Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales

Transcripción

1 B C Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de un ángulo gudo. Reliones fundmentles En todo triángulo retángulo BC ls rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos, en este so, se definen de l siguiente mner (ver figur de l izquierd): Si en l euión nterior dividimos todos los términos entre teto opuesto sen ipotenus, teto opuesto tg teto ontiguo teto ontiguo os ipotenus Osérvese que omo l ipotenus siempre es de myor longitud que los tetos, ls rzones seno y oseno n de ser siempre menores que uno. Entre ests rzones trigonométris eisten uns reliones fundmentles. L primer de ells se otiene utilizndo el teorem de Pitágors, según el ul l sum de los udrdos de los tetos es igul l udrdo de l ipotenus:, y luego emos uso de ls fórmuls nteriores, tenemos: sen os L fórmul nterior reie el nomre de fórmul fundmentl de l trigonometrí. Hitulmente esriiremos os en lugr de sen y os, on lo que l fórmul fundmentl de l trigonometrí qued sí: sen os, sen y L segund fórmul relion ls tres rzones trigonométris: seno, oseno y tngente. Se otiene iendo un pequeño truo en l definiión de l tngente. Veámoslo: / sen tg / os Osérvese que lo únio que se eo es dividir el numerdor y el denomindor entre l mism ntidd, que es l longitud de l ipotenus. Por tnto: sen tg os L últim fórmul fundmentl relion el oseno y l tngente. Bst retor un poo l fórmul fundmentl: sen os sen sen os tg Teniendo en uent, l igul que nteriormente, que esriiremos os os os os os os tg os tg en lugr de tg nos qued: Ests fórmuls permiten otener el vlor de ls rzones trigonométris onoiendo solmente el vlor de un de ells. Por ejemplo, si tenemos que tg 3, utilizndo l últim de ls reliones nteriores: tg os os os os os os os 4 4 sen tg, sustituyendo tenemos: os sen sen sen / Por otro ldo, omo Trigonometrí Págin

2 Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de un ángulo ulquier (entre 0 o y 360 o ) or se trt de mplir el onepto de rzón trigonométri ángulos que no sen solmente gudos. De momento, vmos onsiderr l posiilidd de que un ángulo esté omprendido entre 0 y 360, es deir, lo sumo un vuelt omplet de l irunfereni. Luego mpliremos el onepto de ángulo y onsiderremos ángulos de ulquier medid. Pr ello, vmos diujr un irunfereni de rdio uno entrd en unos ejes de oordends (llmd irunfereni goniométri). Los ángulos del primer udrnte estrán omprendidos entre 0 y 90, los del segundo entre 90 y 80, los del terero entre 80 y 70 y, finlmente, los del urto udrnte, omprendidos entre 70 y 360. En ls figurs se represent l medid del seno y del oseno de un ángulo situdo en d uno de los udrntes. L orientión del ángulo es l ontrri l de ls de ls gujs del reloj. Los distintos signos que presentn tnto seno omo oseno (el seno es l oordend vertil y el oseno l oordend orizontl del punto donde el ángulo ort l irunfereni de rdio ). sen (positivo) sen (positivo) os (positivo) os (negtivo) Primer udrnte Segundo udrnte os (negtivo) os (positivo) sen (negtivo) sen (negtivo) En l siguiente tl resumimos los signos de ls distints rzones trigonométris de un ángulo omprendido entre 0 y 360 dependiendo del udrnte en el que se enuentre: Primer udrnte Segundo Cudrnte Terer Cudrnte Curto udrnte sen + + os + + tg Como ejemplo, supongmos que nos piden el oseno de un ángulo del segundo udrnte, siendo que sen. Por l fórmul fundmentl: os os os os Terer udrnte Curto udrnte Hemos tomdo l soluión negtiv porque, l enontrrse el ángulo en el urto udrnte, el oseno es negtivo. Trigonometrí Págin.

3 Mtemátis I - º Billerto mpliión del onepto de ángulo y uso de l luldor Ángulos myores que 360 o Un ángulo myor que 360 de entenderse omo un ángulo que d más de un vuelt y termin en lgún lugr entre el primer y el urto udrnte. Por ejemplo, el ángulo 850, es un ángulo que d siete vuelts y luego e 330 más, y que: Esto quiere deir que el ángulo 850 se sitú en el urto udrnte y tiene etmente ls misms rzones trigonométris que el ángulo 330. Pr ser unts vuelts d un ángulo myor que 360 y on qué ángulo omprendido entre 0 y 360 oinide, se reliz l división enter entre 360, sin etrer ifrs deimles. El oiente será el número de vuelts y el resto, el ángulo omprendido entre 0 y 360 on el que oinide el ángulo originl: or, deido que dividendo es igul divisor por oiente más el resto, se otiene l iguldd nterior, , que de interpretrse omo siete vuelts (siete vees 360 ) y 330 más. Ángulos negtivos Y se í omentdo nteriormente que l orientión de un ángulo positivo es l ontrri l de ls gujs del reloj. Un ángulo es negtivo, y esriiremos, undo su orientión es l mism que l de ls gujs del reloj. Se die que y son ángulos opuestos. Un so prtiulr es undo un ángulo está omprendido entre 0 y 80. Entones 360 oinide etmente on. Por ejemplo, si tenemos 30, entones Esto quiere deir que (ver figur). Si unimos esto l ejemplo nterior del ángulo 850, podemos esriir que , en el sentido de que los tres ángulos poseen ls misms rzones trigonométris. 360 Uso de l luldor Como l medid de los ángulos que estmos utilizndo son los grdos segesimles, es muy importnte que l luldor trje on este sistem. Pr ello dee preer un letr D myúsul en l prte superior de l pntll. Si pree otr letr es que l luldor está trjndo on otro sistem. Por ejemplo, si en l prte superior de l pntll pree un letr R myúsul es que l luldor está trjndo en rdines, sistem de medid de ángulos que veremos posteriormente. En ls luldors Csio f-8 que itulmente utilizáis, l form de que prez un letr D myúsul en l prte superior de l pntll es pulsndo dos vees l tel MODE y luego eligiendo DEG (revitur de degree, grdo en inglés). Si se elige RD se ps l letr R myúsul y se trj en rdines. Hy otro sistem, GRD, on el que l luldor trj en grdientes, pero que nosotros no utilizremos. Pr lulr l rzón trigonométri de un ángulo introdue l rzón on l tel orrespondiente (SIN, COS o TN), el ángulo, y puls l tel igul. utomátimente preerá en pntll el vlor. Como ejemplo prue que sen 780 0, Es prole que tengmos que lulr el ángulo uyo seno, oseno o tngente se un número ddo. Imginemos que os 0,5 y queremos onoer el ángulo. Pr ello pulsmos l siguiente ominión SHIFT COS 0.5 =, oteniendo que 60. L ominión que proporion el ángulo onoiendo el oseno del mismo, SHIFT COS, pr l luldor es COS -. Nosotros, l ángulo uyo oseno es ierto número lo llmremos rooseno (que quiere deir ángulo uyo oseno es ) y lo denotremos por ros. sí pues tenemos os 0,5 ros 0,5 60. Lo mismo ourre on el seno y l tngente, los que orresponden el roseno y l rotngente, revidmente rsen y rtg. Es importnte ser que l luldor, pr SIN - y TN - devuelve vlores entre 90 y 90, mientrs que pr COS - devuelve vlores entre 0 y 80. Trigonometrí Págin 3

4 Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de lgunos ángulos utilizdos on freueni Oservndo l irunfereni goniométri de l págin, es fáil deduir ls rzones trigonométris de los ángulos 0, 90, 80 y 70. Son ls siguientes: sen 90, os90 0, sen 90, os90 0, sen 0 0, os 0, tg90 sen80 0, os80, tg90 sen 0 0 tg0 tg0 0 os0 sen 90 tg90 no eiste (l división entre ero no tiene sentido) os90 0 sen80 0 tg0 tg80 0 os80 sen 90 tg90 no eiste (l división entre ero no tiene sentido) os90 0 Ls rzones trigonométris de 360 oiniden on ls de 0, pues 360 es, etmente, un vuelt omplet. Deduzmos or ls rzones trigonométris de los ángulos 30, 45 y 60, ángulos que preen on stnte freueni. Pr deduir ls rzones trigonométris de 45 vmos onsiderr un udrdo de ldo y digonl d (ver figur). L digonl divide l udrdo en dos triángulos retángulos, mos isóseles, es deir, triángulos retángulos donde los dos ángulos 45 gudos son de 45. Por el teorem de Pitágors d d d d Por ls definiiones de seno, oseno y tngente (ver págin ): sen 45 d. De igul form se tiene que os 45 sen 45 / tg 45 os 45 /. O ien de est otr form: tg 45. Pr deduir ls rzones trigonométris de 30 y 60 vmos trjr or sore un triángulo equilátero de ldo y ltur (vése l figur de l dere). Como el triángulo es equilátero, d uno de sus ángulos es de 60. demás, l ltur divide l triángulo equilátero en dos triángulos retángulos igules, de ángulos gudos 60 y 30. Usndo el teorem de Pitágors en uno de estos dos triángulos retángulos tenemos: Otr vez, por ls definiiones de ls rzones trigonométris de un ángulo gudo sore un triángulo retángulo, tenemos: sen 60 De mner preid se tiene que: Finlmente: d 45 sen 30 3 / 3 3, os60 /, os30 sen 60 3 / 3 tg 60 3, tg30 os60 / / 3 / 3 3 sen 30 / 3 os30 3 / / 30. Por último Trigonometrí Págin 4

5 Mtemátis I - º Billerto Reliones entre ls rzones trigonométris de lgunos ángulos Pr resolver lgunos ejeriios prátios, es muy útil onoer ls reliones entre determindos tipos de ángulos. No es neesrio prenderls de memori, sino que reurriendo l visulizión de los ángulos sore l irunfereni goniométri es posile deduirls sin myor prolem. Ángulos opuestos: y Ángulos suplementrios: y 80º 80 sen os sen os sen sen tg tg os os tg 80 sen 80 os 80 sen os sen 80 sen tg os 80 os Ángulos que difieren en 80 o : y 80 Ángulos omplementrios: y tg 80 sen 80 os 80 sen os sen 80 sen tg os 80 os tg 90 sen 90 os 90 os sen sen 90 os os 90 sen tg Por ejemplo, los ángulos 60 y 30 son omplementrios (sumn 90 ) y, por tnto: sen 60 os30, 3 os60 sen 30, tg Por otro ldo, 50 y 30 son suplementrios (sumn 80 ), luego: tg30 sen50 sen 30, os50 3 os30, tg50 3 tg30. 3 Trigonometrí Págin 5

6 Resoluión de triángulos retángulos Mtemátis I - º Billerto Resolver un triángulo es llr uno o más elementos desonoidos prtir de los elementos (ldos y ángulos) onoidos. En el so de un triángulo retángulo siempre se onoe un ángulo: el ángulo reto o de 90. Por tnto sólo se pueden presentr dos sos. Cso. Se onoen dos ldos. Cso. Se onoen un ldo y uno de los dos ángulos gudos. El terer ldo se lul medinte el teorem de Pitágors. El ángulo que forme l ipotenus on uno de los tetos se ll prtir de l rzón trigonométri que los relion. El ángulo que qued por onoer es el omplementrio del nterior. Culquier de los otros dos ldos se lul medinte l rzón trigonométri que lo relion on el ldo y el ángulo onoidos. El otro ángulo gudo es el omplementrio del ángulo onoido. Ejemplo. Supongmos que onoemos un teto 5 ipotenus 9 m. B m y l Ejemplo. Supongmos que onoemos l ipotenus ángulo B o m y el o El otro teto se ll medinte el teorem de Pitágors: , 48 m. Pr lulr el ángulo : 5 sen 0,56 33, El ángulo B es el omplementrio del nterior: B 90 33,75 56, 5 90 o Tenemos que os 56 os 56 6, 7 m., y sen 56 sen 56 9,95 m. El ángulo es el omplementrio de B : pliión: álulo de l ltur y del áre de un triángulo ulquier Conoid l longitud de dos ldos y de un triángulo ulquier y el ángulo que formn mos, es muy senillo llr l ltur orrespondiente uno de los ldos. Oserv que, en el triángulo de l figur de l dere, l ltur sore el ldo de longitud onoid, divide l mismo en dos triángulos retángulos. Si nos fijmos en el de l izquierd tenemos: sen sen or podemos deduir un fórmul pr el áre del triángulo: sen sen Similr rzonmiento se puede er en un triángulo ulquier. Utilizndo l ltur orrespondiente uno de los ldos, onseguiremos dos triángulos retángulos, y esto permitirá onoer otrs longitudes o distnis desonoids. Este método se onoe on el nomre de estrtegi de l ltur pr resolver triángulos no neesrimente retángulos. Trigonometrí Págin 6 α

7 Mtemátis I - º Billerto Resoluión de triángulos ulesquier: teorem de los senos y teorem del oseno Teorem de los senos En un triángulo ulquier de ldos,, y de ángulos, B, C se umplen ls siguientes igulddes. sen sen B sen C Pr demostrr este resultdo utilizremos l estrtegi de l ltur, omentd en l seión nterior. Oserv l figur de l dere. En ell, trzmos l ltur desde el vértie C. Los triángulos HC y BHC son retángulos. Por tnto tenemos: B H sen sen sen sen B sen sen B sen B sen B Est es l primer de ls igulddes que se pretendín demostrr. Pr demostrr l segund se proede de mner semejnte, trzndo l ltur desde el vértie B, relionndo en este so los ldos y on sus ángulos opuestos (intent erlo tú omo ejeriio). Se otiene en este so:. sen sen C Teorem del oseno En un triángulo ulquier de ldos,, y de ángulos, B, C se umple l siguiente iguldd: os Pr er l demostrión utilizremos un método similr l y visto en el teorem de los senos, pero on un triángulo oliuángulo (ver figur de l dere). Se trz l ltur sore el ldo. Entones, en el triángulo BH se tiene que Entones: os H H os () HC H os () plindo el teorem de Pitágors en los triángulos BH, BCH y utilizndo ls igulddes () y () demostrds nteriormente tenemos: Restndo ms igulddes se otiene: Finlmente, sumndo HC os os os os H os os en los dos miemros, se otiene lo que querímos demostrr: os Tmién son ierts, y se pueden demostrr de mner similr omo se eo nteriormente, ls siguientes igulddes: os B ; os C H C B C Trigonometrí Págin 7

8 Mtemátis I - º Billerto Un nuev unidd pr medir ángulos: el rdián Hst or emos utilizdo, pr medir los ángulos, el sistem segesiml. Como y ses, d un de ls 360 prtes igules en ls que se divide l irunfereni, se denomin grdo segesiml. Cd grdo se divide en 60 minutos, y d minuto en 60 segundos. Otr medid de los ángulos es el rdián. Si se tom ulquier irunfereni de rdio r l irunfereni, es deir, ro y sus rdios mide un rdián: rd. O y se llev est longitud r sore un ro de r O longitud B, el ángulo entrl determindo por el Relión entre grdos segesimles y rdines Pr lulr uántos rdines equivle un ángulo ompleto de 360, st on plir un senill relión de proporionlidd diret. Diujmos un irunfereni de rdio r. Si un ro de longitud r le orresponde un rdián, un ro de longitud l longitud de l irunfereni, r, le orresponderán rdines. Vemos l regl de tres diret: Por tnto, r. Esto quiere deir que un ángulo ompleto de 360 le orresponden rdines, o lo que es lo r mismo, un ángulo llno de 80 le orresponden rdines. De este modo, pr onvertir un ángulo ddo en grdos,, en rdines rd o vievers, st on utilizr l siguiente proporión: rd 80 Vemos omo ejemplo untos grdos segesimles equivle un rdián rd , 96 O se, un rdián es igul, proimdmente, 57,96, que epresdo en grdos, minutos y segundos es: Uso de l luldor rd 57 5' 45'' Pr llr ls rzones trigonométris de un ángulo ddo en rdines y que empezr poniendo l luldor en el modo rdines: MODE RD. Cd luldor tiene un ominión de tels propi pr psr l modo rdines. Y se eplido lgo esto en l págin 3. Normlmente un luldor viene en modo grdos segesimles: MODE DEG, que suele venir indido on un D, o l revitur DEG en l prte superior. Cundo psmos l modo rdines on l ominión de tels deud, en l prte superior preerá un R o l revitur RD. En estos momentos y está list l luldor pr er álulos en rdines. Vemos un ejemplo. Con l luldor en el modo grdos segesimles es muy fáil otener que sen 7 0,95. Pr ver que otenemos el mismo vlor en rdines, psremos 7 rdines, y luego lulremos el seno del vlor otenido, y on l luldor en el modo rdines rd rd 80 5 or, on l luldor en modo rdines, podemos ompror tmién que sen 0,95. 5 ro Rdines r r Trigonometrí Págin 8 O α r B

9 Fórmuls trigonométris Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de l sum de dos ángulos sen sen os os sen os os os sen sen tg tg tg tg tg Rzones trigonométris de l difereni de dos ángulos Rzones trigonométris del ángulo dole Rzones trigonométris del ángulo mitd sen sen os os sen os os os sen sen tg tg tg tg tg sen sen os os os sen tg tg tg os sen os os os tg os Sums y diferenis de senos y osenos: trnsformiones de sums y rests en produtos B B sen sen B sen os B B sen sen B os sen B B os os B os os B B os os B sen sen En los ejeriios y prolems se rá uso vees de ests fórmuls. Por ejemplo, l or de resolver euiones trigonométris. Trigonometrí Págin 9

10 Euiones trigonométris Mtemátis I - º Billerto Un euión trigonométri es quell en l que preen rzones trigonométris tundo sore un ángulo inógnit que, omo en tods ls euiones, y que despejr. Slvo que se pid epresmente, el vlor de l inógnit puede drse indistintmente en grdos o en rdines. Deido ls reliones entre ls rzones trigonométris de los ángulos de diferentes udrntes y de los que resultn de ñdirles vuelts omplets l irunfereni, ests euiones uentn itulmente on infinits soluiones. Sin emrgo, suele ser sufiiente dr ls soluiones omprendids entre 0 y 360, o lo que es lo mismo, entre 0 rd y rd. Es muy importnte ompror ls soluiones que se otengn sore l euión iniil, pues es freuente que prezn soluiones etrñs. Ejemplos:. Resolver l euión sen os Primero modifimos l euión pr onseguir que y un únio tipo de rzón trigonométri. Pr ello utilizmos l fórmul trigonométri del oseno del ángulo dole, y luego l fórmul fundmentl de l trigonometrí: sen os sen os sen sen sen sen or, omo en ulquier otr euión de segundo grdo (oserv que el seno está elevdo dos), psmos todos los términos l primer miemro y reduimos los que sen semejntes: sen sen sen sen sen 0 sen sen 0 Osérvese que si uiésemos llmdo z sen, l euión serí z z 0 z z 0, es deir, un euión de segundo grdo de ls inomplets. 30 Pueden ourrir pues dos oss. O ien sen 0 0, o ien que sen 0 sen 50. Resolver l euión sen 3 sen os Pr resolver est euión utilizremos l trnsformión de l rest en un produto (ver págin nterior): 3 3 sen 3 sen os os sen os os sen os os sen os 0 os sen 0 os k k sen 0 sen k o k Ls soluiones entre 0 y 360 son pues 45, 35, 5, 35, 30 y 50. y os os y 3. Resolver el sistem de euiones Volvemos trnsformr l sum de l segund euión en un produto: os os y y y y os os os os 4 y y os 0 y Por tnto, omo y y. 4 Trigonometrí Págin 0