Cap ³tulo 6. Series Num ericas. Problemas resueltos. 6.1 Series num ericas. De niciones. Salvador Vera Ballesteros

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1 Cap ³tulo 6 Series Num ericas. Problemas resueltos Salvador Vera Ballesteros 6. Series um ericas. De icioes De ici o 6. (Serie) Dada ua sucesi o um erica i ita: fa g fa ;a ;a 3 ; ;a ; g dode a f() se llama serie um erica a la suma idicada de los i itos t ermios de dicha sucesi o: a a +a +a 3 + +a + los umeros a ;a ;a 3 ; ;a ; se llama t ermios de la serie y a se deomia t ermio geeral. De ici o 6. (Suma parcial) Se llama suma parcial -sima a la suma de los primeros t ermios de la serie X S a +a +a 3 + +a De ici o 6.3 (Covergecia y Suma de la serie) Ua serie se dice covergete si la sucesi o formada co sus sumas parcialesfs g es covergete. Se llama suma de la serie al l ³mite de la sucesi o formada co sus sumas parciales. lim S S,! k a S a k

2 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Por el cotrario, si la sucesi o de las sumas parcialesfs g o tiee u l ³mite ito, etoces se dice que la serie es divergete. (Se distigue las series divergetes i itas, cuado el l ³mite es i ito; de las oscilate, cuado el l ³mite o existe.) De ici o 6.4 (Resto de la serie) Se llama resto de la serie a la suma idicada de los t ermios de la serie desde u lugar e adelate. R a + +a + + a k k+ Se tiee: a a +a + +a + [a +a + +a ] + [a + +a + + ] S +R k a +k 6.. Dos series otables De ici o 6. (Serie geom etrica) Se llama series geom etricas aquellas series e las que cada t ermio (salvo el primero) se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad costate llamada raz o: a + r a Es decir: a a 0 +a +a + +a + a 0 +r a 0 +r a 0 + +r a Teorema 6. La serie geom etrica es covergete parajrj< y su suma es S X a 0 r a 0 0 Parajrj la serie geom etrica es divergete. 0 r a 0 r a 0 r 0 De ici o 6.6 (Serie arm oica) Se llama serie arm oica a la serie: Y, e geeral, se llama series arm oicas (geeralizadas) a las que so del siguiete tipo: + p + p para p> 0 p p (a estas series tambi e se les llama p-series).

3 6.. TEOREMAS DE CONVERGENCIA 3 Teorema 6. La serie arm oica es covergete para p> y divergete para p Ejemplo 6. De la serie a se sabe que la sucesi o de las sumas parciales fs g viee de ida por: S Hallar: (a) El t ermio geeral a de la serie. (a) El car acter y la suma de la serie. 8 N (a) El primer t ermio de la seriea coicide cos, luego: a S El resto de los t ermios, para, se obtiee de la diferecia: a S S ( + 3)( + 4) N otese que, e este caso, el primer t ermio o sigue la regla geeral, es decir, la serie propuesta vedr ³a dada por la expresi o: a + ( + 3)( + 4) (b) La serie coverge, ya que se puede calcular su suma. S lim! S lim! Teoremas de covergecia Teorema 6.3 (Covergecia del resto) Si ua serie coverge, etoces cualquiera de sus restos tambi e coverge. Y si uo de los restos coverge etoces toda la serie coverge. a +a +a 3 + covergete () a + +a + +a +3 + covergete a covergete, R covergete Es decir, la covergecia de ua serie o se altera si se le suprime los primeros t ermios

4 4 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Teorema 6.4 (Producto por u umero) La covergecia de ua serie o se altera si todos sus t ermios se multiplica por u mismo umero distito de cero, adem as dicho umero se puede sacar factor com u. a +a +a 3 + covergete () r a +r a +r a 3 + covergete (r a ) r a Teorema 6. (Suma de series) La suma t ermio a t ermio de dos series covergetes es otra serie covergete, y su suma coicide co la suma de las sumas de las dos series sumados. 9 8 a covergete > >< (a +b ) covergete ) b covergete >; >: (a +b ) a + b Si algua de las dos series ateriores o es covergete etoces el teorema o es aplicable. E tal caso s olo podemos a rmar que la suma t ermio a t ermio de ua serie covergete co otra divergete es divergete, mietras que la suma t ermio a t ermio de dos series divergetes puede dar covergete o divergete, seg u los casos. Teorema 6.6 (Criterio del t ermio geeral) Si ua serie coverge, etoces su t ermio geeral tiede a cero. a covergete ) lim a 0! A este teorema tambi e se le cooce comocriterio ecesario de covergecia. El rec ³proco o es cierto, ya que existe series cuyo t ermio geeral tiede a cero y, si embargo, so divergetes, como, por ejemplo, la serie arm oica. Por lo tato, este es u criterio para la divergecia y o para la covergecia, ya que: lim a 6 0 )! a divergete Pero lim! a 0 o os da igua iformaci o sobre la covergecia de la serie. Ejemplo 6. Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) (ii) µ + (iii)

5 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Las tres series so divergetes. E efecto: + (i) lim a lim!! (ii) lim! a lim! µ + (iii) lim! a lim! Ejemplo 6.3 Sea serie lim µ +! 6 0 e6 0 a ua serie de t ermios positivos covergete. Hallar el car acter de la a R SeaR el resto de orde de la ueva serie. Se tiee: R a + + a + + a +3 + > a + +a + +a +3 + R R R + R + R R Como el resto R o coverge a 0, la serie X positivos, es divergete. a R o es covergete, y al ser de t ermios 6.3 Criterios de covergecia 6.3. Series de t ermios positivos (o egativos) Teorema 6.7 (Criterio de comparaci o) Si los t ermios de ua serie de t ermios positivos so meores o iguales que los t ermios correspodietes de otra serie, etoces, si coverge la seguda serie tambie coverge la primera y si diverge la primera tambie diverge la seguda. ½ P b covergete) P a a b ) P covergete a divergete) P b divergete El criterio sigue siedo v alido auque los primeros t ermios o cumpla la relaci oa b, siempre que se cumpla desde u lugar e adelate. Teorema 6.8 (Criterio de comparaci o de i it esimos) Si los t ermios geerales de dos series so i it esimos del mismo orde, etoces las dos series tiee el mismo car acter (es decir coverge simult aeamete o diverge simult aeamete). ½ ¾ a lim k6 k ) X a!b k6 0» X b

6 6 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Para que ua serie coverja su t ermio geeral tiee que teder a cero, es decir, ha de ser u i it esimo. Dos i it esimos so del mismo orde cuado el l ³mite de su cociete es u umero ito distito de cero. E particular, dos i it esimos equivaletes so del mismo orde, ya que el l ³mite de su cociete es la uidad, por lo tato podemos euciar el siguiete criterio cosecuecia del aterior. Teorema 6.9 (Criterio de i it esimos equivaletes) Si los t ermios geerales de dos series so i it esimos equivaletes etoces las dos series tiee el mismo car acter (es decir coverge simult aeamete o diverge simult aeamete). a»b b ) X a» X b Teorema 6.0 (Criterio del cociete. D'Alembert) Dada ua serie de t ermios positivos, si existe el l ³mite lim! (a + a ) d, etoces esta serie coverge cuado d< y diverge cuado d>. Sid el criterio o decide sobre la covergecia de la serie a lim + d )! a 8 < : d<! P a covergete d>! P a divergete d!duda Podemos a ar u poco m as e el criterio y resolver parte de la duda. Si lim! (a + a ) + etoces la serie es divergete. Es decir la duda se resuelve s olo por el lado de la divergecia. Auque la idetermiaci o suele resolverse por el criterio de Raabe. Teorema 6. (Criterio de la raiz. Cauchy) Dada ua serie de t ermios positivos, si existe el l ³mite lim p! a c, etoces esta serie coverge cuadoc< y diverge cuadoc>. Sic el criterio o decide sobre la covergecia de la serie lim! p a c) 8 < : c<! P a covergete c>! P a divergete c! duda Teorema 6. (Criterio de Raabe) Supogamos que a lim +! a Etoces la idetermiaci o puede resolverse co el siguiete l ³mite: 8 µ lim a < R<! P a divergete + R) R>! P a! a : covergete R! duda Observa que la comparaci o co la uidad es cotraria a los dos casos ateriores.

7 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 7 Teorema 6.3 (Criterio de Codesaci o de Cauchy) Seafa g ua sucesi o decreciete de t ermios o egativos, etoces las siguietes series tiee el mismo car acter. a» k a k k0 Teorema 6.4 (Criterio de la itegral) Si f(x) para x es ua fuci o cotiua, positiva y mo otoo decreciete, etoces la serie dode a f(), coverge o diverge simultaeamete co la itegral Z a f(x)dx Ejemplo 6.4 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) l (ii) se ¼ (iii) + se 3 ( + ) + (i) Teiedo e cueta que l<resulta la desigualdad: l > para ; 3; Y como la serie arm oica diverge, etoces tambie diverge la serie X, y por lo tato, aplicado el criterio de comparaci o la serie dada tambi e es divergete. (ii) Teiedo e cueta que 0< se ¼< resulta la desigualdad: se ¼ < Y como la serie geom etrica coverge, aplicado el criterio de comparaci o la serie dada tambi e es covergete. (iii) Teiedo e cueta que se 3 ( + ) resulta la desigualdad: 0 + se3 ( + ) + < 3

8 8 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Y como la serie geom etrica coverge, tambi e coverge la serie 3 3 X y por lo tato, aplicado el criterio de comparaci o la serie dada tambi e es covergete. Ejemplo 6. Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) + + (ii) (iii) + se 3 (i) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: + +» Y como la serie arm oica diverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e diverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim + lim!b! + : lim ½ ¾ + 6! (ii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: Y como la serie geom etrica» coverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim lim!b! : lim! ½ (iii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: + se 3» ¾

9 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 9 Y como la serie geom etrica coverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim lim!b! + se 3 : lim! + se 3 ½ ¾ Ejemplo 6.6 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) + l (ii) p (iii) (7 3 + ) se 3 (i) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: + l» Y como la serie arm oica diverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e diverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim lim! b! + l : lim! + l ½ ¾ (ii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: Y como la serie arm oica p» coverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a 3 + lim lim! b! 4 + p : lim ! 4 + p 3 ½ (iii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: (7 3 + )se 3» 3 3» 3 ¾

10 0 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Y como la serie geom etrica coverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de 3 i it esimos, tambi e coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim (7 3 + ) se lim!b! 3 : 3 lim (7 3 + )! lim! Ejemplo 6.7 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) se (ii) arcse µ p (iii) cos Aplicado i it esimos equivaletes, resulta: (i) se» X luego la serie es covergete. (ii) arcsep» p luego la serie es divergete. (iii) µ cos» ( ) X covergete. Ejemplo 6.8 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) (ii) (iii)!! Aplicado el criterio del cociete, resulta: a (i) lim + ( + ) lim! a! + : lim! luego la serie dada es covergete. a + ( + ) (ii) lim lim! a! ( + )! :! lim ( + )!! ( + )! lim ( + )! luego la serie dada es covergete. a (iii) lim + ( + ) lim + :! a! ( + )!! lim ( + ) ( + )!! ( + )! lim µ + e> luego la serie dada es divergete.! ( + ) ( + ) + lim! < ( + ) lim! ½ µ + lim! Ejemplo 6.9 Estudia, seg u los valores del par ametro p, el car acter de la serie: p! p> 0 ¾ ( + ) 3 + 0<

11 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Aplicado el criterio del cociete, resulta: a + p + ( + )! lim lim! a! ( + ) + : p! lim! p lim µ! + lim p p( + )! p! ( + ) ( + ) lim p µ! + Co lo cual resulta: Si p <,p<e la serie dada es covergete. e Si p >,p>e la serie dada es divergete. e Si p,p e el criterio o decide. e Sipe resolvemos la duda teiedo e cueta que µ + <e) lim e µ! + p e! p ( + ) e e + ) la serie es divergete Ejemplo 6.0 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) (l) (ii) l ( + ) (iii) Aplicado el criterio de la raiz, resulta: (i) lim p a lim 0< luego la serie dada es covergete.!! l (ii) lim! p a lim! (ii) lim p a lim!! l( + ) µ + µ + 0< luego la serie dada es covergete. e > luego la serie dada es divergete. Ejemplo 6. Estudiar el car acter de la serie: µ 4 7 (3 ) Aplicado el criterio del cociete se tiee µ a + 4 (3 + ) lim lim :! a! 3 6 (3 + 3) µ 4 (3 ) µ 3 + lim 3 6 3! 3 + 3

12 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Luego el criterio del cociete o decide sobre la covergecia. Aplicamos, etoces, el criterio de Raabe: Ã lim! µ 3 +! lim (3 + 3) (3 + ) ! (3 + 3) lim! (3 + 3) Luego la serie es covergete. lim + 8! (3 + 3) lim! > 6.3. Series alteradas De ici o 6.7 (Series alteradas) Ua serie se dice que es alterada cuado sus t ermios cambia cosecutivamete de sigo. ( ) + a a a +a 3 + ( ) + a + Las series alteradas puede comezar por u positivo o por u egativo, auque supodremos que siempre empieza co u positivo, e caso cotrario bastar a co sacar factor com u el sigo egativo. Teorema 6. (Criterio de covergecia para series alteradas. Leibiz) Ua serie alterada coverge si los valores absolutos de sus t ermios decrece y el t ermio geeral tiede a cero. P 9 a alterada ja j# ja j! 0 ; )X a coverge El rec ³proco de este teorema o es cierto, ya que s olo podemos asegurar que si el t ermio geeral o tiede a cero, etoces la serie es divergete, por o cumplir la codici o ecesaria de covergecia; pero si la sucesi o de los valores absolutos o es decreciete, etoces o podemos asegurar ada. Teorema 6.6 (Suma de la serie alterada) La suma de la serie alterada es siempre meor que su primer t ermio. S a Teorema 6.7 (El error e la serie alterada) Sitomamos como aproximaci ode la suma total de ua serie alterada ua suma parcial, etoces el error que cometemos e esta aproximaci o, e valor absoluto, es meor que el primer t ermio que o se suma. S¼S! jr j<a +

13 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 3 Ejemplo 6. Estudia el car acter de las siguietes series um ericas: (i) ( ) + Aplicado el criterio de Leibiz, resulta: (ii) ( ) + (iii) (i) lim ja j lim! 6 0 luego la serie dada es divergete. (ii) Para la seguda serie teemos: lim ja j lim!! 0 + >! + <!ja +j<ja j!ja j# luego la serie dada es covergete (serie arm oica alterada). (iii) Para la tercera serie teemos. lim ja l j lim!! [ ] lim! lim! 0 (hemos tratado la sucesi o como ua fuci o). Para estudiar el crecimieto deja j f() recurrimos a la fuci o! f(x) lx x y estudiamos su crecimieto, a partir de su derivada. f 0 (x) xx lx x lx x teiedo e cueta que la fuci of(x) ser a decreciete all ³ dode su derivadaf 0 (x) sea egativa, resulta: f 0 (x)< 0! lx x ( ) l < 0! lx< 0! <lx!x>e Luego la sucesi oja j ser a decreciete para 3. Lo que sigi ca que al elimiar los dos primeros t ermios de la serie, se cumple las codicioes de Leibiz. Por lo tato, a covergete ) 3 a covergete Series de t ermios de sigo cualesquiera De ici o 6.8 (Covergecia absoluta) Ua serie se dice que es absolutamete covergete si la serie formada por los valores absolutos de sus termios es covergete. a absolutamete covergete() ja j covergete

14 4 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. De ici o 6.9 (Covergecia codicioal) Ua serie se dice que es codicioalmete covergete si ella es covergete pero la serie formada por los valores absolutos de sus termios es divergete. 8 >< a covergete a codicioalmete covergete() >: ja j divergete Teorema 6.8 (Criterio de la covergecia absoluta) Si ua serie es absolutamete covergete, etoces es covergete. ja j covergete ) a covergete Este criterio es valido para todo tipo de series, icluidas las alteradas. Teorema 6.9 (Reordeaci o de t ermios) Si ua serie es absolutamete covergete, etoces la serie obteida despu es de cualquier reordeaci o de sus t ermios tambie coverge absolutamete y tiee la misma suma. Es decir, la suma de ua serie absolutamete covergete o se altera por ua reordeaci o de sus t ermios. Si la serie coverge s olo codicioalmete, etoces al reordear sus t ermios la suma de la serie puede cambiar. E particular, reordeado los t ermios de ua serie codicioalmete covergete se puede trasformar e divergete. Ejemplo 6.3 Estudia la covergecia absoluta de las siguietes series: (i) cos (ii) ( )! (iii) ( ) l Se trata de series co t ermios positivos y egativos. Aplicado el criterio de la covergecia absoluta, resulta: (i) ja j cos j cosj luego, por el criterio de comparaci o, la serie dada es absolutamete covergete, y por tato ella es covergete. (ii) Para la seguda serie teemos: ja j! Y aplicado el criterio del cociete resulta:

15 6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA ja + j lim! ja j + lim! ( + )! :! lim +!! ( + )! lim! + 0< luego, por el criterio del cociete, la serie dada es absolutamete covergete, y por tato ella es covergete. (iii) Para la tercera serie teemos. ja j l Y aplicado el criterio de comparaci o, resulta: l>!ja j l > Luego, por el criterio de comparaci o, la serie formada co los valores absolutos de sus t ermios es divergete. Por tato, la serie dada o es absolutamete covergete. Estudiemos su covergecia codicioal. Se trata de ua serie alterada, luego podemos aplicarle el crierio de Leibiz, lim ja l j lim!! [ ] lim! lim! 0 (hemos tratado la sucesi o como ua fuci o). Para estudiar el crecimieto deja j f() recurrimos a la fuci o f(x) lx x y estudiamos su crecimieto, a partir de su derivada. f 0 (x) x lx x x lx x teiedo e cueta que la fuci of(x) ser a decreciete all ³ dode su derivadaf 0 (x) sea egativa, resulta: f 0 (x)< 0! lx x < 0! lx< 0! <lx!x>e Luego la sucesi oja j ser a decreciete para 3. Lo que sigi ca que al elimiar los dos primeros t ermios de la serie, se cumple las codicioes de Leibiz. Por lo tato, a covergete ) a covergete 3 Luego la serie dada es codicioalmete covergete. Ejemplo 6.4 Estudia la covergecia absoluta de la siguiete serie: ³ p ( ) p + 0

16 6 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. El estudio de esta serie resulta m as f acil si trasformamos su t ermio geeral, multiplicado y dividiedo por el cojugado del deomiador, co lo cual resulta: ³ p ( ) p + 0 Co lo cual teemos ( ) + p p ja j p + + p 0 ( ) p + + p Y para estudiar la covergecia de esta serie buscamos ua serie coocida que os sirva de comparaci o. Para valores grades depodemos esperar que los siguietes i it esimos sea del mismo orde: Y como la serie arm oica ja j p p» p + + p diverge, etoces, aplicado el criterio de comparaci o de i it esimos, tambi e diverge la serie formada por los valores absolutos de los t ermios de la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobaci o: a lim lim p!b! p : + + p lim! p p + + p ½ Estudiemos su covergecia codicioal. Se trata de ua serie alterada, luego podemos aplicarle el crierio de Leibiz, lim ja j lim p p 0! + + p p p p + + < + + +! p p > p p! !!ja j>ja + j!ja j# Luego la serie es covergete y, por tato, codicioalmete covergete. ¾ 6.4 Suma de series Lo ormal es que o exista u procedimieto para calcular el valor exacto de la suma de ua serie y tegamos que coformaros co u valor aproximado de la suma, sumado los primeros t ermios de la serie. Si embargo podemos itetar calcular el valor exacto de la suma de la serie utilizado los siguietes procedimietos:

17 6.4. SUMA DE SERIES Aplicado la de ici o S lim! S 6.4. Series geom etricas k ar a rk r si jrj< (el umerador de la fracci o es el primer t ermio de la serie) Series aritm etico-geom etricas Sa llama series aritm etico-geom etricas aquellas cuyo t ermio geeral es de la forma a (a +b)r Es decir es el producto de dos t ermios: uo va e progresi o aritm etica y el otro e progresi o geom etrica. Si la serie est a expresada e forma ca oica (comieza e y el expoete de r es, etoces su suma se puede calcular por la f ormula: (a +b)r (a +b)r br ( r) Tambi e podemos repetir el proceso completo de deducci o de la f ormula e cada caso, S (a +b)r + (a +b)r + (3a +b)r (a +b)r rs (a+b)r (a+b)r 3 (3a+b)r 4 (a+b)r + de dode y tomado l ³mites: ( r)s (a +b)r +ar +ar 3 + +ar (a +b)r + ( r)s (a +b)r +a (r +r 3 + +r ) (a +b)r + ( r)s (a +b)r +a r r 0 (a +b)r (a +b)r +ar r (a +b)r br r de dode, despejados S (a +b)r br ( r)

18 8 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS Series hipergeom etricas Las series hipergeom etricas se detecta al aplicar el criterio del cociete e la covergecia. Ua serie a se llama hipergeom etrica cuado: a + a +b a a +c! N otese que umerador y deomiador ha de ser poliomios de primer grado co el mismo coe ciete de. La serie hipergeom etrica es equivalete a ua serie geom etrica de raz o r a +b c Por lo tato su covergecia viee determiada porjrj< y su suma por S a r Hay que hacer otar que para poder aplicar esta equivalecia la serie tiee que comezar e. Si la serie comieza e 0 o est a permitido sustituir e la f ormula des,a pora 0. E este caso habr ³a que calcular la suma total desde y restar los t ermios que o gure e la serie, o bie, maipular la f ormula del t ermio geeral para que comiece e 6.4. Series telesc opicas So aquellas cuyo t ermio geeral se puede descompoer e la diferecia de dos t ermios cosecutivos, demaeraque e las sumas parciales sesimpli catodos los t ermios itermedios a (b b + ) Teemos: S b b +b b 3 +b 3 b 4 + +b b + b b + de dode S lim! S lim! (b b + ) Descomposici o e factores simples Se aplica e aquellas series cuyo t ermio geeral es el cociete de dos poliomios.

19 6.4. SUMA DE SERIES Series que se obtiee a partir del umero e Cuado el deomiador es u factorial y el umerador u poliomio itetamos relacioar la serie co el umeroe, maipulado para ello el umerador co objeto de expresar el t ermio geeral como suma de fraccioes co umeradores um ericos y deomiadores factoriales, y comparamos el resultado co el desarrollo del umeroe. Si e el proceso aparece factoriales de t ermios egativos lo resolvemos sacado del sumatorio los t ermios ecesarios para evitar los egativos. Por tato, teemos que las series del tipo: p() ( +b)! so siempre covergetes y para hallar su suma las descompoemos e fraccioes simples, teiedo e cueta el desarrollo: e ! + La descomposici o efraccioes simples tambi e puede hacerse por ideti caci o de coe cietes Ejemplo 6. Sumar la serie: ( + 3)( + 4) (a) Como telesc opica, (b) Como hipergeom etrica (restado a ), (c) Como hipergeom etrica maipulado a para que comiece e (d) Comprobar que la f ormulas a coduce a u resultado err oeo r (a) Se trata de ua serie telesc opica, e efecto, teemos: de dode: ( + 3)( + 4) A B + 4 3! A 4! B Co lo cual, la serie se puede expresar de la forma: resultado: ( + 3)( + 4) X A( + 4) +B( + 3) ( + 3)( + 4) ¾ A B ( + 3)( + 4) X µ µ S µ

20 0 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Cuyo l ³mite es la suma de la serie propuesta µ S lim S lim!! µ (b) Para sumarla como hipergeom etrica tiee que comezar e. Para ello sumamos y restamosa. ( + 3)( + 4) 4 + X Veamos que se trata de ua serie hipergeom etrica: ( + 3)( + 4) 4 + X ( + 3)( + 4) a + a y la suma de la serie es: ( + 4)( + ) : ( + 3)( + 4) ) r ( + 3)( + 4) (c) El mismo efecto puede coseguirse maipulado el t ermio geeral para que la serie comiece e ( + 3)( + 4) X ( + 4)( + ) que se trata de ua serie hipergeom etrica de raz o diferete, e efecto: a + a y la suma de la serie es: ( + )( + 6) : ( + 4)( + ) ) r ( + 3)( + 4) X ( + 4)( + ) (d) Es evidete que la f ormula S a, aplicada a la serie iicial, coduce a u resultado r err oeo, e efecto: S a r

21 6.4. SUMA DE SERIES Ejemplo 6.6 Estudiar el caracter y sumar e su caso las siguietes series um ericas: (i) µ + 3 (ii) (i) La serie puede expresarse de la siguiete maera: µ + 3 ( )( + )( + 3) + 3 ( + 3) (iii) µ que es ua serie aritm etico-geom etrica, de raz o y por tato covergete. Para sumarla podemos aplicar la f ormula, o bie repetir el proceso completo: S µ µ 3 µ ( + 3) µ µ 3 µ 4 µ + S 7 9 (+3) S µ µ 3 µ µ ( + 3) de dode " µ S + + y tomado l ³mites: de dode, despejados µ µ # ( + 3) S S µ + ( + 3)! Tambi e podemos aplicar la f ormula para sumar las series aritm etico geom etricas, ua vez que la serie est a expresada e forma ca oica. (a +b)r (a +b)r br ( r) ) ( + 3) µ ( + 3) 3( ) ( ) (ii) Para estudiar la covergecia de la seguda serie aplicamos el criterio del cociete: a + ( )( + )( + 3) a ( + )( + 3)( + ) +! Se trata de ua serie hipergeom etrica de raz or es: S 3, luego es covergete, y su suma

22 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Esta serie tambie puede tratarse como telesc opica. (iii) Esta serie es del tipo PP() que siempre es covergete, y su suma es del tipo del umero! e. Para sumarla maipulamos el umerador co objeto de elimiar todas las. Teiedo e cueta que ( + 3)( + ) resulta. 7 3 ( + 3)! ( + 3)! ( + 3)! ( + 3)( + ) ( + 3) + 7 ( + 3)! ( + )! ( + )! + 7 ( + 3)! Y teiedo e cueta que: e + +! + 3! + resulta: X ( + 3)! µ ( + )! ( + )! + 7 ( + 3)! 0 [e ] [e ] + 7[e 7 ] e e e e e La descomposici o tambi e pod ³a haberse hecho mediate la ideti caci o de coe cietes: E efecto, haciedo: 7 3 ( + 3)! A( + 3)( + ) +B( + 3) +C ( + 3)! resulta: 3!9+ 3 C! B+C 0! 3 6A + 3B +C 9 ; C 7 B C 7 7 A 6 ( 3 3B C) 6 ( ) Ejemplo 6.7 Estudia el car acter y sumar e su caso las siguietes series um ericas: (i) (ii) µ cosp (iii) (i) + la serie diverge ya quea + 3! µ (ii) cosp µ» p» divergete (arm oica) ( + )!

23 6.4. SUMA DE SERIES 3 Hemos teido e cueta que ( cosx» x ) (iii) La serie es covergete, puede comprobarse por el criterio del cociete. Su suma es: ( + )! ( + ) 6( + ) + ( + )! ( + )! ( + )! ( + )! 9 ( + )! ( )! + 6! 9 e + 6(e ) 9(e ) e ( + )! Ejemplo 6.8 Estudia el car acter de las siguietes series um ericas y calcular, si es posible, su suma: µ (a) l (b) ( + ) (c) (a) X l ++ X l( )»X +»X Divergete Hemos aplicado i it esimos equivaletes l( +z)» z cuado z! 0, e i it esimos del a mismo orde lim k (k6 0;k6).! b 3 (b) ( + ) X 3 +( + ) 3 + ( + ) X 3 ( + ) ( + ) 3 + ( + ) 3( + ) + X 3 + Ahora bie, la primera serie es ua serie telec opica que podemos sumar aplicado la de ici o ( + ) X + S ! y por otro lado, la seguda serie es ua serie geom etrica µ

24 4 CAP ITULO 6. SERIES NUM ERICAS. Co lo cual, la suma pedida es ( + ) (c) La suma pedida puede descompoerse e dos series geom etricas, µ µ