INTRODUCCIÓN. Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora.

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1 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 0cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación. 9

2 La caja. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 0cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación. 10

3 DESIGUALDADES DEFINICIONES Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades en común. Ejemplo 1: El conjunto e transportes = { } Ejemplo : El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={,,,,,... } Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { } Ejemplo 4: El conjunto de deportistas. Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,,3,4,5,6,7,8,9} Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,,3,4,5,6,7,8,9,10,...} Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-,-1, 0, 1,, 3,...} Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto que se este tratando. Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8. J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x + x - 8 = 0 Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,... Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se representa por la letra griega. Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40. El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se indica a continuación: D = {18, 1, 4, 7, 30, 33, 36, 39} En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus elementos, así se tiene dos métodos de definición. Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados entre llaves. Ejemplo: El conjunto de números pares = {, 4, 6, 8, 10, } Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto. Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo definen. Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo / ( I )se lee tal que. Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x =1} Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual a la unidad. Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1) =1 y también (1) =1 11

4 Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo que es el símbolo de pertenencia, así 4 D se lee 4 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no pertenece es, así 5 D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta contenido en D, donde D = {18, 1, 4, 7, 30, 33, 36, 39}. Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de números complejos se representa por la letra C. OTRAS DEFINICIONES Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando. Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo, como su nombre lo indica es el conjunto que no tiene elementos. Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas. OPERACIONES DE CONJUNTOS Consideremos el conjunto universal U. 1. Unión de dos conjuntos A B = {x/ x A o x B} Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f}, B= {b, d, e} entonces A B = {a, b, c, d, e, f}.. Intersección de dos conjuntos A B = {x/ x A y x B} Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g}, C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B C = {b, c, f}. 3. Complemento de un conjunto A c = x / x U y x A} Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1,, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que: A c = {0, 5, 6, 8}. Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos. Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que, mayor o igual que, <menor que, menor o igual que. Tomemos el conjunto de números menores de 7, podemos escribir: {x / x<7}. Representémoslo en la recta numérica: ) Podemos escribir este conjunto en forma abreviada como: (-, 7) 1

5 Tomemos el conjunto de números mayores o iguales a y menores de 5= {x / x<5}, [ ) representémoslo en la recta numérica: Este conjunto lo podemos escribir como : [, 5) Estos conjuntos se llaman intervalos, veamos la siguiente tabla. INTERVALO ABIERTO a, b INTERVALO a, b CERRADO INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA IZQUIERDA a, b INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA DERECHA a, b NUMEROS REALES R Símbolo a<x<b a x b a<x b a x<b x b a, b ( -, ) Gráfica ( a, b) b a, a, ( ) ( a b a[ ]b a ] [ ) - ( ) b a b Tarea. Ejemplifica en las filas de abajo lo descrito en las filas de arriba, en el entendido de que a y b son números reales. Ejemplo. Resolver 3x-7<0 Solución: Tenemos: 3x-7<0, sumando 7 en ambos lados de la desigualdad: 3x-7+7<0+7 Así: 3x<7 Dividiendo entre 3, tenemos: x<7/3 y el conjunto solución es: {x/x<7/}= (-,7/3) Ejemplo. Resolver 5x+8<1 Solución: Tenemos: 5x+8<1, restando 8 en ambos lados de la desigualdad: 5x+8-8<1-8 Así: 5x<1-8, es decir: 5x<-7 Dividiendo entre 5, tenemos: x<-7/5 y el conjunto solución es: {x/x<-7/5}= (-,-7/5) Ejemplo. Resolver 5x-7 Solución: Tenemos: 5x +7, simplificando: 5x 9 Dividiendo entre 5, tenemos: x 9/5 y el conjunto solución es: {x/x 9/5}= [9/5, ) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades, tomando como base los ejemplos anteriores: a)8x-11<4 13

6 b)6+7x 1 c) 33>6x+ Algunas propiedades de las desigualdades Una propiedad muy importante de las desigualdades, es cuando se multiplica o se divide por un número negativo es que el sentido de la desigualdad se invierte, como podemos observar en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Resolver: -3x>1 Solución: Dividimos entre -3 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x<-1/3, el conjunto solución es: (-,-1/3) Ejemplo. Resolver: -5x-9<1 Solución: Sumando 9 en ambos lados de la desigualdad: -5x<8 Dividimos entre -5 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x>-8/5, el conjunto solución es: (-8/5, ) Ejemplo. Resolver: 3x+1<5x-4 Solución: 3x-5x<-4-1 -x<-5 Dividiendo entre ; tenemos x> 5/ y el conjunto solución es [ 5/, + ) Ejemplo. Resolver: -6<x-4< Solución: En este caso podemos resolver la desigualdad por dos métodos Metodo1: Consiste en separar en dos desigualdades: 14

7 Tenemos: -6<x-4 y también: x-4< Así: -<x x<6 De donde: -1<x x<6/ Así tenemos 1<x, x<3 Graficamos estos conjuntos tenemos: Así la solución es el intervalo ( 1, 3) Método : Consiste en trabajar la desigualdad sin separarla: Tenemos: -6<x-4< Luego: -4<x<6 Dividiendo entre : -<x<3 y tenemos que el conjunto solución es: (-1,3) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores: x a) -3x+4 11 b) x c) 9<15-6x d) x 5 3x e)-x-3>-4x+3 f) 4 7( x 1) 5 x h) x 3 1 8(x 1) 11( 1) i)4<x-6<6 15

8 j) 5 3x f) 15 x 33 6 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes, con a 0. : ax bx c 0; ax bx c 0; ax bx c 0; ax bx c 0. Algunos ejemplos de este tipo de desigualdades se muestran a continuación. Ejemplo: Resolver x -7x+10>0 Solución: factorizando la expresión x -7x+10, tenemos: x -7x+10 =(x-)(x-5) Tomemos x=, x=5, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (-,), (,5), (5, ) Podemos tomar el valor k=0 en el primer intervalo k=3 en el segundo intervalo y k=6 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-)(x-5) SIGNO DE LA EXPRESION (-,) 1 (1-)(1-5)=(-1)(-4)=4 + 16

9 (,5) 3 (3-)(3-5)=(1)(-)=- - (5, ) 6 (6-)(6-5)=(4)(1)=4 + Observemos que la solución de x -7x+10>0 son los intervalos en donde se halla el signo positivo, estos intervalos son: (-,) y (5, ) Por lo tanto la solución es: (-,) (5, ) Ejemplo: Resolver x -x-6<0 Solución: factorizando la expresión x -x-6, tenemos: x -x-6=(x-3)(x+) Tomemos x=-, x=3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (-,-), (-,3), (3, ) Podemos tomar el valor k=-3 en el primer intervalo k=0 en el segundo intervalo y k=5 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-3)(x+) SIGNO DE LA EXPRESION (-,-) -3 (-3-3)(-3+)=(-6)(-1)=6 + (-,3) 0 (0-3)(0+)=(-3)()=-6 - (3, ) 5 (5-3)(5+)=()(7)=14 + Observemos que la solución de x -x-6<0 son los intervalos en donde se halla el signo negativo, estos intervalos son: (-,3) Por lo tanto la solución es: (-,3) x 5 Ejemplo: Resolver 0 x 3 Solución: En este caso tomemos: x=-5, x=-3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (-,-5), (-5,-3), (-3, ) Podemos tomar el valor k=-6 en el primer intervalo k=-4 en el segundo intervalo y k=- en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K (-,-5) -6 x 5 SIGNO DE LA EXPRESION EXPRESION x

10 (-5,-3) -4 (-3, ) x 5 Observemos que la solución de 0 son los intervalos en donde se halla el signo x 3 positivo, estos intervalos son: (-,-5) y (-3, ) Por lo tanto la solución es: (-,-5) (-3, ) Ejercicio Resolver las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores. a) x 4x-3 b) x -4>1 x 9 c) 0 x 5 x 7 d) 0 x 16 18

11 e) 6x +x-0<0 ALGUNAS APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES 1) Rafael un conserje debe mover un gran cargamento de libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice peso máximo. 900 libras. si cada caja de libros pesa 80 libras, encuentra el número máximo de cajas que puede colocar en el elevador ) La relación entre la escala de temperatura Fahrenheit 1 y Celsius está dada por 5 60 C ( F 3). Si F 80, exprese el intervalo correspondiente de C en términos de 9 9 una desigualdad. 1 Gabriel Fahrenheit nació en Prusia en Se le conoce principalmente por haber inventado una escala para medición de las temperaturas. Antes de él, los termómetros empleaban alcohol. En vez de ello, puso mercurio (Hg) dentro del tubo. El mercurio se solidifica a unas temperaturas muy bajas, y para que hierva, se requiere unas temperaturas muy altas. Por ello, el mercurio puede medir una extensión mayor de temperaturas que el alcohol. En la escala Fahrenheit el número 3 indica el punto de congelación del agua. Esta escala es distinta de la de Celsius que también utiliza mercurio 19

12 3) De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F(en libras) que se requiere para estirar un resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por: F=4.5x. Si 10<F<18. Cuál es el intervalo de x? x 4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene cuando el ritmo pulsa torio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del mismo de obtienen multiplicando el número (0-edad) por 0.70 y Determine el intervalo del ritmo cardiaco para dos personas de 30 y 40 años, respectivamente. 0