SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

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Sebastián Saavedra Molina
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1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

2 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Dado un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas que tiene la forma a x b y c a x b y c Resolver dicho sistema consiste en hallar un par de valores (x, y) que hagan que se cumplan las dos ecuaciones simultáneamente. Se puede resolver el sistema algebraicamente por cualquiera de los métodos conocidos : reducción, igualación o sustitución. Al resolver un sistema nos podemos encontrar con una de estas tres situaciones : a) Que tenga una única solución, es decir un valor de x y otro de y que satisfagan ambas ecuaciones. Se dice entonces que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. GEOMÉTRICAMENTE, significa que las dos rectas se cortan en un punto. 3x2y 1 Ejemplo : x 6y 7 3x2y1-20 y = -20 y = 1 x = 1 la solución es única, 3x 18y 21 sería el punto (1,1) y geométricamente significa que las dos rectas se cortan en dicho punto. Es compatible determinado. b) Que el sistema tenga infinitas soluciones, es decir, que existan infinitos valores de x y de y que cumplen ambas ecuaciones. En este caso, se dice que el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. GEOMÉTRICAMENTE, significa que ambas rectas son iguales, y sus ecuaciones proporcionales. Todos los puntos de una recta son también de la otra. Ejemplo : 6x2y14 6 x 2 y 14 0x +0y = 0, para encontrar las infinitas soluciones procederemos de 3xy7 6x 2 y 14 la siguiente forma : Nos quedamos con la ecuación 3x y = 7, y a una de las incógnitas le llamamos, por ejemplo, x=, y l a otra incógnita se despeja en función de, y = 3x-7 y = 3-7. La solución sería (,3-7 ), lo que significa que para cada valor diferente de,

3 obtenemos un x e y diferente, por lo que habrá infinitas soluciones. Geométricamente, significa que las dos rectas estarían superpuestas una sobre la otra. c) Que el sistema no tenga solución, en este caso, se dice que el sistema es INCOMPATIBLE. GEOMÉTRICAMENTE, significa que las dos rectas no tienen ningún punto en común, no se cortan, 6x2 y 9 es decir, son PARALELAS. Ejemplo: 6 x 2 y 9 0x +0y = -11 0= -11, 3x y10 6y 2 y 20 lo que es imposible, el sistema por lo tanto, no tiene solución, y las rectas son paralelas. Se puede clasificar el sistema a1x b1 y c1 a2x b2 y c2 de la siguiente forma: a) Es COMPATIBLE DETERMINADO si a a b. b b) Es COMPATIBLE INDETERMINADO si a1 b1 c1. a b c c) Es INCOMPATIBLE si a1 b1 c1. a b c Método de Gauss Es una generalización del método de reducción para un número mayor de ecuaciones y de incógnitas. Consideremos un sistema lineal con un número cualquiera de ecuaciones m y de incógnitas n que se escribe de la siguiente forma: a11x 1 a12 x2... a1 nxn b1 a x a x... a x b... a x a x... a x b n n 2 m1 1 m2 2 mn n m donde x1, x2, x 3,... son las incógnitas, a ij son los coeficientes, i indica la fila a la que pertenece el elemento, y j, la columna a la que pertenece el elemento; son los términos independientes. b i

4 Una solución del sistema será un conjunto de valores, x1, x2, x 3,..., que sustituidos en cada ecuación, verifican todas las igualdades. Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se puede comprobar fácilmente que las siguientes TRANSFORMACIONES ELEMENTALES, convierten un sistema en otro equivalente. Éstas son: 1. Se puede cambiar el orden de las ecuaciones. 2. Se pueden multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número no nulo y ésta no cambia. 3. Se puede sumar o restar a una ecuación otra de las ecuaciones, multiplicada por un número, y el resultado no varía. El Método de Gauss se basa en utilizar transformaciones elementales para convertir el sistema en otro equivalente en el que se pueda ver directamente cómo son sus soluciones. Las transformaciones elementales que aplicamos a las ecuaciones sólo influyen en los coeficientes numéricos; por eso se acostumbra a colocar ordenadamente dichos coeficientes en una tabla, que se llama matriz. Los números que en la matriz ocupan un lugar con igual número de fila que de columna forman la diagonal principal. La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema llamado triangular o en cascada,cuya resolución es ahora inmediata; basta calcular z de la tercera ecuación, llevarla a la segunda para obtener y, y así despejar x de la primera ecuación. La ventaja del método de Gauss consiste en que es fácilmente generalizable a sistemas con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. El método de Gauss consiste en ir haciendo transformaciones elementales, hasta llegar a un sistema equivalente que sea escalonado, de tal manera que consigamos que sean ceros los coeficientes de las incógnitas situadas por debajo de los elementos de igual subíndice (a dichos elementos se les llama diagonal principal). En resumen, el sistema debe adquirir una forma triangular, que nos permita ir despejando incógnitas escalonadamente. Acostumbramos a escribir ordenadamente sólo los coeficientes y términos independientes del sistema en una tabla que llamamos matriz. x 2y 5z 13 Ejemplo 1: Resolver por Gauss: 2x 5y z 19 x 3y 2z Lo escribimos así : e indicamos a la izquierda las transformaciones que vamos haciendo para obtener los ceros. Empezando por 1º: a 31,2º: a 21, y 3º: a F F1 F 2 2F F 3 5F Con lo que obtenemos:

5 52 0x 0y 52z 52 z 1 52 y 9z 7 y 9 7 y 2 y 2 x 2y 5z 13 x x x 13 9 x 4 x 4 Y el sistema es, por lo tanto, compatible determinado, tiene una única solución: y 2 z 1 CASO I Como hemos visto en este primer caso: compatible determinado; el sistema y su matriz asociada adopta finalmente la forma: 0 donde vamos obteniendo, de abajo 0 0 a arriba, un valor numérico para cada incógnita de forma escalonada. Los símbolos representan números distintos de 0, y números cualesquiera. CASO II Si el sistema adopta al final una forma como la que sigue: 0 la última ecuación sería 0x 0y 0z 0, que no aporta nada y que por lo tanto se suprime. En este caso, hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más (por ejemplo la z) se pasa al segundo miembro y se le llama ; así, las demás en la solución quedarán en función de. El sistema por lo tanto, sería compatible indeterminado, tiene soluciones, una diferente para cada valor que le demos a. x y z 7 Ejemplo 2: Resolver por Gauss: x y 3z 1 2x y 4z 5 Escribimos: F 3 2F F 2 F1 3F 2 2F ecuación que da lugar a 0x 0y 0z 0 y se suprime. Nos quedamos con 6y 12z 18 simplifando entre 6 y 2z 3 llamamos z y nos queda y 3 2z y 3 2 x y z 7x 7 y z x 4 Y la x

6 x 4 Solución: y 3 2 es compatible indeterminado, tiene soluciones, una diferente para z cada valor que le demos a. CASO III Si el sistema adopta al final una forma como la que sigue: 0 Si aparece una fila de ceros excepto el último número, que es distinto de cero, quiere decir que se ha llegado a una 0 ecuación de tipo: 0x 0y 0z n, dicha igualdad no puede ocurrir nunca. El sistema, por lo tanto, será incompatible. No tiene solución. x 2y z 13 Ejemplo 3: Resolver por Gauss: 3x 4y 2z 1 2x 2y z F 3 2F F 2 3F F 3 F Llegaremos a una ecuación de la forma: 0x 0y 0z , que no puede ocurrir. El sistema será incompatible. No tiene solución. EJEMPLOS RESUELTOS 1. Resolver por Gauss: x 2y 2z 2 x 2y z 3 x 3y F F1 F 2 F1 Intercambiamos las filas 2 y 3, y nos queda Ya podemos asegurar que el sistema es compatible determinado, y su solución: z 1 z 1 x 2 5y 2z 3 5y y 1 Solución: y 1 x 2 2y 2z x 2 z 1

7 2x 5y 3z 4 2. Resolver por Gauss: x 2y z 3 5x y 7z 11 x 2y z 3 Intercambiamos las dos primeras ecuaciones: 2x 5y 3z 4 5x y 7z F 2 2F F 3 11F F3 5F z 26 z 2 y z 2 y 2 ( 2) 0 y 0 x 3 2y z 3 0 ( 2) 5 x 5 Sistema compatible determinado. Solución: x 5 y 0 z 2 3. Resolver por Gauss: x 3y 7z 10 5x y z 8 x 4y 10z F2 5F1 2F3 F3 F F3 F Esta ecuación corresponde a 0x 0y 0z 0, que se elimina, y nos queda: z y 34z 42 7y 17z 21 7y 2117 y y x 10 3y 7z 10 3( 3 ) x El sistema es compatible indeterminado, tiene soluciones. Y se escribe: Solución y 3 7 z x 3y 2z 7 4. Resolver por Gauss: 2x y 15z 3 x 8y 21z F 2 2F F 3 F2 La última ecuación tiene la F3 F forma 0x 0y 0z 7 0 7, lo cual es imposible, por lo tanto, el sistema es incompatible: No tiene solución.

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