2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

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1 . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( ) se define = en el punto ( ) como el límite de ls pendientes de ls rects secntes que psn por el punto (, f( )). Este límite se llm derivd de l función f en el punto y es un de ls ides más importntes del cálculo. DEFINICIÓN. Se dice que l función f es derivble en el punto si el siguiente límite existe y es f ( x) f( ) finito (un número rel) lim. Cundo esto ocurre se denot por f ( x) f( ) f ( ): = lim y este vlor se le llm derivd de l función f en el punto. Observ que f ( x) f( ) f( + h) f( ) f ( ): = lim = lim. A l rect de ecución x h 0 h es decir l rect que ps por el punto (, ( )) l curv y = f( x) en el punto (, f( )). y = f( ) + f ( )( ), f con pendiente f ( ), se le llm rect tngente 1

2 Observ que l rect tngente tiene l siguiente propiedd; que es simplemente un reformulción de l definición de derivd f( x) ( f( ) + f ( )( ) ) lim = 0. Est propiedd es crcterístic de l rect tngente. Esto es, si existe un rect, digmos de ecución y = n+ m( ), tl que lim = 0, entonces l función f es derivble en f( x) ( n+ m( ) ) el punto y se verific que n= f( ) y m= f ( ). Esto quiere decir que l rect y = n+ m( ) es, de hecho, l rect tngente l curv y f( x), f( ). En efecto, ( ) = en el punto ( ) f( x) n+ m( ) f( x) n f( x) n lim = 0 lim m = 0 lim = m. x f ( x) n Pr que el límite lim exist y se finito debe ocurrir que n= lim f( x) puesto que el límite x x del denomindor es cero. Si l función f tuviese un discontinuidd evitble en x =, bstrí f( x) f( ) redefinir f ( ) : = lim f( x) pr obtener que n= f( ) y, por tnto, m= lim = f ( ). Luego l rect y = n+ m( ) es l rect tngente. DEFINICIÓN. Un función f es derivble en un intervlo bierto (finito o infinito) si es derivble en cd punto de ese intervlo. Diremos que f es derivble en un intervlo cerrdo [ b, ] si es derivble en cd punto del intervlo bierto ( b, ) y existen ls derivds lterles en los puntos extremos, es decir, los dos siguientes límites existen y son finitos:

3 derivd por l derech de f en : f ( + h) f( ) lim, + h 0 h derivd por l izquierd de f en b: f ( b+ h) f( b) lim. h 0 h Ls dos propieddes fundmentles de ls funciones derivbles son ls siguientes. PROPIEDAD 1. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. Si f es un función derivble en un punto, entonces f es continu en. En efecto, f( x) f( ) f( x) f( ) lim ( f( x) f( ) ) = lim ( ) = lim lim( ) = f ( ) 0 = 0. Lo que signific que lim f ( x ) = f ( ). PROPIEDAD. PROPIEDAD DEL VALOR INTERMEDIO. Sen y b dos puntos de un intervlo donde l función f es derivble. Entonces l función derivd f lcnz culquier vlor comprendido entre f ( ) y f ( b). Est segund propiedd nos segur que un función no puede ser l derivd de otr función slvo que teng est propiedd del vlor intermedio. Por ejemplo, l función esclón 3

4 no puede ser l derivd de ningun función. En l siguiente lección veremos que culquier función continu es l derivd de otr función. El teorem del vlor medio. Si dibujmos l gráfic de un función encontrmos evidencis geométrics pr firmr que entre dos puntos de un intervlo donde un función derivble cruz un rect horizontl debe existir otro punto donde l tngente es horizontl. De form precis tenemos el siguiente resultdo. TEOREMA (ROLLE). Se f : x [, b] f( x) un función continu en [, ] ( b, ) tl que f ( ) = f( b). Entonces existe c (, b) tl que f ( c) = 0. b y derivble en 4

5 El teorem del vlor medio de Lgrnge es un versión generl del teorem de Rolle. Asegur que c, b donde l tngente es prlel l segmento AB que une los existe un punto intermedio ( ) puntos (, f( )) y ( b, f( b )). TEOREMA (LAGRANGE). Se [ ] b y derivble en ( b, ). Entonces existe c (, b) f : x, b f( x) tl que un función continu en [, ] f ( b) f( ) f () c =. b Alguns consecuencis del teorem del vlor medio son ls siguientes. L primer de ells segur que ls funciones con derivd cero deben ser constntes. COROLARIO 1. Si f ( x) 0 es un constnte. = pr todo x ( b),, entonces f ( x) = C pr todo x ( b, ), donde C L siguiente consecuenci segur que l diferenci de dos funciones que tienen l mism derivd debe ser constnte. COROLARIO. Si f ( x) g ( x) = pr todo x ( b) = + pr todo x ( b, ). f ( x) g( x) C,, entonces existe un constte C tl que Es decir, l diferenci f g es un función constnte. L tercer consecuenci que obtendremos del teorem del vlor medio está relciond con l determinción de ls regiones de crecimiento (o decrecimiento) de un función, es lo que se conoce como el estudio de l monotoní de un función. En primer lugr vmos recordr lo que signific que un función es creciente o decreciente. DEFINICIÓN. Se f : x I f( x) un función. Se dice que l función f es creciente en I si f ( x1) f( x) pr todos x 1 < x del intervlo I. Se dice que l función f es decreciente en I si f ( x1) f( x) pr todos x1 < x del intervlo I. Otr consecuenci del teorem del vlor medio de Lgrnge es l determinción de ls regiones de crecimiento (o decrecimiento) de un función medinte el conocimiento del signo de l primer 5

6 derivd de l función. COROLARIO 3. Se f : x [, b] f( x) un función continu en [, ] ( b, ). 1. Si f ( x) 0 pr todo x ( b, ), entonces f es creciente en [ b, ].. Si f ( x) 0 pr todo x ( b, ), entonces f es decreciente en [ b, ]. b y derivble en Convexidd de un función con derivd segund. L convexidd de un función (de su gráfic) es otr de ls crcterístics que nos yudn mucho en el trzdo de l gráfic de l función. Comenzmos con l definición. DEFINICIÓN. Un función f : x I f( x) se dice que es convex en el intervlo I si x x x1 verific que f( x) f( x1) + f( x) pr todo x ( x1, x), siendo x 1 < x dos puntos x1 x x x1 culesquier del intervlo I. x x x1 OBSERVACIÓN. Puesto que y = f( x1) + f( x) x x x x 1 1 es l ecución de l rect que ps por x f x l condición de convexidd signific que l gráfic de l fun- los puntos ( x1, f( x 1) ) y (, ( ) ), ción está por debjo del segmento que une los puntos ( x1, f( x 1) ) y ( ) (, ) x < x del intervlo I. x1 x y esto ocurre pr cd pr de puntos 1 x, f( x ), en el intervlo PROPIEDAD. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I. Ls siguientes condiciones son equivlentes: (1) f es un función convex en I. f ( x) f( x1) f( x) f( x) () x1 x intervlo I. pr todo x ( x x ) 1,, siendo 1 En efecto, observmos que f( x) f( x1) f( x) f( x) x1 f( x) f( x1) f( x) f( x) x1 x x x f( x) f( x ) x f( x) f( x ) x < x dos puntos culesquier del ( ) ( )( 1 ) ( 1)( ) xf( x) xf( x) f( x1) ( x) x f( x) xf 1 ( x) f( x) ( x1) f( x )( x ) f( x )( x ) ( x x ) f( x) x x x x f ( x ) f( x ) f( x) f( x ) + f( x ) f( x), x x1 x x1 x1 x x x1 6

7 que es justmente l equivlenci entre ls firmciones (1) y (). OBSERVACIÓN. Supongmos hor que l función f : x I f( x) tiene derivd segund en cd punto del intervlo I. L condición () de l propiedd nterior equivle que l primer derivd f se un función creciente en el intervlo I. En efecto, si se verific l condición (), tomndo límite cundo x x1 en (), como l función f es derivble, obtenemos l desiguldd f ( x1) f( x) f ( x1 ). Por el contrrio, tomndo límite cundo x x en (), como l función f x1 x f( x1) f( x) es derivble, obtenemos l desiguldd f ( x). Por tnto, f ( x1) f ( x). Puesto x x 1 que los puntos x1 < x del intervlo I son rbitrrios deducimos que l función derivd f es creciente en el intervlo I. Recíprocmente, supongmos hor que l función derivd f es creciente en el intervlo I. Si no se verificse l condición () existirín dos puntos x1 < x del intervlo I f ( x) f( x1) f( x) f( x) y existirí un punto x ( x1, x) tles que >. El teorem del vlor medio x1 x de Lgrnge segur que existe c 1 ( x, x 1 ) tl que f ( x) f( x1 ) f ( c1 ) =. De l mism form, plicndo de nuevo el teorem del vlor medio, existe c ( x, x) tl que f ( c ) =. En x1 f ( x) f( x) x resumen, hemos encontrdo dos puntos c 1 < c del intervlo I tles que f ( c1) > f ( c) y l función derivd no serí creciente en el intervlo I. Por otr prte, sbemos que el crecimiento de l función primer derivd f está determindo por el signo de su derivd, es decir, l función derivd segund f. Podemos concluir entonces que los intervlos donde l función f es convex son quellos donde l función derivd segund es myor o igul que cero, es decir, f 0. Finlmente, comentemos que un función f : x I f( x) se dice que es cóncv en el x x x1 intervlo I si verific que f( x) f( x1) + f( x) pr todo x ( x1, x), con x 1 < x x1 x x x1 puntos culesquier del intervlo I. De form nálog l desrrollo precedente se puede probr que un función con derivd segund en un intervlo I es cóncv en el intervlo I si y sólo si su derivd segund es negtiv, es decir, f 0. Los puntos extremos de los intervlos de convexidd y concvidd se llmn puntos de inflexión de l función. 4, x =, EJERCICIO 1. Consider l función f( x): = Clcul l derivd f () y l ecución de x, x., 4. Dibuj l gráfic de l función. l rect tngente l gráfic de l función en el punto ( ) EJERCICIO. Determin si ls siguientes firmciones son verdders o flss y explic por qué. () L gráfic de un polinomio de grdo pr tiene, l menos, un tngente horizontl. 7

8 (b) L gráfic de un polinomio de grdo impr tiene, l menos, un tngente horizontl. EJERCICIO 3. Pr qué vlores de, b y c l función ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [ 0, ]? 3, x = 0, f x = x + x+ < x< bx + c, 1 x ( ): 3, 0 1, verific EJERCICIO 4. Un número r se dice que es un cero de l función f ( x ) si f( r ) = 0. (1) Construye un función polinómic f ( x ) que teng ceros en los puntos x =, 1,0,1 y. () Dibuj en los mismos ejes coordendos l gráfic de de l función f y de su derivd f. Relcion lo que observs con el teorem de Rolle. (3) Comprten el mismo fenómeno l función f ( x) = sen x y su derivd f ( x)? EJERCICIO 5. (1) Escribe el enuncido correcto del teorem de Bolzno reltivo un función con- b, que cmbi de signo en los extremos. tinu en un intervlo [ ] b,. Supon- () Supongmos que f es un función continu en el intervlo [ b, ] y derivble en ( ) gmos tmbién que f( ) f( b) < 0 y que f ( x) 0 pr todo x ( b, ). ción f( x ) = 0 tiene exctmente un únic ríz en el intervlo ( b, ). Comprueb que l ecu- (3) Determin el número de ríces que tienen ls siguientes ecuciones: 1 1 x + =, cos( x ) x= 0, x + logx y 4 + log e = 0. x+ EJERCICIO 6. Dibuj ls gráfics de ls funciones en el intervlo [ 3,3 ]. = x 3 f x x f ( x):, 1 = y f ( x): = x 3 3 ( x ) ( ): EJERCICIO 7. Supongmos que un producto se vende 5 euros por unidd, con el precio umentndo un velocidd de euros por ño. A ese precio, los consumidores comprn uniddes de ese producto, pero el número de uniddes comprds decrece un velocidd de por ño. A qué velocidd está cmbindo el beneficio? Está umentndo o disminuyendo dicho beneficio? EJERCICIO 8. Supongmos que el precio de un objeto es 0 euros y se venden uniddes. Si el precio ument un velocidd de 1,5 euros por ño y l cntidd vendid ument un velocidd de.000 uniddes por ño, qué velocidd umentn los beneficios en ese momento inicil? EJERCICIO 9. Supongmos que pr un cierto juguete, l cntidd vendid Qt () (en función del tiempo t ) disminuye un velocidd de un 4% de l cntidd existente del producto. Estblece un fórmul explícit de l función Qt (). 8

9 EJERCICIO 9. Un bol de béisbol, de ms 0,15 Kg y cuy velocidd es de 45 m/s l ser lnzd por el jugdor, es golped por un bte de ms m y con velocidd 40 m/s en sentido opuesto l movimiento de l bol. Trs l colisión, l bol sle despedid con un velocidd inicil de 8,5 m 6, 75 vm ( ) =. m + 0,15 Demuestr que v ( m) > 0 e interpret su significdo en términos del deporte del béisbol. Compr v (1) > 0 y v () > 0. Qué conclusiones pueden deducirse? EJERCICIO 10. L longitud de un feto lo lrgo del embrzo viene dd por l función 3 x x f( x ) =, donde x se mide en semns y l longitud ( ) f x en centímetros. Si el embrzo dur 40 semns, cuánto medirá el feto l ncer? En qué momento crece más rápidmente? 9

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