Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 2: Descripciones bivariantes y regresión

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1 Eerccos Resueltos de Estadístca: Tema : Descrpcoes bvarates regresó

2 . E u estudo de la egurdad e Hgee e el Trabao se cotrastó la cdeca del tabaqusmo e la gravedad de los accdetes laborales. Cosderado ua gradacó de Mu fumador hasta No fumador como meda del tabaqusmo, ua gradacó de Mu grave a Leve e el tpo de accdete. e etrao ua muestra de 55 dvduos que había sufrdo u accdete laboral. Los resultados se preseta e la sguete tabla de cotgeca(tabla de doble etrada): e pde: Mu Grave Grave Lesoes Med Leves Mu Fumador Fumador Fumador Esporádco No Fumador Represetar los datos aterores gráfcamete. Calcular las dstrbucoes margales para cada ua de las varables de estudo. 3. Costrur ua tabla de dstrbucó de frecuecas porcetuales dode aparezca las dstrbucoes de la varable de tpo de Lesó codcoada a cada ua de las varables del Fumador. 4. Estudar s las varables está asocadas o o por medo de ua medda descrptva. Realzar u aálss gráfco cometar los resultados. OLUCIÓN: a) b) e obtee a partr de la tabla de doble etrada sumado las frecuecas las flas, o be por columas segú el caso.

3 Marg. Tabaqusmo FREC. Marg.Accd. Lab. FREC. Mu fumador 70 Mu grave 65 Fumador 40 Grave 30 Fumador Esporádco 0 Lesó meda 40 No fumador 05 Leve c) La dstrbucó de ua varable codcoada a que otra varable tome u determado valor de la dstrbucó de frecuecas de la varable cuado mateemos fo el valor codcoate de otra varable. Mu Grave Grave Lesó Med. Leve Mu Fum % Fumador % Fum.Espor % No Fum % Marg.Lesó % Como eemplo del cálculo de la dstrbucó porcetual del Tpo de lesó codcoado al dvduo sea Mu Fumador se realzará dvdedo cada ua de las frecuecas de la fla Fumador etre el úmero total de Mu Fumadores después multplcaramos como ((0/70)*008.57; (0/70)*004.9, ). d) (Este apartado lo vamos a realzar sobre ua msma tabla) La medda descrptva de la asocacó etre las varables vee dada a través de la medda que dca la dstaca relatva que este etre la tabla de frecuecas observadas e la tabla de frecuecas esperadas s las varables fuera depedetes. La epresó para las frecuecas esperadas es la sguete:

4 Dode E es la frecueca esperada e la celda (,), F es la suma de las frecuecas de f C es la suma de las frecuecas de la fla. La dstaca relatva al cuadrado que este etre ua celda de la tabla de frecuecas observadas es la msma celda de la tabla de esperadas vee dada por: Y la suma de todas ellas recbe el ombre de (-cuadrado). Por otra parte podemos estudar cuáles so los pares de categorías que flue e maor medda e la esteca de la asocacó. Este lo realzaremos por medo de aálss gráfco atededo al sguete crtero: [z ]<.645, le asgaremos el símbolo. (flueca mu débl).645<[z ].960, le asgamos o. (flueca débl).960<[z ].576 le asgamos O (flueca fuerte) [z ] >.576, le (flueca mu fuerte) La tabla dode se reflea lo epuesto es la sguete: Mu Grave Grave Lesó Med. Leve Marg.Tab M.F Obs M.F Esp M.F z M.F O O. 70 F. Obs F Esp F: z

5 40 F.E Obs F.E Esp F.E z O 0 No F. Obs No F. Esp No F. z No F. m.. O O. o 05 Marg. Lesó X este valor depede del tamaño de la muestra de la forma de la tabla, por tato utlzaremos el valor V de Cramer como medda descrptva de la asocacó etre varables, esta medda esta compredda etre 0, sedo las varables depedetes cuade vale 0 estedo asocacó perfecta cuado vale. La epresó para V es: E este caso vale E u estudo sobre el sesmo e el trabao se cotrastaro las varables seo vel de gresos. Los resultados obtedos sobre ua muestra de 58 dvduos se preseta e ua tabla de doble etrada: Alto Medo Bao Bao Hombre Muer e pde:

6 a) Represetar gráfcamete las varables e estudo. b) Calcular ua medda descrptva del vel de asocacó etre ambas varables. Realzar u aálss gráfco aalzar los resultados. OLUCIÓN: a) b) Alto Medo Bao Marg.eo Hombre Obs Hombre Esp Hombre z Hombre m. O.. 63 Muer Obs Muer Esp Muer z Muer m. O.. 65 Marg. alaro V0.7

7 3. De ua determada empresa se cooce los sguetes datos, referdos al volume de vetas ( e mlloes de pesetas) al gasto e publcdad ( e mles de pesetas) de los últmos 6 años: Volume de vetas(mll. Ptas) Gastos Publcdad(mles ptas.) a) Este relacó leal etre las vetas de la empresa sus gastos e publcdad? Razoa la respuesta. b) Obteer las rectas de regresó mímo cuadrátco. c) Qué volume de vetas de la empresa se podría esperar e u año que se gaste de publcdad pesetas? Y para u gasto e publcdad de pesetas? d) lo úco que teresase fuese la evolucó del volume de vetas e térmos de gastos e publcdad, s teer e cueta la catdad cocreta de cada uo de ellas, estría correlacó ordal etre ambas varables? OLUCIÓN: a) Dbuamos prmero el dagrama de dspersó:

8 Observádolo podemos decr que este relacó leal etre ambas varables. Ahora calculamos el coefcete de determacó leal para obteer ua medda descrptva del grado de asocacó leal que este etre las varables. La epresó del coefcete de determacó es: Dode represeta la covaraza de las varables X e Y. Cua epresó smplfcada es: Para clarfcar la forma de cálculo costrumos la sguete tabla: ( varable X Gastos de publcdad varable Y Volume de vetas) Y X Y X XY X ; Y.5; s 0.870; s 58 ubsttuedo obteemos que r vale que es lo que cabía esperar después de observar el dagrama de dspersó. b) epresamos las rectas de regresó como * a+b * c+d los coefcetes de los calculados so como: Aplcádolas a este problema obteemos las rectas de regresó:

9 Y * ; X * c) Para realzar la predccó del volume de vetas utlzamos la recta de regresó que tee las vetas e fucó de los gastos e publcdad. Para u gasto e publcdad de pesetas obtedremos u volume de vetas de * * mlloes de pesetas. el gasto es de 00 mlloes de pesetas o podemos utlzar la recta de regresó puesto que el valor 00 esta fuera del recorrdo del gasto e publcdad. susttumos os da u valor de 7604 mlloes de pesetas, pues las rectas sólo so váldas detro del rago o para valores prómos a los etremos del recorrdo. d) Para solucoar este apartado calculamos el coefcete de correlacó ordal de pearma. El coefcete de pearma cosste e calcular el coefcete de correlacó leal de los datos trasformados a través de la fucó rago. Y X Rag Y Rag X d D El coefcete de pearma cuado o este empates e los ragos, como ocurre e estos datos, tee la sguete epresó: E este caso r s es por tato este correlacó ordal postva perfecta, es decr a maor gasto e publcdad maor volume de vetas. (Podemos observar que la correlacó leal o es perfecta s embargo la correlacó ordara s lo es). 4. U baco estatal de certo país está estudado la posbldad de baar los tpos de terés para cetvar la versó prvada, así abrr la posbldad de creacó de puestos de trabao. Para ello cotrasta los tpos de terés real de dferetes países co la

10 versó prvada e los msmos, todo ello durate el últmo período. Obteédose los resultados que aparece refleados e la sguete tabla: INVERION(mles mlls Tpos de Iterés(e tatos por uo) a) Este relacó leal etre ambas varables? Razoa la respuesta. b)costrue la recta de regresó que eplca la versó e flueca de los tpos de terés real. c) Cómo vararía la versó s se produce u cremeto de ua udad e los tpos de terés real? Razóalo s ecesdad de hacer gú cálculo. d) el tpo de terés real baa de 0.8 a 0.09, cómo vararía la versó? OLUCIÓN: Para facltar el segumeto de los cálculos ecesaros para resolver el problema costrumos la sguete tabla resume: (varable Xtpo de terés real; varable Yversó). Y X Marg.Y f f Marg. X f f

11 f X(meda)0.5; Y(meda)94.6; s 0.055; s 56.48; s Para estudar la relacó leal etre las varables tpo de terés e versó utlzaremos el coefcete de determacó como medda descrptva de este hecho.. * El cremeto e ua udad de la varable depedete cocde co el valor de la pedete de la recta; e este caso el cremeto será de ( observamos que e este problema el cremeto es fctco pues se sale del recorrdo de la varable depedete). 4. El cremeto será el producto etre la pedete la dfereca etre el tpo de terés e los dos estados, es decr, aumeta e *( )85.388mles de mlloes. 5. Ua compañía dscográfca ha recoplado la sguete formacó sobre 5 grupos muscales, a saber, el úmero de cocertos dados este verao las vetas de dscos de estos grupos( e mles de LPs), obteedo los sguetes datos: CONCIERTO LPs a)calcula el úmero medo de LPs veddos por estos grupos. b)obteer la recta de regresó que eplca la depedeca leal c) u grupo muscal ha veddo 800 LPs, Qué úmero de cocertos se prevee este verao? OLUCIÓN: a) 9000 LPs

12 c) *8.+.4 d) *8.+.4* Cocertos. 6. Co obeto de aalzar s este relacó leal etre el cosumo de eergía eléctrca(kw.hora), varable X el volume de produccó e mlloes de pesetas, varable Y, de ua empresa se ha obtedo la sguete formacó: e pde:. Aústese la recta de regresó leal que eplca el cosumo de electrcdad e f del volume de produccó. Razóese la valdez de la recta austada OLUCIÓN: a) * b) r Ua empresa de maufacturas basa las predccoes de sus vetas auales e los resultados ofcales de la demada total e la dustra. A cotuacó se da los datos de demada total las vetas efectuadas por la empresa e los últmos años. demada total (mles de tm) vetas (mles de tm) Dbuar los dagramas de dspersó de los datos.. Trazar la recta que mas se auste a los datos.

13 3. Por medo de u auste mímo cuadrátco ecotrar la recta que más se auste a las vetas de la empresa e fucó de la demada total. la demada total dustral es de toeladas, Qué volume de vetas se predecría usado la recta de regresó calculada? s utlzamos la recta ecotrada e el apartado b)? 4. Realza la valdez del auste leal realzado e el apartado ateror. Utlzado el método robusto de auste de ua recta basado e la medaa, para obteer ua recta de auste e los térmos del apartado c). Realza la predccó del apartado c. utlzado esta recta OLUCIÓN:. XDemada Total, YVetas. * ; * * Mles de To. 3. r0.80; r Para calcular la recta robusta de auste basada e la medaa se procede de la sguete forma:. e dvde la muestra ordeada por la varable X e tres partes apromadamete guales, e este caso hemos tomado 4, e calcula la medaa para las varables X e Y e el prmer tercer subcouto de datos. Prmer subcouto: Me(X)05 ; Me(Y)5.5 Tercer subcouto: Me(X)385 ; Me(Y) 3. Uedo los putos obteemos la recta robusta de auste. La epresó para la pedete(b r) para el térmo depedete(a r) so:

14 usttuedo obteemos R * mles de To.( NOTA: ambas rectas está dbuadas sobre el dagrama de dspersó. El sgo. del gráfco correspode a los putos(, ) (, ) el sgo (cuadrado) a los datos del problema). 8. e está estudado la relacó etre el úmero de años que ua persoa está aflada al sdcato el vel de satsfaccó co la actuacó de dcho sdcato. Para ello se parte de los datos de 7 dvduos tomados aleatoramete de persoas adscrtas a partdos polítcos, obteédose: Años atsfaccó Calcular el coefcete de correlacó leal. Cometar el resultado obtedo.. Predecr el ídce de satsfaccó de ua persoa que lleva años mltado al sdcato. Coocedo que el ídce de satsfaccó es de 6 predecr los años que lleva e el sdcato OLUCIÓN:. r0.7. * ; * *8.33 e la escala de satsfaccó. 3. * *; * * años. 9. E ua regó vícola se observó la evolucó del preco( e pesetas/ltro) la catdad de produccó( e toeladas) durate alguos años. Mrad la tabla: Produccó Calcula la recta de regresó leal que poe el preco e fucó de la produccó.. Aalza razoadamete la valdez de la recta obteda aterormete.

15 Etre que valores estará el preco cuado la produccó está etre 5 35 toeladas? Razoa la respuesta. OLUCIÓN:. * r0.556 ; r * * e * * ; el preco estará etre pesetas 0. Dados los sguetes coutos de datos: U V W X Dbuar el dagrama de dspersó de cada uo de los coutos de datos.. Calcular la recta de regresó de cada uo de los coutos de datos dbuarla e el dagrama de dspersó, cosderado como varables depedetes las varables U,W,X. 3. Calcular el coefcete de correlacó leal para cada uo de los coutos. 4. Qué podemos observar? 5. Elmado los outlers vuelve a calcular loa apartados b c. 6. Qué otras rectas te parecería mas adecuadas e los coutos aterores? Razoa la respuesta. 7. Calcula la recta de auste robusto Qué coclusoes podemos etraer de este problema? OLUCIÓN: a)

16 . v* u ; * w 3. r uv ; r w Podemos observar que ambas rectas so eactamete guales que la relacó leal e ambas es la msma, pero se puede aprecar e las varables U/V la recta es más represetatva que e el otro caso. Observamos que la preseca del outler puede cambar el resultado esperado. 5. E el dagrama de dspersó U/V o se observa outlers. E el dagrama W/X se adverte la preseca de u outler, que es el puto( 4.7,4.86) s lo elmamos obteemos la *6.646 la asocacó leal etre ellas es ula, 6. Este apartado se realzará para las varablea U/V v R u. 7. La prcpal coclusó es que ha que dbuar sempre el dagrama de dspersó de datos.. U gerete de recursos humaos desea determar el salaro que debe pagar acerta categoría de obreros. Para determar dcho salaro que debe pagar a certa categoría de obreros. Para determar dcho salaro se realza u estudo e el que tervee las varables alaro Mesual( e mles de ptas), Nvel de Produccó Aual e la Empresa( e mlloes de ptas) Nvel de especalzacó Meda del Trabaador ( de 0 a 0). El gerete obtee esta sere de resultados:

17 al Prod Esp e pde:. Calcular el plao de regresó leal mímo cuadrátco que eplca el salaro e fucó de la produccó del vel de especalzacó.. Estuda la valdez de la fucó obteda e el apartado ateror por medo de ua medda descrptva. Cuáto vale la varaza resdual? 3. Calcula el coefcete de correlacó parcal para dos varables eplcatvas. 4. Cometa los resultados. Qué salaro se debería pagar s el vel de produccó fuese de 35 mlloes de ptas. el vel medo de especalzacó de 6.6? OLUCIÓN: ) Varable Yalaro X Produccó X Nvel de especalzacó. La tabla de cálculos es: Y X X Y X X YX YX X X

18 La recta a costrur tedrá la forma * a+b +b para calcular los coefcetes de la recta aparece u stema de Ecuacoes Come éste: Co estos datos el sstema de ecuacoes a resolver es:.3 0a +83.3b +57.6b a b b a b b Que tee por solucó a5698 b 0.58 b Por tato el plao de regresó es : * ) Las meddas descrptvas que vamos a utlzar so el coefcete de determacó el de correlacó. Y defdas sería así: El coefcete de determacó múltple vee epresado como:

19 Dode s es la varable resdual. Ua epresó de la varaza resdual que smplfque el cálculo es: E este caso R R0.66 s El coefcete de correlacó parcal etre la varable depedete ua varable eplcatva mde la fuerza de la relacó leal etre ambas cuado elmamos el efecto leal de las otras varables eplcatvas. u resultado es: Dode CE( ) es la varacó o eplcada. Observado esta epresó vemos que el coefcete de determacó parcal os da el cremeto relatvo de la varable aplcada. El coefcete de correlacó parcal se cosgue de la raz cuadrada del coefcete de determacó. E este caso CE( )58.5 CE( ) CE(, ) r 0.57 r 0.4 * * * El gerete de ua determada empresa desea coocer, de forma apromada, la demada aual de producto que se realzará a la empresa e años futuros. Para determar esta demada realza u estudo e el que tervee las varables Preco Medo del Producto e u Año (e pesetas), Tasa de flacó Aual (IPC)(e tatos por uo) la Demada Aual (e mles de mlloes de pesetas). E ua muestra de 0 años obtee los sguetes resultados: (DemadaY, Preco, IPC )

20 Calcular: a) Determar a partr del coefcete de correlacó leal múltple la valdez de la fucó ateror. Cuáto vale la varaza resdual? b) Determar el coefcete de correlacó parcal para cada ua de las varables eplcatvas calcula el coefcete de determacó para e. c) Qué varacó se produce e la demada s el preco se cremeta e 3 udades permaecedo fo el IPC? s se reduce el IPC e 0,03 permaecedo fo el preco? Razoa la respuesta. d) Qué varacó porcetual se producría e la demada s el preco vara de 56 a 59 pesetas el IPC permaece costate e gual a 0,04? e) Qué volume de demada predecrías para u año e que el preco es de 59 pesetas el IPC aual prevsto es del 3,5%? OLUCIÓN: a) b) CE( 0,9585; CE( 0,4587; CE( )0,7046; 0,683934; 0,66746; c) La varacó e la demada será tres veces la pedete correspodete a la varable Preco, e este caso se producría ua reduccó e la demada de 0,084 mles de mlloes de pesetas. La varacó e la demada será u aumeto de demada de 0,06 mles de mlloes de pesetas. d) La varacó porcetual es el cocete etre la varacó total la stuacó cal por 00. E este problema será de: (-0,084/ )00-,08% e) *.959-0, , ,0350,903 mles de mlloes de pesetas. 3. Las calfcacoes obtedas por 9 alumos e los eámees del prmer trmestre del segudo so: º º Calcular: - este correlacó etre los resultados. - Las rectas de regresó de sobre de sobre

21 OLUCIÓN: Costrumos la sguete tabla: : Calcular el coefcete de correlacó las ecuacoes de las rectas de regresó de la dstrbucó aduta.,65-,70,70-,75,75-,

22 Tallas Pesos OLUCIÓN: Efectuamos u cambo de varable medate 0 + a 0 + b 0,75 ; a 0, ,5 ; b 5 Llamado: Tallas e Peso, costrumos la sguete tabla: - 0 f f f,675,75 775,65-,70,70-,75,75-,80-7, , , f f f

23 - Coefcete de correlacó - Recta de regresó de sobre Luego 3- Recta de regresó de sobre Luego 5. Elegdos 50 matrmoos al azar pregutada la edad de ambos al cotraer matrmoo, se obtuvo la sguete tabla bdmesoal: Edad del mardo. Edad de la esposa. Calcular:

24 - Recta de regresó de sobre. - Recta de regresó de sobre. OLUCIÓN: Costrumos la sguete tabla: f f f 7,5,5 7,5 3,5 37, , , , , f f f Hemos efectuado el cambo de varable

25 Resulta: Coefcete de regresó de sobre Recta de regresó de sobre Coefcete de regresó de sobre Recta de regresó de sobre 6. e ha estudado los pesos e kg las tallas e cm de 70 dvduos obteédose los datos de la tabla sguete: PEO/TALLA Hallar el peso medo la talla meda así como el error cometdo al resumr pesos tallas por sus valores medos Que meda es meor?

26 . Hallar la dstrbucó segú las tallas de los dvduos que pesa 54 kg la dstrbucó segú los pesos de los dvduos que mde etre 6 cm 67 cm. Hallar meda varaza de las dos dstrbucoes codcoadas. OLUCIÓN: llamamos X a la varable pesos e Y a la varable tallas, los datos puede arreglarse e ua tabla de doble etrada como sgue para realzar los cálculos: X/Y N. N. N , Para hallar el peso medo la talla meda se calculará las medas de las dstrbucoes margales de X e Y respectvamete. Asmsmo para cuatfcar el error cometdo al resumr pesos tallas por sus valores medos se cuatfcará los coefcetes de varacó de pearso para ambas margales. Las dstrbucoes margales de X e Y so las sguetes: X. Y

27 Teemos lo sguete: X 5 N ,7 70 Y 6 N ,7 σ ,7 X N 70,98 σ ,7 Y N 70 0,3 V σ X,98 54,7 0,0665 6,65% V σ Y 0,3 65,7 0,09,9% e observa que el meor coefcete de varacó es el relatvo a la talla meda, que resulta ser así u promedo más adecuado. La dstrbucó segú las tallas de los dvduos que pesa 54 kg es la dstrbucó de Y codcoada a X54, la dstrbucó segú los pesos de los dvduos que mde etre 6 cm 67 cm es la dstrbucó de X codcoada a Y6,64, 66. X/Y6, 64, 66 /, 3, 4 Y/X54 /

28 La meda la varaza de cada ua de estas dos dstrbucoes codcoadas se calcula de la msma forma que para cualquer dstrbucó de frecuecas. X / Y / 5 N Y 6,64,66 /,3,4 6 N X 54 / 3 65, σ / 6,64,66 /,3, N σ / 54 / 3 65,33 65,33 5,55 N e cosdera la varable bdmesoal (X, Y) cua dstrbucó de frecuecas se preseta e la tabla sguete: X/Y Estudar s las dos varables so depedetes utlzado la dstrbucó couta las margales.. Estudar s las dos varables so depedetes utlzado las dstrbucoes margales las codcoadas. 3. Hallar la covaraza de X e Y. OLUCIÓN: Para estudar la depedeca de las dos varables utlzado la dstrbucó couta las margales teemos que comprobar queff.f. \/,. La prmera tarea será costrur ua tabla co la dstrbucó couta (f/n) co las margales (f../n f../n).

29 X/Y f f. 0, , , , , , , , , , , ,4857 0, , ,5 f. 0,4857 0, , , Ya estamos e codcoes de probar que f f f,. Para ello ordearemos los cálculos f f como se dca a cotuacó: 0,48*0,6666 0,857*0,6666 0,48574*0,6666 0,374*0,6666 0,48*0, ,857*0, ,48574*0, ,374*0, ,48*0,5 0,857*0,5 0,48574*0,5 0,374*0,5 Observamos que, ua vez realzados estos cálculos, se obtee la tabla de la dstrbucó couta f. f 0, , , , , , , , , , , , , , , ,357486

30 Para estudar la depedeca de las dos varables utlzado las dstrbucoes margales las codcoadas teemos que comprobar que f f,. / f/ f/ f/3 f/4. f/ 3/4 4/4 /4 5/4 4 f/ 6/8 8/8 4/8 0/8 8 f/3 9/4 /4 6/4 5/4 4 f. 8/84 4/84 /84 30/84 84 Observamos que se cumple f/ \/, a que: 3 /4 6 / 8 9 / 4 8 / 84 4 /4 8 / 8 / 4 4 / 84 /4 4 / 8 6 / 4 / 84 5 /4 0 / 8 5 / 4 30 / 84 Para estudar la depedeca de las dos varables utlzado las dstrbucoes margales la codcoadas també podríamos comprobar que f/f. \/,. f/ f/ f/3 f/4 f. 3/8 4/4 / 5/30 4/84 6/8 8/4 4/ 0/30 8/84 9/8 /4 6/ 5/30 4/ Observamos que se cumple f/f. \/, a que: 3 /8 4 / 4 / 5 / 30 4 / 84 6 /8 8 / 4 4 / 0 / 30 4 / 84 9 /8 / 4 6 / 5 / 30 4 / 84

31 La covaraza etre X e Y vee dada por la epresó: σ N h k ( )( ) Luego para su cálculo ecestamos las medas de las dos margales X e Y, que se calculará co los datos de la tabla: X/Y X Y 3 N 4 N 386 6, ,64 La covaraza, que será cero debdo a la depedeca, puede calcularse como sgue σ [( 6,5)(5 4,6) + ( 6,5)(4 4,6) + ( 6,5)(7 4,6) + ( 6,5)(30 4,6) + N (5 6,5)(5 4,6) + (5 6,5)(4 4,6) + (5 6,5)(7 4,6) + (5 6,5)(30 4,6) + (9 6,5)(5 4,6) + (9 6,5)(4 4,6) + (9 6,5)(7 4,6) + (9 6,5(30 4,6) + 0 La covaraza també puede calcularse de la forma sguete m σ XY XY N ,5 4,64 84, 0, 3455 X/Y z z33 z44 z

32 E ua empresa se toma ua muestra de 00 trabaadores co la faldad de estudar s ha relacó etre su edad X los días que está de baa e el año Y. se obtee los sguetes resultados: X/Y es smétrca la dstrbucó del úmero de días de baa de los trabaadores?. Cuál es la edad más frecuete de los trabaadores que pde la baa? 3. Austar medate u modelo epoecal los días de baa e fucó de la edad. 4. realzar el msmo auste cosderado u modelo leal. 5. Cuál de los austes es el meor? OLUCIÓN: Para realzar los cálculos ecesaros elaboramos la tabla sguete: X/Y c h/c , , , E N

33 Realzamos los sguetes cálculos: a X N 00 34, a Y N 00 9, m0 σ X a0 a0 34, 30,3 69,64 60,66 N 00 3 a m0 σ Y a0 a0 9,8 564 { 39,04 7, 96 N 00 a a Y N 00 9,8 Para estudar la asmetría del úmero de días de baa de los trabaadores calculamos el coefcete de asmetría de Fsher de la varable margal Y como sgue: g m 43,84 ( 7,96) σ 3 Y 0,99 e observa que ha ua lgera asmetría haca la derecha, pero mu pequeña. Los días de baa se dstrbue cas smétrcamete a lo largo del año. Para calcular la edad más frecuete de los trabaadores que pde la baa hallaremos la moda de la varable margal X. Observamos que el tervalo modal es [30,40] a que es el que tee maor frecueca. El cálculo de la moda se realza como sgue: M d+,5 L + c años d + d,5 +,5 0 + Ahora tetaremos austar los días de baa e fucó de la edad de los trabaadores medate u modelo de regresó epoecal de ecuacó ab

34 ab Log( ) Log( a) + Log( b) La regresó epoecal es equvalete a la regresó leal co varable depedete log() co varable depedete. Los cálculos para esta regresó se preseta e la tabla sguete: X/z,477,699. z z z33 z , , ,478 37,86 93, ,573 38,75 58, ,95 60,35 449,086 z ,790 5,9,08 z , ,979 53,66 El parámetro log(b) se estma por mímos cuadrados medate: X σ N, Log( b) σ σ a b XZ X X Los parámetros fales buscados a b del modelo epoecal se estmará medate: 0 0, , 078 0,04 3,99 El modelo estmado tee la ecuacó 3 3,99(,04) Para medr la caldad de este auste podemos utlzar el coefcete de determacó R² que se calcula como: R 3 3 ( (3,99(,04) σ e σ σ Y )) 6,4 7,96 0,6 El auste o es de caldad porque R² esta más cerca del cero que de la udad. El auste por regresó leal de la forma a+b sedo:

35 σ b σ N XY ,0*9,80, σ 60,66 0,854 a Y bx 9,8 0,854 * 34,0 9,4 El coefcete de determacó será e este caso el cuadrado del coefcete de correlacó que se calcula como sgue: r σ σ XY Xσ Y ( N, σ X σ Y XY ) ,0*9,80 60,66*7,96 0,536 Para realzar el calculo de 7860 se utlza la sguete tabla:, X/Y El auste leal tampoco es de caldad por que R² esta más cerca de cero que de la udad. Además el auste epoecal es meor que el auste leal por que su coefcete de determacó es maor (0,6>0,5536). 9. Los ahorros los gresos Y mesuales e cetos de euros de ua muestra de 0 famlas de ua determada regó se preseta e la sguete tabla:,9,8,0,,9,0,,3,7 3,0 Y 0,5 0,8,,7,,3,,6 3, 3,5

36 . Austar los datos aterores a u modelo leal que eplque lo ahorros famlares e fucó de los gresos de la regó dada.. Austar los datos aterores a u modelo leal parabólco que eplque los ahorros famlares e fucó de los gresos para la regó dada. 3. Qué auste es el meor? 4. Qué ahorro se puede prever para ua famla de la regó que grese 500 euros mesuales? OLUCIÓN: Comezaremos elaborado ua tabla de datos adecuada para los cálculos a realzar e el problema. I 3 4,9 0,5 38,95 40,5 798, ,5 7660,063,8 0,8 37,44 43,64 778, ,9 8777,37, 4,4 449,44 898,88 958,8 0996,34,,7 45,57 470,89 988,869 08,33 737,39,9, 4,99 488,4 97, , ,38,3 44,6 497,9 994,58 089, ,344,, 48,84 49,84 084,48 094, ,66,3,6 5,98 50,76 74, , ,778,7 3, 6,37 533,6 440,747 36, ,63 3 3,5 70,5 55,5 656,75 977, ,063 uma- >, , , , , ,55 El modelo leal sguetes: a + b puede austarse medate el sstema de ecuacoes ormales 0 0 Na + b a b 0

37 ,90a+0b 484,640a+4848,38b a-5,4 b0,34 Luego el modelo leal austado será: 5,4 + 0, 34 Para medr la caldad de auste leal utlzamos el coefcete de correlacó o su cuadrado, el coefcete de determacó, que se calcula como sgue: r σ σ Y σ s 0,84 0,838 * 0,39 0,7457 e observa que la caldad del auste es buea por que el coefcete de determacó es alto (el coefcete de correlacó vale 0,7457 0, 85 que es u valor elevado dcatvo de alto grado de relacó etre el ahorro la reta de las famlas. 0. La versó K el producto teror bruto se relacoa medate la epresó c ak. e pde austar ua fucó Cobb-Douglas a los datos sguetes:,6,9 3,4 4, 5, 6,0 7, 9,, 3, 5, 7,3 9,9 K 0,6 0,6 0,8,0,3,4,6,9,,5,9 3,5 3,9 OLUCIÓN: e trata de u auste tpo potecal. Todo este tpo de austes se resuelve aplcado logartmos para lea rzar de la sguete forma: ak c Log( ) Log( a) + clog( K) Z Z A X A + c,37 3 A +,540 c 3,8349,540 A +,3963c A0,647 C, Luego el modelo de Cobb-Douglas austado será:

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