Tema 8. Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital
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- Pablo Benito Pérez Ortega
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1 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 Tm 8 Drivds Torms d ls fucios drivbls Rgl d L Hôpitl Drivd d u fució u puto Dfiició U fució f () s drivbl l puto f ( ) f ( ) si ist l it: 0 Est it s dot por f (), y ist cudo rsult u úmro rl fiito L drivd s l it d u cocit d dos ctidds ifiitsimls El umrdor mid l vrició d l vribl dpdit (l f () ) cudo l vribl dpdit (l ) ps d El cocit mid l ts d vrició mdi d u vribl rspcto l otr Cudo s impo qu l vribl idpdit vrí u ctidd ifiitsiml (so idic qu 0), lo qu s stá clculdo s l ts d vrició isttá d l fució f () u puto dtrmido Esto s, qué l ps f () cudo vrí los lrddors d u puto Ejmplo: Dd l fució f ( ), su drivd l puto s f ( ) f () f () 0 Como f ( ) ( ) ( ) y f ( ), s tdrá: f () 0 0 ( ) ( ) 0 0 Lugo, f ( ) (Est úmro idic qu l puto, l fució stá dcrcido l proporció : l rzó qu prs l rlció tr mbs vribls vl ) Itrprtció gométric d l drivd L drivd, f (), s u úmro qu d l vlor d l pdit d l rct tgt l curv f () l puto P (, f ( )) Esto s, l rct y m s ti qu m f () ; como dmás l rct ps por P (, f ( )), s obti qu l cució d dic rct tgt srá: y f ( ) f ( )( ) Obsrvcios: L tgt u curv u puto s l rct qu mjor proim l curv s puto cocrto L drivd idic lo qu vrirí l fució si s comportr lilmt (como l rct tgt) u toro d s puto L drivd, como l rct tgt, v cmbido sgú cmbi l puto d rfrci wwwmtmticsjmmmcom
2 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 El lctor tto rcordrá qu l pdit d u rct idic lo qu l rct umt (si s positiv) o dismiuy (si s gtiv) por cd icrmto uitrio d l vribl Ejmplo: L rct tgt l fució f ( ) l puto d bscis, srá: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), s obti: y ( ) y 9 Drivbilidd, cotiuidd y drivds ltrls Pr qu u fució s drivbl u puto so prciss dos codicios: ) Qu l fució s cotiu dico puto ) Qu ls drivds ltrls ist y coicid s puto Drivds ltrls f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Izquird: f ( ) Drc: f ( ) 0 0 L drivd, f (), ist cudo f ( ) f ( ) Gométricmt sigific qu l tgt l curv l puto (, f ( )) s l mism tto si s trz por l izquird como por l drc Ls drivds ltrls o coicid los putos gulosos, los picos d ls fucios Por tto, sos putos o ist l drivd Est codició s prticulrmt importt ls fucios dfiids trozos Pr ss fucios rsult obligdo studir ls drivds ltrls los putos d sprció d los distitos trozos Cotiuidd y drivbilidd L rlció tr drivbilidd y cotiuidd s l siguit: si f () s drivbl f () s cotiu Comprobr qu st rsultdo s cirto s rltivmt scillo, pus si f () s drivbl f ( ) f ( ), tocs ist 0 D l istci d s it pud dducirs qu f ( ) f ( ) ; o lo qu s lo mismo, qu ( ( ) ( )) 0 f Pr llo, s c Por tto: f, y s obsrv qu si, tocs 0; y l rvés ( f ( ) f ( ) ) ( f ( ) f ( ) ) 0 ( f ( ) f ( ) ) 0 ( f ( ) f ( ) ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) 0 0 E coscuci, si l fució s drivbl s dduc qu s cotiu El rcíproco o s cirto: si f () s cotiu f () s drivbl Pr comprobr st rsultdo bst co dr u cotrjmplo El más scillo s cosidrr l fució f ( ), qu s cotiu 0 pro o drivbl (El lctor itrsdo pud ittr dmostrrlo) wwwmtmticsjmmmcom
3 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8, ) L fució f ( ) s cotiu y drivbl 9 > l puto dod s u ls fucios trozos, Esto implic qu s pud psr d u fució otr si cmbios bruscos (Rcurd qu y 9 s l rct tgt f ( ) ), < 0 b) L fució f ( ) s cotiu 0, pro o 0 s drivbl s puto (E l puto 0, l fució c u cmbio brusco, ti u pico) Fució drivd L fució drivd d u fució f () s u uv fució qu soci cd úmro rl su drivd S dot por f () Su dfiició s l siguit: f ( ) f ( ) f ( ) 0 df ( ) dy Si y f (), s scrib y f ( ) Tmbié s frcut scribir f ( ) o y d d Drivd d lgus fucios Pr obtr l fució drivd d culquir fució covi sguir l procso siguit: ) Dd y f (), llr f ( ) ) Hllr y simplificr l difrci f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) Escribir y simplificr l cocit f ( ) f ( ) ) Rsolvr l it f ( ) E l cálculo d st it sul str l 0 dificultd myor Pr ls fucios usuls ist u sri d fórmuls qu d su fució drivd Más dlt s drá u brv tbl co ls más frcuts Aquí, pr qu s prci l método sguir (y quizás l dificultd d llo) s obtdrá ls dos más fácils: l d l fució potcil, f ( ) ; y l dl logritmo, f ( ) log ( ) Pro ts, u jmplo cocrto Ejmplo: L fució drivd d f ( ) pud obtrs sí: ) S clcul f ( ) : f ( ) ( ) ( ) ) S ll f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom
4 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 f ( ) f ( ) ) S form l cocit: ) S rsulv l it: ( ) f ( ) ( ) Por tto, l fució drivd d f ( ) s f ( ) Si or s ds llr l drivd culquir puto, bst co sustituir Así: f ( 0) 0 ; f ( ) ( ) 0 ; f ( ) ( ) Drivd d l fució y f ( ) ( ) ) f ( ) ( ) (Est prsió s obti! utilizdo l fórmul d l potci d u biomio) ( ) ) f ( ) f ( ) ( )! ( ) f ( ) f ( ) ( ) )!! f ( ) f ( ) ( ) ) f ( ) 0 0! Por tto, si: f ( ) f ( ) Est rgl s válid pr culquir vlor d, positivo, gtivo, frcciorio Ejmplo: 5 ) Si f ( ) f ( ) 5 b) Si f ( ) f ( ) c) Si f ( ) f ( ) f ( ) / d) Si f ( ) f ( ) f ( ) ( ) / Drivd d l fució f ( ) log ( ) ) f ( ) log ( ) ) f ( ) f ( ) log ( ) log ( ) log log f ( ) f ( ) ) log log Rcurd: log ( ) log wwwmtmticsjmmmcom
5 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 85 ) Pr dtrmir f () s trsformrá l prsió pr buscr u it qu dé lugr l úmro Así: f ( ) f ( ) f ( ) log log log log log log log Como log z log, s ti qu l drivd d f ( ) log ( ) s f ( ) log Por tto, si: f ( ) log ( ) f ( ) log U cso prticulrmt importt s l d prio d Si f ( ) l f ( ) ) Si f ( ) log f ( ) log b) Si f ( ) log f ( ) log Obsrvció: Ls fucios drivds d otrs fucios usuls, como f ( ), f ( ) si, f ( ) rcsi s drá por dmostrds (El lctor itrsdo ls pud cotrr lguos libros d Mtmátics II d sgudo d Bcillrto) Rgls d drivció pr ls oprcios co fucios Cudo ls fucios o przc su form más simpl o cudo itrvg más d u fució s plicrá ls siguits propidds Drivd d u costt por u fució: F ( ) k f ( ) F ( ) k f ( ) k f ( ( ) ( ) ) ) Si y k c) Si y y k b) Si d) Si y y ( ) 5 y Drivd d u sum o difrci d fucios: F ( ) f ( ) ± ) F ( ) f ( ) ± ) f ( ) ± g ( ( ) ( ) ) 6 5 ) Si f ( ) 5 y ) ( f ( ) ) ) 5 b) Si y 5 wwwmtmticsjmmmcom
6 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 86 Drivd d u producto d fucios: F ( ) f g) ( ) f ( ) F ( ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ( ) ) Ejmplo: Si f ( ) y ( ) ( ) ) g ( ) 5 ( f ( ) ) ) (8 ) ( 5 ) ( ) ( 0 8 ) Si s multiplic ts ls dos fucios y s driv dspués, s obti: 6 5 f ( ) ) ( ) ( 5 ) ( f ( ) ) ) Nturlmt, l rsultdo s l mismo Drivd d u cocit d fucios: F ( ) f ( ) ) f ( ) ) ( F( ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) ( )) Ejmplo: (6 ) ( ) ( ) Si y y ( ) 6 ( ) 5 Drivd d l opust d u fució: F ( ) ( ) f f ( ) F( ) ( ) f ( ) f ( ) ( f ( )) Ejmplo: (6 5) Pr l fució f ( ) 5 s tdrá: f ( ) 5 ( 5 ) Evidtmt, st fució tmbié s podrí drivr como u cocit Así: ( ) y ( 6 5 ) ( 6 5) y 5 5 ( ) ( ) 6 Drivd d l fució compust: F ( ) f ( )) F ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( )) g ( ) Obsrvció: L dmostrció d sts propidds o s difícil A cotiució, y sólo como botó d mustr, s obti l fórmul d l drivd d u producto d fucios Dmostrció d l fórmul d l drivd d u producto d fucios Si F ( ) ( f g) ( ) f ( ) ), pr obtr su drivd pud crs lo qu sigu: Cocit icrmtl F( ) F( ) ( f g) ( ) ( f g) ( ) f ( ) ) f ( ) ) wwwmtmticsjmmmcom
7 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 87 f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) ( f ( ) f ( ) ) ) f ( ) ( ) ) ) f ( ) f ( ) ) ) ) f ( ) Psdo l it s obti l drivd: f ( ) f ( ) ) ) F ( ) ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) ) ) ) f ( ) f ( ) ) f ( ) g ( ) Por tto: ( F ( ) ) ( f ( ) ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) Fórmul d l fució drivd d ls fucios usuls Drivd d potcis y rícs So dos csos prticulrs d fucios compusts: y ( f ( ) ) y f ( ) Sus drivds so: y ( f ( ) ) f ( ) y ( f ( ) ) f ( ) y f ( ) ( f ( ) ) f ( ) El cso prticulr d l ríz cudrd s: y f () y f ( ) Obsrvció: Ls rícs pud cosidrrs como potcis d pot rciol Por tto, pr llr l drivd d u ríz pud utilizrs l fórmul d l drivd d u y / fució potcil Así, si f ( ) ( f ( ) ) / ( f ( ) ) f ( ) ) Si F( ) ( 5 ) F ( ) ( 5 ) (6 5) F ( ) / b) Si ( ) F ( ) / ( ) ) F( ) ( Drivd d ls fucios logrítmics Logritmo bs : f ( ) log f ( ) log f ( ) Pr l fució compust: y log f ( ) log f ( ) Logritmo prio: f ( ) l, co > 0 f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y l f ( ) y f ( ) wwwmtmticsjmmmcom
8 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds ) Si y lo 5 ) log 5 b) Si y l( ) 8 Drivd d ls fucios pocils Epocil d bs : f ( ) f ( ) l Pr l fució compust: f () f ( ) y, > 0 f ( ) l Epocil d bs : f ( ) f () Pr l fució compust: y f ( ) y f ( ) f ( ) ) y 0 y 0 l0 b) y ( ) l c) Si y (6 ) 5 Potcil-pocil: Drivció logrítmic S plic cudo l vribl prc tto l bs como l pot d u potci: g ( F ( ) f ( ) ( ) ) El cso más scillo s F ( ) Pr llr su drivd s plic logritmos y dspués s driv Así: F ( ) l F( ) l l l F ( ) F( ) ( l ) ) F( ) F ( ) l Pr l cso grl l procdimito s l mismo Tomdo logritmos prios mbos g ( ) mimbros d l fució F ( ) ( f ( ) ), qud: g ( ) ( f ( ) ) l F ( ) l l F ( ) ) l f ( ) Drivdo mimbro mimbro s ti: F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) F( ) f ( ) Dspjdo: ) f ( ) F ( ) F( ) g ( ) l f ( ) f ( ) g ( ) g F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Obsrvció: ) Est técic d drivció, cosistt plicr logritmos y drivr dspués, rcib l ombr d drivció logrítmic ) Los logritmos pud plicrs tmbié pr simplificr los cálculos wwwmtmticsjmmmcom
9 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 89 ( ) ) Pr drivr l fució f ( ) ( ) s c lo siguit: ( ) ) S plic logritmos: l f ( ) l( ) l ( ) ( ) l( ) f ( ) 6 ) S driv mbos ldos d l iguldd: l( ) ( ) f ( ) 6 f ( ) f ( ) l ( ) 6 f ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) f b) Pr drivr l fució ( ) l( ) 5 ) S plic l propidd dl logritmo d u potci ( A l A) f ( ) l( ) 5 5l( ) ) S driv: f s pud cr lo siguit: l Así s obti: 60 0 f ( ) 5 c) E l cso d u cocit s más ficz Así, pr f ( ) l, s ti: f ( ) l l( ) l( ) l( ) l f ( ) 6 Drivd d ls fucios trigoométrics Ls rgls d drivció d ls fucios trigoométrics s obti plicdo ls fórmuls trigoométrics y ls propidds d l drivd d ls oprcios co fucios Fució so: f ( ) s f ( ) cos Pr l fució compust s ti: y s f ( ) y f ( )cos f ( ) ) f ( ) si b) ( ) cos f ( ) si si f ( ) si cos c) si f ( ) 5 cos y 5 Fució coso: f ( ) cos f ( ) s Est fórmul pud obtrs tido cut qu: π π f ( ) cos si f ( ) cos si Pr l fució compust: y cos f ( ) f ( ) s f ( ) wwwmtmticsjmmmcom
10 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 90 Fució tgt: y t t cos Ests fórmuls pud obtrs tido cut qu: si f ( ) t (drivdo como u cocit) cos cos cos si ( si ) cos si f ( ) cos cos cos f ( ) Pr l fució compust: y tg f ( ) y cos f ( ) ) y cos ( ) y cos( ) si( ) ( ) b) y l cos ( si ) t cos c) y t( 5 ) y t(5 ) ( t (5 ) )5 7 Drivd d ls fucios trigoométrics ivrss L fórmul d l drivd d cd u d sts fucios pud obtrs prtir d su dfiició Aquí s rá sólo l dl rcoso Fució rcoso: f ( ) rcs Por dfiició: f ( ) rcs s f ( ) Drivdo mimbro mimbro s obti: ( cos f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) cos f ( ) si f ( ) Por tto: f ( ) rcs f ( ) Pr l fució compust: y rcs f ( ) f ( ) ( f ( )) Fució rcocoso: f ( ) rccos f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rccos f ( ) ( f ( )) Fució rcotgt: f ( ) rctg f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rctg f ( ) ( f ( )) f ( ) ) y rcs ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom
11 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 b) y rcs c) y rccos( ) / ( ) d) y rctg ( ) ( ) 8 Tbl d l drivd d ls fucios usuls Rsumido todo lo trior pud formrs l siguit tbl E ll: c,, y so úmros; dsig l vribl idpdit y o f rprst fucios d TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Fució simpl Drivd Fució compust Drivd y c y 0 y y y, R y y ( f ( )), ( f ( )) f ( ) y f ( ) y f () y f ( ) y, > 0 l f () y, > 0 f ( ) f ( ) l y y f () y f ( ) y f ( ) f ( ) y log log y log f ( ) log f ( ) y l f ( ) y l f ( ) y f ( ) y s cos y s f ( ) y f ( )cos f ( ) y cos s y cos f ( ) f ( ) s f ( ) y t t tf ( ) y f ( ) t f ( ) cos y rcs f ( ) y rcs f ( ) ( f ( )) y rccos f ( ) y rccos f ( ) ( f ( )) y rct f ( ) y rct f( ) ( f ( )) y ( ) 9 Drivds sucsivs A l fució drivd d f () s l llm drivd sgud; s scrib f () D mr álog s pud dfiir l drivd trcr: f (), qu s l drivd d l drivd sgud Y tmbié l drivd d ord : f ) ( ) ) A l drivd d ord s l llm drivd ésim; y s scrib f ( ) wwwmtmticsjmmmcom
12 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 f ( ) f ( ) L drivd sgud s f ( ) f ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f ( ) 5 f ( 5) 5 f ( ) ( 5) ( 5) L drivd sgud s: 6 ( 5) ( 5 ) ( 5 ) 6 ( 5) ( 5 ) f ( ) f ( ) ( ) ( 5) ( 5) 90 5 f ( ) 5( ) ( ) f( ) ( ) 6 f( ) f ( ) 5 f( ) f( ) ( ) /5 f ( ) ( ) /5 5 7 y ) y 0,5 9 y l l 8 b) y 0,5 ( ) l 0,5 ( ) ( ) ( ) 0 ) y l( ) b) y lo ) y 6 log y l( ( )( ) ) l( ) l( ) y si ( ) cos( ) ) y ( si(5 ) ) si(5 ) cos(5 ) 5 0si(5 ) cos(5 ) 5si(0 ) si (5 ) si (5 ) cos(5 ) 50 b) y y 5 cos(5 ) y s cos5 tg cos 5s 5 ( tg ) 5 y cos ( ) cos ( ) si( ) ( ) 6 y l ( si ) (cos ) cot si 7 y rcs ( ) rccos( ) y ( ) 0 ( ) ( ) 8 y rct ( ) wwwmtmticsjmmmcom
13 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 5 Id d difrcil d u fució Como s idicó triormt, l cució d l rct tgt l curv y f (), l puto P (, f ( )), vi dd por y f ( ) f ( )( ) Est rct, cuy pdit s f (), s l fució lil qu mjor proim f () u toro dl puto S llm difrcil d f () l puto l producto f ( ) d Esto s, dy df ( ) f ( ) d E grl, si y f () dy df ( ) f ( ) d ) Pr y 5 dy ( 6 5) d b) Si y l dy d c) Si cost d si tdt Cutittivmt, l difrcil d l difrci d los vlors qu tom l rct tgt los putos y d ( grl, putos: y d) Gométricmt, l difrcil s l icrmto sobr l rct tgt, como pud vrs l triágulo PQR, d l figur djut: RQ dy t α f ( ) dy f ( ) d PQ d Prc vidt qu si d s u vlor pquño, tmbié srá pquño l vlor d dy, y más pquñ ú, l difrci tr l vlor sobr l curv f () y l vlor sobr l rct tgt (E l figur s idic s difrci co l ombr d rror) Esto prmit cocluir qu, u toro dl puto, l fució y f () y l rct tgt, y f ( ) f ( )( ), tom vlors proimdos: [ y f ()] [ y f ( ) f ( )( ) ] Esto s, cido : f ( ) f ( ) f ( ), pr pquño Ejmplo: Pr llr l cució d l tgt l curv y l puto d bscis, s procd sí: y si, y(), y () / Lugo, l tgt s: y ( ) y Por tto, l puto, l fució y pud proimrs por l rct y Así, l ríz cudrd d,,,,,05 Obsrvció: Lo qu s c s utilizr u fució lil, fácil d mjr, pr clculr u ríz cudrd wwwmtmticsjmmmcom
14 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 6 Drivció implícit U fució stá dfiid implícitmt cudo l vribl dpdit o stá dspjd Así, l prsió y 0, co < y > 0, dfi y como fució d d form implícit E st cso, pud dspjrs fácilmt, pus y 0 y y f ( ) Prs d st fució (putos d l curv) so, por jmplo, (, ), (, ) o ( 6, ) 5 L prsió y y y 0 tmbié dfi y como fució d, pro difrci dl cso trior, o pud dspjrs y (Prs d st fució so, por j, (0, 0) o (, )) E l primr cso, l obtció d l drivd d y s muy fácil: f ( ) ( ) Tmbié podrí clculrs l drivd si csidd d dspjr, pus si y f (), l prsió y 0 ( f ( ) ) 0 Si s driv, mimbro mimbro, plicdo l rgl d l cd, s ti: ( f ( ) ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) Normlmt o s sustituy y por f (), pudido drivr dirctmt sí: y 0 y 0 y Co sto, por jmplo, l drivd l puto (, ) vl y 5 Aplicdo l mismo procdimito l prsió y y y 0, s ti: 5y y 0 y (5 y y ) 0 y 5y y Lugo, l vlor d l drivd l puto (, ) srá: y 5 Ejrcicio: Si y s u fució d, drivbl, qu vrific l cució 6y y 8 0, ll y por drivció implícit Comprub qu l puto (, ) prtc l gráfic d l cució y ll y s puto Drivdo dirctmt l prsió 6y y 8 0 s ti: y 6y 6 yy` 0 y ( y) ( y) y Obsrv qu l sumdo y 6y 6y 6y 6 s driv implícitmt como u producto: ( ) El puto (, ) s d l curv, pus L drivd s puto vldrá: y (, ) 5 Est vlor d l pdit d l rct tgt l curv socid 6y y 8 0, 8 l puto (, ); sido l cució d s rct tgt: y ( ) 5 wwwmtmticsjmmmcom
15 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 95 7 Propidds d ls fucios drivbls Torms d Roll y dl vlor mdio 7 Torm dl máimo Torm d Roll S dic qu f () ti u máimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f ( ), pr todo d u toro d S dic qu f () ti u míimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f (, pr todo d u toro d ) Torm dl máimo S f () u fució dfiid u itrvlo birto (, b) Si s u máimo d f () dico itrvlo y si f ( ) ist, tocs f ( ) 0 El rcíproco dl torm o s cirto Esto s, qu l drivd s 0 o sgur qu l puto s máimo Tmbié bst co obsrvr l figur djut, l qu s dibuj l gráfic d f ( ) Pr st fució l drivd s ul 0 y, si mbrgo, s puto o y máimo i míimo Torm d Roll (Frcés, 65/79) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), y si f ( ) f ( b), tocs ist lgú puto c (, b) tl qu f ( c) 0 Gométricmt, l comprobció s vidt: ist u puto l mos d s itrvlo, l qu l tgt l curv s orizotl E s puto c s d l máimo o l míimo d f () s itrvlo ) L fució f ( ) vrific ls ipótsis dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus: s cotiu y drivbl todo R; prticulr l itrvlo [, ] f ( ) y f ( ) Esto s, tom l mismo vlor los trmos dl itrvlo E coscuci, ist u puto c (, ) l qu su drivd vl 0: f ( ) 0 / El vlor c / s l qu sgur l torm: f ( / ) 0 b) L fució f ( ) o stisfc ls codicios dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus o s drivbl l puto 0 d s itrvlo Por so, uqu tg máimo 0, o s cumpl qu f ( 0) 0 wwwmtmticsjmmmcom
16 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 96 7 Torm dl vlor mdio d Lgrg (Itlio, 76/8) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), tocs ist lgú puto c (, b) tl f ( b) f ( ) qu f ( c) b Itrprtció gométric: ist u puto prtcit l itrvlo l qu l tgt f () s prll l sct qu ps por los putos d bscis y b D otro modo: ist u puto dl itrvlo l qu l ts d vrició isttá coicid co l ts d vrició mdi d todo l itrvlo Rcurd qu l ts d vrició mdi d u fució u itrvlo vi dd por l f ( b) f ( ) prsió: TVM[, b] b Itrprtció físic: si s rliz u trycto vlocidd mdi v, lgú istt d s trycto s llvdo s vlocidd v Ejmplo: L fució f ( ) 6 s cotiu y drivbl l itrvlo [, ] c, < c < f () f ( ) tl qu f ( c) ( ) 5 E fcto: 6 6, ( ) El vlor qu cumpl l torm s, l úmro qu prtc (, ) U plicció Co ls misms ipótsis, si (, b), pud scribirs: f ( ) f ( ) f ( c) f ( ) f ( ) f ( c)( ), co c (, ) Y si s tom, s tdrá: f ( ) f ( ) f ( θ), 0 < θ <, c (, ) Cudo s suficitmt pquño, como s puso d mifisto l dfiir l difrci, pud cptrs l proimció f ( ) f ( ) f ( ) Ejmplo: Aplicdo lo trior pud drs u vlor proimdo d 0 Vés: Si s tom f ( ), pr 0, 00 y, s ti: f ( 0) f (00) f (00 θ) 0 00, pus f ( ) 00 θ Como f ( 00 θ) 0, 05, l vlor proimdo pdido srá: 00 θ ,05 0, 00 θ Nots: El vlor obtido co l clculdor s: 0 0,0995 L proimció s muy bu Pud obsrvrs qu plicdo l difrcil (vés) s llg l mismo rsultdo wwwmtmticsjmmmcom
17 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 97 7 Torm d Cucy (Frcés, 789/857) Si f () y g () so fucios cotius [, b] y drivbls (, b), y si b) ), y f () y g () o so cros l vz, tocs, ist u puto c (, b) tl qu f ( b) f ( ) f ( c) b) ) g ( c) Co ls misms ipótsis, si s tom < < b, istirá u puto c (, ) tl qu f ( ) f ( ) f ( c) [ f ( ) f ( ) ] g ( c) [ ) ) ] f ( c) ) ) g ( c) Ejmplo: Ls fucios f ( ) y g ( ) so cotius y drivbls todo R, prticulr l itrvlo [0, ] Pr llr l vlor c (0, ) qu cumpl l torm s f () f (0) f ( ) procd sí: ) 0) g ( ) ( ) Es s l vlor d c buscdo: c / 8 Aplicció l cálculo d its Rgl d L Hôpitl (Frcés, 66/70) Idtrmicios: E l cálculo d its pud prcr sit prsios (forms) idtrmids So: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Hst or, cudo s prstb lgu d ss idtrmicios, s rsolví, si r posibl, mdit trsformcios lgbrics Sirv como rcordtorio l siguit jmplo: 0 ( ) 0 ( )( ) A prtir d or pud mplrs otro procdimito más ficz y qu, dmás, prmit studir u myor vridd d fucios Est procdimito s sirv d ls drivds y rcib l ombr d rgl d L Hôpitl 0 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició 0 f ( ) 0 E l cso d qu ) 0 y d qu f () y g () s fucios drivbls u toro d, s cumpl: f ( ) Si f ( ) 0 y ) 0, sido ) 0 u toro d, si ist, g ( ) f ( ) f ( ) f ( ) tocs tmbié ist, y s cumpl qu: ) ) g ( ) (Esto s igulmt válido pr los its ltrls o l ifiito: si,, o ) Esto s, l it d u cocit dl tipo 0 0 s igul l it dl cocit d ls drivds wwwmtmticsjmmmcom
18 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 98 si 0 si 0 cos ) 0 0 Aplicdo l rgl d L Hôpitl: si 0 cos si ERROR: (?) 0 0 OJO: NO s c l drivd dl 0 cocit b) L rgl tmbié s pud plicr fucios rciols Así, por jmplo, 0 ( L H ) 0 Obsrvció: L rgl d L Hôpitl pud ritrrs Así, l jmplo: cos 0 c) 0 0 (L H) si 0 cos ( L H ) Ifiitésimos Cudo f ( ) 0 s dic qu f () s u ifiitésimo l puto Por tto, l 0 idtrmició s l cocit d dos ifiitésimos Surg cudo s plt u it 0 f ( ) f ( ) 0 como l siguit: ) ) 0 ; sto s, cudo f () y g () so ifiitésimos l puto Comprció d ifiitésimos Los ifiitésimos pud comprrs como sigu Si f () y g () so ifiitésimos l puto, tocs: f ( ) ) Si 0 s dic qu f () s u ifiitésimo d myor ord qu g () Esto ) sigific qu f () tid 0 myor vlocidd qu g () cudo O d otr mr más prcis: f () s ifiitmt más pquño qu g () cudo f ( ) ) Si s dic qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () ) f ( ) ) Si l s dic qu f () y g () so ifiitésimos dl mismo ord ) f ( ) ) Si s dic qu f () y g () so ifiitésimos quivlts ) ) f ( ) y g ( ) ( ) so ifiitésimos 0 ( )( ) Como l ( ) 0 ( ) 0, s cocluy qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () wwwmtmticsjmmmcom
19 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 99 si b) E 0, los ifiitésimos f ( ) si y g ( ) so quivlts, pus 0 c) Ls fucios f ( ) y g ( ) cos( ) so ifiitésimos dl mismo ord 0 l puto, pus ( ) 0 L H / cos( ) si( ) 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició f ( ) E l cso d qu ) l rgl pud formulrs como sigu: f ( ) f ( ) Si f () y ), si ist, tocs tmbié ist g ( ) ) f ( ) f ( ) cumpl qu ) g ( ) (Es igulmt válido pr los its ltrls o l ifiito: si,, o ) y s ) l Aplicdo L Hôpitl: l / 0 b) ( L H ) 0 c) Tmbié s pud plicr pr fucios rciols: 6 ( ) ( ) 5 L H 8 5 L H 8 Rsolució d ls forms [0 ] [ ] Pr rsolvr ls idtrmicios dl tipo [0 ] [ ] y qu trsformrls, 0 oprdo prvimt, lgu d ls forms 0 o Si s propósito s cosigu, tocs s plic l rgl d L Hôpitl ( cos )cot ) ( ) [ 0 ] 0 (Rcurd qu cot 0 /t 0 /0 ) Sustituydo cot por /t s ti: cos 0 si ( cos )cot 0 ( ) 0 0 t 0 L H 0 t ( ) [ ] wwwmtmticsjmmmcom
20 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 00 b) [ ] Hcido l rst idicd s ti: ( ) 0 (L H) 0 0 (L H) 0 85 Rsolució d ls forms [ ], [0 0 ] y [ 0 ] Si l ittr clculr f () f ( ) prc lgu d sts forms (sto s: f () [ ] 0 0 [ 0 ], o f ( ) [ ]) s clculrá, si s pud, l it ( l( f ( ) )) Co sto, l idtrmició iicil s trsform otr dl tipo [0 ], qu s rsolvrá como s idicdo ts L l f ( ), s ti qu l it buscdo vl f ( ) U vz rsulto, si ( ( )) L Rcurd: ) Los its cumpl l siguit propidd: l[ f ( ) ] l f ( ) ) Por dfiició: l A L A L l ( B p ) p lb ; y tmbié: ) [ ] Aplicdo logritmos: l l [ 0 ] l / (trsformdo) 0 0 (L H) / Por tto, (Est rsultdo sul tomrs como dfiició d ) Aplicdo logritmos: l l [ 0 ( ) ] 0 b) [ 0 ] l / (trsformdo) ( ) ( ) 0 0 / L H 0 / 0 0 Por tto, 0 c) ( ) / l 0 [ ] Aplicdo logritmos: / l l ( ) ( ) ( ) l l l /( ) / / l Por tto, ( ) (L H) l (L H), o wwwmtmticsjmmmcom
21 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Problms Propustos Drivd d u fució u puto Utilizdo l dfiició, clcul l drivd d f ( ) l puto Utilizdo l dfiició, ll l drivd d l fució f ( ) l puto Comprub, mdit ls rgls d drivció qu tu rsultdo s corrcto Aplicdo l dfiició, studi si l fució puto Aplicdo l dfiició, studi si l fució, f ( ) s drivbl l 9 >, < 0 f ( ) s drivbl 0, 0 5 E qué putos o so drivbls ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) E cd cso idic l porqué 6 Dtrmi los putos los qu o so drivbls ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) 7 Comprub qu l fució, si 0 f ( ), s drivbl todo R l( ), si > 0, 8 Comprub qu l fució f ( ), Hz u sbozo d su gráfic ddo vlors < 0 0 s cotiu y drivbl todo R 9 Estudi l drivbilidd d l fució, 0 f ( ) si, > 0 Drivbilidd d fucios dfiids trozos Csos co prámtros si 0 Dd l fució f ( ) ll: si > ) El vlor o vlors d pr qu f s cotiu b) El vlor o vlors d pr qu f s drivbl wwwmtmticsjmmmcom
22 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0, si 0 Qué vlor y qu sigr pr qu l fució f ( ) s, si > 0 drivbl 0? ( ) si 0 Hll l vlor d qu c qu l fució f ( ) s drivbl ( ) si > 0 todo R Pr l vlor lldo z u sbozo d su gráfic l itrvlo [, ] b si < Dd l fució f ( ) : si ) Prá qué vlors d y b s cotiu? b) Prá qué vlors d y b s drivbl? si 0 Dtrmi los vlors d y b pr qu l fució f ( ) s b si > 0 drivbl l puto 0 5 si( ) si 0 5 Dtrmi los vlors d y b pr qu l fució f ( ) s b b si > 0 drivbl 0 si si 0 6 Dmustr qu l fució f ( ) s drivbl tod l rct rl si > 0 Tgt u curv 7 Hll l cució d l rct tgt cd u d ls curvs siguits los putos qu s idic: ) f ( ) l puto b) y l puto d bscis 6 c) f ( ) l puto d bscis d) f ( ) l puto ) ( ) f ( ) l l puto f l puto f) ( ) 8 Hll l cució d l rct tgt f ( ) l puto (0, f(0)) 9 L curv d cució y y l rct y b so tgts l puto Cuál db sr l vlor d b? 0 Hll l cució d l prábol y b c qu s tgt l rct y l puto (, ) Dtrmi los putos d l curv y los culs l rct tgt s prll y 9 5 Hll ls cucios d ls rcts tgts sos putos Dtrmi l vlor d p pr qu l rct tgt l curv bscis, ps por l orig d coordds p y, l puto d wwwmtmticsjmmmcom
23 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Cálculo d drivds Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo y clcul cd cso f ( ), si ist ) ( )( ) f ( ) b) f ( ) l Dd f ( ), ll los vlors d f () y f () ( ) 5 Hll los putos los qu s ul ls drivds primr y sgud d ( ) f ( ) 6 Hll l vlor d ls drivds primr y sgud d ) ( ) l puto 7 Driv ls siguits fucios simplificdo l rsultdo Clcul, si s posibl, su vlor l puto 0: ) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) ( ) d) f ( ) l( ) 8 Driv, simplificdo los rsultdos, ls siguits fucios: ) f ( ) b) ( ) (5 ) c) ( ) f ( ) f ( ) l cos 9 Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo cudo s pud; clcul todos los csos f ( ), si ist ) ( ) f b) f ( ) ( ) c) f ( ) si 0 Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo y clcul cd cso f ( ), si ist ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) si( ) cos( π) Hll l fució drivd d cd u d ls siguits fucios: ) y b) ( ) ) y tg ( ) f) i) y 9 j) m) y rct ) f c) ( ) ( ) cos f ( ) cos d) y tg ( ) y tg ( ) g) y rcsi ) y rcsi y rcsi k) y o) y l( 6 ) rct y 6 l) y rccos( ) p) y rct wwwmtmticsjmmmcom
24 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Drivció logrítmic Aplicdo ls propidds d los logritmos, ll y simplific l drivd d ls fucios: ) y l( 5) b) f ( ) l c) y l Aplicdo logritmos ll l drivd d: ) ( ) ( ) ( ) f b) f si ( ) c) f l ( ) d) ( ) f ( ) A prtir d ls fórmuls d ls drivds d f ( ) si y f ( ) cos ll ls fórmuls d ls drivds d ls fucios: ) f ( ) cosc b) f ( ) sc c) f ( ) cot 5 Prtido d l dfiició d rco coso y rco tgt dduc ls fucios drivds d: ) f ( ) rccos b) f ( ) rctg 6 Hll l drivd -ésim d ls siguits fucios: ) f ( ) l b) f ( ) l( ) c) 7 Hll l drivd -ésim d ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) f ( ) Difrcil d u fució 8 Hll l difrcil d cd u d ls siguits fucios: ) y b) y c) u cos d) u 9 Cuál s l icrmto (l vrició proimd) d cd u d ls siguits fucios cudo, prtido d, l vribl s icrmt 0,? f ( ) l b) f ( ) c) f ( ) ) ( ) 0 Tido cut qu 6 8, utilizdo l difrcil d l fució f ( ), ll l vlor proimdo d 65 Drivció implícit Pr cd u d ls siguits cucios, ll l vlor d y l puto (, ) d su gráfic: ) y 9 b) y 0 c) y y 0 Dd l circufrci d cució ( ) ( y ) 5 tgt ll l puto (, ), ll l cució d l rct wwwmtmticsjmmmcom
25 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 05 Propidds d ls fucios drivbls Torms d Roll y dl vlor mdio Vrific l fució f ( ) l torm d Roll l itrvlo [, ]? E cso firmtivo ll l puto qu firm l torm (Propusto Slctividd) S vrific l torm d Roll pr l fució f ( ) 7, 5? 5 Hll l puto qu vrific l torm dl vlor mdio pr l fució f ( ), l itrvlo [, 0] 6 Hll l puto qu vrific l torm dl vlor mdio pr l fució itrvlo (, ), 0 Cocrétlo cudo f ( ), l 7 (Propusto Slctividd) Aplic l torm dl vlor mdio l fució f ( ) l l itrvlo (, ), dtrmido l vlor d c, < c <, pr l qu s vrific dico torm 8 Dmustr qu l vlor qu vrific l torm dl vlor mdio pr f ( ), l itrvlo (, ), o dpd d Cuál s s vlor? Aplicció l cálculo d its Rgl d L Hôpitl 9 Aplicdo l rgl d L Hôpitl ll los siguits its: ) ( ) b) c) 0 0 ± 50 Hll los siguits its: si ) π / cos b) si cos 0 c) cos 0 si 5 Clcul: ) ( si l ) 0 b) 0 / 5 Clcul los siguits its: ) b) 0 l( ) l 5 Hll l vlor d los siguits its: ) 0 si b) 0 cos si ( ) c) 0 wwwmtmticsjmmmcom
26 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 06 5 Clcul: l( ) ) b) l( ) ( ) c) d) 55 Hll l vlor d los siguits its: / ) ( ) b) 0 / /( ) 56 Clcul: ) (cos si ) 0 / si b) ( ) / cos 0 57 Clcul, si ist, los siguits its: ) ( ) si 0 b) 0 58 Hll los vlors d y b pr qu los ifiitésimos, ), s quivlts b f ( ) y 59 Dtrmi l vlor d p pr qu los ifiitésimos,, f ( ) p l y ) s quivlts 60 Eist lgú vlor d l qu ls fucios f ( ) p y ) ( p) p, s ifiitésimos dl mismo ord? Otrs pliccios d los its 6 Qué vlor y qu sigr p pr qu l fució cotiu 0 si 0 f ( ) si s p si 0 6 Hll ls sítots d l fució 6 Hll ls sítots d l fució rspcto d ls sítots si( ) f ( ) l f ( ) Idic tmbié l posició d l curv 6 Dpdido d los vlors d p, studi l cotiuidd d l fució dd por: si < 0 f ( ) p cos si 0 wwwmtmticsjmmmcom
27 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 07 Solucios: 0 5 Si No 5 ) b) 0 6 ) b) 0; 9 Drivbl simpr 0 ) o b) ) b, co rbitrrio b) y b y b b 5; ) y 9 b) y c) y ) y f) y 8 y 7 9 b 0 y (, ) y (, ) y 9 7 ; y 9 5 p ) f ( ) ( )( ) ; 5 b) f ( ) ; / f ( ) ; f ( ) ; ; / ( 5 ) ( ) ± ; 0 o ± 6 ; 7 7 ) f '( ) ( ) ; b) ( ) f '( ) cos si ; 0 c) f ( ) ( ) ; d) f ( ) ; ) f ( ) b) f ( ) ( 5 )( 5 ) c) f ( ) si 9 ) ( ) 5 6 ; 8 f ( ) ; o ist b) f ( ) ( ) ( ) c) f ( ) si cos ; 0 0 ) ( ) f ; o ist b) ( ) ( ) c) f ( ) ( ) cos( ) π si( π) ) ( 6 ) l d) ; 0 f ( ) ; 0 y b) f ( ) 6 si ( cos ) y ) cos ( ) cos ( c) ( ) y f) ( ) ( tg ( ) ) ) y f ( ) 6 si cos g) ) i) j) k) l) y ( ) m) 6 ) 6 o) p) 6 5 wwwmtmticsjmmmcom
28 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds ) b) f ( ) c) y 5 ) ( ) f ( ) l( ) ( ) l c) f ( ) l d) f ( ) ( ) ( ) ) f ( ) cotg cosc b) f ) t sc ( ) ( 6 ) f ( ) ) b) si ( ) f ( ) cos l )! b) f ( c) f ( ) ( cosc ) ) ( ) (( )! ) )! ( ) c) ( ) ( ) ( ) f si ) ) 7 ) f ( ) b) f ( ) ) ) c) f ( ), impr; f ( ), pr 8 ) dy ( 6 6)d b) dy d c) du cos ( si )d d) du d 9 ) 0, b) 0, c) 0, 0 8,065 y y ) ; / b) ; c) ; y y y ( ) c No 5 6 c ; c ) b) / c) / 50 ) π/ b) c) 5 ) 0 b) 5 ) / b) 5 ) / b) 5/ c) 5 ) 0 b) c) d) 55 ) b) 0; 56 ) b) 57 ) b) 58 b 59 p 60 Ifiitésimos dl mismo ord p simpr qu p 0 y 6 p 0 6 ; y ; y 0 6 p l wwwmtmticsjmmmcom
Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital
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