0.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

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1 CONTENIDOS:.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA INTRODUCCIÓN....- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA CONTRASTE DE HIPÓTESIS PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE INTERVALOS DE CONFIANZA PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS Objetivos fudametales: 1. Coocer y saber determiar los itervalos de cofiaza para la media de ua població ormal, así como para la proporció de ua població biomial. Calcular el tamaño de ua muestra y el error máximo admitido, para la media de ua població ormal. 3. Calcular el tamaño de ua muestra y el error máximo admitido, para la proporció de ua població biomial. 4. Recoocer la importacia de los cotrastes de hipótesis así como su cálculo (tets óptimos), para la toma de decisioes (sólo cotrastes bilaterales para la media y la proporció).- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Desde los comiezos de la civilizació ha existido formas secillas de estadística, pues ya se utilizaba represetacioes gráficas y otros símbolos e pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para cotar el úmero de persoas, aimales o ciertas cosas. Hacia el año 3 a.c. los babiloios usaba ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos e tablas sobre la producció agrícola y de los géeros vedidos o cambiados mediate trueque. Los egipcios aalizaba los datos de la població y la reta del país mucho ates de costruir las pirámides e el siglo XXXI a.c. Los libros bíblicos de Números y Cróicas icluye, e alguas partes, trabajos de estadística. El primero cotiee dos cesos de la població de Israel y el segudo describe el bieestar material de las diversas tribus judías. E Chia existía registros uméricos similares co aterioridad al año a.c. Los griegos clásicos realizaba cesos cuya iformació se utilizaba hacia el 594 a.c. para cobrar impuestos. Cipri Departameto de Matemáticas 1

2 El Imperio romao fue el primer gobiero que recopiló ua gra catidad de datos sobre la població, superficie y reta de todos los territorios bajo su cotrol. Durate la edad media sólo se realizaro alguos cesos exhaustivos e Europa. Los reyes calorigios, Pipio el Breve y Carlomago, ordearo hacer estudios miuciosos de las propiedades de la Iglesia e los años 758 y 76 respectivamete. Después de la coquista ormada de Iglaterra e 166, el rey Guillermo I de Iglaterra ecargó u ceso. La iformació obteida co este ceso, llevado a cabo e 186, se recoge e el Domesday Book. El registro de acimietos y defucioes comezó e Iglaterra a pricipios del siglo XVI, y e 166 apareció el primer estudio estadístico otable de població, titulado Observatios o the Lodo Bills of Mortality (Cometarios sobre las partidas de defució e Lodres). U estudio similar sobre la tasa de mortalidad e la ciudad de Breslau, e Alemaia, realizado e 1691, fue utilizado por el astróomo iglés Edmud Halley como base para la primera tabla de mortalidad. E el siglo XIX, co la geeralizació del método cietífico para estudiar todos los feómeos de las ciecias aturales y sociales, los ivestigadores aceptaro la ecesidad de reducir la iformació a valores uméricos para evitar la ambigüedad de las descripcioes verbales. E uestros días, la estadística se ha covertido e u método efectivo para describir co exactitud los valores de datos ecoómicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramieta para relacioar y aalizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico o cosiste ya sólo e reuir y tabular los datos, sio sobre todo e el proceso de iterpretació de esa iformació. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumetado el alcace de las aplicacioes de la estadística. Muchos cojutos de datos se puede aproximar, co gra exactitud, utilizado determiadas distribucioes probabilísticas; los resultados de éstas se puede utilizar para aalizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las iferecias estadísticas y para predecir el tipo y la catidad de datos ecesarios e u determiado estudio estadístico. 1.- INTRODUCCIÓN La Iferecia Estadística es ua parte de la Estadística que comprede los métodos y procedimietos para deducir propiedades (hacer iferecias) de ua població, a partir de ua pequeña parte de la misma (muestra). La bodad de estas deduccioes se mide e térmios probabilísticos, es decir, toda iferecia se acompaña de su probabilidad de acierto. Nuestro objetivo e esta uidad es el de dar u itervalo para la media de ua població, que supodremos que se distribuye ormalmete, y que es u dato descoocido, así como dar el itervalo de cofiaza para la proporció muestral de ua distribució biomial. E ua primera aproximació, se podría pesar que es más adecuado hacer ua estimació putual, es decir, dar u valor cocreto para la media o para la proporció, pero este valor rara vez coicidirá co la media descoocida o co la proporció, por lo que es mucho más iteresate cocluir la iferecia co u itervalo de posibles valores para la media o la proporció. Co objeto de aumetar la precisió de la iferecia, será deseable que el itervalo tega la meor logitud posible, y de hecho el itervalo de cofiaza que daremos e ambos casos es el óptimo..- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Al itervalo p q pq pz/, pz / Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

3 se le llama itervalo de cofiaza para la proporció muestral: e este caso la cofiaza es 1. El valor 1 da el ivel de cofiaza y mide la probabilidad que se tiee de que la proporció muestral perteezca al itervalo de cofiaza. Si la cofiaza es 1, suele decirse que el ivel de sigificació es (medida del riesgo que asumimos). p z p q p p p z Itervalo de cofiaza 1 p q EJEMPLO 1: E ua determiada població se toma ua muestra de 56 persoas al azar. De esta muestra, el % de las persoas lleva gafas graduadas y el 8% restate o. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal de las persoas que lleva gafas graduadas co u ivel de cofiaza del 95%. Sabemos que p q pq P pz/, pz / y queremos que pq pq P pz / P pz / 1 dode e uestro caso 1,95 95%. Por los datos del problema p,, q 1,,8, 56 y z 1,96. Por tato, el itervalo pedido es:,,8,,8, 1,96,, 1,96,151,, Es decir, etre el 15,1 y el 4,9% de la població lleva gafas graduadas. EJEMPLO : Se sabe que de cada 5 persoas vota a u determiado partido político. Se pide: a) Estimar la proporció de votates. b) Calcular, co u ivel de cofiaza del 99 %, el itervalo de cofiaza e el que se ecotrar dode a) La proporció es p, 4 5 b) El itervalo de cofiaza pedido es: p q pz /, pz/ p, 4, q 1, 4, 6, 5 y z,58. Cipri p q Departameto de Matemáticas 3

4 Por tato, el itervalo es, 4,6, 4,6, 4,58,,4,58,3435,, esto es, etre el 34,35 y el 45,65% de la població votará a ese partido político. 3.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Al itervalo 1 X Z/, X Z/ se le llama itervalo de cofiaza para la media poblacioal; e este caso la cofiaza es 1. El valor 1 da el ivel de cofiaza y mide la probabilidad que se tiee de que la media poblacioal perteezca al itervalo de cofiaza. Si la cofiaza es 1, suele decirse que el ivel de sigificació es (medida del riesgo que asumimos). X z X X z Itervalo de cofiaza 1 Observació para el caso de descoocida. E este caso o teemos más remedio que sustituir por la desviació típica muestral (s); así el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, para 3, es: s X Z, X Z / / s co ua probabilidad de 1, siedo X y s la media y desviació típica de la muestra, respectivamete. s Lo aterior itroduce cierta idefiició; auque o grave cuado es grade. A se le llama error típico o error estádar de la media; este valor se aproxima bie a la desviació típica,, de la distribució de medias muestrales. EJEMPLO 3: Ua máquia fabrica clavos cuya logitud sigue ua distribució ormal co desviació típica,5 mm. Se toma ua muestra de 5 clavos y se obtiee ua logitud media, para los mismos, de 5 mm. Calcular u itervalo de cofiaza del 95 % para loa logitud media de la població. Sea X logitud de los clavos. Sabemos que X N,, y el itervalo que os pide es: 1 E la práctica sólo se toma ua muestra por lo que X x. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 4

5 dode s X Z, X Z x5,,5 y 1,96. Así, z / /,5,5 5 1,96, 5 1,96 49,84, 5, cuya iterpretació es la siguiete: e el 95% de las posibles muestras, la media de la logitud de los clavos obteida está etre 49,84 y 5,196. EJEMPLO 4: Se ha tomado ua muestra aleatoria de 1 idividuos a los que se ha medido el ivel de glucosa e sagre, obteiédose ua media muestral de 11 mg/cc. Se sabe que la desviació típica de la població es de mg/cc. Calcular u itervalo de cofiaza, al 9%, para el ivel de glucosa e sagre e la població. Llamamos X ivel de glucosa e sagre (mg/cc). Sabemos que x11,, 1 y z 1, 645 El itervalo pedido es s s X Z/, X Z/ 11 1, 645, 11 1, , 71, 113,9 1 1 cuya iterpretació es la siguiete: e el 9% de las posibles muestras, la media del ivel de glucosa e sagre está etre 16,71 y 113,9 mg/cc. s 4.- ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA Error admitido (para la media poblacioal) Si llamamos E al error máximo admisible, se tiee que: E Z / P X z 1 El error puede cotrolarse variado Z y /. Si o se cooce el parámetro poblacioal, habrá que sustituirlo por el correspodiete muestral s. E z X Error máximo Tamaño muestral (para la media) El tamaño míimo de la muestra se deduce de la expresió de la cota de error. Z / E Para tamaños muestrales mayores que el error será aú meor que E. EJEMPLO 5: E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley ormal co desviació típica 1. a) Si e ua muestra de tamaño 1, tomada al azar, se ha observado que la media es 4, determiar u itervalo, co el 95 % de cofiaza, para la media de la població. Cipri Departameto de Matemáticas 5

6 b) Si co u ivel de cofiaza del 9 % se ha costruido otro itervalo de cofiaza para la media cuyo límite iferior ha sido 36,71, qué tamaño de muestra se ha tomado e este caso? a) Sabemos que x4, 1, 1 y z 1,96. El itervalo pedido es s s 1 1 X Z/, X Z/ 4 1,96, 4 1,96 37, 648, 4, s b) Sabemos que el límite iferior del itervalo es X Z / y por tato: 1 11, ,645 36, , 9 Error admitido (para la proporció) Si llamamos E al error máximo admisible, se tiee que: p q E Z / El error puede cotrolarse variado Z y /. Tamaño muestral (para la proporció) El tamaño míimo de la muestra se deduce de la expresió de la cota de error. Z / p q E Para tamaños muestrales mayores que el error será aú meor que E. EJEMPLO 6: U fabricate de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue ua distribució ormal co media 1 meses y desviació típica 1 meses. Determiar el míimo tamaño muestral que garatiza, co ua probabilidad de,98, que la vida media de los electrodomésticos e dicha muestra se ecuetra etre 9 y 11 meses. La amplitud del itervalo es 11 9 =, y como el itervalo es X Z/, X Z/ Se tiee que X Z/ X Z/ de dode se deduce que z,33 1 Z / 7, Por tato, la muestra la compoe, al meos, 8 electrodomésticos. PROBLEMAS 1. Se quiere aplicar u test de iteligecia a ua població y sabemos, por estudios ateriores, que la desviació típica poblacioal es 1. Cuál debe ser el tamaño de la muestra para Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

7 poder asegurar, co u ivel de cofiaza del 95.5%, que la media muestral difiere de la media poblacioal e meos de 1?. E ua empresa de exportació de cítricos se ivestiga el peso medio de cierta variedad de arajas. Se admite u error máximo de 1 gramos, co ua cofiaza del 95%. Se sabe por estudios ateriores que el peso medio se distribuye ormalmete, siedo la desviació típica de 6 gramos. Cuál ha de ser el tamaño míimo de la muestra que se va a elegir? Y si se desea ua cofiaza del 99%? 3. Se desea realizar ua ivestigació para estimar el peso medio de los hijos recié acidos de madres fumadoras. Se admite u error máximo de 5 gramos, co ua cofiaza del 98%. Si por estudios ateriores se sabe que la desviació típica del peso medio de tales recié acidos es de 4 gramos, qué tamaño míimo de muestra se ecesita e la ivestigació? 4. E ua ecuesta se preguta a 1 estudiates de Bachillerato sobre su cosumo de refrescos semaal, ecotrádose ua media de 5 botes, co ua desviació típica de botes. 1) Halla los itervalos de cofiaza para la media 8% y al 95% de probabilidad. ) Si aceptamos u error de.5 botes para la media de la població, co ua fiabilidad de.8, a cuátos estudiates es ecesario etrevistar? Y si queremos u ivel de cofiaza del 95%? 5. El peso de los usuarios de u gimasio tiee ua media descoocida y ua desviació típica 5.4 kg. Tomamos ua muestra aleatoria de tamaño 1, obteiedo ua media de 6 kg. a) Calcula co u ivel de cofiaza del 95 % el itervalo de cofiaza para el peso medio de todos los usuarios. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. c) Se realiza la siguiete afirmació: el peso medio de u usuario de ese gimasio está compredido etre 58,5 y 61.5 kg. Co qué probabilidad esta afirmació es correcta? 6. El gasto mesual (e euros) de ua familia e electricidad, para las familias de ua cierta ciudad, sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 5 euros. a) A partir de ua muestra de 1 familias de esa ciudad, obteer el itervalo de cofiaza 45,55 para el gasto medio mesual, por familia e electricidad. Determiar el ivel de cofiaza co el que se costruye el mecioado itervalo. b) Iterpretar el itervalo, e fució de los datos obteidos e el apartado aterior. c) Qué úmero de familias tedrías que seleccioar, como míimo, para garatizar e este caso, co u ivel de cofiaza del 99 %, ua estimació de ese gasto medio co u error o superior a 3 euros? 7. Se sabe que el ivel medio de protrombia e ua població ormal es de mg/1 ml de plasma, co ua desviació típica de 4 mg/1 ml. Se toma ua muestra de 4 idividuos e los que la media es 18.5 mg/1 ml. Es la muestra comparable co la població, co u ivel de sigificació de.5? La protrombia es ua proteía del plasma saguíeo, forma parte del proceso de coagulació mediate la reacció de ésta co la ezima tromboplastia. Se ecuetra ubicada e el iterior de los trombocitos. 7 Cipri Departameto de Matemáticas

8 5.- CONTRASTE DE HIPÓTESIS Itroducció Como ya hemos visto, la media muestral 3 o suele coicidir co la poblacioal, y lo usual es que las diferecias etre ambas sea pequeñas, y esté justificadas por el azar. Si embargo cabe la posibilidad de que o sea debidas al azar, sio a que los parámetros poblacioales so otros; es decir, ha cambiado. El cotraste de hipótesis es el istrumeto que permite decidir si esas diferecias puede iterpretarse como simples fluctuacioes debidas al azar, o bie, so de tal importacia que requiere ua explicació distita. El primer puto a cosiderar e u cotraste de hipótesis es precisamete ese; el establecer las hipótesis que se quiere cotrastar, es decir, comparar. Ua de las dos hipótesis, geeralmete la que correspode a la situació estádar recibe el ombre de hipótesis ula H, mietras que la otra recibe el ombre de hipótesis alterativa H 1, siedo el cotraste de hipótesis el proceso de decisió basado e técicas estadísticas mediate el cual decidimos iferimos cuál de las dos hipótesis creemos correcta, aceptádola y rechazado e cosecuecia la otra, midiedo e dicho proceso los dos posibles errores que podemos cometer aceptar H cuado es falsa o rechazar H cuado es cierta e térmios de probabilidades. Tipos de errores: a) Error tipo I o error : Es el error que se comete al rechazar la hipótesis H cuado es cierta: Rechazar H P H es cierta Este error tambié se deomia ivel de sigificació: b) Error tipo II o : Es el error que se comete al aceptar la hipótesis H cuado es falsa: Aceptar H P H es falsa Cotraste de hipótesis sobre la media poblacioal Cotraste: H : H1: Test óptimo: Se acepta H Se rechaza H si / si Z Z / 3 Lo mismo se puede aplicar a la proporció muestral. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 8

9 P X z 1 X 1 EJEMPLO 7: Segú los datos de cierta comuidad autóoma relativos al impuesto sobre la reta, e el pasado ejercicio fiscal, la cotribució media fue de 4 euros. E ua muestra de 5 declaracioes del año e curso, elegidas al azar, la cotribució media ha sido de 4 1 euros, co ua deviació típica de 1 euros. Puede decirse, co u 95% de cofiaza, que ha variado la aportació media de los cotribuyetes? Y co u 99% de cofiaza? El test de hipótesis que teemos es: H : 4 H1 : 4 La regió de aceptació es 1 1 z, z 4 1,96, 4 1, ,8, 4 15, 5 5 y como x ,8, 4 15,, rechazamos la hipótesis ula, es decir, co ua cofiaza del 95% podemos decir que la aportació media de los cotribuyetes ha variado. A ua cofiaza del 99% le correspode z,575, co lo cual la regió de aceptació es 1 1 z, z 4,575, 4, ,8, 4 138, y como x ,8, 4 138,, aceptamos la hipótesis ula, esto es, co ua cofiaza del 99% podemos decir que la aportació media de los cotribuyetes o ha variado. EJEMPLO 8: El salario medio correspodiete a ua muestra de 9 persoas de ua població dada es de 75 euros. Se sabe que los salarios de esa població sigue ua ormal co desviació típica de 84 euros. Se puede afirmar que el salario medio de dicha població es de 7 euros co u ivel de cofiaza del 95%? El test de hipótesis que teemos es: H : 7 H1 : 7 La regió de aceptació es z, z 7 1,96, 7 1,96 694,51, 75, Cipri Departameto de Matemáticas 9

10 y como x ,51, 75,488, rechazamos la hipótesis ula, es decir, co ua cofiaza del 95% o podemos afirmar que el salario medio de dicha població sea de 7 euros. Cotraste de hipótesis sobre la proporció poblacioal Cotraste: H : p p H1: p p Test óptimo: Se acepta H Se rechaza H si / si p p pq p p Z Z / pq EJEMPLO 9: Se trabaja co la hipótesis de que uo de cada 1 varoes maifiesta algú tipo de daltoismo. a) Elegidos 4 varoes, se detecta 5 daltóicos. Co u ivel de sigificació del 1 %, se puede aceptar la hipótesis ula? b) Sobre la muestra estudiada e a), se obtedría la misma coclusió si,? 1 a) La proporció poblacioal es p,1, y el cotraste que formulamos: 1 H : p,1 H1 : p,1 pq pq La regió de aceptació es p z, p z, que e uestro caso toma la forma:,1,9,1,9,1 1, 645,,1 1, ,753,,147 La proporció muestral es 5 p,15, y como 4,15,753,,147 cocluimos que o podemos aceptar la hipótesis de partida. b) E este caso, y por tato,33. La regió de aceptació es: z,1,9,1,9,1,33,,1,33,65,, y como,15,65,,135, co ua sigificació del,, podemos aceptar la hipótesis de partida. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 1

11 EJEMPLO 1: Segú u estudio realizado e España hace cico años, los habitates co grupo saguíeo era el % del total. E ua muestra reciete de 8 idividuos elegidos al azar, 144 teía ese grupo saguíeo. Puede decirse, co u 95% de cofiaza, que ha variado la proporció de habitates co el mecioado grupo saguíeo? Y co ua cofiaza del 99%? a) La proporció poblacioal es p,, y el cotraste que formulamos: 1 H : p, H1 : p, pq pq La regió de aceptació es p z, p z, que e uestro caso toma la forma:,,8,,8, 1,96,, 1,96,17,, La proporció muestral es 144 p,18, y como 8,18,17,, 3 podemos aceptar la hipótesis de partida, es decir, la proporció de habitates co el mecioado grupo saguíeo o ha variado. b) E este caso, 1 y por tato,575. La regió de aceptació es: z,,8,,8,,575,,,575,163,,36 8 8,18,163,,36, co ua sigificació del,1, podemos aceptar la hipótesis de y como partida. Al aumetar el ivel de cofiaza aumeta la regió de eceptació, y por eso, si se acepta H al 95%, tambié se acepta al 99%. 6.- PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE INTERVALOS DE CONFIANZA 8. Septiembre de 1 Bloque 4 E ua prueba ciclista cotra-reloj, la variable aleatoria: "Tiempo que tarda u corredor e recorrer la distacia de kilómetros" se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 3 miutos. Queremos estimar la media de la població. Cuál es el tamaño míimo que debería teer la muestra que hemos de tomar si queremos que el ivel de cofiaza sea del 94 % y el error admisible o supere el valor de.8? Cipri 9. Reserva Septiembre de 1 Bloque 4 E ua de las pruebas de acceso a la Uiversidad, la variable "putuació obteida e la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II" se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 1,38. E ua muestra de 5 alumos se ha medido la misma variable y el valor obteido para la media es de 4,93 putos. Halla u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co ua cofiaza del 9 Departameto de Matemáticas 11

12 % y explica el sigificado de este itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Reserva Juio de Bloque 4 E ua muestra de 1 alumos de bachillerato se ha obteido ua media de 1 e ua prueba de aptitud umérica. La aptitud umérica es ua variable que se distribuye ormalmete e la població co desviació típica igual a 4. Halla u itervalo de cofiaza para la media de la població co u ivel de cofiaza del 93%. Iterpreta el sigificado de este itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 11. Reserva Septiembre de Bloque 4 Se ha extraído, por muestreo aleatorio simple, ua muestra de 36 sujetos y se les ha medido el tiempo de reacció a u estímulo visual, obteiédose ua media igual a 5 milisegudos. La variable "tiempo de reacció" se distribuye e la població segú ua ormal de desviació típica igual a 3. Costruir u itervalo de cofiaza para la media de la població a u ivel de cofiaza del 98%. Iterpretar el sigificado de dicho itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Juio de 3 Bloque 4 U grupo de 144 alumos de secudaria seleccioados al azar e ua determiada Comuidad realiza ua prueba de coocimietos sobre la geografía de su autoomía, sacado ua ota media de 6,3 putos. Las putuacioes obteidas se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 6. 1) Calcula, co ua probabilidad del 98 %, etre qué valores se ecotrará la media de la població de los alumos de secudaria de dicha comuidad. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 13. Septiembre de 3 Bloque 4 Se ha aplicado ua prueba, para medir el coeficiete itelectual, a ua muestra de 1 uiversitarios españoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se ha obteido 98 putos. Sabiedo que las putuacioes de la prueba sigue ua distribució ormal de desviació típica del 5. 1) Calcular, co ua probabilidad del 98 %, etre qué valores se ecotrará la media de la població uiversitaria española. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 14. Reserva Juio de 3 Bloque 4 Las putuacioes obteidas e u test de razoamieto umérico, e la població adulta española, se distribuye ormalmete co ua variaza de 1. Aplicado el test a ua muestra de 37 persoas adultas se obtiee ua media de 45. 1) Calcula, co ua probabilidad del 99%, etre qué valores se ecotrará la media de la població. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 15. Reserva Septiembre de 3 Bloque 4 Se elige por muestreo aleatorio simple u grupo de 1 sujetos y se les pasa u cuestioario sobre salud. La media obteida e el Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 1

13 Cipri cuestioario fue de 9. Se sabe que las putuacioes e ese cuestioario se distribuye ormalmete co ua variaza de 81. 1) Calcular, co ua probabilidad del 99%, etre qué valores se ecotrará la media de la població. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 16. Juio de 4 Bloque 4 - B) Las alturas, expresadas e cetímetros de los estudiates de segudo de Bachillerato se distribuye ormalmete co ua desviació típica de cm. E u colectivo de 5 estudiates de segudo de Bachillerato se ha obteido ua media de 16 cm. 1) Calcula, co ua probabilidad del 98%, etre qué valores estará la media de la altura de la població total de estudiates de segudo de Bachillerato. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 17. Septiembre de 4 Bloque 4 - B) U estudio realizado sobre 144 usuarios de automóviles revela que la media aual de kilómetros recorridos es de 18 kms. Si el úmero de kms recorridos aualmete sigue ua distribució ormal co desviació típica de kms. 1) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de kms recorridos aualmete por la població total de usuarios de automóviles. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 18. Reserva de 4 Bloque 4 - B) Ua marca de coches afirma que el úmero de meses que ua determiada pieza fabricada por ellos, tarda e romperse sigue ua distribució ormal de desviació típica 9 meses. Se toma ua muestra de 11 coches co esa pieza y se observa que el úmero medio de meses que tarda e romperse dicha pieza es de 3 meses. 1) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de meses que tarda e romperse dicha pieza e la població total de coches que la lleva. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 19. Juio de 5 Bloque 4 - B) Ua máquia de refrescos está ajustada de tal maera que la catidad de líquido despachada se distribuye e forma ormal co ua desviació típica de 15 decilitros. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza del 97% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquia, si ua muestra aleatoria de 36 refrescos tiee u coteido promedio de 5 decilitros. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta.. Septiembre de 5 Bloque 4 - B) U experto e gestió de calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para hacer tres perforacioes e ua pieza metálica. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado 6 segudos. Supoiedo que el tiempo de perforació se distribuye segú ua ormal co desviació típica 3 segudos, 1) ecotrar u itervalo de cofiaza del 99 4% para dicho tiempo promedio de perforació. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Reserva 1 de 5 Bloque 4 - B) Se desea estudiar la itesidad media que circula por ua compoete de u circuito e circustacias diversas. Se supoe que la itesidad, e Departameto de Matemáticas 13

14 miliamperios, sigue ua distribució aproximadamete ormal co desviació típica de 1 miliamperios. Llevadas a cabo 5 medidas e istates elegidos al azar, se obtuvo ua media muestral de 85 miliamperios. 1) Estimar co ua cofiaza del 97 8% etre qué valores estará la itesidad media. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta.. Reserva de 5 Bloque 4 - B) U fabricate produce focos que tiee u promedio de vida co distribució aproximadamete ormal co ua desviació típica de 4 horas. Si ua muestra de 3 focos tiee ua vida promedio de 78 horas, 1) Calcula, co ua probabilidad del 96 6%, etre qué valores se ecotrará el promedio de vida de los focos de ese fabricate. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Juio de 6 Bloque 4 - B) La distribució de las putuacioes de u tipo de exame de matemáticas se cosidera ormal. Aplicado este tipo de exame a ua muestra de 81 persoas adultas se obtiee ua media de 6 4 y ua desviació típica de 3. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98 4% para la media de las putuacioes e la població adulta. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 4. Septiembre de 6 Bloque 4 - B) Se desea hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de texto. Para ello, se elige ua muestra aleatoria de 11 libros de texto ecotrado que tiee u precio medio de 3 euros. Si sabemos que los precios de los libros de texto sigue ua distribució ormal co desviació típica de 5 euros, 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98 8% para el precio medio de los libros de texto. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 5. Reserva 1 de 6 Bloque 4 - B) Las tesioes de ruptura de los cables fabricados por ua empresa se distribuye aproximadamete e forma ormal co ua desviació típica de 1 Nw. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 97% para la media de la tesió de ruptura de todos los cables producidos por esa empresa si ua muestra aleatoria de 49 cables de esa empresa ha presetado ua media de ruptura de 179 Nw. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 6. Reserva de 6 Bloque 4 - B) Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto e 64 comercios españoles elegidos al azar y se ha ecotrado ua media de 7 euros. Si los precios del producto se distribuye segú ua ormal co desviació típica de 6 euros. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 96 6% para la media de los precios de ese producto e España. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 7. Juio de 7 Bloque 4 - B) Para determiar cómo ifluye e la osteoporosis ua dieta pobre e calcio, se realiza u estudio sobre 1 afectados por la efermedad, obteiédose que toma ua media de calcio al día de 9 mg. Supoemos que la toma de calcio e la població de afectados por la efermedad se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 15. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 99% para la media de calcio al día Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 14

15 Cipri que toma toda la població afectada. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 8. Septiembre de 7 Bloque 4 - B) E u estudio sobre la coductividad térmica de u determiado material, e uas codicioes particulares, se ha tomado 81medicioes de coductividad térmica obteiédose ua media de E esas codicioes se sabe que la desviació típica de la coductividad es 3. Si supoemos que la coductividad térmica está distribuida de maera ormal, 1) ecotrar u itervalo de cofiaza al 96% para la coductividad promedio de este material. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 9. Reserva 1 de 7 Bloque 4 - B) La duració de los préstamos de libros e ua determiada biblioteca sigue ua distribució ormal co desviació típica de 8 días. Tomamos ua muestra de 1 libros de esa biblioteca y observamos que tiee ua duració media de préstamo de 14 días. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de los libros de esa biblioteca. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Reserva de 7 Bloque 4 - B) Se desea hacer u estudio sobre el peso de las cajas de cereales de ua determiada marca, para ello se elige ua muestra de 64 paquetes y se obtiee u peso medio de 195g. Sabemos que la distribució de los pesos de esas cajas de cereales es ormal co desviació típica de 1g. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98% para el peso medio de todas las cajas de cereales de esa marca. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 31. Juio de 8 Bloque 4 B) Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u modelo de juguetes electróicos se elige ua muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo obteiédose ua duració media de 97 horas. Sabiedo que la duració de los juguetes electróicos de ese modelo se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 1 horas, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 99 % para la duració media de los juguetes electróicos de ese modelo. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Septiembre de 8 Bloque 4 B) Tras múltiples observacioes se ha costatado que el úmero de pulsacioes de los deportistas etre y 5 años se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 9 pulsacioes. Si ua muestra de 1 deportistas de esa edad preseta ua media de 64 pulsacioes. 1) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de pulsacioes de los todos los deportistas de esa edad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 33. Reserva 1 de 8 Bloque 4 B) Para mejorar la duració de uas lámparas eléctricas, u fabricate está esayado u uevo método de producció que se cosidera aceptable por dar lugar a ua distribució ormal de desviació típica igual a 3 horas. Se toma ua muestra de 5 lámparas de este fabricate y se observa que su duració media es de 3 horas. 1) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de pulsacioes de Departameto de Matemáticas 15

16 los todos los deportistas de esa edad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 34. Reserva de 8 Bloque 4 B) Se quiere estudiar la media de edad de jóvees que se preseta a ua prueba para u puesto de trabajo e el ayutamieto de ua gra ciudad, para ello se elige ua muestra aleatoria de 1 jóvees que se preseta al prueba observado que la media de edad es años. Sabiedo que la variable estudiada se distribuye ormalmete e la població co desviació típica de 1 años, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de edad de los todos los jóvees que se preseta a dicha prueba. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 35. [Juio 9] La talla de los varoes recié acidos e ua determiada ciudad sigue aproximadamete ua distribució ormal co desviació típica de 4 cm. Si e ua muestra de 81 recié acidos de esa ciudad obteemos ua talla media de 51cm, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la talla media de los recié acidos de esa ciudad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 36. [Septiembre 9] La desviació típica del úmero de horas diarias que duerme los estudiates de u istituto es de 3 horas. Se cosidera ua muestra aleatoria de 4 estudiates de ese istituto que revela ua media de sueño de 7 horas. Supoiedo que el úmero de horas de sueño sigue ua distribució ormal, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para el úmero medio de horas de sueño de todos los estudiates de ese cetro. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 37. [Reserva 1 de 9] Los siguietes datos so los pesos e gramos del coteido de 16 cajas de cereal que se seleccioaro de u proceso de lleado co el propósito de verificar el peso promedio: 56, 58, 499, 53, 54, 51, 497, 51, 514, 55, 493, 496, 56, 5, 59, 496 gramos. Si el peso de cada caja es ua variable aleatoria ormal co ua desviació típica de 5 gr. 1) Obteer el itervalo de cofiaza estimado al 9%, para la media de lleado de este proceso. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 38. [Reserva de 9] El valor medio del ídice de masa corporal (IMC) e los varoes etre 5 y 6 años de ua muestra represetativa de tamaño 464 de u determiado país es de 5 97 kg/m. Se sabe que el IMC es ua variable aleatoria ormal co ua desviació típica de 3 59 kg/m. 1) Obteer el itervalo de cofiaza estimado al 98% para la media del IMC de todos los varoes etre 5 y 6 años de ese país. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 39. [Juio 1] Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u compoete electróico se elige ua muestra aleatoria de 36 compoetes obteiédose ua duració media de 4 horas. Sabiedo que la duració de estos compoetes electróicos se distribuye segú ua ormal co ua desviació típica de 1 horas. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97% para la duració media de los compoetes electróicos. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 16

17 c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 4. [Septiembre 1] Para determiar cómo ifluye la práctica diaria de deporte e el peso se ha realizado u estudio sobre 1 hombres que practica deporte de forma diaria. Obteiédose ua media de 65 kilos y supoemos que el peso e la població de persoas que practica deporte se distribuye segú ua ormal co ua desviació típica de kilos. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 95% para la media de peso de las persoas que practica deporte. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 41. [Reserva 1 de 1] La compañía eléctrica desea estimar el cosumo medio de electricidad por hogar e ua determiada ciudad. Se ha realizado ua ecuesta a 1 viviedas elegidas aleatoriamete de la ciudad. Se ha obteido u cosumo medio de 363,5 kilovatios al mes y se sabe que el cosumo de electricidad por hogar se distribuye segú ua ormal de desviació típica 1 kilovatios al mes. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97% para la media de cosumo de electricidad por hogar. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. c) Crees que será válido el itervalo de cofiaza obteido, si hubiéramos elegido las 1 viviedas más grades de la ciudad? Razoa tu respuesta. 4. [Reserva de 1] U experto e gestió de calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para realizar u proceso por parte de u cojuto de trabajadores. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado.6 segudos. Supoiedo que el tiempo de realizació del proceso se distribuye segú ua ormal co desviació típica.3 segudos. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza del 97% para dicho tiempo promedio. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 7.- PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS 43. E ua multiacioal la desviació típica de la edad media de sus trabajadores es de 5 años. Ua muestra aleatoria de trabajadores revela ua edad media de 4 años. Se puede afirmar co u ivel de sigificació del,5 que la edad media de los trabajadores es de 41 años? Cipri 44. Ua máquia de lleado está diseñada para llear bolsas co 3 g de cereales. Co el objeto de comprobar el bue fucioamieto de la máquia, se elige al azar 1 bolsas de las lleadas e u día y se pesa su coteido. El valor de la media muestral fue de 97 gramos. Supoiedo que la variable peso tiee ua distribució ormal co variaza 16, es aceptable el fucioamieto de la máquia al ivel,5? 45. Ua empresa de coservas vegetales evasa espárragos e latas de 4 gramos. El ecargado del cotrol de calidad ha tomado ua muestra de 16 latas, obteiedo ua media Departameto de Matemáticas 17

18 de 38 gramos. Se sabe que el coteido de las latas varía aleatoriamete siguiedo ua ley ormal co desviació típica igual a gramos. a) Cotrasta la hipótesis de que la empresa está evasado ua media de 4 gramos, co u ivel de sigificació igual a,5. b) Calcula el itervalo de cofiaza al ivel del 95% para el peso medio de las latas que produce la empresa. 46. Se quiere comprobar si ua máquia destiada al lleado de evases de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de diez evases de esta máquia ha proporcioado los siguietes resultados:,49,5,51,48,53,55,49,5,5,49 Supoiedo que la catidad de agua mieral que este tipo de máquias deposita e cada evase sigue ua distribució ormal de media,5 litros y desviació típica, litros, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases de esta máquia es de,5 litros, co u ivel de sigificació del 5%. a) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. b) Determiar la regió crítica del cotraste. c) Realizar el cotraste. 47. U fabricate de bombillas asegura que su duració, e miles de horas sigue ua distribució ormal de media 6 y desviació típica 5. Para ua muestra de 1 bombillas de este fabricate se obtuviero las siguietes duracioes: 3,5 35, 9,5 31, 3, 33,5 7, 8, 3,5 9, Se desea cotrastar co u ivel de sigificació del 5% si estos datos so compatibles co el valor afirmado por el fabricate. a) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. b) Determiar la regió crítica del cotraste. c) Realizar el cotraste. d) Qué se puede cocluir? 48. U establecimieto vede paquetes de carbó para barbacoa de peso teórico 1 kg. Se supoe que el peso de los paquetes sigue ua distribució ormal co desviació típica 1 kg. Para cotrastar la citada hipótesis, frete a que el peso teórico sea distito de 1 kg, es escoge al azar 4 paquetes que pesa e kilogramos, respectivamete: Se desea que la probabilidad de aceptar la hipótesis ula, cuado esta es cierta, sea,95. Se pide: a) La regió crítica del cotraste. b) Se debe rechazar la hipótesis ula? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 18

19 Cipri Departameto de Matemáticas 19 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL z,,1,,3,4,5,6,7,8,9,,1,,3,4,5,5398,5793,6179,6554,54,5438,583,617,6591,58,5478,5871,655,668,51,5517,591,693,6664,516,5557,5948,6331,67,5199,5596,5987,6368,6736,539,5636,66,646,677,579,5675,664,6443,688,5319,5714,613,648,6844,5359,5753,6141,6517,6879,5,6,7,8,9,6915,757,758,7881,8159,695,791,7611,791,8186,6985,734,764,7939,81,719,7357,7673,7967,838,754,7389,773,7995,864,788,74,7734,83,889,713,7454,774,851,8315,7157,7486,7793,878,834,719,7517,783,816,8364,74,7549,765,8133,8389 1, 1,1 1, 1,3 1,4,8413,8643,8849,93,919,8438,8665,8869,949,97,8461,8686,8888,966,9,8485,878,897,98,935,858,879,895,999,951,8531,8749,8944,9115,965,8554,877,896,9131,979,8577,879,898,9147,99,8599,881,8997,916,936,861,893,915,9177,9319 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,933,945,9554,9641,9713,9345,9463,9564,9649,9719,9357,9474,9573,9656,976,937,9485,958,9664,973,938,9495,9591,9671,9738,9394,955,9599,9678,9744,946,9515,968,9686,975,9418,955,9616,9693,9756,949,9535,965,9699,976,9441,9545,9633,976,9767,,1,,3,4,9773,981,9861,9893,9918,9778,986,9865,9896,99,9783,983,9868,9898,99,9788,9934,9871,991,995,9793,9838,9875,994,997,9798,984,9878,996,999,983,9846,9881,999,9931,988,985,9884,9911,993,981,9854,9887,9913,9934,9817,9857,989,9916,9936,5,6,7,8,9,9938,9953,9965,9975,9981,994,9955,9966,9975,998,9941,9956,9967,9976,9983,9943,9957,9968,9977,9984,9945,9959,9969,9978,9984,9946,996,997,9978,9985,9948,9961,9971,9979,9985,9949,996,997,998,9985,9951,9963,9973,998,9986,995,9964,9974,9981,9986 3, 3,1 3, 3,3 3,4,9987,999,9993,9995,9997,9987,9991,9993, ,9987,9991,9994,9995,9997,9988,9991,9994,9996,9997,9988,999,9994,9996,9997,9989,999,9994,9996,9997,9989,999,9994,9996,9997,9989,999,9995,9996,9997,999,9993,9995,9996,9997,999,9993,9995,9997,9998 3,5,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999

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