Resolución de problemas aplicando leyes de Newton y consideraciones energéticas

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1 UIVERSIDAD TECOLÓGICA ACIOAL Facultad Regional Rosario UDB Física Cátedra FÍSICA I Resolución de problemas aplicando lees de ewton consideraciones energéticas 1º) Aplicando lees de ewton (Dinámica) Pasos a seguir: a) Comprender la situación física planteada en el enunciado, leéndolo cuidadosamente. b) Identificar los cuerpos cua masa no se desprecia. c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos. d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una fuerza). e) Escoger dibujar los ejes coordenados e representar el sentido positivo de cada uno. Es conveniente seleccionar la dirección sentido de uno de los ejes, en la dirección sentido de la aceleración (así cuando se aplique la segunda Le de ewton las componentes de la aceleración serán positivas). Si la componente de la aceleración es nula, el sentido adoptado para el eje es arbitrario. f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes (para esto se utilizan las funciones trigonométricas seno coseno) g) Plantear la segunda Le de ewton para cada cuerpo, en las direcciones elegidas: F = m. a F = m. a F = m. a h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, calcular la/s incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema. i) Verificar la validez de las soluciones halladas. Ejemplo de resolución de un problema: En el sistema de la Figura 1, el bloque A de masa m A se ubica sobre el plano inclinado sin roce, que forma un ángulo con respecto a la horizontal. La polea por donde cuelga el bloque B de masa m B conectado, es de masa despreciable la cuerda se considera inetensible también de masa despreciable. Calcular la aceleración del sistema. Resolución: A Figura 1 B a) Se trata de un sistema físico que podría estar en equilibrio, en reposo o moviéndose ambos cuerpos con velocidades constantes, o bien estar acelerados. Por acción de la atracción gravitatoria, el cuero B puede caer, arrastrando hacia arriba al cuerpo A sobre el plano inclinado, o bien, el cuerpo A cae sobre el plano el cuerpo B asciende. Que ocurra cualquiera de estas situaciones dependerá, como veremos, de las masas de los cuerpos del ángulo del plano inclinado. b) Identificar los cuerpos cua masa no se desprecia: Cuerpos A B c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos, realizando el DCL de cada uno: 1

2 d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una fuerza). De los casos que hemos considerado posibles, suponemos uno de ellos (esto es arbitrario en este caso) que el sistema se acelera de modo que A asciende B desciende. a B P B P A e) Escoger dibujar los ejes coordenados e representar el sentido positivo de cada uno. De acuerdo con la aceleración que suponemos adquiere el sistema, escogemos el eje en la dirección sentido de la aceleración para el cuerpo A el eje para el cuerpo B. De este modo, ambas aceleraciones tienen una única componente ésta es positiva. De este modo, la elección del sentido positivo del eje perpendicular al eje en el Bloque A es indistinto, porque no ha componente de la aceleración en esa dirección. a A 0 = 0 a B a B = 0 a B 0 P B P A f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes. En este caso, sólo es necesario descomponerla fuerza P A : P AX =. cos P A =. sen. sen a B g) Plantear la segunda le de ewton para cada cuerpo: Para el Bloque A: F = m A. - = 0 (1) F = m A. X -. sen = m A.X (2) Para el Bloque B: F = m B. a B = m B.a B (3) h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, calcular la/s incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema. = = T a que la masa de la polea se consideró despreciable. a = a = a si se considera que la cuerda es de masa despreciable e inetensible. 2

3 Con estas consideraciones, la ecuación (2) queda: T =. sen + m A.a Y la (3) queda: T = m B.g - m B. a En este caso, tenemos entonces tres ecuaciones, en las que se desconocen, T a. Como se solicita sólo la aceleración, la ecuación (1) no aporta información debemos resolver el sistema de las dos ecuaciones anteriores:. sen + m A.a = m B.g - m B. a m A.a + m B. a = m B.g -. sen de donde obtenemos finalmente: a = g. (m B - m A. sen ) m A + m B i) Verificar la validez de las soluciones halladas. Analizando la epresión anterior, vemos que: si m B > m A. sen entonces a > 0 el sistema se acelerará según lo supuesto. si m B < m A. sen entonces a < 0 el sistema se acelerará en el sentido opuesto al supuesto. si m B = m A. sen entonces a = 0 el sistema no tiene aceleración, en cuo caso puede estar en reposo o bien moviéndose con velocidad constante en cualquiera de los dos sentidos. También vemos que cuanto maor es la inercia total del sistema (m A + m B ), menor es la aceleración que éste adquiere. Problema Resuelto º 1: En la Figura 2 se representan: El bloque A de 10,0 kg que se desliza por un plano inclinado que forma un ángulo =36,9 o con respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A la superficie inclinada es 0,200. El bloque B de 20,0 kg que se encuentra inicialmente en reposo. Una polea de masa despreciable montada en un eje sin fricción que pasa por su centro. 3 A = 36,9 Figura 2 Una cuerda inetensible que no resbala en la polea se considera de masa despreciable. Calcula la magnitud de la aceleración del sistema la tension de la cuerda aplicando las lees de ewton. Bloque A: F = m A. a - = 0 = Fr = C. = C. F = m A. a -. sen - Fr = m A.a -. sen - C. = m A.a =. sen + C. + m A.a (1) Bloque B: F = m B. a - = m B.a = m B.g - m B. a (2).sen Fr a B a

4 = = T porque se considera la masa de la polea nula. a = a porque la cuerda es de masa despreciable e inetensible. Igualando (1) (2). sen + C. + m A.a = - m B. a m A. a + m B. a = -. sen - C. a (m A + m B ) = g (m B - m A. sen - C. m A. cos ) a = g (m B - m A. sen - C. m A. cos ) = g (20,0 kg - 10,0 kg. 0,600-0, ,0 kg. 0,800) (m A + m B ) 20,0 kg + 10,0 kg a = 4,05 m/s 2 Reemplazando a en (1) ó (2) T =115 2º) Aplicando consideraciones energéticas Pasos a seguir: a) Comprender la situación física planteada en el enunciado, leéndolo cuidadosamente. b) Identificar los cuerpos cua masa no se desprecia. c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos. d) Seleccionar un estado inicial otro final e) Representar el vector desplazamiento ( r) entre los dos estados f) Plantear para todo el sistema físico el Teorema de Trabajo Energía: W = EC En este caso en W tenemos que tener en cuenta el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo del sistema, incluso la del peso. O podemos plantear: W F O COS = EM Recordemos que estas dos ecuaciones son escalares se aplican entre el estado inicial final del sistema a todo el sistema. g) Disponemos de una sola ecuación donde obtendremos la incógnita del problema resolviendo matemáticamente. h) Verificar la validez de las soluciones halladas. Problema Resuelto º 2: Del problema anterior: Calcula la rapidez del Bloque B cuando ha descendido 50,0 cm aplicando consideraciones energéticas. d) Seleccionamos el estado inicial cuando los bloques se encuentran en reposo el estado final cuando el bloque A ha ascendido 50,0 cm por el plano inclinado el bloque B ha descendido verticalmente 50,0 cm Por lo tanto: v A1 = 0 v A2 0 V B1 = 0 v B2 0 v A21 = v B2 = v porque la cuerda es inetensible e) El desplazamiento de cada cuerpo se indica en la figura con r, tal que r = d.sen Fr r r 4

5 El trabajo de la Tensión de la cuerda sobre cada uno de los cuerpos es distinto de cero (W de fuerzas no conservativas). Pero como la suma del trabajo de la sobre el cuerpo A es positiva el trabajo de sobre el bloque B es negativo la suma de los Trabajos de las Tensiones se anula W T = 0 W T1 =. d W T2 = -. d = W =. d -. d = 0 f) W F O COS = EM W F O COS = EC A + EC B + EP A + EP B - Fr. d = ½. m A. v 2 + ½. m B. v 2 +. sen. d -. d - C. d = ½. m A. v 2 + ½. m B. v 2 +. sen. d -. d. d - C. d -. sen. h = ½. m A. v 2 + ½. m B. v 2 2. g. d. (m B - C. m A. cos - m A. sen ) = v 2 (m A + m B ) v 2 = 2. g. d. (m B - C. m A. cos - m A. sen ) (*) (m A + m B ) g) Reemplazando en (*) v 2 = 2. g. d.(20,0 kg - 0, ,0 kg. 0,800-10,0 kg. 0,600) 20,0 kg + 10,0 kg v = 2,01 m/s h) En la relación (*) puede observarse que: Cuando maor sea el desplazamiento d maor será la velocidad v. Cuando maor sea C menor será la velocidad v. Cuando maor sea la inércia del sistema (m A + m B ) menor será la velocidad v. Problema Resuelto º 3: Utilizando la rapidez calculada en el problema anterior determina la magnitud de la aceleración compararla con la calculada en el problema Resuelto º 1. v 2 = v o a. h a = v 2 / (2.h) = (2,01 m/s) 2 / (2. 0,500 m) a = 4,05 m/s 2 Conclusiones: Como vimos se puede resolver el mismo problema utilizando: a) las Lees de ewton: F Fet = m. a b) consideraciones energéticas: W = EC ó W F O COS = EM En el primer caso son ecuaciones vectoriales donde se debe plantear las componentes e para cada bloque que compone el sistema (previa realización del diagrama de cuerpo libre D.C.L.). En cambio por trabajo energía es una ecuación escalar aplicada a todo el sistema. En el caso que el problema no especifique una determinada resolución, el alumno podrá elegir el método que le resulte más conveniente. Si debemos determinar las tensiones de las cuerdas o la aceleración del sistema será más adecuado resolver por lees de ewton, pero si debemos determinar la rapidez o el desplazamiento será más adecuado utilizar consideraciones energéticas. 5

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