La sucesión de Lucas

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1 a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas. El ombre de esta sucesió se debe al matemático fracés Fraçois Edouard Aatole ucas (.84.89) quie estuvo muy iteresado por la Teoría de Números y además estudió exhaustivamete la sucesió de Fiboacci, {a } defiida por: a a - a - si 3 co a a la cual hasta ese mometo o había sido teida e cueta y sus geeralizacioes (sucesioes que comieza por eteros positivos cualesquiera y a partir de ahí, cada térmio de la sucesió es suma de los precedetes). a más secilla de las geeralizacioes es la hoy coocida por la sucesió de ucas. Sus primeros térmios so:

2 a R.E.M. y Edouard ucas a) Volume 8 Número : "Biografía de Edouard ucas". b) Volume 8, Número : "Divisibilidad de Números Combiatorios El Teorema de ucas" (Roberto J. Miatello María Isabel Viggiai Rocha) c) Volume 8 Número 3: "El sistema biario El juego del Nim y otras aplicacioes" (Roberto J. Miatello María Isabel Viggiai Rocha), dode se trata uevamete "el Teorema de ucas" y se preseta: "as torres de Brahama y de Haoi" (problema plateado por ucas e.883) d) Volume, Número 3: "a sucesió de Fiboacci" (María Isabel Viggiai Rocha). E este artículo aparece la sucesió de ucas y ocioes básicas como ejemplo de las geeralizacioes de Fiboacci. e) Volume Número : E el "Editorial" se cometa que e la revista Aals of Mathematics, Uiversidad de Priceto, E.E.U.U., vol 03, año.006, págs 969 a.09, aparece u artículo del prof. Bujeauk M. Sissek dode demuestra, etre otros teoremas, el siguiete resultado: "os úicos úmeros de ucas igual a ua potecia de u úmero atural so poquísimos, sólo: y 4." Desarrollo del tema Si bie e la itroducció defiimos que - - si 3 y y 3, tambié los úmeros de ucas posee la siguiete expresió: - 4

3 Para ua demostració cosultar Volume Número 3. escribe: Recordado que, φ (úmero áureo), la expresió aterior se φ (-φ ) - - Alguos resultados coocidos sobre esta sucesió. Probaremos alguos de ellos e 3-: a) a razó etre cada par de úmeros cosecutivos va oscilado por ecima y por debajo de φ y coforme se va avazado e esta sucesió, la diferecia co φ va haciédose cada vez meor. Es decir, φ b) Tambié podemos ecotrar que: b ) k φ k b ) m k 0 m k φ b 3 ) φ - φ c) Otra forma de coocer u úmero de ucas ( ) si coocer los dos ateriores es:

4 ( ), 3, siedo [x] parte etera de x. O lo que es lo mismo φ, 3. d) y so coprimos e) ( ) - -. ±, ( si es par, - si es impar) 3 f) i i g) A partir de, el 4º de cada 4 úmeros de ucas, es divisible por 3. A partir de 3, el 3º de cada 3 úmeros, es divisible por. A partir de 4, el 8º de cada 8 úmeros, es divisible por 7. A partir de, el 0º de cada 0 úmeros, es divisible por. Así podríamos cotiuar. h) Nigú úmero de ucas es divisible por. - Existe muchas fórmulas secillas y resultados que iterrelacioa la sucesió de Fiboacci y la de ucas, de los cuales verificaremos alguos e 3-: Como tiede a ifiito esta propiedad geera otra prueba de u teorema de Euclides. Existe ifiitos úmeros primos. 6

5 a) a - a b) a - c) a a. d) m a m a m-, m e) k m k a m (a m- ) 0 f) a ecuació diofática x 4 y sólo tiee por solucioes eteras x a y ; x - a, y, x a, y - x - a, y -. Aparetemete, estas so sus úicas solucioes e los eteros. g) y 3 so ambos úmeros de ucas y de Fiboacci, o hay otros (Marti D. Hirsch, e Mathematics Magazie, vol 0, oviembre.977, pág 64). h) Joh H. E. Coh, del Belford College, de la Uiversidad de odres, demostró e.963 que hay sólo dos cuadrados perfectos etre los úmeros de Fiboacci: a saber y 44 y sólo dos etre los úmeros de ucas los cuales so: y 4. i) Hymie odo y Raphael Fikeeistei e The Fiboacci Quarterly (revista cuatrimestral desde.963, cuya edició está a cargo de la Fiboacci Associatio. E la revista se trata la sucesió de Fiboacci y sus sucesioes geeralizadas, como así tambié, otras sucesioes aálogas). E vol. 77, diciembre.969, págs. 476 a 48, se ecuetra ua prueba de que 7

6 hay sólo dos cubos perfectos etre los úmeros de Fiboacci: y 8 y sólo uo etre los de ucas:. o expuesto e h) y e i) es lo que e la revista Aals of Mathematics (vol. 03, año.006, págs. 969 a.09) el prof. Bujeauk. M. Sissek demuestra uevamete. 3- Demostracioes de alguos resultados sobre la sucesió de ucas: - a) Sea la sucesió {k }, k, probemos que: k k -,. E efecto, k - k QED k φ. a sucesió {k } es covergete, sio o tedría setido decir que vamos a probar que k φ. a covergecia resulta de escribir φ ( ) ( ) ( φ) ( φ) ( ) k k - (). Como {k } es covergete, diremos que 8 k K, como así tambié

7 k K, por lo tato la expresió () se covierte e K K, de dode K K 0 y obteemos que K ±, de esto K, pues k > 0,, etoces K debe ser mayor que 0 y llegamos a que K k φ QED De maera que φ. b) Verificació de b ) Probaremos este resultado por iducció, cosiderado la proposició P(m): m φ m Sea P() ua proposició asociada a todo úmero atural. Si se cumple: ) la proposició P() es verdadera, ), si la proposició P() es verdadera, etoces tambié lo es P(). Etoces, la proposició P() es verdad para todo. P() es verdadera pues φ ver a) () 9

8 Supogamos P(m-) verdadera: debemos probar que m φ m (3), P(m): m φ m es verdadera. m m.. m m m m m (4) Sabemos que: m φ m por (3) y m m ( m ) m φ por (), etoces a (4) lo podemos calcular como m. m m φ m φ φ m QED b 3 ) Heurística para deducir la fórmula b 3 y su prueba. 0

9 Si llamamos H a, ecotramos que H, de dode H 3 H H y H, por lo tato H H H ( H) ( H) 3 H. Así resulta que ( H) ( H) (3 H) ( H) (3 H) H 3 3 ( H) 4 3H. H De maera similar llegaremos a que ( H)( H) 3 7 4H. Por lo tato observado la tabla de valores de presupoemos que ( H) ( H) H. Como H φ -, y H, se ifiere que φ φ -. Ahora probaremos por iducció la igualdad cosiderado la proposició P() es verdadera pues P(): ( H) ( H) H ( H) ( H) H 4 3 H. Supogamos P(-) verdadera: ( H) ( H) - H -, debemos probar que P(): ( H) ( H) H

10 es verdadera. ( H) ( H) [( H) ( H) - ] ( H) ( H - ) H H - ( H) - ( - ) H H QED Recordado que H y H φ, escribiremos la expresió ( H) ( H) H como de dode φ φ - QED e) Verificació de ( ) - -. ±, ( si es par, - si es impar) ( )

11 3 ( ) (-) - ( ) ( ) 4) ( 4) ( (-) - ) (3 ) ( ) (3 ) ( (-) - (-) - 3 (-) ( 3) (-) impar es par es,, QED f) Probemos por iducció que 3 i i cosiderado P(): i i 3 P() es verdadera pues i i y

12 Supogamos P(-) verdadera, es decir teemos por hipótesis que debemos probar que - i i 3 P(): i 3 es verdadera. i i i - i ( 3) ( ) 3 3 i QED - a) Prueba de a - a. Recordemos que a [ φ ] - ( φ) - - (pág. 3, Volume - Número 3) De dode, ( ) [ ] ( ) a - a φ ( φ) φ - ( φ) - [ ] ( ) φ ( φ ) ( φ) ( φ ) [ ] φ - φ - ( φ) φ φ φ (pues φ φ ) QED 4

13 b) Prueba de a -. - ( a - a ) (a a ) usado a) a ( a - a -) (a a ) usado defiició sucesió Fiboacci 4 a a - a - 4a a a QED usado defiició sucesió Fiboacci c) Prueba de a a. a a. a / a. Recordemos que a a - a / a (pág. 3, Volume, Número 3, -c)) a expresió dada para e a) vale para, pues si, a - a 0 lo cual o es posible, por lo tato a - a a - (a - a ) a a a / a,.

14 Si : a y, de dode a. a QED d) Prueba de m a m a m-. [ φ ] m a m a m- m - ( φ) φ m - ( φ) m [ ] (φ (- φ) ) (φ (- φ) () ) m m ( ) m ( m ) [ φ ( ) φ ( ) ( ) φ φ φ φ m m φ φ ( φ) φ ( φ) ( φ) m m ] [ ] m ( m ) φ ( φ ) ( φ) ( φ ) ( m ) [ ] φ m φ ( φ) ( m ) [ ] φ m φ ( φ) φ φ m m m m ( ) ( ) ver e 3-- a) m m φ φ m QED 6

15 m e) Prueba de a k m (a m- - ) k 0 m k 3... m k 0 (a a ) (a 3 usado -- d) a )... (a m a m- ) (a a... a m - ) (a a 3... a m ) Recordemos que: i a i tato la expresió aterior se trasforma e: a (pág. 3, Volume, Número 3, -i)), por lo (a m ) (a m a ) a m (a m a ) a m (a m- ) QED Bibliografía * R.E.M.: # Volume 8 Números, y 3 (.993). # Volume 0 Número : "Pricipio de Iducció" (M.I. Viggiai Rocha y G.P. Ovado) (.99). 7

16 # Volume, Número 3 (.006) # Volume, Número (.00) * Marti Garder (Aliaza Editorial, Madrid): # Caraval matemático (.983). * ucas umbers ad the Golde Sectio (http://mila.milaovic.org/math/eglish/lucas/ lucas. html) * a sucesió de Fiboacci (Wikipedia). Facultad de Ciecias Exactas y Tecología. Uiversidad Nacioal de Tucumá. 8

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