Sucesiones y series de funciones

Transcripción

1 Cpítulo 10 Sucesioes y series de fucioes Expoemos este tem siguiedo el cpítulo 11 de [Apostol1], completdo co lgus prtes del cpítulo 7 de [Brtle-Sherbert]. E cd cso iremos ddo l refereci decud Sucesioes y series de fucioes: covergeci putul Defiició Se A u subcojuto de R. Supogmos que pr cd úmero turl está dd u fució f : A R; l plicció f recibe el ombre de sucesió de fucioes ( defiids e A, si es ecesri l precisió). L fució f socid l úmero turl recibe el ombre de térmio -ésimo de l sucesió. Iformlmete, teemos, pues, u list si fi f 1, f 2,..., f,... de fucioes defiids e el cojuto A. Como hicimos co ls sucesioes de úmeros reles, deotremos l sucesió de fucioes cuyo térmio -ésimo es f co (f ) N o, simplificdo si o h lugr cofusió, co (f ). Pr cd puto x A podemos cosiderr l sucesió de úmeros reles que tiee por térmio -ésimo el úmero rel f (x), vlor e x de l fució f. Est sucesió podrá ser o o covergete: el cojuto C de todos los putos x A pr los que (f (x)) coverge suele deomirse el cmpo de covergeci de l sucesió de fucioes (f ); supuesto C, podemos defiir u uev fució f : C R hciedo correspoder cd x C el úmero rel f(x) := f (x). Hblremos etoces de covergeci putul o puto puto de l sucesió l fució f, cocepto que psmos defiir e geerl. Defiició Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A, f u fució defiid e S. Diremos que l sucesió (f ) coverge putulmete o puto puto f e S si pr cd x S l sucesió (f (x)) coverge f(x). E este cso f se le llm el ite putul de l sucesió (f ) e S. Cudo existe tl fució f, diremos que l sucesió (f ) es covergete puto puto e S, o que l sucesió (f ) coverge putulmete e S. Ejemplos. (1) L sucesió (x ) coverge putulmete e el itervlo cerrdo [0, 1] l fució f defiid e dicho itervlo por f(x) = { 0 si 0 x < 1 1 si x =

2 162 CAPÍTULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES ( ) x (2) L sucesió 1 + x coverge putulmete e [0, + ) l fució f defiid e tl itervlo por 0 si 0 x < 1 f(x) = 1/2 si x = 1. 1 si x > 1. (3) L sucesió (se πx) coverge putulmete 0 e Z. (Meos trivil result comprobr que su cmpo de covergeci es justmete Z. 1 ) Puede verse más ejemplos co sus gráfics e [Brtle-Sherbert, págs ]. Observció. L covergeci putul puede expresrse e térmios similres los de l covergeci de sucesioes umérics. Cocretmete: Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A, f u fució defiid e S. L sucesió (f ) coverge putulmete f e S si y solo si pr cd x S y pr cd ε > 0 existe u N = N(ε, x) tl que siempre que > N(ε, x) se verific f (x) f(x) < ε. E cosecueci, tedremos l siguiete codició de Cuchy pr l covergeci putul: Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A. L sucesió (f ) coverge putulmete e S ( u ciert fució) si y solo si pr cd x S y pr cd ε > 0 existe u N = N(ε, x) tl que siempre que m, > N(ε, x) se verific f m (x) f (x) < ε. Ls defiicioes de serie de fucioes y covergeci putul de u serie de fucioes so fácilmete divibles. Defiició U serie de fucioes =1 u es u pr ordedo de sucesioes de fucioes ((u ), (s )) relciods por l codició de que pr cd N es s = u 1 + u u. Pr cd N, el térmio -ésimo de l primer sucesió, u, recibe el ombre de térmio -ésimo de l serie; el térmio -ésimo de l segud sucesió, s, recibe el ombre de sum prcil -ésim de l serie. Decimos que u serie de fucioes coverge putulmete u fució f e u cojuto S si lo hce l sucesió de sus sums prciles. E tl cso, l fució f es l sum de l serie e el cojuto S. Ejemplo. L serie de fucioes =1 x 1 coverge putulmete e ( 1, 1) co fució sum f(x) = 1 ( 1 < x < 1). 1 x Covergeci uiforme El estudio de ls sucesioes de fucioes bre l meos dos iterestes opcioes: de u ldo, podemos costruir uevs fucioes como ites de fucioes coocids; de otro, podemos pesr e sustituir, e ciertos problems, u fució dd por fucioes que l proxim y que puede teer u comportmieto mejor cotroldo respecto l situció que os iterese. E culquier 1 E efecto: supogmos que se πx l; etoces se 2πx = 2 se πx cos πx l, de modo que si l 0 result cos πx 1 mietrs que cos 2πx = 2 2 cos2 πx = 1 ; sí pues, se πx 0, co lo 4 2 que cos πx 1; como se( + 1)πx = se πx cos πx + cos πx se πx 0, se sigue se πx cos πx 0 y ecesrimete se πx = 0, o se, x Z.

3 10.2. CONVERGENCIA UNIFORME 163 de los dos csos, l primer tre es exmir qué propieddes de ls fucioes que form l sucesió se trsps l fució ite. El resultdo de u primer álisis o puede ser más descorzodor, como muestr los siguietes ejemplos. Ejemplos. Sucesió de fucioes cotius co fució ite discotiu. Sirve l sucesió del ejemplo terior: f (x) = x e [0, 1]. (Ver ls gráfics de ls fucioes e [Apostol1, pág. 518].) Sucesió de fucioes cuys itegrles o coverge l itegrl de l fució ite. L succesió (f ) defiid por f (x) = x(1 x 2 ), 0 x 1, coverge putulmete 0 e [0, 1]. Si embrgo, 1 f (x) dx = = 0 0 f (x) dx. (Ver [Apostol1, pág. 518].) Peor ú es lo que ocurre co l derivció, como veremos posteriormete Defiició de covergeci uiforme A l vist de los ejemplos teriores, es clr l ecesidd de itroducir u oció más fuerte de covergeci (ver cometrios e [Apostol1, págs ]). Defiició Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A, f u fució defiid e S. L sucesió (f ) coverge uiformemete f e S si y solo si pr cd ε > 0 existe u N = N(ε) tl que siempre que > N(ε), pr todo x S se verific f (x) f(x) < ε. Ver cometrios e iterpretció gráfic e [Apostol1, págs ]. Comprdo est defiició co l reformulció que dimos teriormete pr l covergeci putul, es obvio que tod sucesió (f ) que coverge uiformemete u fució f e S, tmbié coverge putulmete f e S. U expresió útil de l covergeci uiforme, que permite demás eucir u codició de Cuchy pr est covergeci muy similr l que coocemos pr sucesioes umérics, se logr medite el empleo de lo que suele llmrse l orm del supremo, orm ifiito o orm uiforme de u fució cotd. Defiició Dd u fució ϕ cotd e u cojuto S R, se llm orm uiforme de ϕ e S l úmero rel ϕ S = sup{ ϕ(x) : x S}. L codició ϕ S α es sí equivlete que se ϕ(x) α pr todo x S ( pero ϕ(x) < α pr todo x S o es equivlete que ϕ S < α!) Not. Se comprueb si dificultd que est orm tiee ls propieddes básics de ls orms euclídes (uque o es u orm euclíde), sber: ϕ S 0; ϕ S = 0 ϕ = 0 e S;

4 164 CAPÍTULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES ϕ S = ϕ S pr todo R; ϕ + ψ S ϕ S + ψ S. Proposició Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A, f u fució defiid e S. L sucesió (f ) coverge uiformemete f e S si y solo si f f S = 0. Demostrció. Ver [Brtle-Sherbert, Lem 7.1.8, pág. 316]. ( se x ) Aplicció. L sucesió coverge uiformemete 0 e R, pues se x R 1 0. Si embrgo, l sucesió (f ) co f (x) = x o coverge uiformemete e J = [0, 1], pues e cso firmtivo tedrí que hcerlo l fució f l que coverge putulmete, y pr todo N es f f J = sup[{ x 0 : x [0, 1)} { 1 1 }] = 1 0. (Ver este y otros ejemplos e [Brtle-Sherbert, págs ].) Proposició (codició de Cuchy pr l covergeci uiforme). Se (f ) u sucesió de fucioes defiids e u cojuto A, S u subcojuto de A. Etoces (f ) coverge uiformemete e S lgu fució si y solo si pr cd ε > 0 existe u N(ε) tl que pr todos úmeros turles m, N(ε) se cumple f m f S < ε. Demostrció. No l desrrollmos, pero l comprobció de que es codició suficiete result muy ilustrtiv. Puede verse e detlle e [Brtle-Sherbert, págs ] Covergeci uiforme y cotiuidd Al cotrrio que l covergeci putul, l covergeci uiforme coserv l cotiuidd, como psmos comprobr. Teorem Se (f ) u sucesió de fucioes que coverge uiformemete e u cojuto S u fució f co domiio S, y se p u puto de S. Si cd fució f es cotiu e p, f tmbié es cotiu e p. Demostrció. Ver [Apostol1, Teorem 11.1, pág. 520]. Corolrio Si u serie de fucioes u k coverge uiformemete hci l fució sum f e su domiio S y si cd térmio u k es u fució cotiu e u puto p de S, tmbié f es cotiu e p. Demostrció. Ver los cometrios de [Apostol1, Teorem 11.2, pág. 521].

5 10.2. CONVERGENCIA UNIFORME Covergeci uiforme e itegrció L covergeci putul o coserv l itegrbilidd: hy ejemplos u tto cofecciodos medid de sucesioes de fucioes itegrbles-riem que coverge putulmete fucioes o itegrbles-riem (por ejemplo, e [Brtle-Sherbert, ejercicio 13, pág. 325]). U vez más, l situció es distit co covergeci uiforme. Teorem Se (f ) u sucesió de fucioes itegrbles e u itervlo compcto [, b] que coverge uiformemete e [, b] u fució f. Etoces f es itegrble e [, b] y se cumple b f = b f. Demostrció. No l hremos. Puede verse e [Brtle-Sherbert, Teorem 7.2.4, págs ]. Este es u primer resultdo detro de u lrg list de teorems de pso l ite bjo el sigo itegrl. L ecesidd de ligerr sus hipótesis es u de ls rzoes que impulsro l geerlizció de Lebesgue del cocepto de itegrl. Pr ls ecesiddes del presete curso es más cómodo el resultdo que sigue. Proposició Se (f ) u sucesió de fucioes cotius e u itervlo compcto [, b] que coverge uiformemete e [, b] u fució f. Defimos u uev sucesió de fucioes (g ) medite y pogmos g (x) = g(x) = f (t) dt, f(t) dt, x [, b], x [, b]. Etoces (g ) coverge uiformemete g e [, b]. Abrevidmete, f = f [uif. x b]. Demostrció. Ver [Apostol1, Teorem 11.3, págs ]. Corolrio Se u k u serie de fucioes cotius que coverge uiformete hci l fució sum f e u itervlo compcto [, b]. Si x [, b], defiimos g (x) = u k (t) dt, g(x) = f(t) dt. Etoces (g ) coverge uiformemete g e [, b]. Abrevidmete, o u k (t) dt = u k (t) dt = u k (t) dt [uif. x b], u k (t) dt [uif. x b], Demostrció. [Apostol1, Teor. 11.4, pág. 522].

6 166 CAPÍTULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES Covergeci uiforme y derivció Sobre derivció o cbe esperr resultdos t limpios como los obteidos pr l cotiuidd y l itegrbilidd i siquier cudo hy covergeci uiforme, segú poe de mifiesto los siguietes ejemplos. Ejemplo. U sucesió de fucioes derivbles que coverge uiformemete u fució o derivble: f (x) = x f(x) = x [uif. 1 x 1]. Ejemplo. U sucesió de fucioes derivbles que coverge uiformemete u fució derivble, mietrs que l sucesió de sus derivds o coverge e igú puto: f (x) = se x f(x) = 0 [uif. R]. (Ver [Gelbum-Olmsted, págs ].) Ejemplo. U sucesió de fucioes derivbles que coverge uiformemete u fució derivble, mietrs que l sucesió de sus derivds coverge u fució que o es ite de ls derivds: f (x) = x f(x) = 0 [uif. 0 x 1]. Ejemplo. U sucesió de fucioes derivbles que o coverge e igú puto, mietrs que l sucesió de sus derivds coverge uiformemete: f (x) = ( 1) ; f (x) = 0 0 [uif. R]. Vist l situció, es meos sorpredete que vymos prr u eucido como el que sigue. Proposició Se J u itervlo fiito y se (f ) u sucesió de fucioes defiids e J. Supogmos que (1) existe u x 0 J tl que (f (x 0 )) coverge; (2) existe e J l sucesió de derivds (f ) (3) est sucesió de derivds (f ) coverge uiformemete e J u fució g. Etoces l sucesió (f ) coverge uiformemete e J u fució f derivble e J pr l que f = g. Demostrció. Co ests hipótesis l demostrció es u tto elbord: se comprueb que (f ) cumple l codició de Cuchy pr covergeci uiforme medite u plicció decud del teorem del vlor medio, y después se comprueb que l fució f, ite uiforme de (f ), tiee derivd g(x) e cd puto x J proximádol por u f coveiete (ver los detlles e [Brtle-Sherbert, Teorem 7.2.3, págs ]). L demostrció se simplific otblemete cudo se ñde u hipótesis de cotiuidd de ls derivds, o siedo ecesrio etoces que J se fiito. E efecto, sustituyedo l codició (2) del eucido por (2 + ) existe e J l sucesió de derivds (f ) y cd f es cotiu,

7 10.3. UNA CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA CONVERGENCIA UNIFORME 167 podemos proceder como sigue: Defimos h : J R poiedo, pr cd x J, h(x) = L sucesió de fucioes (h ) defiid e J por h (x) = x 0 g(t) dt. x 0 f (t) dt coverge uiformemete e J h, y l regl de Brrow permite escribir h (x) = Costruyedo f : J R de modo que x 0 f (t) dt = f (x) f (x 0 ). f(x) = f (x 0 ) + h(x) es imedito que f es derivble co derivd f (x) = h (x) = g(x) pr cd x J. Pr probr que f = f [uif. J] bst teer e cuet que f (x) f(x) = f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) f(x) = h (x) + f (x 0 ) f (x 0 ) h(x) h (x) h(x) + f (x 0 ) f (x 0 ) y por tto f f J h h J + f (x 0 ) f (x 0 ) 0 cudo. El lector puede eucir y demostrr l trducció de este resultdo series de fucioes U codició suficiete pr l covergeci uiforme de series Teorem (criterio M de Weierstrss). Se u k u serie de fucioes defiids e u cojuto pr l que se puede ecotrr u serie uméric covergete M de térmios o egtivos de mer que se cumple, culquier que se N 2, u (x) M pr todo x S. Etoces l serie u k coverge uiformemete e S y bsolutmete e cd puto de S. Demostrció. Ddo N, se s = l sum prcil -ésim de l serie. Hemos de probr que l sucesió de fucioes (s ) coverge uiformemete e S, pr lo que es suficiete demostrr que cumple l codició de Cuchy. Pero supoiedo m >, pr culquier x S es m m s m (x) s (x) = u k (x) m u k (x) M k, k=+1 u k k=+1 k=+1 de dode s m s S m k=+1 M k, que puede hcerse meor que u ε prefijdo si más que tomr m > > N(ε) pr u cierto N(ε), e virtud de l codició de Cuchy plicd l serie covergete M. de S.) 2 (o, l meos, desde u e delte. Nótese que est codició implic l covergeci bsolut e cd puto

8 168 CAPÍTULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES Ejemplo. L serie x =1 es uiformemete covergete e [ 1, 1]. 2

9 Bibliogrfí [Apostol1] Apostol, T. M.: Clculus, vol. I (segud edició). Reverté, Brcelo, Citdo e l(s) pági(s) 161, 163, 164, 165 [Brtle-Sherbert] Brtle, R. G. - Sherbert, D. R.: Itroducció l Aálisis Mtemático de u Vrible. Limus, México, Citdo e l(s) pági(s) 161, 162, 164, 165, 166 [Gelbum-Olmsted] Gelbum, B. R. - Olmsted, J. M. H.: Couterexmples i Alysis. Holde-Dy, S Frcisco, Citdo e l(s) pági(s)