. Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos

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1 Título: La desgualdad etre la meda artmétca y geométrca e problemas de olmpadas. Resume: E el presete artículo se pretede mostrar la utldad de ua desgualdad ta elemetal como la relacó etre las medas artmétca y geométrca para resolver problemas de olmpadas, se ofrece ua demostracó algebraca y ua geométrca para esta relacó e dos elemetos, a cotuacó se ofrece la demostracó realzada por Cauchy al caso geeral y se propoe problemas co solucoes de olmpadas realzadas e dferetes países. Palabras claves: desgualdades, meda artmétca, meda geométrca, olmpadas de Matemátca. Summary: Presetly artcle s sought to show the utlty of such a elemetary equalty as the relatoshp amog the stockgs arthmetc ad geometrc to solve problems of olympads, he/she offers a algebrac demostrato ad a geometrc oe for ths relatoshp two elemets, ext he/she offers the demostrato carred out by Cauchy to the geeral case ad they ted problems wth solutos of olympads carred out dfferet coutres. Key words: equaltes, half arthmetc, medates geometrc, olympads of Mathematcs. Desarrollo: Se cooce que la meda artmértca etre dos valores o egatvos a y b se calcula como y la meda geométrca como etoces demostraremos que. Usaremos ua vía algebraca y ua geométrca que os permtrá aalzar alguas de las tercoexoes coceptuales que se establece etre estas dos dscplas de la Matemátca. Vía algebraca: Coocemos que, s e la desgualdad que queremos demostrar multplcamos por y traspoemos todo al membro zquerdo, obteemos, factorzado teemos, que se cumple. Vía Geométrca:

2 A Utlzado el teorema de las alturas se tee que es decr la meda h geométrca etre x, y. Por otra parte D O B C podemos percataros que, es x y decr la meda geométrca, que e este caso es la hpoteusa del trágulo rectágulo AOD y la meda geométrca es uo de sus catetos, etoces se tee que. Esta desgualdad se cumple además s la catdad de valores aumeta. Segú Bulajch, Gómez y Valdés (008), Cauchy probó esta desgualdad utlzado ua duccó de la sguete forma:. Probar que se cumple para dos úmeros.. Probar que s se cumple para elemetos etoces se cumple para elemetos.. Probar que s se cumple para elemetos etoces se cumple para elemetos. E el caso que os ocupa el prmer paso está probado. Probaremos el segudo y el tercer pasos: ) Tomamos úmeros o egatvos y sea, como teemos como premsa que se cumple para elemetos etoces: Etoces se cumple para elemetos. ) sea úmeros reales o egatvos

3 A cotuacó aalzaremos alguos problemas de olmpadas dode se puede utlzar esta desgualdad. Problema. (Bulgara, 995) Sea S A, S B y S C las áreas de los heptágoos regulares A A A 7, B B B 7, C C C 7, respectvamete. S se sabe que A A = B B = C C 4. Prueba que S a = A A, b = B B y c = C C 4, usado el teorema de Ptolomeo se deuce que ab + ac = bc. Usado esto coclumos que, y. Usado la desgualdad etre meda artmétca y meda geométrca coclumos que Problema. (Estoa, 995) Sea a, b, c las logtudes de los lados de u trágulo y α, β y γ los águlos opuestos a esos lados. Prueba que s r es el rado de la crcufereca scrta e el trágulo, etoces:. Sea S el área del trágulo, teemos,, y Por la desgualdad etre la meda artmétca y la geométrca y Multplcado se cumple lo buscado. Problema. (Repúblcas Checa y Eslovaca, 000) Prueba que para todos a, b reales postvos se cumple que:

4 Hacedo y (Esto es fudametal a la hora de resolver desgualdades, pues e muchas ocasoes ua adecuada trasformacó puede facltaros mucho la demostracó. E este caso Que se puede trasformar e: Aplcado dos veces la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca teemos: Sumado las dos desgualdades membro a membro se tee la desgualdad deseada. La gualdad se cumple s y solo s Problema 4. (Brasl, 00) Prueba que, Vamos a trasformar Aplcado la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca se tee: Problema 5. (IMO, 00) Prueba que para se cumple:

5 Podemos percataros que la solucó de la desgualdad es equvalete a demostrar:. Aplcado a los tres sumados. Esta últma desgualdad se puede trasformar como: Etoces esto es equvalete a demostrar que: Aplcado dos veces la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca: Multplcado membro a membro se tee el resultado deseado. Problema 6. (Balcaes, 00) Sea a, b, c reales postvos, prueba que: aplcado la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca Aplquemos dos veces más la desgualdad meda artmétca meda geométrca ; ; etoces

6 Problema 7. (Caadá, 00) Prueba que, se cumple que. Cuádo ocurre la gualdad? teedo e cueta que podemos multplcar la desgualdad por co lo cual trasformamos lo que queremos demostrar e: Trasformado el membro zquerdo, S aplcamos meda artmétca meda geométrca a cada sumado teemos: Aplcado uevamete la desgualdad meda artmétca meda geométrca teemos que: La gualdad s y solo s a = b = c. Problema 8. (Rusa, 00) Prueba que, para Esta desgualdad puede ser trasformada de la sguete forma: Etoces la demostracó de la desgualdad orgal se reduce a demostrar que Vamos a utlzar veces la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca:, de la msma forma ;, sumado estas desgualdades se tee la deseada. Problema 9. (Repúblcas Checa y Eslovaca, 00) Demuestra que s, etoces.

7 Esta desgualdad se puede trasformar e, vamos a demostrar por partes utlzado la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca., de maera aáloga, y. Sumado membro a membro obteemos la desgualdad deseada. Problema 0. (Lsta corta, OIM 004) S los úmeros postvos, satsface que la suma es, prueba que:. Soludó: Hacedo,, defmos ; Es evdete que,, la desgualdad es equvalete a:. Usado la desgualdad meda artmétca meda geométrca deducmos que:, usado la desgualdad meda artmétca meda geométrca Problema. (Ucraa, 004) Sea, co. Prueba que

8 Por la desgualdad etre la meda artmétca y la meda geométrca esta últma expresó:, de maera aáloga ; ; por tato Problema. (Kazajstá, 009) Prueba que, se cumple que: La desgualdad se puede trasformar multplcado por, Utlzado la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca e ambos factores del membro zquerdo teemos:, etoces ; y además Etoces Y, sumado membro a membro teemos la desgualdad que queremos demostrar. Problema. (Greca, 00) S y, prueba que. Cuádo ocurre la gualdad? La desgualdad se puede trasformar e Por la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca ;, etoces:, y por tato es sufcete demostrar que

9 , que se cumple por ser. La gualdad se verfca s y solo s x = y = z =. Problema 4. (Prueba de seleccó de Cuba, 006) Ecuetra el mayor valor posble de k tal que para todo polomo de grado > cuyas raíces so todas reales postvas se cumple que y determa e qué casos se cumple la gualdad. E este problema se establece relacoes etre elemetos propos del Álgebra como es el caso del trabajo co polomos y la desgualdad etre las medas. Sea r, r, r,, r las raíces de p(x). Segú las fórmulas de Veta se tee que ) a ( ) ( ) ) j... ( r...r j = j j j... r... j j rj Ua doble sumatora co u total de térmos. Ahora por la desgualdad Meda Artmétca-Meda Geométrca (aplcable porque los r so postvos) se sabe que j... r... r j j j j... r... r j j j Para smplfcar la raíz ( -)-ésma obteda e este puto ótese que r... j r j = j j... k r j... rj j... j j... j rj... r r k j ( ) = rk k = r k k = a 0 Ua recoplacó de los resultados obtedos hasta el mometo permte coclur que ( ) a ( ) ao etoces ( ) a ( ) ao

10 Se tee que la costate k es ( -), y e este caso es fáclmete verfcable, por las codcoes de la desgualdad Meda Artmétca-Meda Geométrca, que la gualdad e este caso es alcazada cuado r = r = = r = y solamete e ese caso, co lo que se obtee además las codcoes de gualdad. Además, por exstr gualdad par este valor de k, es claro que o puede ecotrarse guo mayor. Problema 5. (Prueba de seleccó cubaa, 006) Sea a, b y c úmeros postvos tales que ab + bc + ca =. Probar que abc 6( a b c). abc Escrbamos 6( a b c) abc 6a bc 6ab c abc 6abc = = ab( ac bc) bc( ba abc ca) ca( ab bc) como ab + bc + ca = teemos ab ( ab) bc ( bc) abc ca ( ca) = = 4 ( ab) ( bc) abc ( ca). Es fácl ver que ((ab) + (bc) + (ca) ) (ab + bc + ca) = co lo que se prueba que, que es equvalete a que (abc) y por la abc abc 7 relacó etre la meda artmétca y la meda geométrca se tee que (abc) = (ab)(bc)(ca) ab bc ca =. 7 La gualdad se cumple s y solo s a = b = c =. Otros problemas dode se utlza la desgualdad E los problemas que se muestra a cotuacó se evdeca la utlzacó de la desgualdad etre las medas e otros cotextos, dode o se solcta explíctamete la demostracó de ua desgualdad. Esto muestra las relacoes teras que se establece e el Álgebra.

11 Problema 6. (Greca, 009) Determa que satsface el sstema Y tee la meor suma posble. Sea la solucó del sstema co la meor suma posble, etoces por la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca se tee:, co la gualdad para Problema 7. (Greca, 00) Resolver e reales postvos el sguete sstema: Por la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca se tee que: La seguda ecuacó se trasforma e Usado la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca se tee:, etoces Co la gualdad para Por () y (),, que es posble cuado Por tato la úca solucó Problema 8. (Rumaía, 00) Sea,, y, fucoes reales tal que. Demuestra que la ecuacó tee solucoes s y solo s las fucoes tee ceros comues. a) Resuelve la ecuacó Por la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca teemos:

12 Etoces se cumple la gualdad e esta desgualdad: y como, porque tee que cumplrse la gualdad, etoces los valores de x tee que ser ceros comues. a) La ecuacó puede escrbrse e la forma:, por tato cosderado,,, teemos, el resultado ateror mplca que la solucó está formada por las raíces comues a las tres fucoes, que so. Problema 9. (Cha, 006) Sea y. Determa el máxmo valor de la suma, dode Por la desgualdad etre las medas artmétca y geométrca:, luego La gualdad se logra s y solo s, luego el máxmo es. Problema 0. (Prmera prueba selectva de Cuba, curso ) Hallar el valor mímo posble de s so úmeros reales que satsface la codcó, co Sea A = x + y y B = x y etoces x = A B y y = A B, teemos que xy = x y = A B A B, otemos que debemos asumr que xy > 0. A B A B Susttuyedo e la ecuacó dada teemos A = B () De acuerdo a la relacó etre la meda artmétca y geométrca se cumple que

13 A B A B A B A B A A = teedo que A B y B. Reordeado () ecotramos que 4a = B (A B ) y A = B B 4 4 luego B obteedo que B >. Ahora, (B 8) 0, y B 4 6B 64 = 6(B 4), teedo que teedo etoces que x + y = A B B Falmete otemos que x + y puede tomar el valor 4, por ejemplo para x =, y =. Problema. (Pruebas de seleccó Cuba, 006) Ua crcufereca de rado r y cetro S está scrta e el trágulo ABC. Ua recta que pasa por el puto S terseca a los lados BC y CA e los putos D y E respectvamete. S P es el área del trágulo CED, probar que P cumple la gualdad. El área A del trágulo CED satsface que A = A CES + A CSD = ½ CE r + ½ CD r = CE CD Por la desgualdad etre la meda artmétca y la meda CE CD geométrca teemos que r CE CD por r. determa para qué casos se lo que A CE CD r. El producto de las logtudes de los lados de u trágulo o es meor que el doble del área del trágulo. E uestro caso CE CD vértce C es recto, etoces A gualdad se cumple s y solo s CE = CD y C = r. A, dode la gualdad se cumple s y solo s el águlo del E A CE CD r A r y A Ar dode A r. La C S D B Bblografía: Besk, N. M. (980). Dvsó de u segmeto e ua razó dada. Moscú: Mr. Bulajch Mafro, R. & Gómez Ortega, J. A. (007). Desgualdades. Cuaderos de Olmpadas de Matemátcas. Méxco: Isttuto de Matemátcas de la UNAM. Bulajch Mafro, R. & Rubo Barros, C. J. (008). Las Olmpadas Matemátcas e Sa Lus Potosí Cuaderos de Olmpadas de Matemátcas. Méxco: Isttuto de Matemátcas de la UNAM.

14 Colectvo de autores (995). Olmpada Nacoal de Bulgara. Colectvo de autores (995). Olmpada Nacoal de Estoa. Colectvo de autores (000). Olmpada Nacoal de Repúblcas Checa y Eslovaca. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Brasl. Colectvo de autores (00). Lsta Corta de la IMO. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Rumaía. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Caadá. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Rusa. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Repúblcas Checa y Eslovaca. Colectvo de autores (004). Lsta Corta de la OIM. Colectvo de autores (004). Olmpada Nacoal de Ucraa. Colectvo de autores (009). Olmpada Nacoal de Kazajstá. Colectvo de autores (00). Olmpada Nacoal de Greca. Colectvo de autores (009). Olmpada Nacoal de Greca. Colectvo de autores (006). Olmpada Nacoal de Cha. Davdso Sa Jua, L., Reguer Vllar, R., & Frotela, R. (987). Problemas de Matemátca Elemetal. La Habaa: Pueblo y Educacó. Davdso Sa Jua, L., Reguer Vllar, R., & Frotela, R. (995). Problemas de Matemátca Elemetal. La Habaa: Pueblo y Educacó. Davdso Sa Jua, & Reco, F. (974). Los Cocursos de Matemátca. Prmera parte. La Habaa: Dreccó de produccó de medos de eseñaza. MINED. Davdso Sa Jua, & Reco, F. (975). Los Cocursos de Matemátca. Seguda parte. La Habaa: Dreccó de produccó de medos de eseñaza. MINED. Díaz Gozález, M. (004). Problemas de Matemátca para los etreametos de la Educacó Preuverstara I. La Habaa: Pueblo y Educacó. Díaz Gozález, M. (007). Problemas de Matemátca para los etreametos de la Educacó Preuverstara II. La Habaa: Pueblo y Educacó. Díaz Gozález, M. (0). Problemas de Matemátca para los etreametos de la Educacó Secudara Básca III. La Habaa: Pueblo y Educacó. Hall, H. S., & Nght, S. R. (948). Álgebra Superor. Méxco: Hspao Amercaa. Mat, I. (007). Classcal Iequaltes. E

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