Tema 8. Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 8. Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital"

Transcripción

1 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 Tm 8 Drivds Torms d ls fucios drivbls Rgl d L Hôpitl Drivd d u fució u puto Dfiició U fució f () s drivbl l puto f ( ) f ( ) si ist l it: 0 Est it s dot por f (), y ist cudo rsult u úmro rl fiito L drivd s l it d u cocit d dos ctidds ifiitsimls El umrdor mid l vrició d l vribl dpdit (l f () ) cudo l vribl dpdit (l ) ps d El cocit mid l ts d vrició mdi d u vribl rspcto l otr Cudo s impo qu l vribl idpdit vrí u ctidd ifiitsiml (so idic qu 0), lo qu s stá clculdo s l ts d vrició isttá d l fució f () u puto dtrmido Esto s, qué l ps f () cudo vrí los lrddors d u puto Ejmplo: Dd l fució f ( ), su drivd l puto s f ( ) f () f () 0 Como f ( ) ( ) ( ) y f ( ), s tdrá: f () 0 0 ( ) ( ) 0 0 Lugo, f ( ) (Est úmro idic qu l puto, l fució stá dcrcido l proporció : l rzó qu prs l rlció tr mbs vribls vl ) Itrprtció gométric d l drivd L drivd, f (), s u úmro qu d l vlor d l pdit d l rct tgt l curv f () l puto P (, f ( )) Esto s, l rct y m s ti qu m f () ; como dmás l rct ps por P (, f ( )), s obti qu l cució d dic rct tgt srá: y f ( ) f ( )( ) Obsrvcios: L tgt u curv u puto s l rct qu mjor proim l curv s puto cocrto L drivd idic lo qu vrirí l fució si s comportr lilmt (como l rct tgt) u toro d s puto L drivd, como l rct tgt, v cmbido sgú cmbi l puto d rfrci wwwmtmticsjmmmcom

2 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 El lctor tto rcordrá qu l pdit d u rct idic lo qu l rct umt (si s positiv) o dismiuy (si s gtiv) por cd icrmto uitrio d l vribl Ejmplo: L rct tgt l fució f ( ) l puto d bscis, srá: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), s obti: y ( ) y 9 Drivbilidd, cotiuidd y drivds ltrls Pr qu u fució s drivbl u puto so prciss dos codicios: ) Qu l fució s cotiu dico puto ) Qu ls drivds ltrls ist y coicid s puto Drivds ltrls f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Izquird: f ( ) Drc: f ( ) 0 0 L drivd, f (), ist cudo f ( ) f ( ) Gométricmt sigific qu l tgt l curv l puto (, f ( )) s l mism tto si s trz por l izquird como por l drc Ls drivds ltrls o coicid los putos gulosos, los picos d ls fucios Por tto, sos putos o ist l drivd Est codició s prticulrmt importt ls fucios dfiids trozos Pr ss fucios rsult obligdo studir ls drivds ltrls los putos d sprció d los distitos trozos Cotiuidd y drivbilidd L rlció tr drivbilidd y cotiuidd s l siguit: si f () s drivbl f () s cotiu Comprobr qu st rsultdo s cirto s rltivmt scillo, pus si f () s drivbl f ( ) f ( ), tocs ist 0 D l istci d s it pud dducirs qu f ( ) f ( ) ; o lo qu s lo mismo, qu ( ( ) ( )) 0 f Pr llo, s c Por tto: f, y s obsrv qu si, tocs 0; y l rvés ( f ( ) f ( ) ) ( f ( ) f ( ) ) 0 ( f ( ) f ( ) ) 0 ( f ( ) f ( ) ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) 0 0 E coscuci, si l fució s drivbl s dduc qu s cotiu El rcíproco o s cirto: si f () s cotiu f () s drivbl Pr comprobr st rsultdo bst co dr u cotrjmplo El más scillo s cosidrr l fució f ( ), qu s cotiu 0 pro o drivbl (El lctor itrsdo pud ittr dmostrrlo) wwwmtmticsjmmmcom

3 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8, ) L fució f ( ) s cotiu y drivbl 9 > l puto dod s u ls fucios trozos, Esto implic qu s pud psr d u fució otr si cmbios bruscos (Rcurd qu y 9 s l rct tgt f ( ) ), < 0 b) L fució f ( ) s cotiu 0, pro o 0 s drivbl s puto (E l puto 0, l fució c u cmbio brusco, ti u pico) Fució drivd L fució drivd d u fució f () s u uv fució qu soci cd úmro rl su drivd S dot por f () Su dfiició s l siguit: f ( ) f ( ) f ( ) 0 df ( ) dy Si y f (), s scrib y f ( ) Tmbié s frcut scribir f ( ) o y d d Drivd d lgus fucios Pr obtr l fució drivd d culquir fució covi sguir l procso siguit: ) Dd y f (), llr f ( ) ) Hllr y simplificr l difrci f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) Escribir y simplificr l cocit f ( ) f ( ) ) Rsolvr l it f ( ) E l cálculo d st it sul str l 0 dificultd myor Pr ls fucios usuls ist u sri d fórmuls qu d su fució drivd Más dlt s drá u brv tbl co ls más frcuts Aquí, pr qu s prci l método sguir (y quizás l dificultd d llo) s obtdrá ls dos más fácils: l d l fució potcil, f ( ) ; y l dl logritmo, f ( ) log ( ) Pro ts, u jmplo cocrto Ejmplo: L fució drivd d f ( ) pud obtrs sí: ) S clcul f ( ) : f ( ) ( ) ( ) ) S ll f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom

4 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 f ( ) f ( ) ) S form l cocit: ) S rsulv l it: ( ) f ( ) ( ) Por tto, l fució drivd d f ( ) s f ( ) Si or s ds llr l drivd culquir puto, bst co sustituir Así: f ( 0) 0 ; f ( ) ( ) 0 ; f ( ) ( ) Drivd d l fució y f ( ) ( ) ) f ( ) ( ) (Est prsió s obti! utilizdo l fórmul d l potci d u biomio) ( ) ) f ( ) f ( ) ( )! ( ) f ( ) f ( ) ( ) )!! f ( ) f ( ) ( ) ) f ( ) 0 0! Por tto, si: f ( ) f ( ) Est rgl s válid pr culquir vlor d, positivo, gtivo, frcciorio Ejmplo: 5 ) Si f ( ) f ( ) 5 b) Si f ( ) f ( ) c) Si f ( ) f ( ) f ( ) / d) Si f ( ) f ( ) f ( ) ( ) / Drivd d l fució f ( ) log ( ) ) f ( ) log ( ) ) f ( ) f ( ) log ( ) log ( ) log log f ( ) f ( ) ) log log Rcurd: log ( ) log wwwmtmticsjmmmcom

5 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 85 ) Pr dtrmir f () s trsformrá l prsió pr buscr u it qu dé lugr l úmro Así: f ( ) f ( ) f ( ) log log log log log log log Como log z log, s ti qu l drivd d f ( ) log ( ) s f ( ) log Por tto, si: f ( ) log ( ) f ( ) log U cso prticulrmt importt s l d prio d Si f ( ) l f ( ) ) Si f ( ) log f ( ) log b) Si f ( ) log f ( ) log Obsrvció: Ls fucios drivds d otrs fucios usuls, como f ( ), f ( ) si, f ( ) rcsi s drá por dmostrds (El lctor itrsdo ls pud cotrr lguos libros d Mtmátics II d sgudo d Bcillrto) Rgls d drivció pr ls oprcios co fucios Cudo ls fucios o przc su form más simpl o cudo itrvg más d u fució s plicrá ls siguits propidds Drivd d u costt por u fució: F ( ) k f ( ) F ( ) k f ( ) k f ( ( ) ( ) ) ) Si y k c) Si y y k b) Si d) Si y y ( ) 5 y Drivd d u sum o difrci d fucios: F ( ) f ( ) ± ) F ( ) f ( ) ± ) f ( ) ± g ( ( ) ( ) ) 6 5 ) Si f ( ) 5 y ) ( f ( ) ) ) 5 b) Si y 5 wwwmtmticsjmmmcom

6 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 86 Drivd d u producto d fucios: F ( ) f g) ( ) f ( ) F ( ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ( ) ) Ejmplo: Si f ( ) y ( ) ( ) ) g ( ) 5 ( f ( ) ) ) (8 ) ( 5 ) ( ) ( 0 8 ) Si s multiplic ts ls dos fucios y s driv dspués, s obti: 6 5 f ( ) ) ( ) ( 5 ) ( f ( ) ) ) Nturlmt, l rsultdo s l mismo Drivd d u cocit d fucios: F ( ) f ( ) ) f ( ) ) ( F( ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) ( )) Ejmplo: (6 ) ( ) ( ) Si y y ( ) 6 ( ) 5 Drivd d l opust d u fució: F ( ) ( ) f f ( ) F( ) ( ) f ( ) f ( ) ( f ( )) Ejmplo: (6 5) Pr l fució f ( ) 5 s tdrá: f ( ) 5 ( 5 ) Evidtmt, st fució tmbié s podrí drivr como u cocit Así: ( ) y ( 6 5 ) ( 6 5) y 5 5 ( ) ( ) 6 Drivd d l fució compust: F ( ) f ( )) F ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( )) g ( ) Obsrvció: L dmostrció d sts propidds o s difícil A cotiució, y sólo como botó d mustr, s obti l fórmul d l drivd d u producto d fucios Dmostrció d l fórmul d l drivd d u producto d fucios Si F ( ) ( f g) ( ) f ( ) ), pr obtr su drivd pud crs lo qu sigu: Cocit icrmtl F( ) F( ) ( f g) ( ) ( f g) ( ) f ( ) ) f ( ) ) wwwmtmticsjmmmcom

7 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 87 f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) ( f ( ) f ( ) ) ) f ( ) ( ) ) ) f ( ) f ( ) ) ) ) f ( ) Psdo l it s obti l drivd: f ( ) f ( ) ) ) F ( ) ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) ) ) ) f ( ) f ( ) ) f ( ) g ( ) Por tto: ( F ( ) ) ( f ( ) ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) Fórmul d l fució drivd d ls fucios usuls Drivd d potcis y rícs So dos csos prticulrs d fucios compusts: y ( f ( ) ) y f ( ) Sus drivds so: y ( f ( ) ) f ( ) y ( f ( ) ) f ( ) y f ( ) ( f ( ) ) f ( ) El cso prticulr d l ríz cudrd s: y f () y f ( ) Obsrvció: Ls rícs pud cosidrrs como potcis d pot rciol Por tto, pr llr l drivd d u ríz pud utilizrs l fórmul d l drivd d u y / fució potcil Así, si f ( ) ( f ( ) ) / ( f ( ) ) f ( ) ) Si F( ) ( 5 ) F ( ) ( 5 ) (6 5) F ( ) / b) Si ( ) F ( ) / ( ) ) F( ) ( Drivd d ls fucios logrítmics Logritmo bs : f ( ) log f ( ) log f ( ) Pr l fució compust: y log f ( ) log f ( ) Logritmo prio: f ( ) l, co > 0 f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y l f ( ) y f ( ) wwwmtmticsjmmmcom

8 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds ) Si y lo 5 ) log 5 b) Si y l( ) 8 Drivd d ls fucios pocils Epocil d bs : f ( ) f ( ) l Pr l fució compust: f () f ( ) y, > 0 f ( ) l Epocil d bs : f ( ) f () Pr l fució compust: y f ( ) y f ( ) f ( ) ) y 0 y 0 l0 b) y ( ) l c) Si y (6 ) 5 Potcil-pocil: Drivció logrítmic S plic cudo l vribl prc tto l bs como l pot d u potci: g ( F ( ) f ( ) ( ) ) El cso más scillo s F ( ) Pr llr su drivd s plic logritmos y dspués s driv Así: F ( ) l F( ) l l l F ( ) F( ) ( l ) ) F( ) F ( ) l Pr l cso grl l procdimito s l mismo Tomdo logritmos prios mbos g ( ) mimbros d l fució F ( ) ( f ( ) ), qud: g ( ) ( f ( ) ) l F ( ) l l F ( ) ) l f ( ) Drivdo mimbro mimbro s ti: F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) F( ) f ( ) Dspjdo: ) f ( ) F ( ) F( ) g ( ) l f ( ) f ( ) g ( ) g F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Obsrvció: ) Est técic d drivció, cosistt plicr logritmos y drivr dspués, rcib l ombr d drivció logrítmic ) Los logritmos pud plicrs tmbié pr simplificr los cálculos wwwmtmticsjmmmcom

9 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 89 ( ) ) Pr drivr l fució f ( ) ( ) s c lo siguit: ( ) ) S plic logritmos: l f ( ) l( ) l ( ) ( ) l( ) f ( ) 6 ) S driv mbos ldos d l iguldd: l( ) ( ) f ( ) 6 f ( ) f ( ) l ( ) 6 f ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) f b) Pr drivr l fució ( ) l( ) 5 ) S plic l propidd dl logritmo d u potci ( A l A) f ( ) l( ) 5 5l( ) ) S driv: f s pud cr lo siguit: l Así s obti: 60 0 f ( ) 5 c) E l cso d u cocit s más ficz Así, pr f ( ) l, s ti: f ( ) l l( ) l( ) l( ) l f ( ) 6 Drivd d ls fucios trigoométrics Ls rgls d drivció d ls fucios trigoométrics s obti plicdo ls fórmuls trigoométrics y ls propidds d l drivd d ls oprcios co fucios Fució so: f ( ) s f ( ) cos Pr l fució compust s ti: y s f ( ) y f ( )cos f ( ) ) f ( ) si b) ( ) cos f ( ) si si f ( ) si cos c) si f ( ) 5 cos y 5 Fució coso: f ( ) cos f ( ) s Est fórmul pud obtrs tido cut qu: π π f ( ) cos si f ( ) cos si Pr l fució compust: y cos f ( ) f ( ) s f ( ) wwwmtmticsjmmmcom

10 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 90 Fució tgt: y t t cos Ests fórmuls pud obtrs tido cut qu: si f ( ) t (drivdo como u cocit) cos cos cos si ( si ) cos si f ( ) cos cos cos f ( ) Pr l fució compust: y tg f ( ) y cos f ( ) ) y cos ( ) y cos( ) si( ) ( ) b) y l cos ( si ) t cos c) y t( 5 ) y t(5 ) ( t (5 ) )5 7 Drivd d ls fucios trigoométrics ivrss L fórmul d l drivd d cd u d sts fucios pud obtrs prtir d su dfiició Aquí s rá sólo l dl rcoso Fució rcoso: f ( ) rcs Por dfiició: f ( ) rcs s f ( ) Drivdo mimbro mimbro s obti: ( cos f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) cos f ( ) si f ( ) Por tto: f ( ) rcs f ( ) Pr l fució compust: y rcs f ( ) f ( ) ( f ( )) Fució rcocoso: f ( ) rccos f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rccos f ( ) ( f ( )) Fució rcotgt: f ( ) rctg f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rctg f ( ) ( f ( )) f ( ) ) y rcs ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom

11 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 b) y rcs c) y rccos( ) / ( ) d) y rctg ( ) ( ) 8 Tbl d l drivd d ls fucios usuls Rsumido todo lo trior pud formrs l siguit tbl E ll: c,, y so úmros; dsig l vribl idpdit y o f rprst fucios d TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Fució simpl Drivd Fució compust Drivd y c y 0 y y y, R y y ( f ( )), ( f ( )) f ( ) y f ( ) y f () y f ( ) y, > 0 l f () y, > 0 f ( ) f ( ) l y y f () y f ( ) y f ( ) f ( ) y log log y log f ( ) log f ( ) y l f ( ) y l f ( ) y f ( ) y s cos y s f ( ) y f ( )cos f ( ) y cos s y cos f ( ) f ( ) s f ( ) y t t tf ( ) y f ( ) t f ( ) cos y rcs f ( ) y rcs f ( ) ( f ( )) y rccos f ( ) y rccos f ( ) ( f ( )) y rct f ( ) y rct f( ) ( f ( )) y ( ) 9 Drivds sucsivs A l fució drivd d f () s l llm drivd sgud; s scrib f () D mr álog s pud dfiir l drivd trcr: f (), qu s l drivd d l drivd sgud Y tmbié l drivd d ord : f ) ( ) ) A l drivd d ord s l llm drivd ésim; y s scrib f ( ) wwwmtmticsjmmmcom

12 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 f ( ) f ( ) L drivd sgud s f ( ) f ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f ( ) 5 f ( 5) 5 f ( ) ( 5) ( 5) L drivd sgud s: 6 ( 5) ( 5 ) ( 5 ) 6 ( 5) ( 5 ) f ( ) f ( ) ( ) ( 5) ( 5) 90 5 f ( ) 5( ) ( ) f( ) ( ) 6 f( ) f ( ) 5 f( ) f( ) ( ) /5 f ( ) ( ) /5 5 7 y ) y 0,5 9 y l l 8 b) y 0,5 ( ) l 0,5 ( ) ( ) ( ) 0 ) y l( ) b) y lo ) y 6 log y l( ( )( ) ) l( ) l( ) y si ( ) cos( ) ) y ( si(5 ) ) si(5 ) cos(5 ) 5 0si(5 ) cos(5 ) 5si(0 ) si (5 ) si (5 ) cos(5 ) 50 b) y y 5 cos(5 ) y s cos5 tg cos 5s 5 ( tg ) 5 y cos ( ) cos ( ) si( ) ( ) 6 y l ( si ) (cos ) cot si 7 y rcs ( ) rccos( ) y ( ) 0 ( ) ( ) 8 y rct ( ) wwwmtmticsjmmmcom

13 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 5 Id d difrcil d u fució Como s idicó triormt, l cució d l rct tgt l curv y f (), l puto P (, f ( )), vi dd por y f ( ) f ( )( ) Est rct, cuy pdit s f (), s l fució lil qu mjor proim f () u toro dl puto S llm difrcil d f () l puto l producto f ( ) d Esto s, dy df ( ) f ( ) d E grl, si y f () dy df ( ) f ( ) d ) Pr y 5 dy ( 6 5) d b) Si y l dy d c) Si cost d si tdt Cutittivmt, l difrcil d l difrci d los vlors qu tom l rct tgt los putos y d ( grl, putos: y d) Gométricmt, l difrcil s l icrmto sobr l rct tgt, como pud vrs l triágulo PQR, d l figur djut: RQ dy t α f ( ) dy f ( ) d PQ d Prc vidt qu si d s u vlor pquño, tmbié srá pquño l vlor d dy, y más pquñ ú, l difrci tr l vlor sobr l curv f () y l vlor sobr l rct tgt (E l figur s idic s difrci co l ombr d rror) Esto prmit cocluir qu, u toro dl puto, l fució y f () y l rct tgt, y f ( ) f ( )( ), tom vlors proimdos: [ y f ()] [ y f ( ) f ( )( ) ] Esto s, cido : f ( ) f ( ) f ( ), pr pquño Ejmplo: Pr llr l cució d l tgt l curv y l puto d bscis, s procd sí: y si, y(), y () / Lugo, l tgt s: y ( ) y Por tto, l puto, l fució y pud proimrs por l rct y Así, l ríz cudrd d,,,,,05 Obsrvció: Lo qu s c s utilizr u fució lil, fácil d mjr, pr clculr u ríz cudrd wwwmtmticsjmmmcom

14 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 9 6 Drivció implícit U fució stá dfiid implícitmt cudo l vribl dpdit o stá dspjd Así, l prsió y 0, co < y > 0, dfi y como fució d d form implícit E st cso, pud dspjrs fácilmt, pus y 0 y y f ( ) Prs d st fució (putos d l curv) so, por jmplo, (, ), (, ) o ( 6, ) 5 L prsió y y y 0 tmbié dfi y como fució d, pro difrci dl cso trior, o pud dspjrs y (Prs d st fució so, por j, (0, 0) o (, )) E l primr cso, l obtció d l drivd d y s muy fácil: f ( ) ( ) Tmbié podrí clculrs l drivd si csidd d dspjr, pus si y f (), l prsió y 0 ( f ( ) ) 0 Si s driv, mimbro mimbro, plicdo l rgl d l cd, s ti: ( f ( ) ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) Normlmt o s sustituy y por f (), pudido drivr dirctmt sí: y 0 y 0 y Co sto, por jmplo, l drivd l puto (, ) vl y 5 Aplicdo l mismo procdimito l prsió y y y 0, s ti: 5y y 0 y (5 y y ) 0 y 5y y Lugo, l vlor d l drivd l puto (, ) srá: y 5 Ejrcicio: Si y s u fució d, drivbl, qu vrific l cució 6y y 8 0, ll y por drivció implícit Comprub qu l puto (, ) prtc l gráfic d l cució y ll y s puto Drivdo dirctmt l prsió 6y y 8 0 s ti: y 6y 6 yy` 0 y ( y) ( y) y Obsrv qu l sumdo y 6y 6y 6y 6 s driv implícitmt como u producto: ( ) El puto (, ) s d l curv, pus L drivd s puto vldrá: y (, ) 5 Est vlor d l pdit d l rct tgt l curv socid 6y y 8 0, 8 l puto (, ); sido l cució d s rct tgt: y ( ) 5 wwwmtmticsjmmmcom

15 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 95 7 Propidds d ls fucios drivbls Torms d Roll y dl vlor mdio 7 Torm dl máimo Torm d Roll S dic qu f () ti u máimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f ( ), pr todo d u toro d S dic qu f () ti u míimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f (, pr todo d u toro d ) Torm dl máimo S f () u fució dfiid u itrvlo birto (, b) Si s u máimo d f () dico itrvlo y si f ( ) ist, tocs f ( ) 0 El rcíproco dl torm o s cirto Esto s, qu l drivd s 0 o sgur qu l puto s máimo Tmbié bst co obsrvr l figur djut, l qu s dibuj l gráfic d f ( ) Pr st fució l drivd s ul 0 y, si mbrgo, s puto o y máimo i míimo Torm d Roll (Frcés, 65/79) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), y si f ( ) f ( b), tocs ist lgú puto c (, b) tl qu f ( c) 0 Gométricmt, l comprobció s vidt: ist u puto l mos d s itrvlo, l qu l tgt l curv s orizotl E s puto c s d l máimo o l míimo d f () s itrvlo ) L fució f ( ) vrific ls ipótsis dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus: s cotiu y drivbl todo R; prticulr l itrvlo [, ] f ( ) y f ( ) Esto s, tom l mismo vlor los trmos dl itrvlo E coscuci, ist u puto c (, ) l qu su drivd vl 0: f ( ) 0 / El vlor c / s l qu sgur l torm: f ( / ) 0 b) L fució f ( ) o stisfc ls codicios dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus o s drivbl l puto 0 d s itrvlo Por so, uqu tg máimo 0, o s cumpl qu f ( 0) 0 wwwmtmticsjmmmcom

16 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 96 7 Torm dl vlor mdio d Lgrg (Itlio, 76/8) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), tocs ist lgú puto c (, b) tl f ( b) f ( ) qu f ( c) b Itrprtció gométric: ist u puto prtcit l itrvlo l qu l tgt f () s prll l sct qu ps por los putos d bscis y b D otro modo: ist u puto dl itrvlo l qu l ts d vrició isttá coicid co l ts d vrició mdi d todo l itrvlo Rcurd qu l ts d vrició mdi d u fució u itrvlo vi dd por l f ( b) f ( ) prsió: TVM[, b] b Itrprtció físic: si s rliz u trycto vlocidd mdi v, lgú istt d s trycto s llvdo s vlocidd v Ejmplo: L fució f ( ) 6 s cotiu y drivbl l itrvlo [, ] c, < c < f () f ( ) tl qu f ( c) ( ) 5 E fcto: 6 6, ( ) El vlor qu cumpl l torm s, l úmro qu prtc (, ) U plicció Co ls misms ipótsis, si (, b), pud scribirs: f ( ) f ( ) f ( c) f ( ) f ( ) f ( c)( ), co c (, ) Y si s tom, s tdrá: f ( ) f ( ) f ( θ), 0 < θ <, c (, ) Cudo s suficitmt pquño, como s puso d mifisto l dfiir l difrci, pud cptrs l proimció f ( ) f ( ) f ( ) Ejmplo: Aplicdo lo trior pud drs u vlor proimdo d 0 Vés: Si s tom f ( ), pr 0, 00 y, s ti: f ( 0) f (00) f (00 θ) 0 00, pus f ( ) 00 θ Como f ( 00 θ) 0, 05, l vlor proimdo pdido srá: 00 θ ,05 0, 00 θ Nots: El vlor obtido co l clculdor s: 0 0,0995 L proimció s muy bu Pud obsrvrs qu plicdo l difrcil (vés) s llg l mismo rsultdo wwwmtmticsjmmmcom

17 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 97 7 Torm d Cucy (Frcés, 789/857) Si f () y g () so fucios cotius [, b] y drivbls (, b), y si b) ), y f () y g () o so cros l vz, tocs, ist u puto c (, b) tl qu f ( b) f ( ) f ( c) b) ) g ( c) Co ls misms ipótsis, si s tom < < b, istirá u puto c (, ) tl qu f ( ) f ( ) f ( c) [ f ( ) f ( ) ] g ( c) [ ) ) ] f ( c) ) ) g ( c) Ejmplo: Ls fucios f ( ) y g ( ) so cotius y drivbls todo R, prticulr l itrvlo [0, ] Pr llr l vlor c (0, ) qu cumpl l torm s f () f (0) f ( ) procd sí: ) 0) g ( ) ( ) Es s l vlor d c buscdo: c / 8 Aplicció l cálculo d its Rgl d L Hôpitl (Frcés, 66/70) Idtrmicios: E l cálculo d its pud prcr sit prsios (forms) idtrmids So: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Hst or, cudo s prstb lgu d ss idtrmicios, s rsolví, si r posibl, mdit trsformcios lgbrics Sirv como rcordtorio l siguit jmplo: 0 ( ) 0 ( )( ) A prtir d or pud mplrs otro procdimito más ficz y qu, dmás, prmit studir u myor vridd d fucios Est procdimito s sirv d ls drivds y rcib l ombr d rgl d L Hôpitl 0 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició 0 f ( ) 0 E l cso d qu ) 0 y d qu f () y g () s fucios drivbls u toro d, s cumpl: f ( ) Si f ( ) 0 y ) 0, sido ) 0 u toro d, si ist, g ( ) f ( ) f ( ) f ( ) tocs tmbié ist, y s cumpl qu: ) ) g ( ) (Esto s igulmt válido pr los its ltrls o l ifiito: si,, o ) Esto s, l it d u cocit dl tipo 0 0 s igul l it dl cocit d ls drivds wwwmtmticsjmmmcom

18 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 98 si 0 si 0 cos ) 0 0 Aplicdo l rgl d L Hôpitl: si 0 cos si ERROR: (?) 0 0 OJO: NO s c l drivd dl 0 cocit b) L rgl tmbié s pud plicr fucios rciols Así, por jmplo, 0 ( L H ) 0 Obsrvció: L rgl d L Hôpitl pud ritrrs Así, l jmplo: cos 0 c) 0 0 (L H) si 0 cos ( L H ) Ifiitésimos Cudo f ( ) 0 s dic qu f () s u ifiitésimo l puto Por tto, l 0 idtrmició s l cocit d dos ifiitésimos Surg cudo s plt u it 0 f ( ) f ( ) 0 como l siguit: ) ) 0 ; sto s, cudo f () y g () so ifiitésimos l puto Comprció d ifiitésimos Los ifiitésimos pud comprrs como sigu Si f () y g () so ifiitésimos l puto, tocs: f ( ) ) Si 0 s dic qu f () s u ifiitésimo d myor ord qu g () Esto ) sigific qu f () tid 0 myor vlocidd qu g () cudo O d otr mr más prcis: f () s ifiitmt más pquño qu g () cudo f ( ) ) Si s dic qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () ) f ( ) ) Si l s dic qu f () y g () so ifiitésimos dl mismo ord ) f ( ) ) Si s dic qu f () y g () so ifiitésimos quivlts ) ) f ( ) y g ( ) ( ) so ifiitésimos 0 ( )( ) Como l ( ) 0 ( ) 0, s cocluy qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () wwwmtmticsjmmmcom

19 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 99 si b) E 0, los ifiitésimos f ( ) si y g ( ) so quivlts, pus 0 c) Ls fucios f ( ) y g ( ) cos( ) so ifiitésimos dl mismo ord 0 l puto, pus ( ) 0 L H / cos( ) si( ) 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició f ( ) E l cso d qu ) l rgl pud formulrs como sigu: f ( ) f ( ) Si f () y ), si ist, tocs tmbié ist g ( ) ) f ( ) f ( ) cumpl qu ) g ( ) (Es igulmt válido pr los its ltrls o l ifiito: si,, o ) y s ) l Aplicdo L Hôpitl: l / 0 b) ( L H ) 0 c) Tmbié s pud plicr pr fucios rciols: 6 ( ) ( ) 5 L H 8 5 L H 8 Rsolució d ls forms [0 ] [ ] Pr rsolvr ls idtrmicios dl tipo [0 ] [ ] y qu trsformrls, 0 oprdo prvimt, lgu d ls forms 0 o Si s propósito s cosigu, tocs s plic l rgl d L Hôpitl ( cos )cot ) ( ) [ 0 ] 0 (Rcurd qu cot 0 /t 0 /0 ) Sustituydo cot por /t s ti: cos 0 si ( cos )cot 0 ( ) 0 0 t 0 L H 0 t ( ) [ ] wwwmtmticsjmmmcom

20 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 00 b) [ ] Hcido l rst idicd s ti: ( ) 0 (L H) 0 0 (L H) 0 85 Rsolució d ls forms [ ], [0 0 ] y [ 0 ] Si l ittr clculr f () f ( ) prc lgu d sts forms (sto s: f () [ ] 0 0 [ 0 ], o f ( ) [ ]) s clculrá, si s pud, l it ( l( f ( ) )) Co sto, l idtrmició iicil s trsform otr dl tipo [0 ], qu s rsolvrá como s idicdo ts L l f ( ), s ti qu l it buscdo vl f ( ) U vz rsulto, si ( ( )) L Rcurd: ) Los its cumpl l siguit propidd: l[ f ( ) ] l f ( ) ) Por dfiició: l A L A L l ( B p ) p lb ; y tmbié: ) [ ] Aplicdo logritmos: l l [ 0 ] l / (trsformdo) 0 0 (L H) / Por tto, (Est rsultdo sul tomrs como dfiició d ) Aplicdo logritmos: l l [ 0 ( ) ] 0 b) [ 0 ] l / (trsformdo) ( ) ( ) 0 0 / L H 0 / 0 0 Por tto, 0 c) ( ) / l 0 [ ] Aplicdo logritmos: / l l ( ) ( ) ( ) l l l /( ) / / l Por tto, ( ) (L H) l (L H), o wwwmtmticsjmmmcom

21 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Problms Propustos Drivd d u fució u puto Utilizdo l dfiició, clcul l drivd d f ( ) l puto Utilizdo l dfiició, ll l drivd d l fució f ( ) l puto Comprub, mdit ls rgls d drivció qu tu rsultdo s corrcto Aplicdo l dfiició, studi si l fució puto Aplicdo l dfiició, studi si l fució, f ( ) s drivbl l 9 >, < 0 f ( ) s drivbl 0, 0 5 E qué putos o so drivbls ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) E cd cso idic l porqué 6 Dtrmi los putos los qu o so drivbls ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) 7 Comprub qu l fució, si 0 f ( ), s drivbl todo R l( ), si > 0, 8 Comprub qu l fució f ( ), Hz u sbozo d su gráfic ddo vlors < 0 0 s cotiu y drivbl todo R 9 Estudi l drivbilidd d l fució, 0 f ( ) si, > 0 Drivbilidd d fucios dfiids trozos Csos co prámtros si 0 Dd l fució f ( ) ll: si > ) El vlor o vlors d pr qu f s cotiu b) El vlor o vlors d pr qu f s drivbl wwwmtmticsjmmmcom

22 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0, si 0 Qué vlor y qu sigr pr qu l fució f ( ) s, si > 0 drivbl 0? ( ) si 0 Hll l vlor d qu c qu l fució f ( ) s drivbl ( ) si > 0 todo R Pr l vlor lldo z u sbozo d su gráfic l itrvlo [, ] b si < Dd l fució f ( ) : si ) Prá qué vlors d y b s cotiu? b) Prá qué vlors d y b s drivbl? si 0 Dtrmi los vlors d y b pr qu l fució f ( ) s b si > 0 drivbl l puto 0 5 si( ) si 0 5 Dtrmi los vlors d y b pr qu l fució f ( ) s b b si > 0 drivbl 0 si si 0 6 Dmustr qu l fució f ( ) s drivbl tod l rct rl si > 0 Tgt u curv 7 Hll l cució d l rct tgt cd u d ls curvs siguits los putos qu s idic: ) f ( ) l puto b) y l puto d bscis 6 c) f ( ) l puto d bscis d) f ( ) l puto ) ( ) f ( ) l l puto f l puto f) ( ) 8 Hll l cució d l rct tgt f ( ) l puto (0, f(0)) 9 L curv d cució y y l rct y b so tgts l puto Cuál db sr l vlor d b? 0 Hll l cució d l prábol y b c qu s tgt l rct y l puto (, ) Dtrmi los putos d l curv y los culs l rct tgt s prll y 9 5 Hll ls cucios d ls rcts tgts sos putos Dtrmi l vlor d p pr qu l rct tgt l curv bscis, ps por l orig d coordds p y, l puto d wwwmtmticsjmmmcom

23 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Cálculo d drivds Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo y clcul cd cso f ( ), si ist ) ( )( ) f ( ) b) f ( ) l Dd f ( ), ll los vlors d f () y f () ( ) 5 Hll los putos los qu s ul ls drivds primr y sgud d ( ) f ( ) 6 Hll l vlor d ls drivds primr y sgud d ) ( ) l puto 7 Driv ls siguits fucios simplificdo l rsultdo Clcul, si s posibl, su vlor l puto 0: ) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) ( ) d) f ( ) l( ) 8 Driv, simplificdo los rsultdos, ls siguits fucios: ) f ( ) b) ( ) (5 ) c) ( ) f ( ) f ( ) l cos 9 Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo cudo s pud; clcul todos los csos f ( ), si ist ) ( ) f b) f ( ) ( ) c) f ( ) si 0 Driv ls siguits fucios Simplific l rsultdo y clcul cd cso f ( ), si ist ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) si( ) cos( π) Hll l fució drivd d cd u d ls siguits fucios: ) y b) ( ) ) y tg ( ) f) i) y 9 j) m) y rct ) f c) ( ) ( ) cos f ( ) cos d) y tg ( ) y tg ( ) g) y rcsi ) y rcsi y rcsi k) y o) y l( 6 ) rct y 6 l) y rccos( ) p) y rct wwwmtmticsjmmmcom

24 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 0 Drivció logrítmic Aplicdo ls propidds d los logritmos, ll y simplific l drivd d ls fucios: ) y l( 5) b) f ( ) l c) y l Aplicdo logritmos ll l drivd d: ) ( ) ( ) ( ) f b) f si ( ) c) f l ( ) d) ( ) f ( ) A prtir d ls fórmuls d ls drivds d f ( ) si y f ( ) cos ll ls fórmuls d ls drivds d ls fucios: ) f ( ) cosc b) f ( ) sc c) f ( ) cot 5 Prtido d l dfiició d rco coso y rco tgt dduc ls fucios drivds d: ) f ( ) rccos b) f ( ) rctg 6 Hll l drivd -ésim d ls siguits fucios: ) f ( ) l b) f ( ) l( ) c) 7 Hll l drivd -ésim d ls fucios: ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) f ( ) Difrcil d u fució 8 Hll l difrcil d cd u d ls siguits fucios: ) y b) y c) u cos d) u 9 Cuál s l icrmto (l vrició proimd) d cd u d ls siguits fucios cudo, prtido d, l vribl s icrmt 0,? f ( ) l b) f ( ) c) f ( ) ) ( ) 0 Tido cut qu 6 8, utilizdo l difrcil d l fució f ( ), ll l vlor proimdo d 65 Drivció implícit Pr cd u d ls siguits cucios, ll l vlor d y l puto (, ) d su gráfic: ) y 9 b) y 0 c) y y 0 Dd l circufrci d cució ( ) ( y ) 5 tgt ll l puto (, ), ll l cució d l rct wwwmtmticsjmmmcom

25 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 05 Propidds d ls fucios drivbls Torms d Roll y dl vlor mdio Vrific l fució f ( ) l torm d Roll l itrvlo [, ]? E cso firmtivo ll l puto qu firm l torm (Propusto Slctividd) S vrific l torm d Roll pr l fució f ( ) 7, 5? 5 Hll l puto qu vrific l torm dl vlor mdio pr l fució f ( ), l itrvlo [, 0] 6 Hll l puto qu vrific l torm dl vlor mdio pr l fució itrvlo (, ), 0 Cocrétlo cudo f ( ), l 7 (Propusto Slctividd) Aplic l torm dl vlor mdio l fució f ( ) l l itrvlo (, ), dtrmido l vlor d c, < c <, pr l qu s vrific dico torm 8 Dmustr qu l vlor qu vrific l torm dl vlor mdio pr f ( ), l itrvlo (, ), o dpd d Cuál s s vlor? Aplicció l cálculo d its Rgl d L Hôpitl 9 Aplicdo l rgl d L Hôpitl ll los siguits its: ) ( ) b) c) 0 0 ± 50 Hll los siguits its: si ) π / cos b) si cos 0 c) cos 0 si 5 Clcul: ) ( si l ) 0 b) 0 / 5 Clcul los siguits its: ) b) 0 l( ) l 5 Hll l vlor d los siguits its: ) 0 si b) 0 cos si ( ) c) 0 wwwmtmticsjmmmcom

26 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 06 5 Clcul: l( ) ) b) l( ) ( ) c) d) 55 Hll l vlor d los siguits its: / ) ( ) b) 0 / /( ) 56 Clcul: ) (cos si ) 0 / si b) ( ) / cos 0 57 Clcul, si ist, los siguits its: ) ( ) si 0 b) 0 58 Hll los vlors d y b pr qu los ifiitésimos, ), s quivlts b f ( ) y 59 Dtrmi l vlor d p pr qu los ifiitésimos,, f ( ) p l y ) s quivlts 60 Eist lgú vlor d l qu ls fucios f ( ) p y ) ( p) p, s ifiitésimos dl mismo ord? Otrs pliccios d los its 6 Qué vlor y qu sigr p pr qu l fució cotiu 0 si 0 f ( ) si s p si 0 6 Hll ls sítots d l fució 6 Hll ls sítots d l fució rspcto d ls sítots si( ) f ( ) l f ( ) Idic tmbié l posició d l curv 6 Dpdido d los vlors d p, studi l cotiuidd d l fució dd por: si < 0 f ( ) p cos si 0 wwwmtmticsjmmmcom

27 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 07 Solucios: 0 5 Si No 5 ) b) 0 6 ) b) 0; 9 Drivbl simpr 0 ) o b) ) b, co rbitrrio b) y b y b b 5; ) y 9 b) y c) y ) y f) y 8 y 7 9 b 0 y (, ) y (, ) y 9 7 ; y 9 5 p ) f ( ) ( )( ) ; 5 b) f ( ) ; / f ( ) ; f ( ) ; ; / ( 5 ) ( ) ± ; 0 o ± 6 ; 7 7 ) f '( ) ( ) ; b) ( ) f '( ) cos si ; 0 c) f ( ) ( ) ; d) f ( ) ; ) f ( ) b) f ( ) ( 5 )( 5 ) c) f ( ) si 9 ) ( ) 5 6 ; 8 f ( ) ; o ist b) f ( ) ( ) ( ) c) f ( ) si cos ; 0 0 ) ( ) f ; o ist b) ( ) ( ) c) f ( ) ( ) cos( ) π si( π) ) ( 6 ) l d) ; 0 f ( ) ; 0 y b) f ( ) 6 si ( cos ) y ) cos ( ) cos ( c) ( ) y f) ( ) ( tg ( ) ) ) y f ( ) 6 si cos g) ) i) j) k) l) y ( ) m) 6 ) 6 o) p) 6 5 wwwmtmticsjmmmcom

28 Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds ) b) f ( ) c) y 5 ) ( ) f ( ) l( ) ( ) l c) f ( ) l d) f ( ) ( ) ( ) ) f ( ) cotg cosc b) f ) t sc ( ) ( 6 ) f ( ) ) b) si ( ) f ( ) cos l )! b) f ( c) f ( ) ( cosc ) ) ( ) (( )! ) )! ( ) c) ( ) ( ) ( ) f si ) ) 7 ) f ( ) b) f ( ) ) ) c) f ( ), impr; f ( ), pr 8 ) dy ( 6 6)d b) dy d c) du cos ( si )d d) du d 9 ) 0, b) 0, c) 0, 0 8,065 y y ) ; / b) ; c) ; y y y ( ) c No 5 6 c ; c ) b) / c) / 50 ) π/ b) c) 5 ) 0 b) 5 ) / b) 5 ) / b) 5/ c) 5 ) 0 b) c) d) 55 ) b) 0; 56 ) b) 57 ) b) 58 b 59 p 60 Ifiitésimos dl mismo ord p simpr qu p 0 y 6 p 0 6 ; y ; y 0 6 p l wwwmtmticsjmmmcom

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital Aálisis Drivds Mtmátics II TEMA 8 Drivds Torms d ls fucios drivbls Rgl d L Hôpitl Drivd d u fució u puto Dfiició U fució f () s drivbl l puto f ( ) f ( ) si ist l límit: lím 0 Est límit s dot por f (),

Más detalles

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación

E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. Ejrcicios propustos Obtr los cutro primros térmios, sí

Más detalles

CÁLCULO DE LÍMITES. Por otro lado es importante distinguir en el cálculo de límites, los casos indeterminados de los determinados: = ; = ; =

CÁLCULO DE LÍMITES. Por otro lado es importante distinguir en el cálculo de límites, los casos indeterminados de los determinados: = ; = ; = CÁLCULO DE LÍMITES Propidds d los límits.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b b.- ( ) ( ) 6.- k k b Por otro ldo s importt distiguir l cálculo d límits, los csos idtrmidos d los dtrmidos: Csos dtrmidos:

Más detalles

MatemáticasI. 1. Basta con mover el cuadrado para ver que el área de la región limitada es la cuarta parte del cuadrado.

MatemáticasI. 1. Basta con mover el cuadrado para ver que el área de la región limitada es la cuarta parte del cuadrado. MtmáticsI UNIDAD : Límits d fucios. Cotiuidd ACTIVIDADES-PÁG. 76. Podmos dcir lo siguit: ) Pr l gráfic dl prtdo I): f ) tid cudo tid f ) tid + cudo tid por l izquird f ) tid - cudo tid por l drch f ) tid

Más detalles

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr

Más detalles

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c. S l tid c. Por jmplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u scuci d úmros cd vz más próimos.

Más detalles

Página 76. Página 78. Página 77. Página 79. Y de la primera: 1. Resolvemos por sustitución: a) Despejo x de la primera y la sustituyo en la segunda:

Página 76. Página 78. Página 77. Página 79. Y de la primera: 1. Resolvemos por sustitución: a) Despejo x de la primera y la sustituyo en la segunda: Solucios d ls ctividds Pági 6. Rsolvmos por sustitució: ) Dspjo d l primr l sustituo l sgud: ( ) 8 0 Co lo cul: ( ) b) Si multiplico l primr por -, obtgo: + 8 Co lo cul tgo dos rcts coicidts, s dcir, l

Más detalles

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5

f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN Fíjt l comportmito d l fució ( f cudo tom vlors crcos Si s proim, l fució tom vlors crcos S scrib: f y dcimos qu s l it cudo tid

Más detalles

es divergente. es divergente.

es divergente. es divergente. .- Dtrmir l cráctr d l sri sgú los vlors d = +. Solució: sido = + = Si = = lim = s divrgt. = Si < < lim = s divrgt. = Si = = lim = s divrgt. = Si >, plicdo l critrio d D`Almrt: + ( + ) ( + ) + lim = lim

Más detalles

1.- Estudie el carácter de la serie numérica. 1 es divergente, la serie n propuesta será divergente. Solución.- Puesto que, n = 1, 2, 3,...

1.- Estudie el carácter de la serie numérica. 1 es divergente, la serie n propuesta será divergente. Solución.- Puesto que, n = 1, 2, 3,... TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: imozs@lx.ud.s http://tlfoic.t/wb/imm EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES.- Estudi l cráctr d l sri uméric. (Fbrro 00, x. or.) Solució.- Pusto

Más detalles

al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x )

al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x ) UNIDAD : DERIVADAS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Dfiici.- S llama drivada d ua fuci f u puto d abscisa al siguit it si ist: f f ' sigifica lo mismo. f. S sul rprstar por f D

Más detalles

Derivadas: Teoría y ejercicios DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

Derivadas: Teoría y ejercicios DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe: Drivds: Torí jrcicios Bcillrto DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán.

Más detalles

UNIDAD 9: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS

UNIDAD 9: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS UNIDAD 9: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Dfiici.- S llama drivada d ua fuci f u puto d abscisa al siguit límit si ist: f f ' lím sigifica lo mismo.

Más detalles

3.3. Observar que el punto de acumulación de A no necesariamente pertenece a A.

3.3. Observar que el punto de acumulación de A no necesariamente pertenece a A. Escribirmos: f( L ε > δ > / Dom(f, < - < δ f( - L < ε Límit d fucios u vribl rl Lo cuál dic pr qu f( dist dl vlor L u úmro rbitrrimt uño ddo ε dbmos tr qu sté t crc d u rdio mor qu δ. Gométricmt: y L ε

Más detalles

SUCESIONES. El límite de una potencia es igual al límite de la base elevado al límite del exponente.

SUCESIONES. El límite de una potencia es igual al límite de la base elevado al límite del exponente. SUCESIONES 1. El it d l sucsió d térmio grl A) B) 1 C) 0 + 1 3 + + 3 vl: (Covoctori juio 001. Exm tipo G) El it d u potci s igul l it d l bs lvdo l it dl xpot. + 1 1 Límit d l bs: 3 + 3 Límit dl xpot:

Más detalles

DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe: DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién

Más detalles

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Ls oprcios co límits, tto u puto como l ifiito, ti us propidds álogs qu dbmos coocr: PROPIEDADES El límit d l sum o difrci d dos fucios s l sum o difrci d los límits

Más detalles

DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe: DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d

Más detalles

Teoría de Sistemas y Señales

Teoría de Sistemas y Señales Torí d istms y ñls Trsprcis: Torm dl Mustro Mustro l domiio rcucil Autor: Dr. Ju Crlos Gómz Mustro d ñls Alógics. Covrsió A/D y D/A L myorí d ls sñls d itrés so d tipo lógico. Pr procsr sts sñls form digitl

Más detalles

Teoría de Sistemas y Señales

Teoría de Sistemas y Señales Torí d istms y ñls Trsprcis: Torm dl Mustro Mustro l domiio rcucil Autor: Dr. Ju Crlos Gómz Mustro d ñls Alógics. Covrsió AD y DA L myorí d ls sñls d itrés so d tipo lógico. Pr procsr sts sñls form digitl

Más detalles

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y = f(x) en un intervalo a. T.V.M. a,b =

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y = f(x) en un intervalo a. T.V.M. a,b = TEMA 7: DERIVADAS 7. Concpto d drivd. Función drivd. 7. Rgls d drivción. 7. CONCEPTO DE DERIVADA. FUNCIÓN DERIVADA. Est concpto mtmático no sólo nos prstrá un yud primordil n l rprsntción d funcions y

Más detalles

Análisis I. Sucesiones reales FICHA 3. Curso (Álgebra de límites, equivalentes, infinitésimos, infinitos, órdenes)

Análisis I. Sucesiones reales FICHA 3. Curso (Álgebra de límites, equivalentes, infinitésimos, infinitos, órdenes) Aálisis I Sucsios rls FICHA 3 (Álgr d límits, quivlts, ifiitésimos, ifiitos, órds) Curso 3 C.F.E., Dprtmto d Mtmátic, I.P.A. Sucsios rls, fich 3 - - ) Álgr d límits Ejrcicio : S ( ) π 4 =, N. Clcul,,.

Más detalles

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA GUIA No. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA GUIA No. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA GUIA No.. ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES U cució ircil s u cució l qu

Más detalles

Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Ejrcicios d Aplicció d l drivd co rcts tgts orls ϕ Dds ls ucios ϕ S Hllr ϕ cos ϕ ϕ cos ϕ cos ϕ Qué águlo or co l j o ls tgts l curv puto cu scis s? θ θ. pr θ θ

Más detalles

TEMA22. Función Exponencial y Logarítmica.

TEMA22. Función Exponencial y Logarítmica. TEMA 22. Fucios pocil y logrítmic TEMA22. Fució Epocil y Logrítmic.. Itroducció L oció d fució qu ctulmt mjmos mpzó gstrs l siglo XIV cudo los filósofos scolásticos mdivls comzro procuprs por mdir ls vricios

Más detalles

TEMA 8: LA INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 8: LA INTEGRAL DEFINIDA Mtmátics II TEMA 8: LA INTEGRAL DEFINIDA. INTRODUCCIÓN L itgrl dfiid surg por l csidd frcut d dtrmir árs d cirtos tipos d figurs. S plt vcs l prolm d hllr l ár d l rgió pl A limitd por l curv l j d sciss.

Más detalles

I.E.S. Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti PROPUESTA A

I.E.S. Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti PROPUESTA A I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti PROPUEST.- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí ( ) f pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto

Más detalles

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO lim

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO lim IES Mditrráno d Málg Emn Junio d Jun Crlos lonso Ginontti UNIVERSIDD DE L RIOJ JUNIO El lumno contstrá los jrcicios d un d ls dos propusts ( o ) qu s l ofrcn. Nunc dbrá contstr jrcicios d un propust jrcicios

Más detalles

UNIDAD 10: DERIVADAS

UNIDAD 10: DERIVADAS I.E.S. Rmó Girldo. TASA DE VARIACIÓN UNIDAD 0: DERIVADAS L rzó de cmbio promedio (o ts de vrició medi) de, es: co respecto e el itervlo Co recueci iteres cosiderr l rzó de cmbio e itervlos cd vez más pequeños.

Más detalles

E S. circunferencia de centro O y radio OA. i

E S. circunferencia de centro O y radio OA. i ltos Físic pr icis Igirí otcto: ltos@tlfoic.t 6.3- Rflxió u spjo plo pítulo.6.03 Rflxió y rfrcció sobr suprficis pls Vmos cosidrr l sistm óptico formdo por u suprfici pl S límit d u mdio homogéo l cul

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constates de orden dos y superior.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constates de orden dos y superior. Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Euios lils homogés o ofiits ostts d ord dos suprior Apliqu l método d rduió pr dtrmir u soluió d l uió o homogé dd los

Más detalles

3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2

3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2 MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl

Más detalles

(esta notación fue elegida por el matemático Leonhar Euler) De hecho la función f ( x)

(esta notación fue elegida por el matemático Leonhar Euler) De hecho la función f ( x) INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 9 OCTUBRE

Más detalles

Geodesia Matemática.

Geodesia Matemática. Godsi Mtátic Sist d coordds crtsis Sist crtsio triplt ortogol vctors uitrios ls dirccios d los js coorddos O r r r r Distci tr dos putos Trsforcios lils tr sists crtsios X Y Z Trslció c b Giro lrddor dl

Más detalles

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Ls unions qu son ontinus n un intrvlo rrdo [, ] y drivls n un intrvlo irto, tinn propidds importnts. Torm d Roll.

Más detalles

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 3. LÍMITES COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód. 8367 TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Dfinición: S dic qu l límit d l función f s igul L, cundo tind, si cundo s proim, f s proim L, sin

Más detalles

FORMULARIO DE CÁLCULO U.P.S.

FORMULARIO DE CÁLCULO U.P.S. FORMAIÓN UNIVERSTARIA / Grl Ampudi, 6 Tlé: 9 533 38 4-9 535 9 3 8003 MADRID ÁLULO FORMULARIO DE ÁLULO UPS SUESIONES Diició d sucsió: U sucsió { } s u ució cuo domiio s l cojuto d los tros positivos Los

Más detalles

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma:

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma: IE Pdr Povd (Gudi) Mtátics plicds ls CC II Dprtto d Mtátics Bloqu I: Álgr il Profsor: Ró ort Nvrro Uidd : ists d Ecucios ils UNIDD : ITEM DE ECUCIONE INEE DEFINICIONE U sist d cucios lils co icógits s

Más detalles

DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto.

DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto. ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES EDDY ABREU, AIDA MONTEZUMA Y JAIME RANGEL Uivrsidd Mtropolit, Crcs, Vzul, 7 Hcho l dpósito d Ly Dpósito Lgl: ISBN: Formto:, X 7,9 cms. Nº d págis: 7 Rsrvdos

Más detalles

Integrales impropias.

Integrales impropias. IX / 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. Ejrcicios sugridos pr : los tms d ls clss dl 4 y 9 d mrzo d 4. Tms : Otrs forms indtrminds. Intgrls

Más detalles

UNIDAD 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma:

UNIDAD 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma: IES Pdr Povd (Gudi) Mtátics II Dprtto d Mtátics Bloqu II: Álgr il Profsor: Ró ort Nvrro Uidd : Sists d Ecucios ils UNIDD SISTEMS DE ECUCIONES INEES DEFINICIONES U sist d cucios lils co icógits s u prsió

Más detalles

Deducción de las reglas de derivación. Partiendo de las derivadas de la función potencial, la función exponencial y la función seno, ( ) ( ) 1

Deducción de las reglas de derivación. Partiendo de las derivadas de la función potencial, la función exponencial y la función seno, ( ) ( ) 1 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz Dducción d ls rgls d drivción Prtindo d ls drivds d l función potncil, l función ponncil l función sno, = R = f = =, f = sn = cos, f,, d ls rgls d drivción pr l

Más detalles

1 Realizar los ejercicios resueltos números 1 y 2 del tema 3 de Integración de. 2 Terminar los ejercicios de la práctica realizada este día.

1 Realizar los ejercicios resueltos números 1 y 2 del tema 3 de Integración de. 2 Terminar los ejercicios de la práctica realizada este día. Est documto coti las actividads o prscials propustas al trmiar la clas dl día qu s idica. S sobrtid qu tambié s db ralizar l studio d lo plicado clas auqu o s icluya sa tara st documto. Clas 5 d ovimbr

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA. F() s ua primitiva d f() si F ()= f(). Esto s prsa así: f() = F'() = F() La itgració s la opració ivrsa a la drivació, d modo qu: FUNCIONES

Más detalles

Profesora: María José Sánchez Quevedo FUNCIÓN DERIVADA

Profesora: María José Sánchez Quevedo FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Cosideremos, de etrd, u fució f cotiu, Ituitivmete diremos que l fució f es derivble si es de vrició suve, esto es, que o preset cmbios bruscos como picos o cmbios vertigiosos pediete

Más detalles

Unidad 12: DERIVADAS

Unidad 12: DERIVADAS Uidd : DERIVADAS Si u ctidd o egtiv uer t pequeñ que resultr meor que culquier otr dd, ciertmete o podrí ser sio cero. A quiees pregut qué es u ctidd iiitmete pequeñ e mtemátics, osotros respodemos que

Más detalles

CAPÍTULO 7: INTEGRALES Actividades de introducción

CAPÍTULO 7: INTEGRALES Actividades de introducción APÍTULO 7: INTEGRALES Actividds d itroducció lcul l ár d l rgió limitd por l ució tr l orig d coordds y u puto gérico d scis. Si rprstmos l ució y diujmos l suprici tr ll y l j OX, otmos l triágulo rctágulo

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Colgio Mtr Slvtoris CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Ejrcicio nº.- Estudi l continuidd y l drivilidd d l guint unción: ) < < Continuidd: - Si y ) s continu, pus stá ormd por uncions continus. -

Más detalles

a a lim i) L< 1 absoluta convergencia absoluta convergencia convergencia condicional divergencia > r.

a a lim i) L< 1 absoluta convergencia absoluta convergencia convergencia condicional divergencia > r. (Aputs rvisió para oritar l aprdizaj) DESARROLLO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL EN SERIES DE POTENCIAS Ua Sri d Potcias s dfi como: a a a a a = = + + + la qu s vidt qu covrg si =. Para dtrmiar

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRAL INDEFINIDA. FUNCIÓN PRIMITIVA F() s ua primitiva d f() si F ()= f(). Esto s prsa así: La itgració s la opració ivrsa a la drivació, d modo qu: f() F'() F() FUNCIONES PRIMITIVAS

Más detalles

x a es una serie de la forma que el radio de convergencia de la serie geométrica es el intervalo abierto

x a es una serie de la forma que el radio de convergencia de la serie geométrica es el intervalo abierto ERIE DE POTENCIA ERIE DE POTENCIA. Diició. U sri d pocis c s u sri d l orm c c c c... c... Por jmplo. i c y l sri d pocis om l orm....... Por jmplo. i c y l sri d pocis om l orm....... TEOREMA. El cojuo

Más detalles

7ma Guía de Estudio 2do Parcial Estudio de Series de Potencia SOLUCIONARIO Guía Complementaria No.07

7ma Guía de Estudio 2do Parcial Estudio de Series de Potencia SOLUCIONARIO Guía Complementaria No.07 álculo tgrl (MAT, Scc.67 r Trimstr, do Smstr doprcil 7mGuíEstudio Documto lordo : M.Sc. g. Julio ésr Lóz Zró H6 7m Guí d Estudio do Prcil Estudio d Sris d Potci SOLUONAO Guí omlmtri No.7 omtrios Grls Ést

Más detalles

4 3x 2x 3 6x x x x dt d x x dy p dx y

4 3x 2x 3 6x x x x dt d x x dy p dx y EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA DERIVADA.- Comprub cd un d ls siguints drivds. d ) 8 d t 5 5 bt 5 t 5 bt dt d 6.-Rliz ls siguints drivds ) d.-comprobr cd un d ls siguints drivds. ) d d r d dr d d ( ) p b b b

Más detalles

Universidad de Costa Rica. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Determinar si las integrales impropias convergen o divergen.

Universidad de Costa Rica. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Determinar si las integrales impropias convergen o divergen. Uivrsidad d Costa Rica Istituto Tcológico d Costa Rica Tma: Itgrals impropias. Objtivos: Clasificar las itgrals impropias sgú su spci: primra, sguda o trcra spci. Calcular itgrals impropias utilizado su

Más detalles

SOLUCIONES DE LIMITES

SOLUCIONES DE LIMITES SOLUCIONES DE LIMITES.. Ln Sustituyndo por obtnmos: INDETERMINADO Ln Como s trt d un indtrminción d tipo L Hopitl, plicmos dich rgl: Ln Ln Rsolvmos prt l it Ln INDETERMINACIÓN d tipo L Hopitl otr vz: 6Ln

Más detalles

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Frnndo Frnádz-Rmos Mrín º.- Clcul l continuidd d ls guints uncions. ) 8 7 ) 8 6 c) d) sn ) º.- Dtrminr l vlor d los prámtros d ls uncions pr qu sn continus n todo ) sn Solución: ) Solución: c) cos sn sn

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I Pr Grdos e Igeierí Cpítulo 4: Itegrció e u vrible Domigo Pest Glvá José Muel Rodríguez Grcí Figurs relizds co Arturo de Pblo Mrtíez 4 Itegrció e u vrible 4. Itegrció

Más detalles

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS. trino grau fernández. x lím. lím. lím. lím. sen x 1. x 1. lím x 0 sen x x. lím. x lím. sen x. x arcsen x lím 11.

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS. trino grau fernández. x lím. lím. lím. lím. sen x 1. x 1. lím x 0 sen x x. lím. x lím. sen x. x arcsen x lím 11. L Í M I T E S th ls ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Ln tg sn sn [ ( )] 5 sn 6 cotg 7 sn sn 8 9 sn rcsn sn b sn sn cotg 5 sn cos 6 sn 7 n 8 Ln 9 Ln trino gru frnándz th ls 5 Clculr pr qu s cumpl: π Ln tg

Más detalles

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Uivrsidad d Purto Rico Rcito Uivrsitario d Mayagüz Dpartamto d Cicias Matmáticas Eam III Mat - Cálculo II d abril d 8 Nombr Númro d studiat Scció Profsor Db mostrar todo su trabajo. Rsulva todos los problmas.

Más detalles

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede

Más detalles

Función exponencial y logarítmica:

Función exponencial y logarítmica: MATEMÁTICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA º DE BACHILLER Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii)

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas. Torma. Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto. Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto. +. Utilizando la dfinición, halla

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Derivadas Tema 6. Derivadas 1. Derivada de una función en un punto

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Derivadas Tema 6. Derivadas 1. Derivada de una función en un punto Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Tma 6 Drivadas Drivada d ua fució u puto Tasa d variació d ua fució S llama tasa d variació mdia d ua fució f (), l itrvalo [a, b], al valor

Más detalles

Matemáticas. Si f es una función periódica de período 2T seccionalmente continua, admite la siguiente representación en los puntos de continuidad:

Matemáticas. Si f es una función periódica de período 2T seccionalmente continua, admite la siguiente representación en los puntos de continuidad: Mmáics Pági dod s coró s iormció hp://www.losskkdos.com ANÁLISIS LINEAL SERIES DE FOURIER Ejrcicios Rsulos CONCEPOS BÁSICOS Ls sris d Fourir prmi rprsr ucios priódics mdi combicios d sos y cosos sri rigooméric

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital Aálisis Derivds Mtemátics II TEMA 8 Derivds Teorems de ls ucioes derivbles Rel de LHôpitl Derivd de u ució e u puto Deiició U ució es derivble e el puto si eiste el ite: Este ite se deot por, y eiste cudo

Más detalles

1.1 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES CERRADAS

1.1 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES CERRADAS UNSANGL - MÉTODOS NUMÉRCOS Prof. g. Edgr Romro Rodríguz - F - 7 NTEGRACÓN NUMÉRCA El cálculo s l mtmátic dl cmio. L drivd os d l rzó d cmio d u vril dpdit () co rspcto otr idpdit (f()) lo cul s rprst como:

Más detalles

1.- a) Hallar a y b para que la siguiente función sea continua en x = 1:

1.- a) Hallar a y b para que la siguiente función sea continua en x = 1: .- a) Hallar a y b para qu la siguit fució sa cotiua = : b L( ) < f = a = > L b) Para sos valors d a y b, studiar la drivabilidad d f =. Solució: a) f s cotiua l puto = lim f = f() E st caso f () = a lim

Más detalles

EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos números se expresan en forma más conveniente como potencias de 10. Por ejemplo: m n n 0,2 3 3

EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos números se expresan en forma más conveniente como potencias de 10. Por ejemplo: m n n 0,2 3 3 Rpaso d Matmáticas E st apédic s hará u brv rpaso d las cuacios y fórmulas básicas d utilidad Química Física gral y Trmodiámica Química particular. EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos úmros s xprsa forma más

Más detalles

8 1 2n 2. 2( n 1) 1 2n 1 2n 1 2n 1

8 1 2n 2. 2( n 1) 1 2n 1 2n 1 2n 1 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. Ejercicios resueltos Estudir l mootoí de

Más detalles

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,...

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,... TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN S llama sucsió a u cojuto d úmros dados ordadamt d modo qu s puda umrar: primro, sgudo, trcro,... Los lmtos d la sucsió s llama térmios y s

Más detalles

TEMA 5: LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS

TEMA 5: LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS Dpartamto d Matmáticas. IE.S. Ciudad d Arjoa º Bach Socials. LÍMITES Propidads: TEMA : LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS. LÍMITES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES.

Más detalles

APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas

APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas APUNTE: Itroducció ls Sucesioes y Series Numérics UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mtemátic Crrers: Lic. e Admiistrció Lic. e Turismo Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mbel Chresti Semestre: do

Más detalles

Práctico 10 - Integrales impropias y Series. 1. Integrales impropias

Práctico 10 - Integrales impropias y Series. 1. Integrales impropias Uiversidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Igeierí - IMERL Segudo semestre 6 Práctico - Itegrles impropis y Series. Itegrles impropis. Se f : [,) R u fució cotiu tl que f (t) y defiimos F() = f (t)dt. Demostrr

Más detalles

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts Mtrics dtrinnts. Ejrcicios d Slctividd. º.- Junio 99. i) Dfin rngo d un triz. ii) Un triz d trs fils trs coluns tin rngo trs, cóo pud vrir

Más detalles

Sobre la integral de línea en un álgebra de dimensión real 2 que no son los complejos

Sobre la integral de línea en un álgebra de dimensión real 2 que no son los complejos Culcyt// Itgrls Sor l itgrl d lí u álgr d dimsió rl qu o so los compljos Eliflt Lópz Gozlz, Víctor M Crrillo S, Srgio Trrzs Porrs Rsum: Cosidrmos u álgr d Bch A comuttiv uitri d dimsió rl qu o so los úmros

Más detalles

Tiempo asignado: 10 horas BLOQUE. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Tiempo asignado: 10 horas BLOQUE. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Timpo sigdo: 10 hors BLOQUE 7 Utilizs fucios pocils y logrítmics fució pocil, dcid si ést s crcit o dcrcit. Obti vlors d fucios pocils y logrítmics utilizdo tbls o clculdor. Trz ls gráfics d fucios pocils

Más detalles

5.1. LA DERIVADA, DERIVADAS LATERALES. Observación: df sí existe y es finito lim x a

5.1. LA DERIVADA, DERIVADAS LATERALES. Observación: df sí existe y es finito lim x a Divd d ucio u vibl l 5 LA DERIVADA, DERIVADAS LATERALES Diició 5 S : lr lr u ució, Dom, dimo qu divbl d í it y iito lim D D y d Si divbl t tbjo umo l otcio, d d p dci l divd d Ejmplo: Sí lim lim 8 Obvció:

Más detalles

ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. e = log. d dx. d v v dv. d dx. en particular: ( log v) = 1

ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. e = log. d dx. d v v dv. d dx. en particular: ( log v) = 1 ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Síolos. E ls tls siguits,, c, y ot costts, itrs qu u, v, w y so vrils, u, v, y w so tos fucios. L s l sist Npirio o tié llo turl logritos s ot

Más detalles

Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto

Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto Aálii d Fourir pr Sñl y Sitm d impo Dicrto Rput d u itm LI l pocil compl [] h[] y [ ] h [ ] [ ] h [ ] [ ] Si y h h H [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] ( H Autofució d lo Sitm LI Autovlor ocido y Si r rformd Si rformd

Más detalles

Dosificación Modalidad Abierta 2019-I

Dosificación Modalidad Abierta 2019-I Dosificció Modlidd Abirt 2019-I Nombr sigtur Assor Prstció dl ssor Smstr Rquisito Objtivo grl d l sigtur Cotido CÁLCULO DIFERENCIAL MULTIVARIADO Y ÁLGEBRA LINEAL Jorm Pblo Arcos Olvr Ecoomist por l Fcultd

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

Sucesiones de Números Reales

Sucesiones de Números Reales Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u

Más detalles

INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES

INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES INTEGRLES DEINIDS. PLICCIONES. Ingrl dfinid. Propidds. unción ingrl. Torm fundmnl dl cálculo ingrl. Rgl d Brrow 5. Torm dl vlor mdio. Ár ncrrd jo un curv y l j. Ár ncrrd por dos curvs. INTEGRLES DEINIDS.

Más detalles

dx x x(2 x ) dx C EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA INTEGRAL 1.-Verificar las siguientes integrales a) dt C t t dx ax dx x a C

dx x x(2 x ) dx C EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA INTEGRAL 1.-Verificar las siguientes integrales a) dt C t t dx ax dx x a C EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA INTEGRAL.-Vrificr ls siguis igrls d C k) l) m) ) d C 5/ 5/ / / / ( 5 ) d C 5 5 ( ) d C 5/ / ( ) d C 5 5 d 5l C / ( bd C b dy by C by b ( b) ( b) d C b ( ) ( ) d C ( by ) y( by

Más detalles

EJERCICIOS DE RAÍCES. a b = RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario:

EJERCICIOS DE RAÍCES. a b = RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario: EJERCICIOS DE RAÍCES RECORDAR: Defiició de ríz ésim: x x Equivleci co u poteci de expoete frcciorio: m x Simplificció de rdicles/ídice comú: Propieddes de ls ríces: x m/ b b b p m p b m m ( ) m Itroducir/extrer

Más detalles

TEMA 4. LOGARITMOS 1. REPASO DE POTENCIAS 2. DEFINICIÓN DE LOGARITMO. Ejercicio 1. a = 1 = 3 porque 1 = ACCESO UNIVERSIDAD

TEMA 4. LOGARITMOS 1. REPASO DE POTENCIAS 2. DEFINICIÓN DE LOGARITMO. Ejercicio 1. a = 1 = 3 porque 1 = ACCESO UNIVERSIDAD TEMA 4. LOGARITMOS. REPASO DE POTENCIAS - Poteci de epoete turl: = ( veces) - Poteci de epoete ulo: 0 = - Poteci de epoete egtivo: - = / - Poteci de epoete frcciorio: Propieddes: - m = +m - : m = -m -

Más detalles

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE QUÍMICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ecuaciones Diferenciales [Guia]

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE QUÍMICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ecuaciones Diferenciales [Guia] UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE QUÍMICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ecucio Difrcil [Gui] E l hoj d orcio or l úmro d rgu, l drrollo qu juifiqu u ru, u ru co i crrd u rcágulo lugo u

Más detalles

Procesamiento Digital de Señales de Audio Filtros digitales

Procesamiento Digital de Señales de Audio Filtros digitales Procsmito Digitl d Sñls d Audio Filtros digitls Dr. Plo Ctt FILTROS DIGITALES Pricipios d los filtros digitls Los filtros digitls opr sor ls sñls qu rprst l soido, trsformdo sus mustrs trvés d u lgoritmo,

Más detalles

A 15 = Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) =

A 15 = Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) = UNIVRSIDDS PÚLICS D L COUNIDD D DRID PRUD CCSO LS NSÑNZS UNIVRSITRIS OFICILS D GRDO Curso -5 (Sptimbr) TRI: TÁTICS PLICDS LS CINCIS SOCILS II INSTRUCCIONS Y CRITRIOS GNRLS D CLIFICCIÓN Dspués d lr ttmt

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 79 Mtemátics : Series umérics Cpítulo Sucesioes y series de úmeros reles. Sucesioes Defiició 330.- Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: N R y l represetremos por {, dode = f(). Por comodidd,

Más detalles

1.2 INTEGRACION, DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Y EXPANSIONES EN SERIES. (1.2_CvR_T_062, Revisión: , C2, C3, C4)

1.2 INTEGRACION, DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Y EXPANSIONES EN SERIES. (1.2_CvR_T_062, Revisión: , C2, C3, C4) . INTEGRACION, DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Y EXPANSIONES EN SERIES. (._CvR_T_06, Rvisió: 5-0-06, C, C3, C4).. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. Dfiició: f f ( ) f ( ) lim, si l límit ist. 0 Notció: f ', f ( ) E.g.:

Más detalles