Para analizar datos económicos a menudo es necesario buscar relaciones entre las variables económicas. Para estas relaciones podemos usar:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Para analizar datos económicos a menudo es necesario buscar relaciones entre las variables económicas. Para estas relaciones podemos usar:"

Transcripción

1 Comparación de las Variables Económicas Para analizar datos económicos a menudo es necesario buscar relaciones entre las variables económicas. Para estas relaciones podemos usar: Cocientes Proporciones Variaciones Porcentuales Funciones Etc. Cocientes El cociente o razón no es más que el resultado de dividir una cantidad entre otra, en nuestro caso una variable económica entre otra. El resultado permanece invariable, si ambas cantidades, numerador y denominador, varían (aumentan o disminuyen) en la misma proporción. 500 Ejemplo = = 0.5 = Porcentaje: Si el cociente lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje. Ejemplo 500 = 0.5 Es en tanto por uno = 50% Es en tanto por cien 1000 Una persona gana 800 u.m. mensualmente y dedica 200 a comida. Qué porcentaje representa este gasto sobre sus ingresos?. 200 El resultado es x 100 = 25%. Significa que el 25% de sus ingresos los dedica a comida. 800 En un cociente la cifra de arriba se llama numerador y la de abajo denominador. Sirve para ver la proporción entre una cantidad y otra. 1

2 Ejemplos de diferentes porcentajes: C Porcentaje: --- x 100 Su lectura sería: Porcentaje o parte de la (Renta) que se destina al C (Consumo) ó cuanto destinamos al consumo de cada 100 que obtenemos. Si ese % = 50% p.ej. (500/1.000) x 100 El 50% de la renta se destina al consumo, o consumimos la mitad de la renta que obtenemos. Si (C/) x 100 = 100%, (1.000 / 1.000) x 100 Toda la renta se destina al consumo, o el 100% de la renta se consume. En este caso no ahorramos nada. Si (C/) x 100 = 150%, (1.500 / 1.000) x 100 El 150% de la renta se consume, o el consumo es 1,5 veces la renta. En este caso nos endeudaríamos, o estaríamos tirando de los ahorros. Un cociente muy importante es el precio relativo. Su importancia se debe a que a veces nos interesa más que conocer el valor de un bien en euros, el precio de ese bien en relación con otros. Ejemplo: Supongamos que un sofá cuesta y un TV cueste En este caso el precio relativo del sofá respecto a la TV será: Precio Sofá / Precio TV = / = 2, es decir el doble. En términos de precios relativos diremos que si dejamos de comprar un sofá podremos comprarnos 2 TV. También podemos expresar el precio relativo de la TV respecto al sofá: Precio TV / Precio Sofá = / = 0.5, es decir la mitad. En términos de precios relativos diremos que si dejamos de comprar una TV podremos comprarnos 1/2 sofá. Proporción Si el denominador de un cociente es la suma de varios sumandos, y el numerador es uno cualquiera de esos sumandos, el resultado es una proporción. La proporción es siempre menor que 1, y si la multiplicamos por 100 obtendremos el porcentaje de participación. Gastos Mensuales um Proporción % Alimentación ,2 20% Vestido ,4 40% Gasolina 500 0,1 10% Ocio y otros ,3 30% Total Gastos ,0 100% Poner 1º únicamente columnas de Gastos Mensuales y y hacer juntos, explicando el significado de proporción y % 2

3 La proporción de la alimentación entre el total de gastos es el 0,2, lo que significa que el 20% de nuestros gastos los dedicamos a alimentación. Ver la proporción y % de los otros gastos, como vestido, gasolina y ocio y otros. Variaciones Porcentuales Para calcular la variación porcentual de una variable durante un período de tiempo determinado, hay que calcular la diferencia entre el valor en un instante de tiempo determinado (Vt) y el valor inicial (Vi), dividiendo el resultado entre el valor inicial y multiplicando por 100. Vt Vi Variación Porcentual = x 100 Vi Año Parados Variación Variación Absoluta Porcentual ,5% ,4% ,3% ,4% ,2% Las cifras de variaciones absolutas pueden ser muy engañosas. En nuestro caso la mayor variación porcentual se produce en el período del 80 al 85, y en cambio la mayor variación porcentual en el período 75 al 80. Poner el ejemplo de un aumento de beneficios de 5 Millones de en los beneficios de una empresa que el año pasado ganó 10 Millones y de otra que ganó Ambas han ganado 5 Millones más, pero una ha aumentado sus beneficios en un 50% y la otra en tan sólo en un 0,5%. Hacer los números. Por lo tanto, para comparar datos económicos de diferentes períodos utilizaremos la variación porcentual y no la variación absoluta. Un tipo esencial y muy utilizado de variación porcentual es la tasa de crecimiento. La Tasa de Crecimiento Es la variación porcentual de una variable económica a lo largo del tiempo, normalmente un año. Nos indica la tasa porcentaje a la que crece o disminuye dicha variable. Tasa de Inflación: Tasa o % de crecimiento de los precios. Tasa de crecimiento económico: Tasa o % de crecimiento del valor de la producción total de una economía. Ej: Tasa de crecimiento de la población desocupada 3

4 Año Parados Tasa Crecimiento ,63% ,00% ,08% ,26% ,69% ,63 % = x La relación funcional entre variables y el análisis gráfico Usando la notación funcional escribimos y = f(x), y lo leemos diciendo y es función de x. La letra f establece una regla que usamos para pasar de un valor x a un valor y. La regla nos dice como operar en x para obtener y. Consideremos: a) y = 5x 3 La relación que se establece es: Toma (coge) un valor de, multiplícalo por 5 y réstale 3, y entonces obtendremos un valor de y. es la variable a la que vamos dando diferentes valores. Se le denomina variable exógena o variable autónoma. es la variable cuyo valor queremos obtener. Se le denomina variable endógena o variable inducida En nuestro ejemplo, vamos a ver los valores que obtendremos para en función de los que tome Relación entre variables a) Relación Directa o Creciente Diremos que una relación es creciente o directa, cuando a un incremento de le corresponde un de, y también cuando. Ejemplo: = 5 3 4

5 2 7 Punto a 4 17 Punto b Si pasamos del punto a al b, se produce un incremento de en 2 y un incremento de en 10 Si pasamos del punto b al punto a se produce un decremento o disminución de 2 en y una disminución en de 10. Gráficamente b) Relación Inversa o Decreciente Diremos que una relación es decreciente o inversa, cuando a un incremento de le corresponde un de, y también cuando. Ejemplo: = Punto a 2 4 Punto b Gráficamente:

6 Representación Gráfica de Funciones Un gráfico de coordenadas divide el espacio en cuatro cuadrantes. x<0 y>0 x>0 y>0 x<0 y< 0 x>0 y<0 6

7 Líneas Rectas y Pendientes Vamos a considerar 3 funciones y a representarlas gráficamente 1. y = 0,5x 2. y = x 3. y = 2x = 0, ,5 2 1 = = Si representamos gráficamente las 3 funciones: y=0.5x y=x y=2x 7

8 Las 3 funciones pasan por el origen: 1) y = 0,5 x Si x = 10 y = 5 Si x = 16 y = 8 Es decir, = 6 = 3 En este caso / = 0,5: Cualquier cambio en la variable hace que el / sea siempre 0,5. Si x = 20 y = 10 Si x = 30 y = 15 Es decir, = 10 = 5 Vemos que / = 0,5. En las otras funciones que hemos puesto como ejemplo: 2) y = x : / = 1 Si x = 20 y = 20 Si x = 30 y = 30 Es decir, = 10 = 10 Vemos que / = 1 3) y = 2x : / = 2 Si x = 20 y = 40 Si x = 30 y = 60 Es decir, = 10 = 20 Vemos que / = 2 Pendiente de una Línea Recta Es el cociente entre la distancia en que nos movemos sobre el eje de las, y las distancia en que nos movemos sobre el eje de las, en definitiva la pendiente es /. (la tangente de un ángulo es seno/cos que coincide con / 8

9 En los ejemplos que hemos visto anteriormente: y = 0,5x. Pendiente = 0,5 y = x. Pendiente = 1 y = 2x. Pendiente = 2 Cuanto mayor sea el cociente /, mayor será la pendiente y por lo tanto la recta será más empinada o más inclinada. Fijarse que la pendiente de la función es el número que acompaña a la x. =b pendiente. b es la Las siguientes funciones tienen la misma pendiente: y = 2x y = x = a + b y = x Lo único que cambia es la ordenada en el origen a. Valor que toma y cuando x = 0 En la primera función a = 0, en la segunda es igual a 10 y en la tercera es igual a -5 9

10 y=-5+2x y=10+2x y=2x -10 Comprobar mediante los ejemplos que hemos puesto que la pendiente de una función directa es siempre positiva (en el ejemplo que hemos puesto de función directa b = 5) y que la pendiente de una función inversa es negativa (en el ejemplo de la función inversa b =

FUNCIONES y = f(x) ESO3

FUNCIONES y = f(x) ESO3 Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.

Más detalles

INECUACIONES. Por ejemplo 2 3 x 6.

INECUACIONES. Por ejemplo 2 3 x 6. INECUACIONES 1. Desigualdades Una desigualdad es una expresión en la que interviene uno de los signos: ,. Por ejemplo, 3 + 10, que es una desigualdad cierta. 3+ > 5 es una desigualdad falsa.. de primer

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

12 Funciones de proporcionalidad

12 Funciones de proporcionalidad 8 _ 09-088.qxd //0 : Página 9 Funciones de proporcionalidad INTRODUCCIÓN La representación gráfica de funciones de proporcionalidad es una de las formas más directas de entender y verificar la relación

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º DE ESO

MATEMÁTICAS 2º DE ESO MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE TEMA VII: FUNCIONES Y GRÁFICAS Coordenadas cartesianas. Concepto de función. Tabla y ecuación. Representación gráfica de una función. Estudio gráfico de una función. o Continuidad

Más detalles

Unidad 3: Razones trigonométricas.

Unidad 3: Razones trigonométricas. Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

FRACCIONES. numerador. denominador. Tres cuartos. Cuatro séptimos. Un medio. Once veinteavos. Tres quintos. Cuatro sextos. Ocho décimos.

FRACCIONES. numerador. denominador. Tres cuartos. Cuatro séptimos. Un medio. Once veinteavos. Tres quintos. Cuatro sextos. Ocho décimos. Código Centro 80080 C/ Valderribas, 7 C.P. 8007 Tfno/fax 989 FRACCIONES Una fracción es un número representado por otros dos separados por una línea recta horizontal. Al número de abajo le llamamos denominador

Más detalles

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto» TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento

Más detalles

DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES

DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b c Ejemplo: 12 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar

Más detalles

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente

Más detalles

3.7. FONDOS DE AMORTIZACIONES

3.7. FONDOS DE AMORTIZACIONES 1 BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales ADMINISTRACIÓN FINANCIERA I Arturo García Santillán 3.7. FONDOS DE AMORTIZACIONES 3.7.1. CONCEPTOS BÁSICOS Habiendo estudiado las amortizaciones

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º DE ESO

MATEMÁTICAS 1º DE ESO MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA IV : LAS FRACCIONES. OPERACIONES Los siginificados de una fracción. Fracciones propias e impropias. Equivalencias de fracciones. Amplificación y simplificación. Fracción

Más detalles

Lección 11: Fracciones. Equivalencia y orden

Lección 11: Fracciones. Equivalencia y orden GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN Lección : Fracciones. Equivalencia y orden Fracciones equivalentes No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene partir de otra

Más detalles

Vamos a llamar número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros: 4 2 = 2

Vamos a llamar número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros: 4 2 = 2 Instituto Raúl calabrini Ortiz Matemática º año NUMERO RACIONALE En la ecuación 0, todos los números que aparecen son enteros in embargo, cuando tratamos de resolverla, vemos que la ecuación no tiene solución

Más detalles

Tema 1 El objeto de análisis de la economía

Tema 1 El objeto de análisis de la economía Ejercicios resueltos de Introducción a la Teoría Económica Carmen Dolores Álvarez Albelo Miguel Becerra Domínguez Rosa María Cáceres Alvarado María del Pilar Osorno del Rosal Olga María Rodríguez Rodríguez

Más detalles

Tema 6: Trigonometría.

Tema 6: Trigonometría. Tema 6: Trigonometría. Comenzamos un tema, para mi parecer, muy bonito, en el que estudiaremos algunos aspectos importantes de la geometría, como son los ángulos, las principales razones e identidades

Más detalles

CINEMÁTICA: ESTUDIO DEL MOVIMIENTO. Cinemática es la parte de la Física que estudia la descripción del movimiento de los cuerpos.

CINEMÁTICA: ESTUDIO DEL MOVIMIENTO. Cinemática es la parte de la Física que estudia la descripción del movimiento de los cuerpos. CINEMÁTICA: ESTUDIO DEL MOVIMIENTO Cinemática es la parte de la Física que estudia la descripción del movimiento de los cuerpos. 1. Cuándo un cuerpo está en movimiento? Para hablar de reposo o movimiento

Más detalles

Años Unidades producidas 1 25, , , ,000

Años Unidades producidas 1 25, , , ,000 1 5.1. Conceptos Depreciación es la pérdida o disminución del valor de un bien, debido a su uso y disfrute u obsolescencia. En el manejo de la depreciación, se deben considerar los siguientes términos

Más detalles

UNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:

UNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno: UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

TEST MICROECONOMIA. a) La asignación eficiente de medios escasos entre fines alternativos.

TEST MICROECONOMIA. a) La asignación eficiente de medios escasos entre fines alternativos. TEST MICROECONOMIA 1. La economía es: a) La asignación eficiente de medios escasos entre fines alternativos. b) La búsqueda de la máxima satisfacción. c) El gasto máximo que realiza un país en un año.

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS FUNCIONES CUADRÁTICAS A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c, números reales y a 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto

Más detalles

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano. Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta

Más detalles

Números. Índice del libro. 1. Los números reales. 2. Operaciones con números enteros y racionales. 3. Números decimales

Números. Índice del libro. 1. Los números reales. 2. Operaciones con números enteros y racionales. 3. Números decimales 1. Los números reales 2. Operaciones con números enteros y racionales 3. decimales 4. Potencias de exponente entero 5. Radicales 6. Notación científica y unidades de medida 7. Errores Índice del libro

Más detalles

UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: LA INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: LA INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema: LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida Anteriormente se mencionó que la Integral Indefinida da como resultado una familia de funciones

Más detalles

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Función Cuadrática A la función polinómica de segundo grado +bx+c, siendo a, b, c números reales y, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: La representación

Más detalles

RESUMEN PARA EL ESTUDIO

RESUMEN PARA EL ESTUDIO RESUMEN PARA EL ESTUDIO 1. Números de siete cifras U. millón CM DM UM C D U Cómo se lee 2 8 9 6 7 8 2 Cómo se descompone: 2.896.782 = 2 U. millón + 8 CM + 9 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 2 U Cómo se compone:

Más detalles

Colegio Universitario Boston

Colegio Universitario Boston Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función,

Más detalles

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos? CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?

Más detalles

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma. FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto

Más detalles

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían

Más detalles

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3, RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS REALES

TEMA 1: NÚMEROS REALES . Numeros racionales Ejemplo: TEMA : NÚMEROS REALES 4.............................................. Entonces puedo expresar el "" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es irreducible.

Más detalles

Entonces la regla de tres simple se utiliza para calcular magnitudes o cantidades proporcionales.

Entonces la regla de tres simple se utiliza para calcular magnitudes o cantidades proporcionales. REGLA DE TRES SIMPLE La regla de tres simple es una herramienta muy útil y a la vez muy fácil de usar. La utilizamos diariamente, por ejemplo, cuando deseamos saber cuánto costarán 3 kg de naranjas, si

Más detalles

Desigualdades con Valor absoluto

Desigualdades con Valor absoluto Resolver una desigualdad significa encontrar los valores para los cuales la incógnita cumple la condición. Para ver ejemplos de las diferentes desigualdades que hay, haga Click sobre el nombre: Desigualdades

Más detalles

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo

Más detalles

FPP: Frontera de posibilidades de producción.

FPP: Frontera de posibilidades de producción. TEMA 3 FPP: Frontera de posibilidades de producción. INDICE Frontera de posibilidades de producción Curva de eficiencia Curva de transformación Consumo: Presente y Futuro Frontera de las posibilidades

Más detalles

Tasa de variación. Tasa de variación media

Tasa de variación. Tasa de variación media Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población: DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que

Más detalles

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes) Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden

Más detalles

RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a

RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a UD : Los números reales RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a (que es lo mismo que decir que a b si

Más detalles

Ax + By + C = 0. Que también puede escribirse como. ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta

Ax + By + C = 0. Que también puede escribirse como. ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta ECUACIÒN DE LA RECTA La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados

Más detalles

Se desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.

Se desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico. Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte)

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) NÚMEROS RACIONALES REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Para reducir varias fracciones al mismo denominador se siguen los siguientes pasos:

Más detalles

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría

Más detalles

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes:

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: Funciones, 3º ESO () RECTAS Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: - Lineales, de fórmula y mx. Las gráficas de estas funciones pasan por el origen de coordenadas. m es la pendiente

Más detalles

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni. Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre

Más detalles

TEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas

TEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas 1 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden

Más detalles

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan

Más detalles

ESP. PABLO ENRIQUE CALDERON DIAZ

ESP. PABLO ENRIQUE CALDERON DIAZ ESP. PABLO ENRIQUE CALDERON DIAZ * INTRODUCCIÓN. En toda actividad comercial y financiera se acostumbra pagar un interés por uso del dinero prestado. La gran fuente de ingresos de las Entidades Financieras

Más detalles

Función lineal Ecuación de la recta

Función lineal Ecuación de la recta Función lineal Ecuación de la recta Función constante Una función constante toma siempre el mismo valor. Su fórmula tiene la forma f()=c donde c es un número dado. El valor de f() en este caso no depende

Más detalles

2º Se lee número que hay antes de la coma, se añade la palabra coma y luego se lee la parte decimal

2º Se lee número que hay antes de la coma, se añade la palabra coma y luego se lee la parte decimal Qué son los decimales? Los decimales son una manera distinta de escribir fracciones con denominadores como 10, 100 y 1,000. Tanto los decimales como las fracciones indican una parte de un entero. Un decimal

Más detalles

(tema 9 del libro) 1. FUNCIÓNES EXPONENCIALES

(tema 9 del libro) 1. FUNCIÓNES EXPONENCIALES (tema 9 del libro). FUNCIÓNES EXPONENCIALES Son funciones de la forma f ( ) a donde a 0 y a. Su dominio es todo R y van a estar acotadas inferiormente por 0, que es su ínfimo. Todas pasan por el punto

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto

Más detalles

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes Matemáticas. Tercero ESO. Curso 0-03. Exámenes . 9 de octubre de 0 Ejercicio. Calcular: 3 5 4 + 3 0 3 7 8 5 3 5 4 + 3 0 5 + 6 0 3 0 3 7 8 5 3 56 0 3 8 0 84 74 5 5 5 Ejercicio. Calcular: 5 6 [ ( 3 3 3 )]

Más detalles

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que

Más detalles

FÍSICA 1-2 TEMA 1 Resumen teórico. Cinemática

FÍSICA 1-2 TEMA 1 Resumen teórico. Cinemática Cinemática INTRODUCCIÓN La cinemática es la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos. Sistemas de referencia y móviles Desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración Pero un movimiento (un cambio

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.

Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida

Más detalles

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

Infinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito

Infinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas

Más detalles

TEMA 1: Funciones elementales

TEMA 1: Funciones elementales MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace

Más detalles

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de

Más detalles

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7

27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 β 27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos a, b y c a sus lados y A, B y C a sus vértices de forma que A sea el vértice formado por los lados

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Tema 10. Funciones (II). Recta, parábola, hipérbola, exponenciales, logaritmos y circulares.

Tema 10. Funciones (II). Recta, parábola, hipérbola, exponenciales, logaritmos y circulares. Tema 10. Funciones (II). Recta, parábola, hipérbola, exponenciales, logaritmos y circulares. 1. Traslados de las gráficas horizontales y verticales... 2 2. Funciones lineales. La recta... 3 3. Función

Más detalles

Fabio Prieto Ingreso 2003

Fabio Prieto Ingreso 2003 Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien

Más detalles

TEORÍA DE LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

TEORÍA DE LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR TEORÍA DE LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR La decisión del consumidor en cuanto al conjunto de bienes que desea adquirir para su consumo viene determinada por dos factores: a) Renta disponible b) Gustos En este

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

Medidas de centralización

Medidas de centralización 1 1. Medidas de centralización Medidas de centralización Hemos visto cómo el estudio del conjunto de los datos mediante la estadística permite realizar representaciones gráficas, que informan sobre ese

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar

Más detalles

Conjunto de Números Racionales.

Conjunto de Números Racionales. Conjunto de Números Racionales. El conjunto de los números racionales está formado por: el conjunto de los números enteros (-2, -1, 0, 1, 2, ) y los números fraccionarios y se representan con una Q. Números

Más detalles

UNIDAD III NÚMEROS FRACCIONARIOS

UNIDAD III NÚMEROS FRACCIONARIOS UNIDAD III NÚMEROS FRACCIONARIOS COMPETENCIAS E INDICADORES DE DESEMPEÑO Identifica los números fraccionarios y realiza operaciones con ellos. Identifica los porcentajes, decimales y fraccionarios y realiza

Más detalles

Ecuaciones Diofánticas

Ecuaciones Diofánticas 2 Ecuaciones Diofánticas (c) 2011 leandromarin.com 1. Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros y de la que tenemos que calcular las soluciones enteras. En este tema

Más detalles

CURSOS CENEVAL TOLUCA

CURSOS CENEVAL TOLUCA Precálculo Propiedades de los números reales Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números

Más detalles

SISTEMA DE NUMEROS REALES

SISTEMA DE NUMEROS REALES SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto

Más detalles

Funciones Lineales en una Variable Real

Funciones Lineales en una Variable Real en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: la definición de una función lineal : Contenido Discutiremos: la definición de una función

Más detalles

La derivada. Razón de cambio promedio e instantánea

La derivada. Razón de cambio promedio e instantánea La derivada En esta sección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

Los números enteros. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Los números enteros. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros. Los números enteros Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde

Más detalles

TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Realizar correctamente operaciones con fracciones: Suma, resta, producto, cociente, potencia y radicación. O.1.2 Resolver operaciones

Más detalles

Si dividimos la unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima.

Si dividimos la unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima. NÚMEROS DECIMALES 1. DÉCIMA, CENTÉSIMA Y MILÉSIMA. 1.1. CONCEPTO. Si dividimos la unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima. Si dividimos la unidad en 100 partes iguales, cada una de

Más detalles