Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

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1 Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la drivada d la función f ( ) n l punto = Compruba, mdiant las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto Aplicando la dfinición, studia si la función punto = Aplicando la dfinición, studia si la función 5 En qué puntos no son drivabls las funcions: a) f ( ) b) f ( ) En cada caso indica l porqué 6 Dtrmina los puntos n los qu no son drivabls las funcions: a) f ( ) b) f ( ), f ( ) s drivabl n l 9, 0 f ( ) s drivabl n = 0, 0 7 Compruba qu la función, si 0 f ( ), s drivabl n todo R ln, si 0, 8 Compruba qu la función f ( ), Haz un sbozo d su gráfica dando valors 0 0 s continua y drivabl n todo R 9 Estudia la drivabilidad d la función, 0 f ( ) sin, 0 Drivabilidad d funcions dfinidas a trozos Casos con parámtros a si 0 Dada la función f ( ) halla: si a a) El valor o valors d a para qu f sa continua b) El valor o valors d a para qu f sa drivabl

2 a, si 0 Qué valor hay qu asignar a a para qu la función f ( ) sa, si 0 drivabl n = 0? a( ) si 0 Halla l valor d a qu hac qu la función f ( ) sa drivabl n ( ) si 0 todo R Para l valor hallado haz un sbozo d su gráfica n l intrvalo [, ] a b si Dada la función f ( ) : si a) Pará qué valors d a y b s continua n =? b) Pará qué valors d a y b s drivabl n =? si 0 Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ( ) sa a b si 0 drivabl n l punto = 0 5 sin( a) si 0 5 Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ( ) sa a b b si 0 drivabl n = 0 sin si 0 6 Dmustra qu la función f ( ) s drivabl n toda la rcta ral a si 0 Tangnt a una curva 7 Halla la cuación d la rcta tangnt a cada una d las curvas siguints n los puntos qu s indica: a) f ( ) n l punto = b) y n l punto d abscisa = 6 c) f ( ) n l punto d abscisa = d) f ( ) n l punto = ) ( ) f ( ) ln n l punto d abscisa = f n l punto = f) 8 Halla la cuación d la rcta tangnt a f ( ) n l punto (0, f(0)) s: 9 La curva d cuación y y la rcta y b son tangnts n l punto Cuál db sr l valor d b? 0 Halla la cuación d la parábola y b c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) Dtrmina los puntos d la curva y n los cuals la rcta tangnt s paralla y 9 5 Halla las cuacions d las rctas tangnts n sos puntos Dtrmina l valor d p para qu la rcta tangnt a la curva abscisa =, pas por l orign d coordnadas p y, n l punto d

3 Cálculo d drivadas Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado y calcula n cada caso f (), si ist a) f ( ) b) f ( ) ln Dada f ( ), halla los valors d f () y f () ( ) 5 Halla los puntos n los qu s anulan las drivadas primra y sgunda d ( ) f ( ) 6 Halla l valor d las drivadas primra y sgunda d g( ) ( ) n l punto 7 Driva las siguints funcions simplificando l rsultado Calcula, si s posibl, su valor n l punto = 0: a) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) ( ) d) f ( ) ln( ) 8 Driva, simplificando los rsultados, las siguints funcions: a) f ( ) b) f ( ) (5 ) f ( ) ln c) cos 9 Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado cuando s puda; calcula n todos los casos f ( ), si ist a) ( ) f b) f ( ) c) f ( ) sin 0 Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado y calcula n cada caso f (), si ist a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) sin cos Halla la función drivada d cada una d las siguints funcions: a) y b) ( ) cos ) y tag ( ) f) i) y 9 j) m) y arctan f c) ( ) cos y tag ( ) g) y arcsin y arcsin k) y o) y ln6 arctan f d) y tag ( ) h) y arcsin y 6 l) y arccos( ) p) y arctan

4 Drivación logarítmica Aplicando las propidads d los logaritmos, halla y simplifica la drivada d las funcions: a) y ln 5 b) f ( ) ln c) y ln Aplicando logaritmos halla la drivada d: a) ( ) () f b) f sin ( ) c) f ln ( ) d) f ( ) A partir d las fórmulas d las drivadas d f ( ) sin y f ( ) cos halla las fórmulas d las drivadas d las funcions: a) f ( ) cosc b) f ( ) sc c) f ( ) cotan 5 Partindo d la dfinición d arco cosno y arco tangnt dduc las funcions drivadas d: a) f ( ) arccos b) f ( ) arctag 6 Halla la drivada n-ésima d las siguints funcions: a) f ( ) ln b) f ( ) ln( ) c) 7 Halla la drivada n-ésima d las funcions: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) f ( ) Difrncial d una función 8 Halla la difrncial d cada una d las siguints funcions: a) y b) y c) u cos d) u 9 Cuál s l incrmnto (la variación aproimada) d cada una d las siguints funcions cuando, partindo d =, la variabl s incrmnta n 0,? f ( ) ln b) f ( ) c) f ( ) a) 0 Tnindo n cunta qu 6 8, utilizando la difrncial d la función f ( ), halla l valor aproimado d 65 Drivación implícita Para cada una d las siguints cuacions, halla l valor d y n l punto (, ) d su gráfica: a) y 9 b) y 0 c) y y 0 Dada la circunfrncia d cuación y 5 tangnt a lla n l punto (, ), halla la cuación d la rcta

5 5 Propidads d las funcions drivabls Tormas d Roll y dl valor mdio Vrifica la función f ( ) l torma d Roll n l intrvalo [, ]? En caso afirmativo halla l punto qu afirma l torma (Propusto n Slctividad) S vrifica l torma d Roll para la función f ( ) 7, 5? 5 Halla l punto qu vrifica l torma dl valor mdio para la función f ( ), n l intrvalo [, 0] 6 Halla l punto qu vrifica l torma dl valor mdio para la función f ( ), n l intrvalo (a, a), a 0 Concrétalo cuando a = 7 (Propusto n Slctividad) Aplica l torma dl valor mdio a la función f ( ) ln n l intrvalo (, ), dtrminando l valor d c, < c <, para l qu s vrifica dicho torma 8 Dmustra qu l valor qu vrifica l torma dl valor mdio para f ( ) a, n l intrvalo (, ), no dpnd d a Cuál s s valor? Aplicación al cálculo d its Rgla d L Hôpital 9 Aplicando la rgla d L Hôpital halla los siguints its: ( ) a) b) c) Halla los siguints its: sin a) / cos b) sin 0 cos c) cos 0 sin 5 Calcula: a) sin ln 0 b) 0 / 5 Calcula los siguints its: a) b) 0 ln( ) ln 5 Halla l valor d los siguints its: a) 0 sin b) 0 cos sin c) 0

6 6 5 Calcula: ln( ) a) b) ln c) d) 55 Halla l valor d los siguints its: / a) ( ) b) 0 / /() 56 Calcula: a) (cos sin ) 0 / b) cos 0 / sin 57 Calcula, si istn, los siguints its: a) sin 0 b) 0 58 Halla los valors d a y b para qu los infinitésimos n =, g( ), san quivalnts b f ( ) y a 59 Dtrmina l valor d p para qu los infinitésimos, n =, f ( ) p ln y g( ) san quivalnts 60 Eist algún valor d n l qu las funcions f ( ) p y g( ) ( p) p, san infinitésimos dl mismo ordn? Otras aplicacions d los its si 0 6 Qué valor hay qu asignar a p para qu la función f ( ) sin sa p si 0 continua n = 0 sin( ) 6 Halla las asíntotas d la función f ( ) 6 Halla las asíntotas d la función rspcto d las asíntotas ln f ( ) Indica también la posición d la curva 6 Dpndindo d los valors d p, studia la continuidad d la función dada por: si 0 f ( ) p cos si 0

7 7 Solucions: 0 5 Si No 5 a) = b) 0 6 a) = b) = 0; = 9 Drivabl simpr 0 a) a = o a = b) a = a = a = a) b a, con a arbitrario b) a = y b = a = y b = b = 5; a a) y 9 b) y c) y ) y f) y 8 y 7 9 b 0 y (, ) y (, ) y 9 7 ; y 9 5 p = a) f ( ) ; 5 b) f ( ) ; / f ( ) ; f ( ) ; ; / ( 5 ) ( ) 5 ; = 0 o ; 7 7 a) f '( ) ( ) ; b) f '( ) cos sin ; 0 c) f ( ) ; d) f ( ) ; a) f ( ) b) f ( ) 5 5 c) f ( ) sin a) f ( ) ; no ist b) f ( ) ; 8 c) f ( ) sin cos ; 0 0 a) f ( ) ; no ist b) f ( ) ; 0 c) f ( ) cos sin; 0 a) 6 y ln b) f ( ) 6 sin cos c) f ( ) 6 sin cos d) y ) y f) y tag ( ) cos ( ) cos ( ) g) y 5 h) y i) y j) y k) y l) ( ) y 6 y 6 y p) y 6

8 8 6 5 a) y b) f ( ) c) y 5 sin sin a) f ( ) ln( ) ( ) f ( ) cos ln ln c) f ( ) ln d) f ( ) ( ) a) f ( ) cotag cosc b) f ( ) tan sc c) f ( ) cosc n n n ( ) ( n )! ( ) ( n )! n! 6 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) n n b) n n 7 a) f ( ) b) f ( ) n c) f ( ), n impar; f ( ), n par 8 a) dy 6 6d b) dy d c) du cos sin d d) du d 9 a) 0, b) 0, c) 0, 0 8,065 y y a) y ; / b) y ; c) y ; y y y c = No 5 6 c a ; c a) b) / c) / 50 a) / b) c) 5 a) 0 b) + 5 a) / b) 5 a) / b) 5/ c) 5 a) 0 b) + c) + d) + 55 a) b) 0; + 56 a) b) 57 a) b) 58 b = a 59 p = 60 Infinitésimos dl mismo ordn n = p simpr qu p 0 y 6 p = 0 6 = ; y 0 6 = 0 ; y = 0 6 p = ln

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