UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN ESCUELA DE INFORMÁTICA CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS MONOGRAFÍA:

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE PANAÁ FACULTAD DE INFORÁTICA, ELECTRÓNICA Y COUNICACIÓN ESCUELA DE INFORÁTICA CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS ONOGRAFÍA: INTEGRACIÓN NUÉRICA POR EL ÉTODO DE LOS TRAPECIOS PRESENTA: RAÚL ENRIQUE DUTARI DUTARI 006

2 TABLA DE CONTENIDOS. Observacoes Prelmares..... El étodo De Los Trapecos: Plateameto Geeral..... Costruccó Geométrca Del étodo De Los Trapecos Fudametos atemátcos Del étodo De Los Trapecos: La Iterpolacó Polomal El Polomo De Iterpolacó De Lagrage Costruccó Aalítca Del étodo De Los Trapecos El Error Por Trucameto E El étodo De Los Trapecos Dos Ejemplos Elemetales Del étodo De Los Trapecos Otras Fórmulas De Itegracó Apromada Observacoes Fales Referecas Bblográfcas... 9

3 . Observacoes Prelmares. Cuado se realza u epermeto, geeralmete, se obtee ua tabla de valores que, se espera, tega u comportameto fucoal. S embargo, o se obtee la represetacó eplícta de la fucó que represeta la regla de correspodeca etre las varables volucradas. E estos casos, la realzacó de cualquer operacó matemátca sobre la ube de putos, que preteda tratarla como ua relacó fucoal, tropezará co dfcultades cosderables, al o coocerse la epresó eplícta de dcha relacó. Etre estas operacoes ecotramos la tegracó de fucoes. Además, es coocdo que este relatvamete pocas fórmulas y téccas de tegracó, frete a la catdad estete de fucoes que se puede tegrar. Es decr, u gra úmero de tegrales de fucoes elemetales o puede ser epresada e térmos de ellas. Etre estos casos sgulares teemos, a maera de ejemplo: ( ) ( ), d 4 e d,,,, se l + d + d d Para aclarar la cotradccó ates señalada, se debe recordar la codcó ecesara para que ua fucó sea tegrable. Dcha codcó se mecoa de medato, s demostracó: Proposcó (Codcó Necesara De Itegrabldad). S ua fucó f es cotua e el tervalo [ a, b], etoces f es tegrable e [ a, b].

4 Los teresados e ua demostracó rgurosa de la Proposcó puede ubcarla e HAASER, Norma B., LASALLE, Joseph P., y SULLIVAN, Joseph A. Aálss matemátco : Curso de troduccó, [8, 545]. No obstate que las codcoes de la Proposcó so sumamete geerales, o se tee garatía de que, al aplcar los métodos usualmete coocdos para resolver tegrales, se puede ecotrar la atdervada de ua fucó f () cualquera, ecesara para obteer la tegral defda. Esta moografía pretede lustrar al lector co ua de las téccas báscas que permte resolver dcha stuacó, a través de la deomada INTEGRACIÓN APROXIADA, POR EL ÉTODO DE LOS TRAPECIOS.. El étodo De Los Trapecos: Plateameto Geeral. El método de los trapecos tee su orge drectamete e la terpretacó geométrca de la INTEGRAL DEFINIDA. Se debe recordar que la tegral defda se puede terpretar como el área compredda etre el eje de las abscsas, la fucó a tegrar, y los límtes de tegracó. Esta área es calculada a través de u proceso de paso al límte usado ua partcó del área total, geeralmete e rectágulos y hacedo teder al fto el úmero de rectágulos. La mplemetacó umérca de este cocepto, se cooce como ÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS, y de hecho, este método se costtuye e el soporte teórco de la solucó de problemas de aplcacó de tegrales defdas. La dfereca etre el método de los trapecos y el ateror método, cosste e que a la partcó del área total, se le reemplaza los rectágulos usados

5 orgalmete, por otra fgura geométrca que aprome mejor el área buscada, partcularmete, usado trapecos. Además, al gual que e método de los rectágulos, se elmará el proceso de límte, de modo que el resultado obtedo será ua apromacó del valor eacto.. Costruccó Geométrca Del étodo De Los Trapecos. E este apartado se costrurá la regla de los trapecos utlzado u efoque basado e el plateameto geeral, esbozado prevamete. El msmo, se resume e la sguete proposcó. Proposcó (Regla Compuesta De Los Trapecos). Se cosdera ua fucó y f (), así como las rectas,...,. Se supoe que la dstaca etre cada ua de las parejas de valores de la abscsa, es costate y se deota como (,,,..., ). Etoces: f ( ) d y + y + y Dode se deota a la ordeada de la fucó f e la abscsa como y f ( ) para,,,...,. Demostracó. Se debe recordar que el área de u trapeco está dada por la fórmula:

6 4 A ( y + y ) dode es la base del trapeco, e tato que y y represeta las alturas del msmo, como se observa e la sguete lustracó: Ilustracó Se cosdera la fucó y f (), y las rectas,...,. Ua buea apromacó al área bajo la curva de f (), se obtee dvdédola e fajas de logtud y apromado el área de cada faja medate u trapeco, como se muestra e la sguete lustracó:

7 5 Ilustracó Por la defcó de tegral defda, el área que teresa calcular está dada por: f ( ) d Se cosdera que la dstaca etre cada ua de las parejas de valores de la abscsa:, es costate; y se deota como (,,,..., ). S se ombra a la ordeada de la fucó f e la abscsa como y f ) para,,,...,, etoces, las áreas de los trapecos A,,,...,, estará defdas por: ( A ( y + y ) + () E cosecueca, el área compredda etre la fucó y f (), el eje de las abscsas, y las rectas y será, apromadamete, la suma de las áreas de los trapecos, es decr:

8 6 A A ( y + y ) + ( y + y ) + + ( y + y ) Ahora, al agrupar los térmos de esta suma, adecuadamete, se obtee: A A ( y + y + y + + y + y + y ) A y + y + y () La ecuacó () es deomada como REGLA DEL TRAPECIO, e tato que la ecuacó () se cooce como REGLA COPUESTA DE LOS TRAPECIOS. A maera de aclaracó, detro de la tegracó umérca, se acostumbra deomar FÓRULA COPUESTA, a las ecuacoes que se obtee a través de la aplcacó repettva de las fórmulas báscas de tegracó, adaptadas para cubrr tervalos más amplos. Es claro desde el puto de vsta tutvo, que s el valor de crece y se repte la costruccó sobre el tervalo [, ], se obtedrá u úmero mayor de dvsoes, y se podrá mejorar la apromacó del área buscada, frete a la cuatfcacó ateror. Es decr, el error cometdo al apromar la tegral de la fucó (), f e el tervalo [ ] trapecos, será cada vez meor., a través de la regla compuesta de los Todo lo que se ha plateado a vel geométrco parece ser correcto; s embargo, es mportate coocer más a fodo el fudameto matemátco de este efoque del problema. Es decr, determar bajo qué codcoes específcas, se puede esperar que este plateameto aprome, adecuadamete el área que

9 7 se desea cuatfcar. Además, sería coveete cotar co ua acotacó del error cometdo e uestra apromacó. 4. Fudametos atemátcos Del étodo De Los Trapecos: La Iterpolacó Polomal. Para justfcar, matemátcamete, al método de los trapecos se debe obteer ua maera de reemplazar la fucó f (), que orgalmete se desea tegrar, por otra fucó g (), que es ua buea apromacó, de f (), e los putos co,,,...,. Es decr, s f ) g( ),, co,,,...,,, ( f ( ) d g( ) d. Ambas fucoes, evdetemete, debe cumplr la codcó de tegrabldad establecda de atemao (Proposcó ). Es decr, so cotuas e el tervalo de tegracó [, ]. Lógcamete, surge la preguta acerca de qué fucoes permte realzar esta apromacó ta partcular. Las fucoes que permte realzar esta accó so, las aplcacoes polomales. El fudameto de esta afrmacó lo establece el TEOREA DE APROXIACIÓN DE WEIERSTRASS. El resultado e mecó se euca s demostracó: Proposcó (Teorema De Apromacó De Weerstrass). S f () es ua fucó cotua e el tervalo [, ], etoces, dado cualquer ε > 0, este u, ( ε ), y u polomo P () de grado, tales que:

10 8 f ) P ( ) < ε, [, ]. ( Es decr, la Proposcó garatza que: ua fucó f, cotua e u tervalo fto cerrado, puede ser apromada, tato como se desee, utlzado u polomo de terpolacó, de grado sufcetemete elevado. Los teresados e ua demostracó rgurosa de la Proposcó puede ubcarla e BARTLE, Robert G. Itroduccó al aálss matemátco, [, 99]. Coocedo este resultado, se procede a estudar u tpo partcular de polomo de terpolacó: el polomo de terpolacó de Lagrage. 4.. El Polomo De Iterpolacó De Lagrage. Para costrur el polomo de terpolacó de Lagrage, se asume que se cooce putos del plao cartesao, ( y )(,, y ),,(, y ), o está gualmete espacadas. cuyas abscsas, Etoces, s se deoma a la ordeada de la fucó f e la abscsa como y f ) co,,,...,, el polomo de terpolacó de Lagrage de orde ( para estos putos está defdo por la fucó: P ( ) L ( ) f ( ) () dode: L ( ) j j ( j ) j ( ) (4)

11 9 A cotuacó se prueba alguos resultados báscos de los polomos de terpolacó de Lagrage. Proposcó 4. La fucó P () defe a u polomo de grado, a lo sumo. Demostracó: El fudameto de la prueba, que es medata, se ecuetra e las característcas de las operacoes dcadas e las ecuacoes () y (4). E la ecuacó (4), debemos observar que, para,,,...,, se cumple, por costruccó, que: Todos los L (), cosste e fucoes racoales, dode umerador y deomador cosste e el producto de dferecas de valores coocdos (las costates ), y descoocdos (la varable ). El deomador de cada L (), es u úmero real (puesto que el producto de dferecas de úmeros reales, es otro úmero real). El umerador de cada L (), o es más que la represetacó factorzada del polomo cuyas raíces so, precsamete, los valores j, j,,,...,, j. E cosecueca, cada L () puede ser represetado por ua epresó de la forma:

12 0 L ( ) α j j ( ), j (5) dode α ( ) j j j Luego, a través de operacoes algebracas fudametales, el membro derecho de la ecuacó (5) puede ser llevado a la forma: L ( ), α ak k a k 0 0 α 0 La últma afrmacó, susteta el hecho de que P () es la suma de fucoes polomales, multplcadas por costates reales coocdas, es decr, es ua fucó de la forma: P ( ) a, a 0 0 dode los a,,,,..., se defe co base a operacoes algebracas fudametales sobre los a k, k,,,...,. Es decr, P () es u polomo de grado a lo sumo. Proposcó 5. El polomo P () posee raíces, cuado mucho.

13 Demostracó. Es medata, pues es amplamete coocdo que u polomo de grado a lo sumo, posee raíces, cuado mucho, co base a los teoremas de descomposcó prmara de polomos (ver LANG, Serge. Álgebra leal, [, 8-]. Proposcó 6. El polomo P () satsface los valores coocdos de la fucó y f ( ),,,,...,. Demostracó. Es medata, puesto que al evaluar a L () e cada uo de los putos, co k,,,...,, se obtee: k, k L ( k ) 0, k y como P ( ) L ( ) f ( ) Se obtee que, al evaluar a P () e u valor, cualquera, todos los sumados de la epresó se aulará (cuado Luego, la epresó se reduce a: k k ), salvo uo (dode k ).

14 P ) 0 f ( ) + 0 f ( ) + + f ( ) f ( ) f ( ) (6) ( k k k y la ecuacó (6) se satsface para k,,,...,, es decr, el polomo de terpolacó de Lagrage satsface, por costruccó, a los valores coocdos de la fucó f. Proposcó 7. El polomo P () es el úco que tee las característcas ates señaladas e las proposcoes 4, 5 y 6. Demostracó. La ucdad de P () se prueba por reduccó al absurdo. Así, se cosdera que este otro polomo de grado a lo sumo, que se deoma como Q (), y satsface a la ube de putos dada, es decr: y P ( ) Q ( ),,,,..., Lógcamete, se asume que Q () es dstto de P (), e los otros putos del tervalo defdo por [, ], es decr: [, ],,,,...,. P ( ) Q ( ), Se costruye otro polomo R (), dado por la dfereca etre Q () y P (), es decr: R( ) P ( ) Q ( )

15 Puesto que P () y Q () so ambos de grado, a lo sumo, el grado de R () debe ser meor o gual que, por costruccó ( ). Por otro lado, como P ) Q ( ),, co,,,...,, se deduce que R () se ( aula e putos del plao, es decr, R () es u polomo de grado ( ). Como las afrmacoes ( ) y ( ) so mutuamete cotradctoras, terma la prueba y se cocluye que el polomo de terpolacó de Lagrage es el úco que tee las característcas ates tratadas. Se debe observar que, todo lo ates epuesto, garatza la sguete proposcó: Proposcó 8 (Esteca Y Ucdad Del Polomo De Iterpolacó De Lagrage). S la fucó f es cotua e el tervalo [, ], etoces se puede costrur u úco polomo de terpolacó de Lagrage P () de grado, a lo sumo, tal que: f ( ) P ( ),,,,..., y que: f, [ ] ( ) P ( ),

16 4 4.. Costruccó Aalítca Del étodo De Los Trapecos. Ahora, s se replatea uevamete el problema e estudo (resolver tegrales defdas), utlzado toda la teoría prevamete costruda, se puede efretar la demostracó de la Proposcó desde u puto de vsta aalítco y rguroso. Proposcó (Regla Compuesta De Los Trapecos). Se cosdera ua fucó y f (), así como las rectas,...,. Se supoe que la dstaca etre cada ua de las parejas de valores de la abscsa, es costate y se deota como (,,,..., ). Etoces: f ( ) d y + y + y Dode se deota a la ordeada de la fucó f e la abscsa como y f ) para,,,...,. ( Demostracó. Las propedades báscas de la tegral defda permte afrmar que: f ( ) d f ( ) d + f ( ) d + + f ( ) d dode, [, ],,,,...,. Para cada subtervalo [ ] co,,,...,, se costruye el polomo de, + terpolacó de Lagrage respectvo. Su ecuacó está dada por:

17 5 ( + ) ( ) ( ) ( ) P ) f ( ) + f ( ), (7) ( dode,,,...,. La ecuacó (7) puede ser replateada, al factorzarla adecuadamete, como: P f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) + (8) + + Para obteer ua dea de lo que represeta la ecuacó (8), se debe observar que smbolza la formulacó aalítca de ua líea recta, e la forma pedeteordeada e el orge, plateada e base a los valores coocdos de la fucó e los etremos del tervalo [ ] co,,,...,., + Luego, al tegrar a ( ) P e el tervalo [ ] se obtee:, + + ( )[ f ( ) + f ( )] [ f ( ) f ( )] + + P ( ) d + + ya que por hpótess, es coocdo que, co,,...,. Ahora, el Teorema de apromacó de Weerstrass (Proposcó ) garatza que, e el tervalo [ ], P ( ) represeta ua buea apromacó de la, + fucó f, de modo que se puede afrmar que: + + ( ) d P f ( ) d (9) De este modo, al reemplazar cada ua de las tegracoes de f () por su respectva apromacó, a través de la tegracó de P ( ) e cada uo de los subtervalos, se obtee:

18 6 f ( ) d ( y + y ) + ( y + y ) + + ( y + y ) ( y + y + y + + y + y + y ) y + y + y recordado que y f ) co,,,...,, lo que completa la prueba de la proposcó. ( 5. El Error Por Trucameto E El étodo De Los Trapecos. Aú está presete la cógta de qué ta precsa es la apromacó realzada por el método de los trapecos, frete a la que se obtedría s se pudera realzar la tegracó aplcado los coceptos de atdervada. A cotuacó, se preseta resultados que so coocdos y que despeja esta cógta. Se ombrará como ERROR POR TRUNCAIENTO, a la dfereca que este etre u valor, que se cosdera precso y eacto, y otro valor, que aproma al valor precso y eacto. Segú este plateameto, se tee que determar, e prmer térmo, cual es el grado de apromacó que garatza el polomo de terpolacó de Lagrage, es decr, cuatfcar ua fucó Ε () de modo que: f, [ ] ( ) P ( ) + Ε( ), e cosecueca:

19 7 Ε ( ) f ( ) P ( ) A cotuacó se euca, s demostracó, u proposcó dode se defe el valor de Ε () que satsface la últma gualdad. Proposcó 9. S la fucó f es cotua e orde ( +) cada [, ], este u úco λ (, ), tal que: e el tervalo [, ], etoces, para f ( ) P ( ) + E( ) dode P () es el polomo de terpolacó de Lagrage de grado, de la fucó f e [, ], y E () se defe como: E( ) f ( + ) ( λ)! ( + ) ( ) (0) co ( +) f deotado a la dervada de orde + de la fucó f. Es decr, la Proposcó 9 garatza que este ua fucó polomal, que acota el error que se comete al terpolar a ua fucó cualquera utlzado polomos de terpolacó de Lagrage. Los teresados e ua demostracó rgurosa de la Proposcó 9 puede ubcarla e NAKAURA, Shochro. étodos umércos aplcados co software, [6, 57].

20 8 Ahora se Cosdera como acotar a E ( ) d detro de uo de los subtervalos de [, ], por ejemplo [, ],,,,. realzar dcha acotacó. La sguete proposcó permte Proposcó 0. S la fucó f es cotua de orde e el tervalo [, ], etoces: ( ) + + E( ) d + ( f ( ) P ( )) d dode: ( ) { f ( ),: }. ma + Demostracó. Para el caso partcular e estudo, se debe recordar que P () represeta a ua fucó leal (ecuacó (7)), de modo que la ecuacó (0) se puede reducr a: ( ) f ( λ) E( ) + ( )( ) f ( ) P ( ) () dode [ ]., + Ahora, se debe garatzar la esteca de [ ] λ para que la ecuacó (), + tega setdo. Así, se represetará al mámo y mímo locales de f ( ) e [ ], como, respectvamete. Puesto que f es cotua de orde, + m

21 9 e el tervalo [, ], el teorema del valor termedo permte afrmar que [ ] λ tal que:, + m ( ) f ( λ ) () S se aplca la desgualdad () e la ecuacó (), de modo que se calcule ua acotacó, se obtee que: E f ( ) ( λ) ( ) + + ( )( ) ( )( ) () Al tegrar la desgualdad (), membro a membro, e el tervalo [ ], se obtee que:, + + E( ) d ( )( ) + d + + E ) d ( )( + ) d ( (4) pues o depede de e todo el tervalo [, ], y como: + ( )( ) ( ) + + d (5) al reemplazar la ecuacó (5) e la desgualdad (), y aplcar las reglas comues del álgebra, se logra:

22 0 + E( ) d ( ) + ahora, se debe recordar que: ( ) ( + ) + falmete, se realza la mayoracó: ( ) + + E( ) d + ( f ( ) P ( )) d dode: ( ) { f ( ),: }. ma + Corolaro. S la fucó f es cotua e orde ( ) cometdo al apromar a ser mayor que: e el tervalo [, ], etoces, el error f ( ) d utlzado el método de los trapecos, o puede E( ) d < ( ) ( ) dode: ( ) { f ( ),: }. ma

23 Demostracó. La aplcacó sucesva de la Proposcó 0, a lo largo de todo el tervalo [, ], coduce a la desgualdad: ( ) + E( ) d E( ) d + + E( ) d (6) Además, al recordar que la dstaca etre cada uo de los valores de la abscsa es costate, y se tee subtervalos e [, ], de modo que: + ( + ) (7) luego, reemplazado la ecuacó (7) e la ecuacó (6), se obtee: E( ) d ( ) ( ) Ahora, como Ν > 0, luego se puede afrmar, s pérdda de geeraldad, que: E( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Por otro lado, sea ma{,,, }, como,,,,. Al mayorar a todas las por, se obtee la epresó:

24 E( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) < luego, al realzar las operacoes dcadas e la sumatora, se logra falmete que: E( ) d < ( ) ( ) (8) lo que culma la prueba. Corolaro. S la seguda dervada de la fucó f es ula, [, ], etoces el resultado obtedo a través de la aplcacó del método de los trapecos, e dcho tervalo, será eacto. Demostracó. Basta co observar que al costrur la cota del error e el Corolaro, se asume, mplíctamete, que 0, es decr, se trabaja co base de que la seguda dervada de la fucó f e el tervalo [, ], o se hace cero, pues s se aulara e dcho tervalo, la desgualdad (8) sería acotada por u valor ulo. 6. Dos Ejemplos Elemetales Del étodo De Los Trapecos. Para lustrar la forma e que se debe aplcar el método de los trapecos, presetamos, a cotuacó, dos ejemplos elemetales.

25 Apromar a ( ) + d utlzado 5 subtervalos y estme ua cota del error cometdo e la tegracó del prmer subtervalo (trabaje s cfras decmales). 5 0 Se tee que 5 Por otro lado, los cálculos de los valores de las ordeadas se resume e el sguete cuadro: k f()+ kf() Suma 60 Falmete, el valor de la tegral será: I ()(60) 0. Por otro lado, fáclmete se puede comprobar que la seguda dervada de la fucó a tegrar se aula e todo el tervalo de tegracó, por lo que el valor ates obtedo para la tegral, es eacto.

26 4 Apromar a d utlzado 5 subtervalos y estme ua cota del error cometdo e la tegracó del prmer subtervalo (trabaje co 5 cfras decmales). Teemos que Por otro lado, los cálculos de los valores de las ordeadas los teemos resumdos e el sguete cuadro: k f()/ kf() Suma Falmete, el valor de la tegral será: I (0.)(6.9565)

27 5 Por otro lado, fáclmete se puede comprobar que la seguda dervada de la fucó a tegrar o se aula e todo el tervalo de tegracó, puesto que: d 0, d 0 0, [,]. por lo que el valor ates obtedo para la tegral, o es eacto. Para cuatfcar el error cometdo e la apromacó, se aplca la ecuacó (8). Se debe observar que el valor mámo de la seguda dervada del tegrado, se preseta cuado la varable asume el valor. Luego, se puede afrmar que: Por otro lado, es obvo que, 5, de modo que uestra cota del error cometdo será: ( ) ( ) ( ) ( 5 ) E( ) d < % es decr, el porcetaje de error cometdo o es mayor que u.%, al comparar el valor obtedo al aplcar el método de los trapecos, frete al que se obtedría s realzamos la tegracó utlzado métodos eactos.

28 6 7. Otras Fórmulas De Itegracó Apromada. Se puede repetr la costruccó de polomos de terpolacó de Lagrage, aplcado fórmulas de terpolacó de mayor grado, de modo que se obtee fórmulas de tegracó apromada, más precsas que las obtedas hasta el mometo. Esta afrmacó se basa e lo establecdo por el teorema de Weerstrass (Proposcó ). Al ser realzado este proceso, e geeral, se obtee las FÓRULAS DE NEWTON-COTES. Las Fórmulas de Newto-Cotes tee la forma geeral: f ( ) d C c y Detro de ellas, el método de los trapecos es u caso partcular, pues s, C, c c, obteemos a la fórmula de los trapecos para el tervalo [ ]., Otro método de tegracó umérca, muy coocdo, que se derva como otro caso partcular de las Fórmulas de Newto-Cotes es la Regla de Smpso de, cuya formulacó está dada por: f ( ) d y + 4 y + y + + y (9)

29 7 Dode y f ) co,,,...,. El método, tal como aparece plateado e la ( ecuacó (9), requere que el úmero de valores coocdos y f ) sea mpar, es decr; k +, k Ν. ( La regla de Smpso tee su orge al realzar la apromacó de la fucó f e el tervalo [, ], utlzado u polomo de terpolacó de Lagrage de segudo grado. Su setdo geométrco cosste e apromar la fucó utlzado ua parábola, e vez de la líea recta que utlza el método de los trapecos. Se puede obteer mayores detalles acerca de éste método e la bblografía que acompaña a este documeto. 8. Observacoes Fales. Co base a lo que se ha tratado e esta eposcó, o se debe pesar que la tegracó apromada es u tema completamete resuelto. E efecto, el cotrol de los dsttos tpos de error que se volucra e los procesos de cálculo, prcpalmete a realzar la apromacó práctca de la tegral, preseta problemas que aú o ha sdo resueltos a satsfaccó. Así, a maera de estímulo para la vestgacó e el tema, se puede señalar alguas de estas stuacoes problema, así como alguas referecas bblográfcas dode se puede profudzar e dchos tópcos. Hasta este mometo, sólo se trató el caso del error por trucameto e la apromacó trapezodal, asumedo que todos los cálculos volucrados e el proceso so eactos y precsos (es decr, se cueta co ua catdad fta de

30 8 cfras decmales e cada uo de los úmeros volucrados e las operacoes artmétcas). S embargo, este otros tpos de errores mersos e el proceso de apromacó de la tegral, que depede de la catdad de cfras sgfcatvas que se mapula, y cotrbuye a que la respuesta obteda por el método, varíe más de lo que se podía esperar. Por otro lado, la reduccó descotrolada de la logtud de los subtervalos, y e cosecueca el aumeto de la catdad de subtervalos, e combacó co la cosderacó de los errores por redodeo acumulado e los cálculos, coduce a otro problema: la pérdda de covergeca a la solucó buscada. Es decr, elevar la catdad de subtervalos de maera arbtrara, o coduce, e la práctca, a u aumeto e la precsó de los cálculos. ás allá de certas proporcoes, dcho cremeto hace que el error por trucameto sea reemplazado por errores por redodeo, de mayor tesdad que los reemplazados. Ua dscusó ampla acerca de estos temas se ecuetra e CCRAKEN, Dael D., y DORN, Wllam S. étodos umércos y programacó FORTRAN, [5, 8]. Todo lo ates señalado dca que la tegracó umérca es u tema dode se puede realzar descubrmetos y avaces del coocmeto e las Cecas Eactas.

31 9 9. Referecas Bblográfcas. ALLEN SITH, W. Aálss Numérco. Traducdo por Fracsco Javer Sáchez Berabe. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Pretce-Hall, págas.. BARTLE, Robert G. Itroduccó al aálss matemátco. Traducdo por aría Crsta Gutérrez Gozález. Prmera edcó. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Norega Lmusa, págas.. BURDEN, Rchard L., y FAIRES, J. Douglas. Aálss umérco. Traducdo por Smó ochó C. Prmera Edcó. éco D.F., éco: C.E.C.S.A., págas. 4. CHAPRA, Steve, y CANALE, Raymod P. étodos umércos para geeros co aplcacoes e computadoras persoales. Traducdo por Carlos Zapata S. Prmera edcó. éco D.F., éco: cgraw-hll, págas. 5. CONTE, S. D., y DE BOOR, Carl. Aálss umérco. Traducdo por Herado Alfoso Castllo. Seguda Edcó. éco D.F., éco: cgraw-hll, págas. 6. GERALD, Curts. Aálss umérco. Traducdo por Jame Lus Valls Cabrera. Prmera Edcó. éco D.F., éco: Represetacoes y Servcos de Igeería, págas.

32 0 7. JAES, erl L, SITH, Gerald., y WOLFORD, James C. étodos umércos aplcados a la computacó dgtal co FORTRAN. Traducdo por José A. Neto Ramírez. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Represetacoes y Servcos de Igeería, págas. 8. HAASER, Norma B., LASALLE, Joseph P., y SULLIVAN, Joseph A. Aálss matemátco : Curso de troduccó. Traducdo por Federco Velasco Coba. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Trllas, págas. 9. HENRICE, Peter. Elemetos de aálss umérco. Traducdo por Federco Velasco Coba. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Trllas, págas. 0. KAPLAN, Wlfred. Cálculo avazado. Traducdo por guel Lara Aparco. Prmera Edcó. éco D.F., éco: C.E.C.S.A., págas.. KITCHEN, JR., Joseph W. Cálculo. Traducdo por Lorezo Abellaas Rapú. Prmera Edcó. éco D.F., éco: cgraw-hll, págas.. LANG, Serge. Álgebra leal. Traducdo por guel Lara Aparco. Prmera Edcó, éco, D. F. éco: págas.. LEITHOLD, Lous. El cálculo co geometría aalítca. Traducdo por Atoo Eroles Gómez. Seta Edcó. éco D.F., éco: Harla, págas.

33 4. LUTHE, Rodolfo, OLIVERA, Atoo, y SCHUTZ, Ferado. étodos umércos. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Lmusa, págas. 5. CCRAKEN, Dael D., y DORN, Wllam S. étodos umércos y programacó FORTRAN. Traducdo por José A. Neto Ramírez. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Lmusa, págas. 6. NAKAURA, Shochro. étodos umércos aplcados co software. Traducdo por Oscar Alberto Palmas Velasco. Prmera Edcó. éco D.F., éco: Pretce-Hall, págas. 7. NIKOLSKI, S. Fórmulas de cuadratura. Traducdo por K. P. edkov. Prmera Edcó. oscú, U.R.S.S.: r, págas. 8. RALSTON, Athoy. Itroduccó al aálss umérco. Traducdo por Carlos E. Cervates de Gortar. Prmera edcó. éco, D.F., éco: Lmusa, págas. 9. SCHEID, Fracs. Aálss umérco. Traducdo por Herado Aloso Castllo. Prmera Edcó. éco D.F., éco: cgraw-hll, págas. 0. SCHEID, Fracs, y D Costazo, Rosa Elea. étodos umércos. Traducdo por Gabrel Nagore Cázares. Seguda Edcó. éco D.F., éco: cgraw-hll, págas.. STIEFEL, Eduard. Itroduccó a la matemátca umérca. Traducdo por guel Jeréz Jua. Tercera Edcó. Barceloa, España: Labor, págas.

34 . SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo co Geometría Aalítca. Traducdo por José L. Abreu y artha Olvero. Seguda Edcó. éco D.F., éco: Grupo edtoral Iberoamérca, págas.