Figura 2: Diagrama en bloques con los elementos de un Lazo de Control Abierto

Transcripción

1 Respuesta e Frecuecia e Lazo Abierto Cosidérese u lazo de cotrol típico co los elemetos que se cosiga e la Figura 1. Se ha grisado los bloques correspodietes a elemetos del sistema de cotrol automático. r u m Gc Gv GP (-) y GT Figura 1: Diagrama e bloques co los elemetos típicos de u lazo de Cotrol de Procesos Para aalizar la estabilidad o para estimar la respuesta a perturbacioes del sistema e Lazo Cerrado se puede recurrir a la Respuesta e Frecuecia de los elemetos e serie que costituye el lazo. A ésta se la cooce como Respuesta e Frecuecia e Lazo Abierto y cosiste e la respuesta e Frecuecia del sistema mostrado e la Figura. u m Gc Gv GP GT y Figura : Diagrama e bloques co los elemetos de u Lazo de Cotrol Abierto Como idea a fijar queda que el comportamieto diámico de u lazo cerrado de cotrol se puede estudiar a partir de la Respuesta e Frecuecia del Lazo Abierto. La Respuesta e Frecuecia de los elemetos del lazo se obtiee aalizado el complejo: G ( j) G ( j) G( j) G ( j) G ( j) G ( j) G ( j) LA C C V P T y aplicado el Teorema de sistemas e serie resulta: ( ) C ( ) V ( ) P ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C V P T Toda esta iformació se puede volcar e u Diagrama de Bode tal como se preseta e el ejemplo de la Figura 3. Parámetros críticos Si bie e alguos casos es preciso cotar co la iformació e todo el ámbito de la frecuecia, para estudiar la estabilidad y estimar cómo sería la diámica de respuesta a perturbacioes, puede resultar suficiete coocer dos parámetros: FRECUENCIA CRÍTICA ( c ): es la frecuecia e la que el desfasaje es igual a -18 (o la meor de las frecuecias a las que se alcaza tal águlo de fase). Ésta es ua magitud importate, ya que permite estimar la frecuecia propia de oscilació del lazo e el campo temporal. Cuado el cotrolador esta bie sitoizado, la frecuecia propia es 1 a 3 % meor

2 que la Frecuecia Crítica a Esto resulta de eorme importacia, ya que coociedo la c (que se evalúa a partir de los parámetros de los elemetos del lazo, icluido el cotrolador) es posible acotar e ámbito e el que estará la frecuecia de oscilació e el campo temporal cuado el sistema reaccioe ate ua perturbació. RELACIÓN DE AMPLITUDES CRÍTICA ( c ): es la relació de amplitudes de los elemetos del lazo, correspodietes a la frecuecia crítica. Este parámetro está asociado a la estabilidad. C 1 Sistema Estable C 1 Sistema Margialmete estable (Oscilacioes Sosteidas) C 1 Sistema Iestable Pero hay ua propiedad adicioal que se puede deducir de esto. Cuato más pequeño sea c, más amortiguada será la respuesta del lazo. Los valores ormales de c está etre.3 y.6, siedo el valor típico de.5, para el cuál, e muchos sistemas la relació de ateuació resulta ser próxima al clásico valor.5. 1 Rel de Ampl Frecuecia, Fase ( ) Figura 3: Diagrama de Bode correspodiete a los elemetos de u Lazo de Cotrol Abierto Márgees de estabilidad Co el objeto de teer ua medida cuatitativa de la proximidad de u sistema a las codicioes de estabilidad margial (o crítica) se defie dos Márgees de estabilidad: a Harriott, P. (1964). Process Cotrol, pag. 1, McGraw-Hill, Nueva York, USA.

3 MARGEN DE GANANCIA (MG): es la iversa de la relació de amplitudes crítica. MG 1 que permite escribir las codicioes de estabilidad de la siguiete forma: MG 1 Sistema Estable MG 1 Sistema Margialmete estable (Oscilacioes Sosteidas) MG 1 Sistema Iestable (e este caso el sistema carece de marge) Los valores típicos de márgees que los expertos cosidera adecuados varía de 1.7 a 3. b, siedo el valor clásico de. Esta recomedació da ua regla para ajustar uo de los parámetros del cotrolador. El MG idica el factor e el que se debe icremetar la gaacia del cotrolador para obteer oscilacioes sosteidas. Se puede asociar MG co la ateuació del la respuesta, a mayor MG, respuesta temporal más ateuada. MARGEN DE FASE (MF). La frecuecia a la que la relació de amplitudes es igual a 1 se la desigará como 1 y la fase correspodiete a esa frecuecia (expresada e grados sexagesimales) será 1. Se defie Marge de Fase como: C MF 18 1 El MF puede iterpretarse como el desfasaje que se debe agregar al sistema para llegar al límite de estabilidad. Los expertos recomieda que se matega MF de por lo meos 3 (y e alguos casos que supere los 45 c ). E la Figura 4 se puede observar el Diagrama de Bode del sistema aalizado e la Figura aterior, resaltado el sigificado de ambos márgees. Es iteresate otar que, como la relació de amplitudes se represeta e forma logarítmica, el cociete que defie del MG se trasforma e ua resta. 1 Rel de Ampl 1 MG.1 Fase ( ) Frecuecia, 1 c -18 MF Figura 4: Márgees de Estabilidad para u sistema e lazo cerrado b Stephaopoulos, G. (1984). Chemical Process Cotrol, pag. 351, Pretice-Hall, Nueva York, USA. c Smith, C. y A. Corripio (1991). Cotrol Automático de Procesos, pag. 391, Limusa, México.

4 Es frecuete que cuado se hable de márgees de estabilidad se haga referecia a Estabilidad Relativa. Co esta expresió se quiere idicar que los márgees mide la proximidad del sistema e lazo cerrado a las codicioes de iestabilidad. Frecuecia Natural y Gaacia Última Cuado el lazo de cotrol se cierra co u cotrolador proporcioal, esta uidad o aporta fase y por lo tato la frecuecia crítica depede solamete del desfasaje de los otros elemetos del circuito de cotrol. Pasa a ser etoces ua propiedad del sistema a cotrolar. Por esa razó, a esta frecuecia crítica se la deomia Frecuecia Natural o Frecuecia Ultima ( ) y el período asociado a ella será el Período Natural o Último ( ). Matemáticamete, la defiició es: ( ) ( ) ( ) ( ) 18 V P T Esta frecuecia es u parámetro crucial e la sitoizació de cotrolador y brida iformació sumamete útil acerca del comportamieto temporal que puede esperarse para el lazo de cotrol. Para cotroladores sitoizados co el método de Ziegler y Nichols d e lazo cerrado o para míima IEA a escaloes e la carga e, el período propio de oscilació de la variable cotrolada e respuesta a ua perturbació vale aproximadamete: Cotrolador P 11. a 15. P Cotrolador PI a P Cotrolador PID. 75 a. 85 P Etoces, coociedo el proceso que se va a cotrolar, se puede teer ua idea de la velocidad co la que respoderá el sistema de cotrol. Por ejemplo, si se sabe que los lazos de ivel de líquidos e taques tiee períodos aturales de a segudos, etoces o deberá esperarse períodos de oscilació de miutos, i aú co u cotrolador PI. La gaacia última es u parámetro muy empleado para sitoizar cotroladores y está viculado al límite de estabilidad. Se defie como la gaacia de u cotrolador proporcioal que asegura oscilacioes sosteidas como respuesta a cualquier estímulo. Cosiderado la codició de estabilidad margial y cotrolador proporcioal: Relacioado co el MG: ( ) Kc ( ) ( ) ( ) 1 C U V P T 1 MG C P P P Kc Kc U o Frecuecia Natural y Gaacia Última e sistemas de primer orde co tiempo muerto Ua gra catidad de sistemas de la idustria de procesos se suele modelar e forma simplificada co fucioes de trasferecia co dos parámetros diámicos: ua costate de tiempo y tiempo muerto L. d Aström, K. y T. Hägglud (1988). Automatic Tuig of PID Cotrollers, pag. 55, Istrumet Soc. of America, Research Triagle Park, USA. e Shiskey, F (1996). Process Cotrol Systems, pag , 4ta. Ed., McGraw-Hill, Nueva York, USA.

5 Ls Ke G( s) GV( s) GP( s) GT( s) Ts 1 Co esta descripció matemática, se puede sacar iteresates coclusioes sobre el comportamieto de lazos de cotrol, viculádolo a los parámetros estáticos y diámicos. La Frecuecia atural viee defiida por la ecuació trascedete: 1 ( ) tg ( ) L que o tiee ua solució explícita. Se ha propuesto distitas fórmulas para el cálculo de la frecuecia atural (y de la gaacia última). Alguas so las siguietes: MÉTODO Kc u OBSERVACIÓN Teórico 1 L tg ( ) Aproximació de Shiskey f L Aproximació de Fuetes g 1 L Kc K u Kc K u Kc K u 1 1 Fórmula o explícita que requiere cálculo iterativo de. Valores aproximados si la relació L/ <. Útil e aálisis cualitativos Cómputo directo co buea aproximació si L/ < 1. Respuesta e Frecuecia y comportamieto temporal de los lazos Arriba se vio que parámetros de la Respuesta e Frecuecia (de los elemetos del lazo abierto) so de iterés para aalizar el comportamieto temporal del lazo ua vez que está cerrado. Estos parámetros, e geeral se puede relacioar e forma directa co los coeficietes de la fució de trasferecia de los elemetos del lazo. E esto radica su vetaja. Los lazos de Cotrol de Procesos que tiee cotroladores covecioales tipo PID, sitoizados razoablemete, respode a las perturbacioes e forma oscilatoria como se muestra e la Figura 5. Este tipo de trasitorio tiee dos elemetos que caracteriza la oscilació: Período de oscilació P (o la frecuecia de oscilació P ) da el tiempo que trascurre etre dos máximos, por ejemplo, y permite teer idea de la duració de los trasitorios ate ua perturbació. Ateuació que da la medida e la que los sucesivos picos se va reduciedo y se mide habitualmete por la relació de ateuació RA: RA v v1 f Idem at., pag g Oguaike, B. y W. Harmo Ray (1994). Process Dyamics, Modelig, ad Cotrol, pag. 56, Oxford Uiversity Press, Nueva York, USA.

6 Var. Cot. P v 1 v tiempo Figura 5: Respuesta trasitoria de sistema e lazo cerrado La velocidad co que la variable cotrolada retoma su valor de estado estacioario ate ua perturbació depede de los dos parámetros ateriores: P y RA. Así u sistema co ua frecuecia de oscilació grade pero co RA igual a uo será u oscilador permaete y uca alcazará u estado estacioario. U sistema co grades períodos pero muy ateuado, a los fies prácticos, o oscilará y rápidamete alcaza el estado estacioario. Teiedo presete lo que se dijo e los apartados ateriores, se puede relacioar el comportamieto temporal co la respuesta e Frecuecia de los elemetos de lazo segú lo esquematizado e el dibujo siguiete: DOMINIO DE LA FRECUENCIA DOMINIO DEL TIEMPO MAYOR MG O MENOR C MAYOR ATENUACIÓN MAYOR c MAYOR p

7 Y cuál sería la utilidad de este plateo? Al meos serviría e los tres casos siguietes: I. Estimar el efecto del cambio de sitoizació de u cotrolador. Por ejemplo, se podría prever la tedecia si se aumeta el tiempo itegral o se dismiuye la gaacia. II. Estimar el efecto de distitos tipos de cotroladores. Sería el caso de comparar la performace esperada co cotrolador P o co PI III. Evaluar el efecto de o liealidades e el proceso. Como es sabido, prácticamete todos los procesos tiee u comportamieto o lieal, lo que trae como cosecuecia que el cotrolador deba maejar e pricipio platas (lieales) cuyos parámetros cambia. Estos cambios ocasioará modificacioes e la forma e la que respode el sistema de cotrol. A modo de ejemplo cosideremos u lazo caracterizado por la fució de trasferecia: d 1 4. ( s 1)( 1. s 1) Gc u 4. ( s 1)( 1. s 1) y 1 ( - ) 4. G V ( s) G P ( s) G T ( s) G( s) ( s 1)( 1. s 1) e el que se emplea u cotrolador PI. El cotrolador se sitoizará co dos valores distitos de gaacia y se desea estimar como respoderá e ambos casos. Para hacer esto se debe calcular la frecuecia crítica y el marge de gaacia que bridará iformació sobre período de oscilació y ateuació de la respuesta. E la tabla siguiete se preseta los resultados. Caso Kc T I C MG A B Como los MG so distitos, es de esperar que la ateuació sea distita e los dos casos (mayor e el Caso B). E al Figura 6 se represeta la respuesta a ua perturbació escaló (d 1 ) co las dos sitoizacioes. Se puede ver que se cumple lo previsto respecto de la ateuació.

8 .6.5 Caso B Caso A tiempo Figura 6: Respuesta trasitoria a u escaló uitario de carga para el ejemplo La Frecuecia crítica o cambia, por lo que se podría cojeturar e primer térmio que el período de oscilació o debería cambiar sustacialmete. Si embargo, se puede apreciar que el P es u poco mayor e el Caso B, pero la diferecia o es sigificativa. La velocidad de respuesta e el caso B es mayor (a los 6 miutos alcaza el valor de estado estacioario) ya que a casi igual período de oscilació es más ateuado. A partir de datos de la Respuesta e Frecuecia se pudo predecir el comportamieto trasitorio del sistema. Icertidumbre y robustez de los sistemas de cotrol E el diseño de los sistemas de cotrol, los procedimietos tato e el campo temporal como e el domiio de la frecuecia, requiere u modelo del proceso. La descripció matemática que se emplea so fucioes de trasferecia que sirve para represetar sistemas lieales e ivariates e el tiempo. Si embargo, la diámica real de los procesos dista mucho de teer tales características, por las siguietes causas: No liealidades: la imesa mayoría de los procesos o se puede describir co ecuacioes difereciales lieales. Represetacioes de bajo orde: muchas veces se recurre a simplificacioes para o emplear fucioes de trasferecia co demasiados parámetros y se adopta modelos simplificados. Por ejemplo, el comportamieto trasiete de ua columa de destilació que se debería represetar co 6 ecuacioes difereciales se puede simplificar empleado ua fució de trasferecia de ua costate de tiempo y tiempo muerto. Limitado coocimieto del proceso: es el caso de equipos e los que se produce feómeos muy complicados y cuyos detalles o se cooce muy bie. Por ejemplo, el efecto de ciertas sustacias e el aumeto o dismiució de geeració de u producto de reaccioes ezimáticas. Feómeos variables e el tiempo: el esuciamieto de superficies de itercambiadores de calor o la desactivació de catalizadores so situacioes e las que hay coeficietes que va cambiado a lo largo de tiempo.

9 Por lo tato, cuado se cosidera ua fució de trasferecia para diseñar el cotrol automático, hay que teer presete que tal fució puede cambiar e el tiempo. Este hecho se cooce e Cotrol como Icertidumbre y es u feómeo que debe ser teido e cueta. U sistema de cotrol se dice que es Robusto cuado tiee ua buea performace a pesar de la icertidumbre, o sea, cualquiera sea la codició e la que trabaje, siempre respode adecuadamete. La Respuesta e Frecuecia es ua herramieta particularmete útil para sitetizar u lazo e forma robusta. El estudio del caso siguiete puede servir de ejemplo. Selecció de la Característica de Flujo más apropiada para la válvula La característica de flujo istalada es crucial ya que determia la gaacia de estado estacioario del cuerpo de la válvula que puede teer grades cambios depediedo del puto particular de trabajo. Esta propiedad, que a priori podría parecer ua desvetaja, puede emplearse para compesar ua o liealidad surgida e otro puto del lazo (proceso o trasmisor). Si la úica iformació dispoible es de estado estacioario (gaacias), la elecció de la característica más apropiada deberá hacerse segú el criterio (simplificado): Elegir la característica que asegure ua gaacia global del lazo lo más costate detro del rago de trabajo. Si tambié se dispoe de iformació sobre la diámica del proceso y de los elemetos de medició y de actuació, etoces la elecció de la característica de flujo deberá hacerse segú la regla: Elegir la característica que asegure que el marge de gaacia del lazo sea lo más costate e el rago de trabajo. Estudio de u caso: Cotrol de presió de u re-evaporador Cosidérese u lazo de presió de vapor e el re-evaporador de ua columa de destilació para mateer costate u cierto valor de cosiga. Se maipula el vapor que codesa e el iterior de u serpetí a través de ua válvula mariposa co actuador eumático. El caudal de líquido que igresa al equipo (F) varía e forma apreciable, pero las otras codicioes operativas se matiee más o meos acotadas (composició y temperatura del líquido, codicioes del vapor, esuciamieto, etc.). Por esta razó sólo el caudal F afectará el comportamieto diámico del equipo. PT PC V F Figura 7: Diagrama P&I de u lazo de presió de u re-evaporador

10 Para estimar el comportamieto trasiete e lazo cerrado y para sitoizar el cotrolador es preciso cotar co u modelo matemático diámico de la plata. Si se pretediera modelar e forma teórica el equipo, sería preciso u modelo a parámetros distribuidos, cosiderado al meos tres capacidades e serie. E vista que este procedimieto sería sumamete egorroso, se recurrió a la experiecia e lazo abierto para idetificar la fució de trasferecia de los elemetos del lazo (excluido el cotrolador). Se repitió la operació para distitos caudales F detro del ámbito e el que se espera varíe e las codicioes ormales de operació. Para simplificar el aálisis se cosideró ua costate de tiempo ( ) y tiempo muerto (L). Los valores de los parámetros diámicos y estático (gaacia K) se muestra e la Tabla siguiete: F (m 3 /h) (mi) L (mi) K Represetado los valores de y L e fució de la iversa de F se observa la proporcioalidad: k T F L k L F co lo que la relació etre ellos permaece costate. La gaacia de estado estacioario o se ve afectada por el caudal de líquido procesado. Co esta iformació, empleado las herramietas de Respuesta e Frecuecia, se pretede coocer: a) Cómo sitoizar u cotrolador Figura 8: Parámetros diámicos vs. 1/F proporcioal e forma robusta. b) El cambio e el patró de respuesta del lazo etre las codicioes operativas extremas. c) Cómo sitoizar u cotrolador PI robusto. d) El cambio e el patró de respuesta del lazo etre las codicioes operativas extremas co cotrolador PI. Covalidar las coclusioes obteidas e el campo frecuecia mediate simulació diámica de respuesta a u escaló e la perturbació. E este aálisis, lo primero será establecer las codicioes extremas. Hay ua sola variable sigificativa a los efectos de la icertidumbre: el caudal F. F m / h F m / h = F Cte. de tiempo 1/F tiempo muerto

11 La sitoizació de cotrolador e forma robusta sigifica que cualquiera sea el estado de carga, el cotrolador debe respoder siempre e forma adecuada. Esto sigifica que o debe caerse e la iestabilidad y la performace debe ser lo mejor posible. El ajuste del cotrolador proporcioal usado el método de Ziegler y Nichols requiere cosiderar los valores de gaacia última, para lo que se debe evaluar ates la frecuecia atural. Como la relació L/ es prácticamete costate y vale.15, se puede aplicar la aproximació de Shiskey: L k F Como se ve, variará e forma proporcioal al caudal lo que os permite iducir que la frecuecia de oscilació del lazo será mayor co caudales altos. La gaacia última resulta: Kc u K K L costate Es iteresate ver que, a pesar de la icertidumbre, la gaacia última es costate y por lo tato si se sitoiza co: L Kc u Kc 4K L el marge de gaacia se matedrá costate e el valor. E el diagrama de Bode de la Figura 9 se represeta las curvas correspodietes a los dos estados de carga extremos, permitiedo iterpretar gráficamete el resultado aterior. Cuatificado: 1 1 Rel de Ampl. 1 F (m 3 /h) 4 (mi -1 ) Kc MG C1 C 1-1 Fase ( ) Frecuecia (ra/mi) C1 C Figura 9: Diagrama de Bode de los elemetos del lazo e las situacioes extremas de carga

12 La técica de Respuesta e Frecuecia o solo permitió sitoizar el cotrolador proporcioal e forma robusta, sio que posibilita hacer la siguiete predicció respecto del comportamieto temporal del lazo de cotrol: Al ser el MG costate, la ateuació de la respuesta permaecerá prácticamete costate a pesar de cambiar la fució de trasferecia de la plata. Como la frecuecia atural (frecuecia críti ca co cotrolador proporcioal) aumeta liealmete co el caudal y siedo la ateuació costate, la frecuecia propia de oscilació del lazo aumetará e la misma forma y cuado el caudal sea de m 3 /h el sistema alcazará ates el estado estacioario fial. La Figura 1 está represetados los trasitorios correspodietes a u escaló de perturbació e las situacioes extremas de caudal. Realizado los cálculos para, y MG y evaluado del trasitorio P y RA, se tiee: F (m 3 /h) 4 (mi -1 ) De la Respuesta e Frecuecia P (mi -1 ) De la Respuesta e Temporal MG De la Respuesta e Frecuecia RA.7.7 De la Respuesta e Temporal Se puede comprobar que la frecuecia propia de oscilació cambia e relació 5 a 1 mietras que se matiee la relació de ateuació, tal como se puede iferir a partir de los parámetros de la Respuesta e Frecuecia F = 4 m 3 /h.3..1 F = m 3 /h t (mi) Figura 1: Respuesta a ua perturbació escaló co cotrolador proporcioal e las codicioes extremas de carga

13 U problema más complicado se preseta si el cotrolador es PI, ya que se debe asigar valor a dos parámetros: gaacia y tiempo itegral. Pero aú e este caso, la Respuesta e Frecuecia puede resultar de iestimable ayuda. Se sabe e pricipio que solo el caudal F modifica la fució de trasferecia de los elemetos del lazo. Si se empleará como ates el método de Ziegler y Nichols de las oscilació sosteidas, como Kc U es costate, habría u sólo valor de gaacia: Kc u. 7 Kc K L. pero como el tiempo muerto es variable, el período atural variará e el itervalo: 4L 4L mi 6. mi Como el tiempo itegral co esta regla de sitoizació se calcula como: su valor debería estar e el ámbito: T I mi 5. mi T I La solució más directa sería emplear el valor más grade, es decir 5 mi, de modo que siempre tedría u sistema estable y e ua de las situacioes extremas (meor caudal), el cotrolador estaría sitoizado segú las previsioes del método. Cuato mayor sea el caudal, mayor sería la itesidad de la acció itegral que se podría asigar al cotrolador (siempre por abajo de lo establecido e el método de ajuste). Ua solució o ta coservadora cosiste e idetificar cuál sería el T I que tora iestable el lazo para el meor caudal, que es cuado se ecesita el meor T I. Este valor resulta 1.6 mi. Adoptado u valor mayor para T I hay seguridad que el sistema o se torará iestable. Los parámetros críticos e este caso resulta: Parámetros F (m 3 /h) 4 Kc = 1.3 T I =. mi c (mi -1 ) MG El aálisis de estos valores permite hacer los siguietes proósticos: Como hay u cambio otable e el MG se espera que a mayores caudales la respuesta sea más ateuada. Como la C es mayor a caudales mayores que es cuado es más ateuado, la velocidad co la que reaccioa el lazo debería ser mayor a caudales altos. Si se cosidera ua perturbació escaló como ates, las respuestas de la variable medida se preseta e la Figura 11.

14 .8.6 F = 4 m 3 /h F = m 3 /h t (mi) Figura 11: Respuesta a ua perturbació escaló co PI e las codicioes extremas de carga La respuesta temporal cofirma las prediccioes. E el caso de la ateuació la relació es directa y a los 1 miutos alcaza el estado estacioario. Para el máximo caudal, icluso la respuesta es sobre amortiguada, es decir o preseta oscilacioes. Esto hace que o se pueda hablar frecuecia propia de oscilació e ese caso. E coclusió: el aálisis de los parámetros críticos de la Respuesta e Frecuecia permite iferir el cambio e el patró de la respuesta temporal cuado cambia los parámetros de las fucioes de trasferecia de los elemetos del lazo. Tambié, es más simple elegir las codicioes e las que debe ser sitoizado el cotrolador tomado como base la estabilidad.