1. Convergencia en medida

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1 FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA3801 Teoría de la Medida. Semestre Profesor: Jaime San Martín Auxiliares: Andrés Fielbaum y Cristóbal Guzmán Clase auxiliar 7 21 de Septiembre de Convergencia en medida En el teorema de convergencia de Vitali se ha introducido una nueva noción: la convergencia en medida. Ésta definición puede resultar útil en casos de no tener convergencia. En esta sección estudiaremos cómo esta convergencia entrega resultados de convergencia de integrales similares a los vistos durante el capítulo. Durante la sección se considera un espacio de medida completo (X, F, ), con (X) = 1. DEFINICIÓN 1.1. Sea (f n ) n una sucesión de funciones medibles. Se dice que f n converge en medida, denotado por f n, si > 0 lím n(x) f(x) } = 0. Análogamente, se dice que f n es de Cauchy en medida si > 0 N 0 N n, m N 0 {x : f n (x) f m (x) } <. Notar que para calcular la diferencia en la definición, es necesario que ambas funciones sean finitas -. Por lo tanto lo natural es considerar el espacio L 0 (X, F, ) de las funciones medibles a valores reales, cuocientado por la equivalencia de la igualdad -. Este espacio puede ser dotado de la siguiente métrica: d(f, g) = f g 1 + f g d. PROPOSICIÓN 1.2. (L 0 (X, F, ), d) es un espacio métrico completo, y su distancia metriza la convergencia en medida. Demostración. Veamos que es métrica: la simetría y positividad son directas. Para la implicancia d(f, g) = 0 f = g es necesario observar que si la integral que define d es 0, necesariamente el numerador f(x) g(x) es nulo c.t.p. (el denominador no puede ser infinito); y dado que L 0 está definido por la equivalencia c.t.p., f y g son iguales. Falta ahora la desigualdad triangular: por la monotonía de t/(1 + t) entonces f g f h + h g c.t.p. f g 1 + f g f g f h + h g 1 + f g 1 + f h + h g f h 1 + f h + h g + h g 1 + f h + h g c.t.p., f h h g f h 1 + h g, 1

2 lo que prueba la desigualdad triangular. En consecuencia d es métrica. Probemos ahora que d metriza la convergencia en medida. Sea entonces (f n ) n L 0 : Si f n f, entonces acotamos la integral. Para esto se usarán 2 propiedades de la función t qué está acotada entre 0 y 1, y que es monótona creciente. d(f n, f) = 1 + d = { f n f >} { f n f >} { f n f } d + { f n f } 1 + = { > } Luego, si queremos que esta cantidad sea menor que η > 0 arbitrario, basta escoger tal que 1+ < η 2, y luego escoger n 0 tal que para todo n n 0, { > } η 2. Con esto se prueba que f d n f. d Si f n f, probaremos que converge en medida. Sea > 0, entonces { > } = 1 d { f n f >} d, donde la desigualdad proviene de la monotonía de t/(1 + t) y luego se acota 1 por el cuociente f n f f n f. Finalmente, dado η > 0, si escogemos n 0 tal que para todo n n 0, d(f n, f) < η 1+ se tiene que la medida es menor que η, lo que prueba la convergencia en medida. Para finalizar, veamos que el espacio es completo: sea (f n ) n de Cauchy para d, lo que claramente implica que es de Cauchy en medida (siguiendo la misma idea de la metrizabilidad). En consecuencia, es posible extraer una subsucesión (f nk ) k, tal que para todo k Luego, sea el conjunto { f nk f nk+1 > A. = k { f nk f nk+1 > 2 k+1 } < 2 k+1. 2 k+1 } El cual por subaditividad tiene medida menor a. Sobre el complemento de A se tiene la convergencia de la serie f nk f nk+1, lo cual indica que en dicho conjunto f nk converge puntualmente a una función medible k f. Utilizando nuevamente la condición de Cauchy, tenemos que dado > 0, existe N 0 N, tal que para todo n, m N 0 {x : f n (x) f m (x) } <. t 1+t : Esto implica que sobre el complemento, escogiendo m = n k y tomando límite en k f n (x) f(x) <, y por ende {x : f n (x) f(x) } <. Como además es arbitrario, en particular f L 0. 2

3 La siguiente proposición muestra cómo se relaciona la convergencia en medida con la convergencia. PROPOSICIÓN 1.3. Sea (f n ) n L 0 (X, F, ). Entonces a) Si f n converge - a f, entonces f n converge en medida a f. b) Si f n converge en medida a f, entonces existe una subsucesión n k tal que f nk f -. Cabe señalar que en la segunda parte de la proposición no es posible convertir la subsucesión en la sucesión completa, lo cual se deja como ejercicio. Ésto último permite probar que la convergencia - no es metrizable en general. Demostración. Sea (f n ) n L 0 tal que f n Dominada para concluir, en efecto: 0. Esto implica también f. Usaremos la métrica d y el Teorema de Convergencia , y como es finita, 1 L1. En consecuencia 0. d Probaremos ahora la recíproca vía subsucesión. Si suponemos que f n converge en medida a f, usando la convergencia dada por la métrica d, tendremos por la recíproca del TCD (teorema??) que la sucesión g n = fn f 1+ f posee una subsucesión n n f k tal que g nk 0, con lo cual necesariamente f nk f. Existe además una caracterización de la convergencia en función de la convergencia en medida, como veremos a continuación. PROPOSICIÓN 1.4. Sea (f n ) n L 0. Entonces f n converge - a f si y sólo si la sucesión g n = sup f k f k n converge en medida a 0. En particular, si (f n ) n es monónota la convergencia y en medida de (f n ) n son equivalentes. Demostración. Sea f n f. Entonces por el lema de Fatou lím sup P(g n > ) lím sup 1 {gn>} d. Notamos también que lím sup 1 {gn>} = 1 ( n) ( k n) g n >. Sin embargo, como g n es monótona decreciente, basta con que para algún n 0, g n0 sea menor a para que el límite valga 0. Por otra parte, como f n converge a f, es claro que lo anterior ocurre -, con lo cual lím sup 1 {gn>} d = 0. 3

4 Para la recíproca, si g n 0, existe una subsucesión g nk 0. Luego, existe A de medida 1 tal que ( > 0) ( n k ) ( j k) g nj (x) = sup m n j f m (x) f(x) < x A, lo que implica es decir, f n f. ( > 0) ( n 0 ) ( m n 0 ) f m (x) f(x) < x A, El objetivo ahora es generalizar el TCD para sucesiones que convergen en medida. Para esto comenzamos con un lema. LEMA 1.5. Sea (X, F, ) espacio de medida y f L 1 (X, F, ). Entonces la integral es -continua, en el sentido siguiente lím f d = 0 (A) 0 A Notar que este resultado es el mismo que se enunció en la tercera parte de la proposición??, para el caso de un singleton; por lo tanto ya está demostrado. Una consecuencia del lema es el siguiente COROLARIO 1.6. Sea (X, F, ) espacio de medida: sean 0 f n g, donde f n, g : X R + son medibles, con f n 0. Entonces, si g es integrable, f n d 0 Demostración. Sea δ > 0 a determinar, para el cual se define A n = {x : f n (x) δ}; entonces por hipótesis (A n ) 0. También definimos F k = {x : 1/k g(x) k}, que satisface F k F k+1, y por la desigualdad de Markov (ejercicio??) (F k ) {g(x) 1 k } k g 1 < +. Notemos que además F k F. = {x : g(x) > 0}, lo que por el TCD implica F \F k g d 0. Ahora, dado > 0, se escoge k 0 tal que para todo k k 0 F \F k g d < /3. También se escoge δ > 0 tal que (F k0 ) /3δ. Ahora se acota la integral de la siguiente forma: f n d = f n d + f n d + f n d X A n A c n F k 0 A c n F k c 0 g d + δ(f k0 A c n) + g d A n F A c n F k c 0 g d + δ A n 2δ + g d F \F k0 g d + A n En el último término de la primera desigualdad, hemos intersectado con F, pues sobre el complemento g es identicamente nula. 4

5 Para finalizar, como f n 0, escogemos n tal que A n tenga medida pequeña, para la cual el lema entregue g d < /3. Esta cota puede utilizarse en la desigualdad anterior, concluyendo que demostrando lo pedido. X f n d < 3 3 =, A continuación, presentamos una nueva versión del TCD, la cual sólo requiere convergencia en medida. TEOREMA 1.7. Sea (X, F, ) espacio de medida, y f n, f : X R medibles, tales que f n f. Si existe g L 1 (X, F, ), tal que f n g, entonces f n f en L 1 (X, F, ). Demostración. Sea n k una subsucesión tal que f nk f, por lo que tomando límite f g. Observando que 0 y 2g L 1, se deduce del corolario anterior que 0 en L 1 ; es decir f n f en L 1. 5

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