0.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "0.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA"

Transcripción

1 CONTENIDOS:.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA INTRODUCCIÓN....- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA CONTRASTE DE HIPÓTESIS PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE INTERVALOS DE CONFIANZA PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS Objetivos fudametales: 1. Coocer y saber determiar los itervalos de cofiaza para la media de ua població ormal, así como para la proporció de ua població biomial. Calcular el tamaño de ua muestra y el error máximo admitido, para la media de ua població ormal. 3. Calcular el tamaño de ua muestra y el error máximo admitido, para la proporció de ua població biomial. 4. Recoocer la importacia de los cotrastes de hipótesis así como su cálculo (tets óptimos), para la toma de decisioes (sólo cotrastes bilaterales para la media y la proporció).- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Desde los comiezos de la civilizació ha existido formas secillas de estadística, pues ya se utilizaba represetacioes gráficas y otros símbolos e pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para cotar el úmero de persoas, aimales o ciertas cosas. Hacia el año 3 a.c. los babiloios usaba ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos e tablas sobre la producció agrícola y de los géeros vedidos o cambiados mediate trueque. Los egipcios aalizaba los datos de la població y la reta del país mucho ates de costruir las pirámides e el siglo XXXI a.c. Los libros bíblicos de Números y Cróicas icluye, e alguas partes, trabajos de estadística. El primero cotiee dos cesos de la població de Israel y el segudo describe el bieestar material de las diversas tribus judías. E Chia existía registros uméricos similares co aterioridad al año a.c. Los griegos clásicos realizaba cesos cuya iformació se utilizaba hacia el 594 a.c. para cobrar impuestos. Cipri Departameto de Matemáticas 1

2 El Imperio romao fue el primer gobiero que recopiló ua gra catidad de datos sobre la població, superficie y reta de todos los territorios bajo su cotrol. Durate la edad media sólo se realizaro alguos cesos exhaustivos e Europa. Los reyes calorigios, Pipio el Breve y Carlomago, ordearo hacer estudios miuciosos de las propiedades de la Iglesia e los años 758 y 76 respectivamete. Después de la coquista ormada de Iglaterra e 166, el rey Guillermo I de Iglaterra ecargó u ceso. La iformació obteida co este ceso, llevado a cabo e 186, se recoge e el Domesday Book. El registro de acimietos y defucioes comezó e Iglaterra a pricipios del siglo XVI, y e 166 apareció el primer estudio estadístico otable de població, titulado Observatios o the Lodo Bills of Mortality (Cometarios sobre las partidas de defució e Lodres). U estudio similar sobre la tasa de mortalidad e la ciudad de Breslau, e Alemaia, realizado e 1691, fue utilizado por el astróomo iglés Edmud Halley como base para la primera tabla de mortalidad. E el siglo XIX, co la geeralizació del método cietífico para estudiar todos los feómeos de las ciecias aturales y sociales, los ivestigadores aceptaro la ecesidad de reducir la iformació a valores uméricos para evitar la ambigüedad de las descripcioes verbales. E uestros días, la estadística se ha covertido e u método efectivo para describir co exactitud los valores de datos ecoómicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramieta para relacioar y aalizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico o cosiste ya sólo e reuir y tabular los datos, sio sobre todo e el proceso de iterpretació de esa iformació. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumetado el alcace de las aplicacioes de la estadística. Muchos cojutos de datos se puede aproximar, co gra exactitud, utilizado determiadas distribucioes probabilísticas; los resultados de éstas se puede utilizar para aalizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las iferecias estadísticas y para predecir el tipo y la catidad de datos ecesarios e u determiado estudio estadístico. 1.- INTRODUCCIÓN La Iferecia Estadística es ua parte de la Estadística que comprede los métodos y procedimietos para deducir propiedades (hacer iferecias) de ua població, a partir de ua pequeña parte de la misma (muestra). La bodad de estas deduccioes se mide e térmios probabilísticos, es decir, toda iferecia se acompaña de su probabilidad de acierto. Nuestro objetivo e esta uidad es el de dar u itervalo para la media de ua població, que supodremos que se distribuye ormalmete, y que es u dato descoocido, así como dar el itervalo de cofiaza para la proporció muestral de ua distribució biomial. E ua primera aproximació, se podría pesar que es más adecuado hacer ua estimació putual, es decir, dar u valor cocreto para la media o para la proporció, pero este valor rara vez coicidirá co la media descoocida o co la proporció, por lo que es mucho más iteresate cocluir la iferecia co u itervalo de posibles valores para la media o la proporció. Co objeto de aumetar la precisió de la iferecia, será deseable que el itervalo tega la meor logitud posible, y de hecho el itervalo de cofiaza que daremos e ambos casos es el óptimo..- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Al itervalo p q pq pz/, pz / Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

3 se le llama itervalo de cofiaza para la proporció muestral: e este caso la cofiaza es 1. El valor 1 da el ivel de cofiaza y mide la probabilidad que se tiee de que la proporció muestral perteezca al itervalo de cofiaza. Si la cofiaza es 1, suele decirse que el ivel de sigificació es (medida del riesgo que asumimos). p z p q p p p z Itervalo de cofiaza 1 p q EJEMPLO 1: E ua determiada població se toma ua muestra de 56 persoas al azar. De esta muestra, el % de las persoas lleva gafas graduadas y el 8% restate o. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal de las persoas que lleva gafas graduadas co u ivel de cofiaza del 95%. Sabemos que p q pq P pz/, pz / y queremos que pq pq P pz / P pz / 1 dode e uestro caso 1,95 95%. Por los datos del problema p,, q 1,,8, 56 y z 1,96. Por tato, el itervalo pedido es:,,8,,8, 1,96,, 1,96,151,, Es decir, etre el 15,1 y el 4,9% de la població lleva gafas graduadas. EJEMPLO : Se sabe que de cada 5 persoas vota a u determiado partido político. Se pide: a) Estimar la proporció de votates. b) Calcular, co u ivel de cofiaza del 99 %, el itervalo de cofiaza e el que se ecotrar dode a) La proporció es p, 4 5 b) El itervalo de cofiaza pedido es: p q pz /, pz/ p, 4, q 1, 4, 6, 5 y z,58. Cipri p q Departameto de Matemáticas 3

4 Por tato, el itervalo es, 4,6, 4,6, 4,58,,4,58,3435,, esto es, etre el 34,35 y el 45,65% de la població votará a ese partido político. 3.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Al itervalo 1 X Z/, X Z/ se le llama itervalo de cofiaza para la media poblacioal; e este caso la cofiaza es 1. El valor 1 da el ivel de cofiaza y mide la probabilidad que se tiee de que la media poblacioal perteezca al itervalo de cofiaza. Si la cofiaza es 1, suele decirse que el ivel de sigificació es (medida del riesgo que asumimos). X z X X z Itervalo de cofiaza 1 Observació para el caso de descoocida. E este caso o teemos más remedio que sustituir por la desviació típica muestral (s); así el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, para 3, es: s X Z, X Z / / s co ua probabilidad de 1, siedo X y s la media y desviació típica de la muestra, respectivamete. s Lo aterior itroduce cierta idefiició; auque o grave cuado es grade. A se le llama error típico o error estádar de la media; este valor se aproxima bie a la desviació típica,, de la distribució de medias muestrales. EJEMPLO 3: Ua máquia fabrica clavos cuya logitud sigue ua distribució ormal co desviació típica,5 mm. Se toma ua muestra de 5 clavos y se obtiee ua logitud media, para los mismos, de 5 mm. Calcular u itervalo de cofiaza del 95 % para loa logitud media de la població. Sea X logitud de los clavos. Sabemos que X N,, y el itervalo que os pide es: 1 E la práctica sólo se toma ua muestra por lo que X x. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 4

5 dode s X Z, X Z x5,,5 y 1,96. Así, z / /,5,5 5 1,96, 5 1,96 49,84, 5, cuya iterpretació es la siguiete: e el 95% de las posibles muestras, la media de la logitud de los clavos obteida está etre 49,84 y 5,196. EJEMPLO 4: Se ha tomado ua muestra aleatoria de 1 idividuos a los que se ha medido el ivel de glucosa e sagre, obteiédose ua media muestral de 11 mg/cc. Se sabe que la desviació típica de la població es de mg/cc. Calcular u itervalo de cofiaza, al 9%, para el ivel de glucosa e sagre e la població. Llamamos X ivel de glucosa e sagre (mg/cc). Sabemos que x11,, 1 y z 1, 645 El itervalo pedido es s s X Z/, X Z/ 11 1, 645, 11 1, , 71, 113,9 1 1 cuya iterpretació es la siguiete: e el 9% de las posibles muestras, la media del ivel de glucosa e sagre está etre 16,71 y 113,9 mg/cc. s 4.- ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA Error admitido (para la media poblacioal) Si llamamos E al error máximo admisible, se tiee que: E Z / P X z 1 El error puede cotrolarse variado Z y /. Si o se cooce el parámetro poblacioal, habrá que sustituirlo por el correspodiete muestral s. E z X Error máximo Tamaño muestral (para la media) El tamaño míimo de la muestra se deduce de la expresió de la cota de error. Z / E Para tamaños muestrales mayores que el error será aú meor que E. EJEMPLO 5: E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley ormal co desviació típica 1. a) Si e ua muestra de tamaño 1, tomada al azar, se ha observado que la media es 4, determiar u itervalo, co el 95 % de cofiaza, para la media de la població. Cipri Departameto de Matemáticas 5

6 b) Si co u ivel de cofiaza del 9 % se ha costruido otro itervalo de cofiaza para la media cuyo límite iferior ha sido 36,71, qué tamaño de muestra se ha tomado e este caso? a) Sabemos que x4, 1, 1 y z 1,96. El itervalo pedido es s s 1 1 X Z/, X Z/ 4 1,96, 4 1,96 37, 648, 4, s b) Sabemos que el límite iferior del itervalo es X Z / y por tato: 1 11, ,645 36, , 9 Error admitido (para la proporció) Si llamamos E al error máximo admisible, se tiee que: p q E Z / El error puede cotrolarse variado Z y /. Tamaño muestral (para la proporció) El tamaño míimo de la muestra se deduce de la expresió de la cota de error. Z / p q E Para tamaños muestrales mayores que el error será aú meor que E. EJEMPLO 6: U fabricate de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue ua distribució ormal co media 1 meses y desviació típica 1 meses. Determiar el míimo tamaño muestral que garatiza, co ua probabilidad de,98, que la vida media de los electrodomésticos e dicha muestra se ecuetra etre 9 y 11 meses. La amplitud del itervalo es 11 9 =, y como el itervalo es X Z/, X Z/ Se tiee que X Z/ X Z/ de dode se deduce que z,33 1 Z / 7, Por tato, la muestra la compoe, al meos, 8 electrodomésticos. PROBLEMAS 1. Se quiere aplicar u test de iteligecia a ua població y sabemos, por estudios ateriores, que la desviació típica poblacioal es 1. Cuál debe ser el tamaño de la muestra para Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

7 poder asegurar, co u ivel de cofiaza del 95.5%, que la media muestral difiere de la media poblacioal e meos de 1?. E ua empresa de exportació de cítricos se ivestiga el peso medio de cierta variedad de arajas. Se admite u error máximo de 1 gramos, co ua cofiaza del 95%. Se sabe por estudios ateriores que el peso medio se distribuye ormalmete, siedo la desviació típica de 6 gramos. Cuál ha de ser el tamaño míimo de la muestra que se va a elegir? Y si se desea ua cofiaza del 99%? 3. Se desea realizar ua ivestigació para estimar el peso medio de los hijos recié acidos de madres fumadoras. Se admite u error máximo de 5 gramos, co ua cofiaza del 98%. Si por estudios ateriores se sabe que la desviació típica del peso medio de tales recié acidos es de 4 gramos, qué tamaño míimo de muestra se ecesita e la ivestigació? 4. E ua ecuesta se preguta a 1 estudiates de Bachillerato sobre su cosumo de refrescos semaal, ecotrádose ua media de 5 botes, co ua desviació típica de botes. 1) Halla los itervalos de cofiaza para la media 8% y al 95% de probabilidad. ) Si aceptamos u error de.5 botes para la media de la població, co ua fiabilidad de.8, a cuátos estudiates es ecesario etrevistar? Y si queremos u ivel de cofiaza del 95%? 5. El peso de los usuarios de u gimasio tiee ua media descoocida y ua desviació típica 5.4 kg. Tomamos ua muestra aleatoria de tamaño 1, obteiedo ua media de 6 kg. a) Calcula co u ivel de cofiaza del 95 % el itervalo de cofiaza para el peso medio de todos los usuarios. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. c) Se realiza la siguiete afirmació: el peso medio de u usuario de ese gimasio está compredido etre 58,5 y 61.5 kg. Co qué probabilidad esta afirmació es correcta? 6. El gasto mesual (e euros) de ua familia e electricidad, para las familias de ua cierta ciudad, sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 5 euros. a) A partir de ua muestra de 1 familias de esa ciudad, obteer el itervalo de cofiaza 45,55 para el gasto medio mesual, por familia e electricidad. Determiar el ivel de cofiaza co el que se costruye el mecioado itervalo. b) Iterpretar el itervalo, e fució de los datos obteidos e el apartado aterior. c) Qué úmero de familias tedrías que seleccioar, como míimo, para garatizar e este caso, co u ivel de cofiaza del 99 %, ua estimació de ese gasto medio co u error o superior a 3 euros? 7. Se sabe que el ivel medio de protrombia e ua població ormal es de mg/1 ml de plasma, co ua desviació típica de 4 mg/1 ml. Se toma ua muestra de 4 idividuos e los que la media es 18.5 mg/1 ml. Es la muestra comparable co la població, co u ivel de sigificació de.5? La protrombia es ua proteía del plasma saguíeo, forma parte del proceso de coagulació mediate la reacció de ésta co la ezima tromboplastia. Se ecuetra ubicada e el iterior de los trombocitos. 7 Cipri Departameto de Matemáticas

8 5.- CONTRASTE DE HIPÓTESIS Itroducció Como ya hemos visto, la media muestral 3 o suele coicidir co la poblacioal, y lo usual es que las diferecias etre ambas sea pequeñas, y esté justificadas por el azar. Si embargo cabe la posibilidad de que o sea debidas al azar, sio a que los parámetros poblacioales so otros; es decir, ha cambiado. El cotraste de hipótesis es el istrumeto que permite decidir si esas diferecias puede iterpretarse como simples fluctuacioes debidas al azar, o bie, so de tal importacia que requiere ua explicació distita. El primer puto a cosiderar e u cotraste de hipótesis es precisamete ese; el establecer las hipótesis que se quiere cotrastar, es decir, comparar. Ua de las dos hipótesis, geeralmete la que correspode a la situació estádar recibe el ombre de hipótesis ula H, mietras que la otra recibe el ombre de hipótesis alterativa H 1, siedo el cotraste de hipótesis el proceso de decisió basado e técicas estadísticas mediate el cual decidimos iferimos cuál de las dos hipótesis creemos correcta, aceptádola y rechazado e cosecuecia la otra, midiedo e dicho proceso los dos posibles errores que podemos cometer aceptar H cuado es falsa o rechazar H cuado es cierta e térmios de probabilidades. Tipos de errores: a) Error tipo I o error : Es el error que se comete al rechazar la hipótesis H cuado es cierta: Rechazar H P H es cierta Este error tambié se deomia ivel de sigificació: b) Error tipo II o : Es el error que se comete al aceptar la hipótesis H cuado es falsa: Aceptar H P H es falsa Cotraste de hipótesis sobre la media poblacioal Cotraste: H : H1: Test óptimo: Se acepta H Se rechaza H si / si Z Z / 3 Lo mismo se puede aplicar a la proporció muestral. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 8

9 P X z 1 X 1 EJEMPLO 7: Segú los datos de cierta comuidad autóoma relativos al impuesto sobre la reta, e el pasado ejercicio fiscal, la cotribució media fue de 4 euros. E ua muestra de 5 declaracioes del año e curso, elegidas al azar, la cotribució media ha sido de 4 1 euros, co ua deviació típica de 1 euros. Puede decirse, co u 95% de cofiaza, que ha variado la aportació media de los cotribuyetes? Y co u 99% de cofiaza? El test de hipótesis que teemos es: H : 4 H1 : 4 La regió de aceptació es 1 1 z, z 4 1,96, 4 1, ,8, 4 15, 5 5 y como x ,8, 4 15,, rechazamos la hipótesis ula, es decir, co ua cofiaza del 95% podemos decir que la aportació media de los cotribuyetes ha variado. A ua cofiaza del 99% le correspode z,575, co lo cual la regió de aceptació es 1 1 z, z 4,575, 4, ,8, 4 138, y como x ,8, 4 138,, aceptamos la hipótesis ula, esto es, co ua cofiaza del 99% podemos decir que la aportació media de los cotribuyetes o ha variado. EJEMPLO 8: El salario medio correspodiete a ua muestra de 9 persoas de ua població dada es de 75 euros. Se sabe que los salarios de esa població sigue ua ormal co desviació típica de 84 euros. Se puede afirmar que el salario medio de dicha població es de 7 euros co u ivel de cofiaza del 95%? El test de hipótesis que teemos es: H : 7 H1 : 7 La regió de aceptació es z, z 7 1,96, 7 1,96 694,51, 75, Cipri Departameto de Matemáticas 9

10 y como x ,51, 75,488, rechazamos la hipótesis ula, es decir, co ua cofiaza del 95% o podemos afirmar que el salario medio de dicha població sea de 7 euros. Cotraste de hipótesis sobre la proporció poblacioal Cotraste: H : p p H1: p p Test óptimo: Se acepta H Se rechaza H si / si p p pq p p Z Z / pq EJEMPLO 9: Se trabaja co la hipótesis de que uo de cada 1 varoes maifiesta algú tipo de daltoismo. a) Elegidos 4 varoes, se detecta 5 daltóicos. Co u ivel de sigificació del 1 %, se puede aceptar la hipótesis ula? b) Sobre la muestra estudiada e a), se obtedría la misma coclusió si,? 1 a) La proporció poblacioal es p,1, y el cotraste que formulamos: 1 H : p,1 H1 : p,1 pq pq La regió de aceptació es p z, p z, que e uestro caso toma la forma:,1,9,1,9,1 1, 645,,1 1, ,753,,147 La proporció muestral es 5 p,15, y como 4,15,753,,147 cocluimos que o podemos aceptar la hipótesis de partida. b) E este caso, y por tato,33. La regió de aceptació es: z,1,9,1,9,1,33,,1,33,65,, y como,15,65,,135, co ua sigificació del,, podemos aceptar la hipótesis de partida. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 1

11 EJEMPLO 1: Segú u estudio realizado e España hace cico años, los habitates co grupo saguíeo era el % del total. E ua muestra reciete de 8 idividuos elegidos al azar, 144 teía ese grupo saguíeo. Puede decirse, co u 95% de cofiaza, que ha variado la proporció de habitates co el mecioado grupo saguíeo? Y co ua cofiaza del 99%? a) La proporció poblacioal es p,, y el cotraste que formulamos: 1 H : p, H1 : p, pq pq La regió de aceptació es p z, p z, que e uestro caso toma la forma:,,8,,8, 1,96,, 1,96,17,, La proporció muestral es 144 p,18, y como 8,18,17,, 3 podemos aceptar la hipótesis de partida, es decir, la proporció de habitates co el mecioado grupo saguíeo o ha variado. b) E este caso, 1 y por tato,575. La regió de aceptació es: z,,8,,8,,575,,,575,163,,36 8 8,18,163,,36, co ua sigificació del,1, podemos aceptar la hipótesis de y como partida. Al aumetar el ivel de cofiaza aumeta la regió de eceptació, y por eso, si se acepta H al 95%, tambié se acepta al 99%. 6.- PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE INTERVALOS DE CONFIANZA 8. Septiembre de 1 Bloque 4 E ua prueba ciclista cotra-reloj, la variable aleatoria: "Tiempo que tarda u corredor e recorrer la distacia de kilómetros" se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 3 miutos. Queremos estimar la media de la població. Cuál es el tamaño míimo que debería teer la muestra que hemos de tomar si queremos que el ivel de cofiaza sea del 94 % y el error admisible o supere el valor de.8? Cipri 9. Reserva Septiembre de 1 Bloque 4 E ua de las pruebas de acceso a la Uiversidad, la variable "putuació obteida e la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II" se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 1,38. E ua muestra de 5 alumos se ha medido la misma variable y el valor obteido para la media es de 4,93 putos. Halla u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co ua cofiaza del 9 Departameto de Matemáticas 11

12 % y explica el sigificado de este itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Reserva Juio de Bloque 4 E ua muestra de 1 alumos de bachillerato se ha obteido ua media de 1 e ua prueba de aptitud umérica. La aptitud umérica es ua variable que se distribuye ormalmete e la població co desviació típica igual a 4. Halla u itervalo de cofiaza para la media de la població co u ivel de cofiaza del 93%. Iterpreta el sigificado de este itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 11. Reserva Septiembre de Bloque 4 Se ha extraído, por muestreo aleatorio simple, ua muestra de 36 sujetos y se les ha medido el tiempo de reacció a u estímulo visual, obteiédose ua media igual a 5 milisegudos. La variable "tiempo de reacció" se distribuye e la població segú ua ormal de desviació típica igual a 3. Costruir u itervalo de cofiaza para la media de la població a u ivel de cofiaza del 98%. Iterpretar el sigificado de dicho itervalo. Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Juio de 3 Bloque 4 U grupo de 144 alumos de secudaria seleccioados al azar e ua determiada Comuidad realiza ua prueba de coocimietos sobre la geografía de su autoomía, sacado ua ota media de 6,3 putos. Las putuacioes obteidas se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 6. 1) Calcula, co ua probabilidad del 98 %, etre qué valores se ecotrará la media de la població de los alumos de secudaria de dicha comuidad. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 13. Septiembre de 3 Bloque 4 Se ha aplicado ua prueba, para medir el coeficiete itelectual, a ua muestra de 1 uiversitarios españoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se ha obteido 98 putos. Sabiedo que las putuacioes de la prueba sigue ua distribució ormal de desviació típica del 5. 1) Calcular, co ua probabilidad del 98 %, etre qué valores se ecotrará la media de la població uiversitaria española. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 14. Reserva Juio de 3 Bloque 4 Las putuacioes obteidas e u test de razoamieto umérico, e la població adulta española, se distribuye ormalmete co ua variaza de 1. Aplicado el test a ua muestra de 37 persoas adultas se obtiee ua media de 45. 1) Calcula, co ua probabilidad del 99%, etre qué valores se ecotrará la media de la població. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 15. Reserva Septiembre de 3 Bloque 4 Se elige por muestreo aleatorio simple u grupo de 1 sujetos y se les pasa u cuestioario sobre salud. La media obteida e el Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 1

13 Cipri cuestioario fue de 9. Se sabe que las putuacioes e ese cuestioario se distribuye ormalmete co ua variaza de 81. 1) Calcular, co ua probabilidad del 99%, etre qué valores se ecotrará la media de la població. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 16. Juio de 4 Bloque 4 - B) Las alturas, expresadas e cetímetros de los estudiates de segudo de Bachillerato se distribuye ormalmete co ua desviació típica de cm. E u colectivo de 5 estudiates de segudo de Bachillerato se ha obteido ua media de 16 cm. 1) Calcula, co ua probabilidad del 98%, etre qué valores estará la media de la altura de la població total de estudiates de segudo de Bachillerato. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 17. Septiembre de 4 Bloque 4 - B) U estudio realizado sobre 144 usuarios de automóviles revela que la media aual de kilómetros recorridos es de 18 kms. Si el úmero de kms recorridos aualmete sigue ua distribució ormal co desviació típica de kms. 1) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de kms recorridos aualmete por la població total de usuarios de automóviles. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 18. Reserva de 4 Bloque 4 - B) Ua marca de coches afirma que el úmero de meses que ua determiada pieza fabricada por ellos, tarda e romperse sigue ua distribució ormal de desviació típica 9 meses. Se toma ua muestra de 11 coches co esa pieza y se observa que el úmero medio de meses que tarda e romperse dicha pieza es de 3 meses. 1) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de meses que tarda e romperse dicha pieza e la població total de coches que la lleva. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 19. Juio de 5 Bloque 4 - B) Ua máquia de refrescos está ajustada de tal maera que la catidad de líquido despachada se distribuye e forma ormal co ua desviació típica de 15 decilitros. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza del 97% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquia, si ua muestra aleatoria de 36 refrescos tiee u coteido promedio de 5 decilitros. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta.. Septiembre de 5 Bloque 4 - B) U experto e gestió de calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para hacer tres perforacioes e ua pieza metálica. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado 6 segudos. Supoiedo que el tiempo de perforació se distribuye segú ua ormal co desviació típica 3 segudos, 1) ecotrar u itervalo de cofiaza del 99 4% para dicho tiempo promedio de perforació. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 1. Reserva 1 de 5 Bloque 4 - B) Se desea estudiar la itesidad media que circula por ua compoete de u circuito e circustacias diversas. Se supoe que la itesidad, e Departameto de Matemáticas 13

14 miliamperios, sigue ua distribució aproximadamete ormal co desviació típica de 1 miliamperios. Llevadas a cabo 5 medidas e istates elegidos al azar, se obtuvo ua media muestral de 85 miliamperios. 1) Estimar co ua cofiaza del 97 8% etre qué valores estará la itesidad media. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta.. Reserva de 5 Bloque 4 - B) U fabricate produce focos que tiee u promedio de vida co distribució aproximadamete ormal co ua desviació típica de 4 horas. Si ua muestra de 3 focos tiee ua vida promedio de 78 horas, 1) Calcula, co ua probabilidad del 96 6%, etre qué valores se ecotrará el promedio de vida de los focos de ese fabricate. ) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Juio de 6 Bloque 4 - B) La distribució de las putuacioes de u tipo de exame de matemáticas se cosidera ormal. Aplicado este tipo de exame a ua muestra de 81 persoas adultas se obtiee ua media de 6 4 y ua desviació típica de 3. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98 4% para la media de las putuacioes e la població adulta. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 4. Septiembre de 6 Bloque 4 - B) Se desea hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de texto. Para ello, se elige ua muestra aleatoria de 11 libros de texto ecotrado que tiee u precio medio de 3 euros. Si sabemos que los precios de los libros de texto sigue ua distribució ormal co desviació típica de 5 euros, 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98 8% para el precio medio de los libros de texto. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 5. Reserva 1 de 6 Bloque 4 - B) Las tesioes de ruptura de los cables fabricados por ua empresa se distribuye aproximadamete e forma ormal co ua desviació típica de 1 Nw. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 97% para la media de la tesió de ruptura de todos los cables producidos por esa empresa si ua muestra aleatoria de 49 cables de esa empresa ha presetado ua media de ruptura de 179 Nw. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 6. Reserva de 6 Bloque 4 - B) Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto e 64 comercios españoles elegidos al azar y se ha ecotrado ua media de 7 euros. Si los precios del producto se distribuye segú ua ormal co desviació típica de 6 euros. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 96 6% para la media de los precios de ese producto e España. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 7. Juio de 7 Bloque 4 - B) Para determiar cómo ifluye e la osteoporosis ua dieta pobre e calcio, se realiza u estudio sobre 1 afectados por la efermedad, obteiédose que toma ua media de calcio al día de 9 mg. Supoemos que la toma de calcio e la població de afectados por la efermedad se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 15. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 99% para la media de calcio al día Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 14

15 Cipri que toma toda la població afectada. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 8. Septiembre de 7 Bloque 4 - B) E u estudio sobre la coductividad térmica de u determiado material, e uas codicioes particulares, se ha tomado 81medicioes de coductividad térmica obteiédose ua media de E esas codicioes se sabe que la desviació típica de la coductividad es 3. Si supoemos que la coductividad térmica está distribuida de maera ormal, 1) ecotrar u itervalo de cofiaza al 96% para la coductividad promedio de este material. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 9. Reserva 1 de 7 Bloque 4 - B) La duració de los préstamos de libros e ua determiada biblioteca sigue ua distribució ormal co desviació típica de 8 días. Tomamos ua muestra de 1 libros de esa biblioteca y observamos que tiee ua duració media de préstamo de 14 días. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de los libros de esa biblioteca. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Reserva de 7 Bloque 4 - B) Se desea hacer u estudio sobre el peso de las cajas de cereales de ua determiada marca, para ello se elige ua muestra de 64 paquetes y se obtiee u peso medio de 195g. Sabemos que la distribució de los pesos de esas cajas de cereales es ormal co desviació típica de 1g. 1) Ecotrar u itervalo de cofiaza al 98% para el peso medio de todas las cajas de cereales de esa marca. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 31. Juio de 8 Bloque 4 B) Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u modelo de juguetes electróicos se elige ua muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo obteiédose ua duració media de 97 horas. Sabiedo que la duració de los juguetes electróicos de ese modelo se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 1 horas, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 99 % para la duració media de los juguetes electróicos de ese modelo. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 3. Septiembre de 8 Bloque 4 B) Tras múltiples observacioes se ha costatado que el úmero de pulsacioes de los deportistas etre y 5 años se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 9 pulsacioes. Si ua muestra de 1 deportistas de esa edad preseta ua media de 64 pulsacioes. 1) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de pulsacioes de los todos los deportistas de esa edad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 33. Reserva 1 de 8 Bloque 4 B) Para mejorar la duració de uas lámparas eléctricas, u fabricate está esayado u uevo método de producció que se cosidera aceptable por dar lugar a ua distribució ormal de desviació típica igual a 3 horas. Se toma ua muestra de 5 lámparas de este fabricate y se observa que su duració media es de 3 horas. 1) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de pulsacioes de Departameto de Matemáticas 15

16 los todos los deportistas de esa edad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 34. Reserva de 8 Bloque 4 B) Se quiere estudiar la media de edad de jóvees que se preseta a ua prueba para u puesto de trabajo e el ayutamieto de ua gra ciudad, para ello se elige ua muestra aleatoria de 1 jóvees que se preseta al prueba observado que la media de edad es años. Sabiedo que la variable estudiada se distribuye ormalmete e la població co desviació típica de 1 años, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la media de edad de los todos los jóvees que se preseta a dicha prueba. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 35. [Juio 9] La talla de los varoes recié acidos e ua determiada ciudad sigue aproximadamete ua distribució ormal co desviació típica de 4 cm. Si e ua muestra de 81 recié acidos de esa ciudad obteemos ua talla media de 51cm, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para la talla media de los recié acidos de esa ciudad. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 36. [Septiembre 9] La desviació típica del úmero de horas diarias que duerme los estudiates de u istituto es de 3 horas. Se cosidera ua muestra aleatoria de 4 estudiates de ese istituto que revela ua media de sueño de 7 horas. Supoiedo que el úmero de horas de sueño sigue ua distribució ormal, 1) ecotrar el itervalo de cofiaza al 97 % para el úmero medio de horas de sueño de todos los estudiates de ese cetro. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 37. [Reserva 1 de 9] Los siguietes datos so los pesos e gramos del coteido de 16 cajas de cereal que se seleccioaro de u proceso de lleado co el propósito de verificar el peso promedio: 56, 58, 499, 53, 54, 51, 497, 51, 514, 55, 493, 496, 56, 5, 59, 496 gramos. Si el peso de cada caja es ua variable aleatoria ormal co ua desviació típica de 5 gr. 1) Obteer el itervalo de cofiaza estimado al 9%, para la media de lleado de este proceso. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 38. [Reserva de 9] El valor medio del ídice de masa corporal (IMC) e los varoes etre 5 y 6 años de ua muestra represetativa de tamaño 464 de u determiado país es de 5 97 kg/m. Se sabe que el IMC es ua variable aleatoria ormal co ua desviació típica de 3 59 kg/m. 1) Obteer el itervalo de cofiaza estimado al 98% para la media del IMC de todos los varoes etre 5 y 6 años de ese país. ) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. 3) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 39. [Juio 1] Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u compoete electróico se elige ua muestra aleatoria de 36 compoetes obteiédose ua duració media de 4 horas. Sabiedo que la duració de estos compoetes electróicos se distribuye segú ua ormal co ua desviació típica de 1 horas. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97% para la duració media de los compoetes electróicos. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 16

17 c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 4. [Septiembre 1] Para determiar cómo ifluye la práctica diaria de deporte e el peso se ha realizado u estudio sobre 1 hombres que practica deporte de forma diaria. Obteiédose ua media de 65 kilos y supoemos que el peso e la població de persoas que practica deporte se distribuye segú ua ormal co ua desviació típica de kilos. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 95% para la media de peso de las persoas que practica deporte. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 41. [Reserva 1 de 1] La compañía eléctrica desea estimar el cosumo medio de electricidad por hogar e ua determiada ciudad. Se ha realizado ua ecuesta a 1 viviedas elegidas aleatoriamete de la ciudad. Se ha obteido u cosumo medio de 363,5 kilovatios al mes y se sabe que el cosumo de electricidad por hogar se distribuye segú ua ormal de desviació típica 1 kilovatios al mes. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza al 97% para la media de cosumo de electricidad por hogar. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido. c) Crees que será válido el itervalo de cofiaza obteido, si hubiéramos elegido las 1 viviedas más grades de la ciudad? Razoa tu respuesta. 4. [Reserva de 1] U experto e gestió de calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para realizar u proceso por parte de u cojuto de trabajadores. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado.6 segudos. Supoiedo que el tiempo de realizació del proceso se distribuye segú ua ormal co desviació típica.3 segudos. a) Ecotrar el itervalo de cofiaza del 97% para dicho tiempo promedio. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. c) Si quisiéramos u itervalo de cofiaza de meor acho, qué opcioes tedríamos? Razoa tu respuesta. 7.- PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS 43. E ua multiacioal la desviació típica de la edad media de sus trabajadores es de 5 años. Ua muestra aleatoria de trabajadores revela ua edad media de 4 años. Se puede afirmar co u ivel de sigificació del,5 que la edad media de los trabajadores es de 41 años? Cipri 44. Ua máquia de lleado está diseñada para llear bolsas co 3 g de cereales. Co el objeto de comprobar el bue fucioamieto de la máquia, se elige al azar 1 bolsas de las lleadas e u día y se pesa su coteido. El valor de la media muestral fue de 97 gramos. Supoiedo que la variable peso tiee ua distribució ormal co variaza 16, es aceptable el fucioamieto de la máquia al ivel,5? 45. Ua empresa de coservas vegetales evasa espárragos e latas de 4 gramos. El ecargado del cotrol de calidad ha tomado ua muestra de 16 latas, obteiedo ua media Departameto de Matemáticas 17

18 de 38 gramos. Se sabe que el coteido de las latas varía aleatoriamete siguiedo ua ley ormal co desviació típica igual a gramos. a) Cotrasta la hipótesis de que la empresa está evasado ua media de 4 gramos, co u ivel de sigificació igual a,5. b) Calcula el itervalo de cofiaza al ivel del 95% para el peso medio de las latas que produce la empresa. 46. Se quiere comprobar si ua máquia destiada al lleado de evases de agua mieral ha sufrido u desajuste. Ua muestra aleatoria de diez evases de esta máquia ha proporcioado los siguietes resultados:,49,5,51,48,53,55,49,5,5,49 Supoiedo que la catidad de agua mieral que este tipo de máquias deposita e cada evase sigue ua distribució ormal de media,5 litros y desviació típica, litros, se desea cotrastar si el coteido medio de los evases de esta máquia es de,5 litros, co u ivel de sigificació del 5%. a) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. b) Determiar la regió crítica del cotraste. c) Realizar el cotraste. 47. U fabricate de bombillas asegura que su duració, e miles de horas sigue ua distribució ormal de media 6 y desviació típica 5. Para ua muestra de 1 bombillas de este fabricate se obtuviero las siguietes duracioes: 3,5 35, 9,5 31, 3, 33,5 7, 8, 3,5 9, Se desea cotrastar co u ivel de sigificació del 5% si estos datos so compatibles co el valor afirmado por el fabricate. a) Platear la hipótesis ula y la alterativa del cotraste. b) Determiar la regió crítica del cotraste. c) Realizar el cotraste. d) Qué se puede cocluir? 48. U establecimieto vede paquetes de carbó para barbacoa de peso teórico 1 kg. Se supoe que el peso de los paquetes sigue ua distribució ormal co desviació típica 1 kg. Para cotrastar la citada hipótesis, frete a que el peso teórico sea distito de 1 kg, es escoge al azar 4 paquetes que pesa e kilogramos, respectivamete: Se desea que la probabilidad de aceptar la hipótesis ula, cuado esta es cierta, sea,95. Se pide: a) La regió crítica del cotraste. b) Se debe rechazar la hipótesis ula? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 18

19 Cipri Departameto de Matemáticas 19 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL z,,1,,3,4,5,6,7,8,9,,1,,3,4,5,5398,5793,6179,6554,54,5438,583,617,6591,58,5478,5871,655,668,51,5517,591,693,6664,516,5557,5948,6331,67,5199,5596,5987,6368,6736,539,5636,66,646,677,579,5675,664,6443,688,5319,5714,613,648,6844,5359,5753,6141,6517,6879,5,6,7,8,9,6915,757,758,7881,8159,695,791,7611,791,8186,6985,734,764,7939,81,719,7357,7673,7967,838,754,7389,773,7995,864,788,74,7734,83,889,713,7454,774,851,8315,7157,7486,7793,878,834,719,7517,783,816,8364,74,7549,765,8133,8389 1, 1,1 1, 1,3 1,4,8413,8643,8849,93,919,8438,8665,8869,949,97,8461,8686,8888,966,9,8485,878,897,98,935,858,879,895,999,951,8531,8749,8944,9115,965,8554,877,896,9131,979,8577,879,898,9147,99,8599,881,8997,916,936,861,893,915,9177,9319 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,933,945,9554,9641,9713,9345,9463,9564,9649,9719,9357,9474,9573,9656,976,937,9485,958,9664,973,938,9495,9591,9671,9738,9394,955,9599,9678,9744,946,9515,968,9686,975,9418,955,9616,9693,9756,949,9535,965,9699,976,9441,9545,9633,976,9767,,1,,3,4,9773,981,9861,9893,9918,9778,986,9865,9896,99,9783,983,9868,9898,99,9788,9934,9871,991,995,9793,9838,9875,994,997,9798,984,9878,996,999,983,9846,9881,999,9931,988,985,9884,9911,993,981,9854,9887,9913,9934,9817,9857,989,9916,9936,5,6,7,8,9,9938,9953,9965,9975,9981,994,9955,9966,9975,998,9941,9956,9967,9976,9983,9943,9957,9968,9977,9984,9945,9959,9969,9978,9984,9946,996,997,9978,9985,9948,9961,9971,9979,9985,9949,996,997,998,9985,9951,9963,9973,998,9986,995,9964,9974,9981,9986 3, 3,1 3, 3,3 3,4,9987,999,9993,9995,9997,9987,9991,9993, ,9987,9991,9994,9995,9997,9988,9991,9994,9996,9997,9988,999,9994,9996,9997,9989,999,9994,9996,9997,9989,999,9994,9996,9997,9989,999,9995,9996,9997,999,9993,9995,9996,9997,999,9993,9995,9997,9998 3,5,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999

INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos

INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos 1 INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL La mayoría de estos problemas ha sido propuestos e exámees de selectividad de los distitos distritos uiversitarios españoles. 1. Ua muestra aleatoria de 9 tarrias

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos)

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

14 Intervalos de confianza

14 Intervalos de confianza Solucioario 14 Itervalos de cofiaza ACTIVIDADES INICIALES 14.I. Calcula tal que P z < Z z α α = 0,87. P zα < Z zα = P Z zα P Z < zα = P Z zα 1= 0,87 P Z P Z P Z = 1,87 = 0,935. Buscado e el iterior de

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 99 REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas caras cabe esperar? Repite el razoamieto aterior para averiguar cuátas caras cabe esperar si lazamos 00 moedas

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.-.3 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,

Más detalles

CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA:

CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA: PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE / LOCE CURSO 4-5 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel

Más detalles

ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Autores: Ágel A. Jua (ajuap@uoc.edu), Máimo Sedao (msedaoh@uoc.edu), Alicia Vila (avilag@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Defiició Propiedades

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. 11-Septiembre-2014.

EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. 11-Septiembre-2014. EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. -Septiembre-04. APELLIDOS: DNI: NOMBRE:. Se quiere hacer u estudio sobre las persoas que usa iteret e ua regió dode el 40% de los habitates so mujeres.

Más detalles

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS

INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. El peso medio de ua muestra aleatoria de 100 arajas de ua determiada variedad es de 272 g. Se sabe que la desviació típica poblacioal es de 20 g. A u ivel

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B).

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos

Estimación puntual y por intervalos 0/1/011 Aálisis de datos gestió veteriaria Estimació putual por itervalos Departameto de Producció Aimal Facultad de Veteriaria Uiversidad de Córdoba Córdoba, 30 de Noviembre de 011 Estimació putual por

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

PRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441

PRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE CURSO 007-008 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

Para construir intervalos de confianza recordemos la distribución muestral de la proporción muestral $p :

Para construir intervalos de confianza recordemos la distribución muestral de la proporción muestral $p : Itervalos de Cofiaza para ua proporció Cuado hacemos u test de hipótesis decidimos sobre u valor hipotético del parámetro. Qué proporció de mujeres espera compartir las tareas de la casa co su pareja?

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció B Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A -1-6 -1 1 2 a 0 1 Sea las matrices A

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

Inferencia estadística. Distribuciones muestrales. 3. Establecer relaciones entre los parámetros de la población y los obtenidos de la muestra.

Inferencia estadística. Distribuciones muestrales. 3. Establecer relaciones entre los parámetros de la población y los obtenidos de la muestra. UNIDAD 9 Iferecia estadística. Distribucioes muestrales la Estadística se distigue dos partes perfectamete difereciadas. Ua de ellas se cooce co el ombre de Estadística Descriptiva y tiee como objetivo

Más detalles

TALLER DE ESTADÍSTICA 7. MUESTRAS Y ESTIMACIONES. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MAURICIO CONTRERAS

TALLER DE ESTADÍSTICA 7. MUESTRAS Y ESTIMACIONES. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MAURICIO CONTRERAS TALLER DE ESTADÍSTICA 7. MUESTRAS Y ESTIMACIONES. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MAURICIO CONTRERAS MUESTRAS Y ESTIMACIONES EN LA ESO Itroducció Cómo debe seleccioarse la muestra para que sea represetativa de

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5) SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 01 (MODELO 5) OPIÓN A EJERIIO 1_A ( 5 putos) U comerciate dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B. Las del tipo A las compra a 0 60 euros/kg

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

Variables aleatorias. Distribución binomial y normal

Variables aleatorias. Distribución binomial y normal Variables aleatorias. Distribució biomial y ormal Variable aleatoria Def.- Al realizar u experimeto aleatorio teemos u espacio muestral E. A cualquier ley o aplicació que a cualquier suceso de E le asocie

Más detalles

UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL

UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS. PARÁMETROS... 3.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD... 3 3.1.- Distribució Biomial... 4 3..- Distribució

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios. ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA VARIABLES ALEATORIAS TEORÍA DE MUESTRAS INTERVALOS DE CONFIANZA TEST DE HIPÓTESIS Matemáticas º de Bachillerato Ciecias Sociales Profesor: Jorge Escribao Colegio Imaculada Niña

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

Estadística Inferencial

Estadística Inferencial Estadística Iferecial El presete documeto es ua guía para el curso de iferecia estadística impartido e el Istituto Nacioal de Estadística Geografía e Iformática (INEGI), e el edificio de capacitació; y

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................

Más detalles

INDICE UNIDAD I UNIDAD II

INDICE UNIDAD I UNIDAD II INDICE UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Muestras aleatorias Errores e el muestreo Distribucioes muestrales Teorema del límite cetral Distribució muestral de medias Distribució muestral de proporcioes Distribució

Más detalles

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro.

Más detalles

ESTADÍSTICA. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

ESTADÍSTICA. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: ESTADÍSTICA Ejercicio º.- Al pregutar a 0 idividuos por el úmero de persoas que vive e su casa, hemos obteido las siguietes respuestas: Elabora ua tabla de frecuecias. Ejercicio º.- E ua empresa de telefoía

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2. - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

TEMA 8: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

TEMA 8: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS MÉTODOS ESTADÍSTICOS ARA LA EMRESA TEMA 8: ESTIMACIÓN OR INTERVALOS 8..- Itroducció a la estimació por itervalos 8..- Itervalos de cofiaza. Costrucció y características 8.3.- Itervalos de cofiaza para

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Informe sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Encuesta sobre Condiciones de Vida - ECV

Informe sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Encuesta sobre Condiciones de Vida - ECV Iforme sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Ecuesta sobre Codicioes de Vida - ECV EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDA INDICE. Itroducció...3 2. Método de expasió de Taylor...3 3. Cálculo de errores....4 3.

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA: PRUEBA CHI-CUADRADO χ 2

ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA: PRUEBA CHI-CUADRADO χ 2 Estadística o Paramétrica ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA: PRUEBA CHI-CUADRADO χ Autores: Jua Fracisco Moge Ivars (jmoje@uoc.edu), Ágel A. Jua Pérez (ajuap@uoc.edu) ESQUEMA DE CONTENIDOS Estadística o Paramétrica

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA. Curso 2012. Práctico I Introducción a los Métodos Estadísticos. Fecha de Entrega: 5 de Setiembre de 2012.

INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA. Curso 2012. Práctico I Introducción a los Métodos Estadísticos. Fecha de Entrega: 5 de Setiembre de 2012. INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Curso 01 Práctico I Itroducció a los Métodos Estadísticos. Fecha de Etrega: 5 de Setiembre de 01. 1 Parte A: Ejercicios Teóricos: Ejercicio N o 1 Pruebas de Beroulli

Más detalles

Estimaciones Estadísticas: Un Acercamiento Analítico. (Statistical Estimations: An Analitical Approach)

Estimaciones Estadísticas: Un Acercamiento Analítico. (Statistical Estimations: An Analitical Approach) Daea: Iteratioal Joural of Good Cosciece. 5(1) 37-55. ISSN 1870-557X 37 Estimacioes Estadísticas: U Acercamieto Aalítico (Statistical Estimatios: A Aalitical Approach) Badii, M.H. & A. Guille* Resume.

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

Cuadro II.1 Valores absolutos de peso (kg) de niños y niñas < 5 años de Costa Rica, 1966. pc3. pc25 5.3 5.6 5.7 6.1 7.2 5.5 7.6 7.8 8.4 6.4 7.4 9.

Cuadro II.1 Valores absolutos de peso (kg) de niños y niñas < 5 años de Costa Rica, 1966. pc3. pc25 5.3 5.6 5.7 6.1 7.2 5.5 7.6 7.8 8.4 6.4 7.4 9. II. CRECIMIENTO FÍSICO EN CENTROAMÉRICA Y REPÚBLICA DOMINICANA: MEDIDAS ABSOLUTAS PESO Y TALLA, POR EDAD Y SEXO Y COMPARACIÓN CON EL PATRÓN CRECIMIENTO LA OMS (2005) A. Por países 1. Costa Rica E los cuadros

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,

Más detalles

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga,

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES La serie estadística de Ídice de Precios al por Mayor se iició e 1966, utilizado e

Más detalles

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

MUESTREO ESTADÍSTICO PARA LA AUDITORÍA INTERNA DE GOBIERNO

MUESTREO ESTADÍSTICO PARA LA AUDITORÍA INTERNA DE GOBIERNO DOCUMENTO TÉCNICO N 64 Versió 0.1 MUESTREO ESTADÍSTICO PARA LA AUDITORÍA INTERNA DE GOBIERNO CONCEPTOS GENERALES MINISTERIO SECRETARÍA GENERAL DE LA PRESIDENCIA Este documeto es parte de ua serie de guías

Más detalles

7.2. Métodos para encontrar estimadores

7.2. Métodos para encontrar estimadores Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos

Más detalles

Midiendo el Desempeño

Midiendo el Desempeño Midiedo el Desempeño Prof. Mariela J. Curiel H. Midiedo el Desempeño Qué variables se desea medir Cuáles so las herramietas dispoibles Qué tecicas se utiliza para calcular los parámetros de etrada de u

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD. (Notas del curso) RAÚL RAFAEL URBAN RUIZ UNAM DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO FACULTAD DE ECONOMIA

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD. (Notas del curso) RAÚL RAFAEL URBAN RUIZ UNAM DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO FACULTAD DE ECONOMIA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (Notas del curso) RAÚL RAFAEL URBAN RUIZ UNAM DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO FACULTAD DE ECONOMIA Eero 2015 0 INTRODUCCION Los juegos de azar o quizá la ecesidad de medir la

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS Esperaza Mateos, Aa Elías, Gabriel Ibarra Uiversidad del País Vasco iapmasae@lg.ehu.es Resume Ua de las asigaturas

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

CAPÍTULO 7: INFERENCIA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS

CAPÍTULO 7: INFERENCIA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS Págia 1 de 13 CAPÍTULO 7: INFERENCIA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS E este capítulo etraremos al fial del ciclo del método cietífico, usado la iformació de la muestra para geeralizar y llegar a coclusioes

Más detalles

Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetición

Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetición Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetició 1. Calcular el factorial de u úmero etero itroducido por teclado. 2. Calcular de la suma y la media aritmética de N úmeros reales. Solicitar el valor de N al

Más detalles

Revisión de conceptos: S 2 p ( 1 p ) Distribución binomial: Programa de Efectividad Clínica 2003 Bioestadística Vilma E. Irazola.

Revisión de conceptos: S 2 p ( 1 p ) Distribución binomial: Programa de Efectividad Clínica 2003 Bioestadística Vilma E. Irazola. Programa de Efectividad Clíica 003 Bioestadística Vilma E. Irazola DATOS CATEGORICOS COMPARACION DE PROPORCIONES Revisió de coceptos: Cotiuos Tipos de datos Discretos Categóricos Ejemplo: Variable a a

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir,

Más detalles

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables :

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables : 1 1. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 1.- Calcular los itereses producidos por u capital de 1800 colocado 10 días al 7% de iterés aual simple. a) Cosiderado el año civil. b) Cosiderado el año comercial.

Más detalles