ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Nº 1.- Hallar: Media, moda, mediana, 1er cuartil, 6º decil, 52 percentil de la siguiente distribución:

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1 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Nº.- Hallar: Media, moda, mediana, er cuartil, º decil, 5 percentil de la siguiente distribución: Xi 5 ni 5 9 Xi 5 ni Ni 7 5 MEDIA 0,89 MODA Mo Valor de la variable que más veces se repite MEDIANA Me Valor de la variable que deja por debajo suya el 50% de los valores, valor central de la distribución 8 Valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea 8, en este caso Me T 9 Valor de la variable que deja el 5% de los valores debajo suya, el valor de la variable que ocupa el lugar 9º º decil es al percentil 0 lugar Percentil 5 T 5 00 T T 0 00 T, El valor de la variable que ocupa el 5 T 8, 7 El valor de la variable que ocupa el lugar 9 00

2 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- De las 8 personas encuestadas en 99 sobre si se encontraban afiliados a algún sindicato, 8 contestaron afirmativamente. Con los resultados afirmativos y clasificados según la edad obtenemos la siguiente tabla: Edad Nº personas Marca de clase Ni Hallar: Media aritmética. Mediana. Moda. er cuartil, º decil y 5 percentil. edad de las personas encuestadas Media 00 7, 8 Mediana Me 8 Intervalo mediano es el intervalo que contiene a la mediana, como N/ es el intervalo mediano es aquel que contiene a los valores que ocupan los lugares y, es decir el intervalo (5-5) 8 0 Me 5 T / & 0,55 5 Moda Mo Intervalo modal es aquel que contiene la moda, la moda se encuentra en el intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como los intervalos son de igual amplitud, el de mayor densidad de frecuencia coincide con el de mayor frecuencia, es decir el intervalo (5-5), y dentro de él consideramos como la moda, la marca de clase, es decir Moda Mo 0. También podemos aplicar la formula: 0 / nos queda: F F F F Ÿ Como todos los c i son iguales la formula 0 / F es la moda 0

3 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla: L i- - L i n i f i N i f n 0, N f n 0, N n 5 f 5 00 N 00 N N - n N N - n f Ÿ n f N (0,) 00 0 N N n n 5 N 5 - N f 0 0, 00 f 0 0,5 00 f ,05 00 La tabla completa queda: L i- - L i n i f i N i , , , , ,05 00

4 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Se desea conocer la media de edad de los tres grupos de teatro infantil que funcionan en un barrio. Grupo A: Grupo B: Grupo C: Años Nº niños Años Nº niños Años Nº niños X edad de los niños GRUPO A años Nº niños Xini LL Ν Α 0 0, años 0 GRUPO B años Nº niños Xini LL Ν Β 5 5,8 años GRUPO C años Nº niños Xini LL Ν C 5 7,8 años 5 0(,) 5 /(,8) 5(,8) DxRV 50

5 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 5.- Se ha tomado una muestra de 5 personas que leen más de 5 revistas al mes, y se ha clasificado según el nivel cultural. Calcular la mediana. Nivel cultural Nº personas que leen 5 o más revistas. Lee sin estudios 7. Lee sin terminar primaria 5. Estudios primarios 8. Bachiller o similar 5 5. Universitarios 0 Nivel cultural ni Ni Mediana Me Valor de la variable que divide a la distribución en dos partes iguales. Valor de la variable que ocupa el lugar central. Valor de la variable que deja por debajo suya el 50% de los valores. Como N/ es,5, será el valor de la variable que ocupa el lugar inmediatamente siguiente al,5 en nuestro caso el nivel "bachiller o similar" Luego: El 50% de las personas que leen 5 revistas o más tienen un nivel cultural igual o inferior a "bachiller" y lógicamente el otro 50% tienen un nivel superior a "bachiller". 5

6 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Se desea estudiar las alturas de un grupo de 0 alumnos, a través de sus promedios. Realizar el estudio:º) Con los datos sin agrupar. º)Con los datos agrupados en intervalos de amplitud 0 cm. Las alturas fueron expresadas en cm.: X altura de los alumnos º Sin agrupar: X i n i N i X i n i HGLD N 0 N/ 0 X i N FP. 0 Moda Ÿ Mo Valor de la variable que más veces se repite, en este caso el valor 8 es la moda, que se repite cuatro veces. Mediana Ÿ Me Valor de la variable que divide a la distribución en dos partes debajo suya el 50% de los valores. Como N/ es 0, será la media aritmética de los valores que ocupan los lugares 0 y, es decir los valores 8 y 70 por tanto la mediana es el valor 9 cm. º Con los datos agrupados: L i- - L i X i n i N i X i n i X i n i.0 N 0 7,5 cm. Moda: Ÿ Intervalo modal es aquel que contiene la moda, la moda se encuentra en el intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como los intervalos son de igual amplitud, el de mayor densidad de frecuencia coincide con el de mayor frecuencia, es decir el intervalo (0-70), y dentro de él consideramos como la moda, la marca de clase, es decir

7 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Moda 5 cm. También podemos aplicar la formula: 0 / nos queda: F F F F Ÿ Como todos los c i son iguales la formula 7 0 / F cm. es la moda 7 0 Mediana Me Intervalo mediano es el intervalo que contiene a la mediana, como N/ es 0 el intervalo mediano es aquel que contiene a los valores que ocupan los lugares 0 y, es decir el intervalo (0-70) contiene el valor que ocupa el lugar 0 y el intervalo (70-80) contiene el valor que ocupa el lugar, la mediana será entonces el valor 70 cm. Como vemos hay pequeñas diferencias. Lo que se consigue agrupando los datos es rapidez y facilidad de cálculos a cambio de perder información 7

8 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 7.- La siguiente distribución se refiere a la duración en horas de un lote de 500 tubos fluorescentes: DURACIÓN EN HORAS NÚMERO DE TUBOS O MÁS 5 TOTAL Representar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias.- Trazar la curva de frecuencias relativas acumuladas.- Determinar el número mínimo de tubos que tienen una duración inferior a 900 horas. X duración, en horas, de tubos fluorescentes ,5 tubos U T U T U 900 ( )75 00 U 00 7,5% ,5% de 500 0,75 (500) 7,5 tubos. El número mínimo de tubos con una duración inferior a 900 horas serán 8 tubos. 8

9 ! " % % $ $ '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 8.- Calcular: Media, moda, mediana, er y er cuartil. Varianza, desviación típica y coeficiente de variación. De los siguientes datos obtenidos de una investigación en un establecimiento benéfico que tiene acogidos a personas de diversas edades: Edad Nº Personas 9 5 X edad de los personas del establecimiento benéfico Edad Nº Personas ( ) ,5 años Moda Ÿ Mo Ÿ Intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como todos los intervalos tienen la misma amplitud, el intervalo modal es ( ) y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula: 0 / F # # F # # F " " F 70 7,75 años Me 0 T T / $ & $ 0,55 años 9 50 T / % & % 0 5,5 años 9

10 & ' * ' & & '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ 70 T / & 0 & 75, años 5 ( ,5 ) ) 8,75 años &9 ( ),75 5,5 0,8 Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto. 0

11 / / '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 9.- Las calificaciones de 50 alumnos en una determinada asignatura se distribuyen de la siguiente manera. Calcular la media aritmética y dar una medida de la representatividad. Calificaciones Nº Alumnos X calificaciones de los alumnos en una asignatura Calificaciones ,5 8 9,5 Nº Alumnos ,5 87,5, -,, ,5 08, ,5, ,5 50,58,,,97 &9 ( ),97,58 0,55 Como es menor de podemos admitir que es homogénea diremos que la media de la distribución es bastante representativa del conjunto.

12 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 0.- Dada la siguiente distribución relativa a una muestra de 00 personas que emigran de una zona rural a una urbana clasificada según la edad. a).- Calcular: media, mediana y moda. b).- Calcular el recorrido intercuartílico. c).- Calcular el coeficiente de variación. Edades Nº Personas X edad de las personas que emigran Edades , Nº Personas densidad, ,70 años Moda Ÿ Mo Ÿ Intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como todos los intervalos no tienen la misma amplitud, el intervalo modal es (.- 0) TXH WLHH PD\RU GHVLGDG GH IUHFXHFLD y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula: 0 / F : : F : : F 9 9 F años Mediana: Será el valor de la variable que ocupa el lugar 75, y está en el intervalo mediano (0 0) 00 0 Me 0 T T / & 0, años 0

13 > A > < < '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ 00 0 T / < & < 9,5 años T / & 0 5 años 0 Recorrido intercuartílico Re distancia entre el º y º cuartil Re T T 5,5 8,75 años T T? 90 7,7 9, años &9 ( ) 0,50 7,7 Como es menor de podemos admitir que es homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto.

14 P P U K K J J G O G '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Tipificar la siguiente distribución de frecuencias y comprobar que esta bien tipificada. Xi 5 ni B C D D E E F H H I I ,58-7,98, ,57-5,5, ,80,80, ,88 8,9, La media será: 0,57 La varianza será: L,57 0, La desviación típica será: N M 0, , R 0 0 T S

15 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Se desea averiguar la superficie media de los pisos en barrios de Pamplona: Ermitagaña y Mendebaldea. Del primero se toman 0 muestras y del segundo, con los siguientes resultados: Ermitagaña: Mendebaldea: Cuál es la media del conjunto de ambos barrios? superficie de los pisos de Ermitagaña superficie de los pisos de Mendebaldea Número de pisos de Ermitagaña 0 Número de pisos de Mendebaldea , 5P 07 8, 75 P Lógicamente son subconjuntos excluyentes, la media del conjunto total será la media ponderada de las dos medias. VWXVY[Z 0(9,5) (8,75) ,8 P La superficie media de los pisos del conjunto Ermitagaña Mendebaldea es de 89,8 P 5

16 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- Dada la siguiente distribución del número de hijos de 00 familias, calcular sus cuartiles: X i n i Ni total 00 X número de hijos en una familia Valor de la variable que ocupa el lugar 5 T T 50 Valor de la variable que ocupa el lugar 50 T T Valor de la variable que ocupa el lugar 75 T T

17 ^ '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- El paro registrado en Navarra en el mes de Junio, por sexos y grupos de edad, fue: VARONES MUJERES Li-- Li ni Li--Li ni < 0 8 < > 59 9 > Calcular razonadamente Media, varianza, desviación típica, mediana, moda.- Calcular razonadamente er cuartil, 0º percentil. EDAD VARONES MUJERES \ /\ / ] ^ ` ` a b < c c d < d , ,5 789, , ,5 5588, 0-5, , , 5-0 7, ,5 9859,8 0-5, ,5 5 57,5 008, , ,5 9, , , ,5 0-5, ,5 09,8 0 0,5 95, , , X edad de los varones Y edad de las mujeres VARONES e e.87,5 7.0,7 años Moda Ÿ Mo Ÿ Intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como todos los intervalos tienen la misma amplitud, el intervalo modal es (0-5) y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula: 7

18 n g k l f h m p m k j f f l k l f f j f f j '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ 0 / F i i F i i F h h F 0,años ,5 Intervalo mediano (0 5) 70 9 Me 0 T T / & j 5 0,años ,75 Intervalo (0 5) T / & k 5,8años ,8 Intervalo (0 5) T / & 0 5 l,98 años ,7 80,78 o o 80,78, años &9 ( ),,7 0,87 Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto. MUJERES < <q 5.,5 0,8 años 8

19 s w x z r t } y w v r r x w x r r v r r v '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Moda Ÿ Mo Ÿ Intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como todos los intervalos tienen la misma amplitud, el intervalo modal es (5-0) y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula: 0 / F u u F u u F t t F 0,años Intervalo mediano (0 5) 0 80 Me 0 T T / & v 5 0,0años Intervalo (0 5) T / & w 5 0,8años Intervalo (0 5) T / & 0 5 x,9 años 8 00 < { < ,7 9,9 años,8 99,7 &9 ( < ) < 9,9,8 0,0 Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto. 9

20 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 5.- Calcular la mediana del salario de una determinada empresa con empleados. ~ X Salarios de los empleados de una empresa Me Valor de la variable que ocupa el lugar central. Valor que deja el 50% de los valores por debajo suya. El 50% de los empleados de la empresa tienen un salario inferior a

21 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.-Se ha tomado una muestra de 5 personas que asisten a los conciertos y se ha clasificado según la edad obteniéndose la siguiente distribución. Calcular la edad mediana. Años Nº Personas Primeramente ponemos los límites de los intervalos. X edad de las personas que asisten a conciertos Años Nº Personas ,5 Me Valor de la variable que ocupa el lugar central. Valor que deja el 50% de los valores por debajo suya. Intervalo mediano aquel en el que se encuentra la mediana (7 ) Aplicando la formula: 5 8 Me 7 T T / &,5 años El 50% de las personas que asisten a conciertos tienen menos de,5 años

22 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 7.-El número de varones jóvenes clasificados según la edad en el censo de 987 era el siguiente. Calcular la desviación típica X edad de los varones jóvenes La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable a su media aritmética. Tanto la varianza como la desviación son medidas de dispersión absoluta, nos dan una idea de la distancia entre los valores y su media. A mayor desviación mayor será la dispersión de los valores y por tanto la media aritmética será menos representativa. Como medida de dispersión suele ser más interesante el coeficiente de variación que es una medida de dispersión relativa, que si esta entre 0 y se considera que la distribución es homogénea, y cuanto mas se acerque a 0 será menos dispersa, por tanto más homogénea y la media más representativa del conjunto. ƒ ƒ ,99 años ,0,0,5 Años &9 ( ),5 0,08 Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto.

23 Ž '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 8.-Los ingresos mensuales de personas son: 0.000, , y ptas. La media aritmética de estos valores, puede ser representativa? dígalo en %. ˆ Ingresos mensuales en miles ˆ Š Š Œ Œ 50 87,5 miles ,5.,5,5,8 miles &9 ( ),8 87,5 0,7,7% Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto.

24 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 9.-Los asalariados de una oficina cobran los siguientes sueldos mensuales: Sueldo (miles) Nº Empleados Obtener el Sueldo medio del asalariado..- Hallar la mediana y la Moda de la distribución de salarios y explicar su significado..- Analizar la dispersión de la distribución, mediante el coeficiente de variación. X sueldos de los asalariados de una oficina. Sueldo (miles) Nº Empleados ,5 G F Obtener el Sueldo medio del asalariado ,5 miles.- Hallar la mediana y la Moda de la distribución de salarios y explicar su significado La mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, en nuestro caso el lugar 50. Intervalo mediano Es aquel en el que se encuentra la mediana (0 0) 00 0 Me 0 T T / & 0, miles 0 El 50% de los asalariados de esta oficina, cobran menos de, miles Moda Ÿ Mo Ÿ Intervalo que presenta mayor densidad de frecuencia, en este caso como todos los intervalos no tienen la misma amplitud, el intervalo modal es el que presenta mayor densidad de frecuencia, (0-0) y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula:

25 š œ Ÿ œ '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ 0 / F F F š š F miles Analizar la dispersión de la distribución, mediante el coeficiente de variación. La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable a su media aritmética. Tanto la varianza como la desviación son medidas de dispersión absoluta, nos dan una idea de la distancia entre los valores y su media. A mayor desviación mayor será la dispersión de los valores y por tanto la media aritmética será menos representativa. Como medida de dispersión suele ser más interesante el coeficiente de variación que es una medida de dispersión relativa, que si esta entre 0 y se considera que la distribución es homogénea, y cuanto mas se acerque a 0 será menos dispersa, por tanto más homogénea y la media más representativa del conjunto ,5 0,5 ž ž 0,5,8 miles &9 ( ),8 7,5 0,5 Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es poco dispersa, es decir, bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto. 5

26 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 0.- Se han seleccionado una muestra de 7 personas que han respondido mejor a la pregunta: Cree Vd. que dentro de un año la situación política será mejor, igual o peor que ahora? Se ha clasificado la respuesta según la edad del entrevistado..- Desarrollar la distribución..- Calcular medidas de tendencia central, de variabilidad o dispersión..- Calcular las unidades Z para los siguientes valores: (8,, 9, 5,, 9) edad de las personas que han respondido a la pregunta marca de clase del intervalo i-esimo / / Intervalo i-esimo frecuencia absoluta del intervalo i-esimo frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo i-esimo incluido I frecuencia relativa del intervalo i-esimo ) frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo i-esimo incluido & amplitud del intervalo i-esimo G & densidad de frecuencia / / I ) % I 00 %acumulado ( ) 00) & G ,057 0,057 5,7 5,7, , ,05 0,08 5, 0,8,5 8,5 78, ,08 0, 0,8,, ,5 0,9 5,,9 0, ,9 0,08,9 0,8 0, ,5 9 0,9 0,87,9 8,7 5,8 7 0, ,57 5,7 00 0, ,5 5.99,75 Media ª ª 798,5 7 años Moda Ÿ Mo Ÿ Valor de la variable que más veces se repite Intervalo Modal, es el intervalo en el que se encuentra la moda, en este caso como todos los intervalos no tienen la misma amplitud, el intervalo modal es el que presenta mayor densidad de frecuencia, ( - ) y dentro del intervalo podemos considerar la moda igual a la marca de clase o también aplicar la formula:

27 «³ ³ ± ««± ««««'($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ 0 / F F F F,7,8años,7,5,8 años es la edad que más veces se repite, es decir la más común entre los entrevistados. Mediana Me 7 88 La mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, en nuestro caso el lugar 88. Intervalo mediano Es aquel en el que se encuentra la mediana (-) 7 5 Me T T / & 0,0 años El 50% de los entrevistados tienen una edad inferior a, años º Cuartil 7 T El º cuartil es el valor de la variable que ocupa el lugar. Intervalo en el que se encuentra el º cuartil (-) 7 8 T / & 0 8, años 7 El 5% de los entrevistados tienen una edad inferior a 8, años º Cuartil 7 T El º cuartil es el valor de la variable que ocupa el lugar. Intervalo en el que se encuentra el º cuartil (-) T / ± & 5 ± 5,9años El 75% de los entrevistados tienen una edad inferior a 5,9 años Varianza ² 5.99,75,0,59 7 Desviación µ 7

28 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$,59 5,5 años Coeficiente de variación &9( ) &9 ( ) 5,5,0 0, Como es menor de podemos admitir que es homogénea y al ser bastante cercano a cero diremos que es poco dispersa, por tanto, bastante homogénea, por lo que la media de la distribución será bastante representativa del conjunto. 8

29 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- La distribución de la renta personal en 970 según los hogares era: Analizar la distribución de la renta en ese año. / / Ingresos (en miles) Nº Hogares ¹ ¹ I º ) º ,5 0, ,80 0, , 0, ,098 0, ,0 0, ,009 0, ,00 0, ,00 0, , »» ½ T ½ T acumulado , 0, 5,5,, ,8 0,97 7,,97 0, ,0 0,577 8,5 57,7 9, ,89 0,70 9,8 7,0 0, ,08 0,89 98,59 8,9, ,078 0,909 99,5 9,09 7, ,08 0,99 99,7 9,9, ,005 0,989 99,95 98,9 0, , ,0 ( T ) * 0,0 99, 0,87 No existe demasiada concentración, El coeficiente está comprendido entre 0 y, a mayor índice mayor concentración. 9

30 Ä Ä '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- A partir de los siguientes datos sobre ingresos mensuales por hogar (en euros) de cierta localidad Ingreso mensual Nº de hogares por hogar a) Obtener razonadamente: El ingreso anual medio por hogar. Y El ingreso más común. c) Si la cantidad máxima disponible para gastos de alquiler de una vivienda es la tercera parte del ingreso mensual, qué precio sería inaccesible a la mitad de los hogares? d) Es cierto que el 80 % de los ingresos totales de dicha población recae sobre el 0 % de los hogares con mayores ingresos? / ¾ /¾ & À À G Á Â Ã Ã Ã Ä Ã % Ã %

31 Å Å Ê Ç Æ È Ê Ê Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ì Ë '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ , 5 Euros.5.- El ingreso más común será el valor que más veces se repita, es decir la moda: Intervalo modal, aquel en el que se encuentra la moda, es el intervalo que tenga mayor densidad de frecuencia (.00.00) Euros. Moda 0 / F É É F É É F È È F , 7.- Mediana Me 5 07,5 La mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, en nuestro caso el lugar 08 Intervalo mediano Es aquel en el que se encuentra la mediana ( ) Me.000 T T / & Ê ,8 Euros 0 La tercera parte de esa cantidad (máximo a dedicar en concepto de alquiler) es de 558,8 8, Euros. Luego una vivienda cuyo alquiler fuera mayor de 8. Euros/mes no seria accesible para la mitad de los hogares..- No parece a simple vista que sea cierta ya que no se aprecia excesiva concentración. No obstante vamos a calcular los porcentajes que los valores acumulados representan sobre el total de ingresos (que denominamos ), así como los porcentajes acumulados de hogares sobre el total de hogares.5 (que denominamos Í ). Calculamos ambos en el sentido creciente de la variable Ingresos. Ë

32 Ü Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó Ý Ô Ú Ú Ö Ú '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- ué transformaciones sufren la media aritmética y la varianza de una variable estadística X, cuando se aumentan sus valores en K unidades? Razone su respuesta. Î Î [ Ï 8 Ï [Ï N [ [ k [ [ k [ Ð Ð [ Ð k Es un cambio de origen Media Aritmética 8 N 8 Ï 8 Ï ( N) Ó N NÕ Ô Ö N N La media aritmética se modifica de la misma manera que cualquier valor Los cambios de origen le afectan a la media aritmética Varianza ( ) ( 8 8 ) Ù Û ( ) ( N ) N Ú ( N N) Ü ( ) Ý Þ La varianza permanece igual Los cambios de origen NO afectan a la varianza

33 ã ã ä ã ã â ã ã ã á ã ã ã á ã á ã á '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- En una caja de reclutas se han medido la altura de 0 jóvenes obteniéndose la tabla: Altura,55-,0,0-,70,70-,80,80-,90,90-,00 Nº Jóvenes Calcúlense: Los percentiles y 87 y los deciles y 9..- Se consideran "bajos" a aquellos cuya altura está bajo el percentil. cuál es la altura máxima que puede alcanzar?.- Se consideran "altos" aquellos cuya altura está sobre el percentil 8. Cuál es su altura mínima?.- En qué percentil estará un joven de altura,78? Altura ß,55-,0,0-,70,70-,80,80-,90,90-,00 à à Nº Jóvenes PERCENTIL r-esimo T 00 / U 00 & DECIL r-esimo T 0 / U 0 & º.-..- Percentil 0, 00 Valor de la variable que ocupa el lugar, se encuentra en el intervalo (,0-,70) T , metros / &,0 0, 0 El % de los jóvenes miden menos de, metros Percentil , 7 00 Valor de la variable que ocupa el lugar 9, se encuentra en el intervalo (,90 -,00) T ,959 metros 7 / &,90 0, 0 El 87% de los jóvenes miden menos de,959 metros

34 ä ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$..- Decil 0 0 Valor de la variable que ocupa el lugar -, se encuentra en el intervalo (,0-,70) T ,8 metros / &,0 0, 0 Las décimas partes de los jóvenes miden menos de,8 metros º.- Se consideran "bajos" a aquellos cuya altura está bajo el percentil. Cuál es la altura máxima que puede alcanzar? Percentil 0, 00 Valor de la variable que ocupa el lugar, se encuentra en el intervalo (,55-,0) T ,559 metros 8 / &,55 0, 0 El % de los jóvenes miden menos de,559 metros º.- Se consideran "altos" aquellos cuya altura está sobre el percentil 8. Cuál es su altura mínima? 8 Percentil , 00 Valor de la variable que ocupa el lugar 9, se encuentra en el intervalo (,80-,90) T ,880 metros 0 / &,80 0, 0 El 8% de los jóvenes miden menos de,880 metros º.- En qué percentil estará un joven de altura,78? T 00 U 00 / &,78 Hallar r,78 está en el intervalo (,70-,80) 00 U 0 9, ,0,78, T å r ( ) 0,0 0 Por tanto T, 78 En el percentil 00

35 '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº 5.- Se han medido mediante pruebas los coeficientes intelectuales de 0 alumnos, viniendo los resultados agrupados en seis intervalos de amplitud variable. Estas amplitudes son: C, C, C, C, C 5, C 0. Si las frecuencias relativas acumuladas correspondientes a cada uno de los intervalos son: 0,5 0,5 0,55 0,8 0,95. a) Formar la tabla de la distribución de frecuencias, sabiendo que el extremo inferior del er intervalo es 70. b) Dibujar el Histograma y el polígono de frecuencias absolutas. Calcular la moda. c) Entre qué dos percentiles está comprendido un coeficiente intelectual de 98,? Encontrar el valor de ambos percentiles. Al mismo grupo de alumnos se les hace una prueba de rendimiento, y los resultados nos vienen dados en el gráfico siguiente: d) Formar la tabla de distribución de frecuencias y calcular la mediana. e) ué medidas están más dispersas, los coeficientes intelectuales o las puntuaciones del rendimiento? 5

36 è è ó ð û ø î ö î õ ö ý ò ð ø ê ô î ò ú ö ü ð ö î ø é ü ú é î î ö ö ð ø î ð ø ð ø í '($57$0(7'((7$'Ë7,&$(,9(7,*$&,Ï(5$7,9$ Nº.- En un convenio colectivo para mejorar las condiciones retributivas de los trabajadores de una fábrica se está discutiendo entre dos métodos para aumentar los salarios: Método I: Aumentar a todo el personal una cantidad constante "c" pesetas. Método II: Aumentar a todo el personal un porcentaje fijo "p" sobre el sueldo actual. Probar que el método I hace disminuir la desigualdad entre los salarios de los trabajadores Lamamos X, a la variable sueldo actual. Después de la subida salarial tenemos: < æ æ & Sueldo después de la subida según el Método I S Sueldo después de la subida según el Método II. 00 ç. ç : * ì ë &9 Método I ( &) < & < & ( < < ) ( &) ( & ) ( ) ñ ï ó &9 ( < ) < & Método II : (.) :.. * (: : ) ( *.) ( *. ) ( ) ù.. * û. *. * &9. * (: ) &9 ( ) :. *

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