0 y L ak i 0, k=71+l '\;=71+1 por lo tato e1 cociete L~+l a;,./ L~+1 Ok o coverge cuado -* Notese que la sucesio (b,,) o satisface la codicio (1), como puede verificarlo ellector.

5 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 21 Ejemplo 2. Si X ::::;C. y B ::::;B (siedo C ua costate), 00 Bk B ~ X k XT<+l ::::;C2. ' etaces E efecto, aplicado el teorema 1 se tiee: -,-'f lim Bk k(k + 1) k-.oc B XkXk+1 o Ejemplo Sl Uk ::::;kp (p> 1), etoces por el teorema 1, (5) 2: Uk ~ L 2: kp' k=+l k= y poi el criterio de la itegral se tiee: luego y por 10 tato (6) De (5) y (6): (7).::::.. 1 r» 1 1 > '.z. = I ~dx + C + O( ~) (C es ua castate) k=~ k'p J: x'p 'P = ~_. (1- _1_) + C + Or l_)' P - 1. p-l \ "I ' I : k 'P = p-1 +C """'-=- -+0(-). LJ kp p - 1 P- 1 P k=+l 00 I: ak::::; p _ 1. P -1 k=+l 1 1 Como u caso particular, cuado p = 2, teemos: (8) Si.u au ::::;2 etoces

6 22 YU TAKEUCHI 00 Ejemplo 4. Sea L X k ua serie covergete de terrios positivos; si I' (X + 1 ) ur -X = 1, etoces ~oo (9) E efecto, par el teorema 1 se tiee que Ejemplo 5. Sea (X ) ua sucesi6 de tulmeros complejos o ulos que satisface ( 10) I, X+! 1m -- = 1', ~(X)..X 11'1 < 1, etoces: (11) E efecto, I L (Xk-J - Xk! = IXl = L (!Xk-l!- lxki), (Serie telescopica) k=+l Aderas: k=+l ixk-l! - IXkl > 0 para "k" suficietemete grade y aplicado el teorema 1 se tiee que r l~ IXk-l - Xkl (IXk-1i -IXkl) 11-1'1 1-11'1

7 REG LA DE L'HC>PITAL PARA SERIES 23 Teorema 2. (Valor estimado de la cola de ua serie covergete) Sea (X ) ua sucesio de usuetos corplejos que satisface la codici6 (10); si (b ) ~ b, etoces: (12) lim L~=+l b k Xk = ~ ~oo X 1- r o sea, Demostracioti. De (11) teeroc que L~+l!Xk-1 - Xkl sup I IL~+l(Xk-l-Xk) I < +00, 00 por 10 tato la serie I:(X k -1 - X k ) satisface la codicio (1) del teorema 1. Aplicado el teorema 1 se obtiee: N6tese que l' puede ser O. 0 Ejemplo 6. El teorema 1 es tarbie valido si la codicio (1) para (671) es reerplazada (13) por la siguiete:. b-l- 1 0 I I lim -'- :0:: r co < r < 1. ~oo E efecto, del teorema 2 se tiee que L~+l )'oot b ibl ibkl I... k=.,l I 'kl ibl 11'1 ~ 1=H y que ~1_1' 1(;0) 1 - r

8 24 YU TAKEUCHI por 10 tato e cosecuecia, la sucesi6 (b ) satisface la codicio (1). Ejemplo 7. (i) 00 (ii) (iii) (iv ) (v) (ipi < 1) o 3 Regia de L'H6pital para series del t ipo Teorema 3. (Regia de L'Hopitel del tipo 00/00. Jese) Seeu I:~l ak, I:~1 bk series divetgeates; supogamos edetes que (1) si existe el limite (2) lim ak = L k->oo b k etoces iembie (3)

9 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 25 Observaci6. Si b k > 0 para todo k ; etoces la codicio (1) se cumple automaticamete y e este caso el teorema 3 es equivalete al "Segudo Teorema sobre el Limite del Cociete" citado e la itroduccio. Demostraci6. Dado f > 0 existe N tal que I ~: - LI < e, 0 sea, lak - L. bkl < f Ibkl (para todo k > N). De la divergecia de la serie 2:~1 bk, y la codicio (1), se tiee: }~~I~bkl = +00, etoces existe No (depede del N ya escogido) tal que 12::(ak - L bk)i/!2:: bkl < N Para > No se tiee: N II)ak - L ~ bkl ::; I~(ak - L bk)1 + L lak - L bkl k=n+l N < f 1 ~ b k I + ~ f Ib k I < 2f ~ Ib k I k=n+l Dividiedo la desigualdad aterior por IL bkl se obtiee: (4) para todo ti > No) La codicio (1) y la desigualdad (4) garatiza el limite e (3). 0

10 26 YU TAKEUCHI Ejemplo 8. (Primer teorema de Cauchy) (5) 51 '.. al + az a lim a = S etoces lim = S. -+oo -+co E efecto, aplicado el teorema 3 se obtiee: Ejemplo 9. 5i lim (a+l - a) = S etoces lim a = S. E efecto, -+oo -oo aplicado el teorema 3 se obtiee (cosidereado ao = 0): Corolar io. Segudo zeorera de Ceucliy Sea (a) ua sucesiot: de termitios positivos; si lim a+l = r, etoces: -+oo a lim ~= r. -+oo Demostracio. Tomado "log a" e lugar de "a" e el ejemplo 9 se obtiee imediatamete el segudo teorema de Cauchy. Ejemplo 10. Sea L:~=lX k ua serie divergete de termios positivos; si X+d X cuado , etoces: (6) E efecto, par el teorema 3 se obtiee: (Cosidere: Xo = 0.)

11 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 27 Ejemplo 11. Sea (X ) ua sucesio de mimeros complejos que satisface: (7) 1, X+l 1m -- = T co...oo X ITI> 1 etoces: (8) lim -HXl I:~=lIXk-Xk-ll 1I:~=l(Xk - Xk-1)1 IT - 11 Fr=l' E efecto, cosiderado Xo = 0 teemos: /L(Xk - Xk-1)! = IX - Xol = IXl = L(!Xk!- IXk-1!), Ademas, /Xkl-IX k -1! > 0 para "k" suficietemete grade, Aplicado el teorema 3 se obtiee: I::~=l IXk - Xk-1! I I:~=l (Xk - Xk-d! i Ir iri -I' Teorema 4. (Valor estimativo de la cabeza de ua serie divergete) Sea (X ) ua sucesi6 de rimeros complejos que satisface la codici6 7; si lim b = b etoces:...oo (9) Demosiracio. De acuerdo co el ejemplo 11, de Ia igualdad (8) se obtiee

12 28 YU TAKEUCHI oo Asl'la serie L (X k - X k-1) satisface la codici6 (1) del teorema 3 y k= siedo 2:: bkx k Y 2::(Xk - Xk-d divergetes, puede aplicarse el teorema 3 (cosiderado Xo = 0): Observacio. La f6rmula (9) es valida cuado r = 00, a sea:. li S1 m X +1 -X = 00 ( esto es, l' ur -X X O) = etoces -+(Xl -+oo +l Ejerplo 12. (i) (iii) Lk(k+l).2k~(+l).2+l 2k k 2+ 1 (; k(k + 1)(k + 2).. 2 ~ ( + 1)( + 2) 1 Lku. pi< ~. a.p+1 (lpl> 1). k=1 p- 1 o Ejemplo 13. (10) t (2k - 1) ~ k!!jr1i:' k=1 V" u: E efecto, aplicado el teorema 4 2:::= ~/2k - 1) ~ ~/2-1) Por la f6rmula de Stirlig: (2-1) (2)! 2! 2. (!)2 ~ y7r par 10 tato se obtiee la aproximaci6 (10). 0

13 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 29 Ej'emplo 14. E1 teorema 3 es tambie valido si la codicio (1) para (b) es reemplazada por la siguiete: (11) 1. b+l 1m -- = r co ~oo b 1 < Irl < +00. Su prueba es similar ala del ejemplo 6 de Formula lieal de recurrecia de 1e r orde Cosideramos la formula lieal de recurrecia de primer orde (1).X + l = a,x - b ( = 1,2,3,... ) dode (a)", (b) so sucesioes dadas. Se sabe (ver [2]) que 10,solucio geeral de 10,formula. (1) estit dada pol' (2) Teorema 5. E la Ioiule. de recurrecia (1) supoiigese que (a)... a, (b)... b (cuado... (0); e tal caso (i) Si lal < 1, etitouces toda solucio (X ) coverge al limite _b. a - 1 (ii) Si lal > 1, etoces 00 b a) (X )...00 cuado Xl f: P = L k ala2 ak b) (X ) --t _b_ cuado XI = p. a bk Notese que al setie p = L coverge absolutamete. a] az... ak Demostraci6. Si (3) 1 A" = ---- (=1,~,3,... )

14 30 YU TAKEUCHI etoces al solucio geeral (2) de la formula (1) puede escribirse como sigue: (4) 1 X+l = A' [Xl - I:Ak bk] ( = 1,2,3,... ) 0) Si lal < 1, etoces: (li) por 10 tato 1 1 A+I/A = -- ~ - co a+l a I~I-~. Ial - lal > 1,. 1 A ~ 00, a sea, lim -A = O. -t(x) Aplicado el teorema 3 se obtiee que ~ A b li X-Ii L" k' k m +l - - m --too -+oo A. Si lai > 1, etoces: par 10 tato 1 1 A+l/A = -- ~ ca a+l a A ~ 0 (cuado ~ 00) b. (~) -1-1 a I~I=,I, < 1, j U I ul Como la serie I:~=l A k. b k coverge absolutamete (par el criteria del cociete), etoces cuado ~ 00, b a-i 00 rv,""",a 1-1.rv ~A b'_v [1q - L...J r<k. UkJ -r-r [1\} - L...J k' kj -."\.1 - P. Por 10 tato se tiee que (X ) ~ 00 cuado Xl f:. p. Si Xl = P = I:~l A k b k, aplicado el teorema 2 se obtiee: 1 ~ ~ I:~=+l Ak. bk X+l = A.[L...J Ak. b, - L...J Ak. bkj = A b (l) cociete que tiede a a l ) (1 - ;;- b a-i o

15 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 31 Corolario 1. Sea (X ) ua sucesi6 de tuituetos complejos que satisface la desigualdad: (4) dode a > 0, b > 0, Y (5) lim a < 1, lim b«= 0, -+oo etoces: lim X = 0. rl.-+(x) Demostracio. Como lim a < 1, etoces existe ua sucesi6 (a) tal que a ~ a, y a ---+ a = lim a < 1. Sea (Y) la sucesio determiadapor: Y+ 1 =a Y+b (= 1,2,3,... ), Y1 = IXII. Por el teorema 5 se tiee que lim Y = 0. 71,-+00 Par iducci6, se obtiee imediatamete la siguiete desigualdad: par 10 tato IXl ~ Y para to do = 1,2,3,..., lim IXi = 0, -+oo o sea lim X It = o. 0 -+oo Ejemplo 15. Sea (X ) ua solucio de la formula de recurrecia: (6) (X? X+1 = (X )2+1 +c (=1,2,3,... ) si L:~=l Icl < +00, etoces lim-+oo X = 0. E efecto, se tiee:

16 32 YU TAKEUCHI Si la desigualdad aterior tomamos = 1,2,3,... Ny sumaros, obteemos N 00 IX+1! S; IXII + I:lel S; IXII + I:lel (= M), =l =l por 10 tato la sucesio (X ) es acotada. De deducimos que y por el corolario 1 del teorema 5 se cocluye que (X ) ---t O. 0 Ejemplo 16. Cosideremos la sucesio (7\ \ J b X-t-l=a X+ X (a>o,b>o), =1,2,3, dode a ---t a, b ---t b co (3 < a < I, b > 0; etoces: (X ) ---t L = J b, para cualquier Xl > O., I - a Demostracio. Primero observemos que por 10 tato: - 1 I 1 lim - < lim -, X - -oo 2. Jab 2 Vab o sea que la sucesio (Xl ) es acotada superiorrete. Como L = J b, I-a etoces L satisface la ecuacio: L=a L+- b L

17 REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES 33 De la formula de recurrecia (7) se tiee que (8) b IX+l - L1 = lax - al + X - L b I b (X -L) b-b = la(x - L) + (a - a). L - X. L + X I b b - b < la- X.LI IX-LI+I(a-~) LI+1 ~ I b - b Como I(a - a) LI _ 0 y I---I_ 0 (cuado _ (0) y X (ver la ota que sigue). De la desigualdad (8), aplicado el corolario del teorema 5, se deduce que lim IX - LI = 0, 0 sea, lim X = L. 0 -too -+oo Nota. ~ - a < 1 si y solo si vr=a < 2va(a + 1), esto es, 2 a a. (a 2 + 2a + 1) > 1 - a, 0 sea, 4a 3 + 8a 2 + 5a - 1 > 0, 1 y esta ultima desigualdad se cumple para a > 6' REFERENCIAS [1] T. J. Bromwich, A Itroductio to the Theory of Ifiite Series, (first editio), Mac Milla, Lodo, [2] Yu Takeuchi, Estudio sistematico de alguas sucesioes, Mater atica, Esefiaz a Uiversitaria No 20, pp [3] Yu Takeuchi, Covergecia de sucesioes dadas por formulas de recurrecia de 1er orde, Revista Colombia a de Materaticas Vol XXVII (1993), pp