7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

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1 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS 7 FUNIÓN DE TRANSFERENIA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Introucción Trabajar en el omio e Laplace no olamente e útil para la reolución matemática e ecuacione o que e preta epecialmente para er utilizao con el concepto e función e tranferencia. En general un proceo recibe una entraa u(t) genera una alia (t). Si lleamo eta eñale al omio e Laplace tenremo una entraa U() que genera una alia (). La función que relaciona alia con entraa e enoma función e tranferencia g(). De moo que () = g() U(). Sitema e primer oren Se enoman itema e primer oren a aquello en lo que en la ecuación general aparece olamente la eriaa primera el lao izquiero (el e la ariable e etao). O ea que e reucen al formato iguiente: u one e enoma ganancia el proceo e la contante e tiempo el itema. En general encontraremo que la ecuación etá ecrita en función e la ariable eiación repecto al alor e etao etacionario. Por lo tanto en general (0) = 0, u(0) = 0. Tomano tranformaa e Laplace 0 U U U eamo un ejemplo: un tanque completamente agitao que recibe un caual e le extrae el mimo caual: ILM g g U U

2 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Del balance e materia omo e contante porque entra ale el mimo caual Etao etacionario: / = 0 ; =. Por lo tanto ue e e la forma one = /, =, u = u Repueta e itema e primer oren a iferente entraa Seguimo manejánono con el equema one g Ecalón e magnitu U a tiempo t = 0 Sabemo que LU U Por lo tanto U ILM

3 (mol/m3) alia aimenional DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Tomano antitranformaa O bien t t U e ue ecrito en forma aimenional e - L e t t t e U t/tau Por ejemplo: conieremo un tanque e = 5m 3 con = m 3 /m, concentración en etao etacionario.5 mol/m 3. onierar un cambio en la concentración e entraa ee.5 mol/m 3 a.75 mol/m 3. U = 0.5 mol/m 3 = 5 m U Por lo tanto la repueta en el omio el tiempo erá U t 5 t 0.5 e Sieno la ariable reucia por lo que la concentración en el tanque erá t e t t (m) er ejem7..ce ejem7..co (ete último en Scico). ILM 3

4 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS onocieno la repueta e una función e primer oren a un ecalón en la entraa e pueen etimar lo parámetro e la función e tranferencia el proceo: Etimación e la ganancia: O bien lim 0 G t U t U Etimación e la contante e tiempo: Ientificano el alor e tiempo en el cual la repueta ale 0.63 el alor fal: U e 0.63 U O bien ealuano en t = 0 t0 U e U t Ejemplo: El operaor e un proceo realiza un cambio en el caual e entraa paano e 0 a 7.5 gal/m encuentra que la preión cambia e 50 a 55 pig como e muetra en la figura pig pig U gpm gpm U e 0.63 U P pig 5m ILM 4

5 alia aimenional DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Impulo L Aδ A U A t A e t - L t e O en forma aimenional t A e t t/tau Proceo autorregulao Son aquello en lo cuale un cambio en la ariable e entraa conuce a un nueo etao etacionario en forma automática. Por ejemplo lo itema e primer oren. eamo un ejemplo: un RAI con una reacción química e primer oren r = Del balance e maa En etao etacionario / = 0 Retano la ecuación e balance en etao etacionario ILM 5

6 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS ILM 6 ue e e la forma con éae ejem7..ce. Otro ejemplo: RAI con reacción química e º oren r = En etao etacionario / = 0 Si lealizamo la función ue también e e la forma con er ejem7.3.ce. u u 0 4 f f u u

7 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Sitema e primer oren má tiempo muerto Mucha ece en lo proceo utriale e troucen tiempo muerto; particularmente en la utria química uelen aociare al tranporte e fluio por cañería. Por ejemplo, en el iguiente equema, i e prouce un cambio en la concentración e entraa puee emorar un cierto tiempo en que icho cambio llegue a la entraa el tanque. La forma general e eto proceo erá ut θ en el ejemplo que etamo ieno erá = tubería / por lo que * t t θ Del balance e maa en el tanque * t θ Llamano u =, =, = / tomano tranformaa 0 e U e U e U g e U g U e Si en un proceo e primer oren con tiempo muerto ha un cambio en ecalón e magnitu U a tiempo t = 0 LU U e U ILM 7

8 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS antitranformano U e t 0 para 0 t t U 0.6 t e para t 0.5 U = 0.5 a t = = [uniae alia/entraa] = 5 m = 5 m t (m) Proceo tegraore eamo el iguiente ejemplo: ea un tanque e almacenamiento, con área traneral 00 ft, icialmente etá entrano alieno el caual = out = 5 ft 3 /m, h 0 = 4 ft, tanque = 0 ft. A la :00 pm el flujo e entraa e cambia a 6 ft 3 /m. Del balance global e maa como el área traneral e contante Retano la olución e etao etacionario Si el flujo e alia e contante antitranformano ue e e la forma u i llamamo h h A Tomano tranformaa 0 h h t A ft / m h 4 ft t 00 ft out h A A out h h ILM 8 A h h u A U 0 t U u u t 0 A out out

9 h (ft) DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Reolieno por ejemplo para h = 0 ft 0 00 ft t ft / m ft 4 ft 600 m hr tiempo (m) Proceo caracterizao por má e una ariable uano un proceo etá caracterizao por má e una ariable e etao, la() alia() puee(n) etar aa() por aria funcione e tranferencia. onieremo por ejemplo un tanque agitao calentao eléctricamente, a caual contante. Del balance e energía T w T T Si el proceo etaba icialmente en etao etacionario 0 w, T T Entonce T T T T T w, T T T T T T, w w O ecribieno en ariable eiación T T T w w El térmo /w tiene uniae e tiempo puee llamare, la contante e tiempo el itema. A u ez /w puee enomare K, la ganancia el itema, pue relaciona la ariable e entraa con la e alia en etao etacionario: T T en e. e. w ILM 9

10 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS O ea que ecribimo T T T K Tomano tranformaa como T (0)=0 T T L L T T K T T K T K T T G G T Para concretar má el ejemplo, upongamo que el tanque agitao e e.60 ft 3, opera con un flujo e 00 lb/m e un líquio con = 0.3 Btu/lbºF = 6.4 lb/ft 3. Se ha alcanzao el etao etacionario con un flujo e calor e 90 Btu/m una temperatura e entraa e 70ºF. alcular la repueta e un itema frente a un cambio úbito e la temperatura e entraa a 90ºF. omo el e mantiene contante ólo ebemo ocuparno e hallar la G (), relacionaa con T ft 6.4lb ft 0.5 m w 00lb m Entonce Debemo ecribir la ecuacione en ariable eiación. Para ello calculamo la temperatura e etao etacionario: la eñal e entraa en forma e ecalón e: Multiplicánola por la G Antitranformano G ecribiénolo en ariable reale Btu m T T, 70º F 00º F w 00lb m 0.3 Btu lb.º F T T t t 0 e T ILM 0

11 T (ºF) T (ºF) DINÁMIA ONTROL DE PROESOS T t t 00 0 e t (m) oniéree ahora que al mimo tiempo que la temperatura e entraa aumenta a 90ºF el flujo e calor e cambiao a 600 Btu/m Ambo cambio en la eñale e entraa contribuen al cambio en la eñal e alia. Eto e equematiza con el iguiente iagrama e bloque: T Ahora T K m K 00lb m 0.3 Btu lb.º F.560 º F Btu m T T t t 00 5 e t (m) er ejem7..co. ILM

12 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Proceo en erie La función e tranferencia e proceo en erie reulta e multiplicar la funcione e tranferencia correponiente a caa proceo por eparao. onieremo por ejemplo o tanque en erie (itema lealizao) Del balance e materia para el primer tanque Suponieno que el caual e alia e leal con la altura Por lo que utitueno en la anterior En ariable eiación Tomano tranformaa h A q q h R h A q q h A q q h R R K A R R K q h R Del mimo moo para el eguno tanque h A q q q h R R K A R R K Poemo relacionar toa eta funcione e tranferencia ILM

13 DINÁMIA ONTROL DE PROESOS Puee ere claramente que la función e tranferencia total e el proucto e la función e tranferencia el primer proceo ( /( +) ) e la el eguno ( /( +) ). La repreentación en un iagrama e bloque ería K K K K ILM 3