TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Vamos a calcular las matrices asociadas a este sistema: matri de los coeficientes 9 5 matri de los términos independientes B matri ampliada 9 5 matri de las incógnitas X Se cumple que: X B b) , Solution is: 5 9, 7, 96 Se trata de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Vamos a calcular las matrices asociadas a este sistema: matri de los coeficientes 7 5 matri de los términos independientes B 9 0 matri ampliada matri de las incógnitas X Tareas -0-: todos los ejercicios de la página 5

2 . Soluciones. Sistema equivalentes Ejemplo Vamos a resolver mediante tranformaciones el siguiente sistema: 9 5 La segunda ecuación la multiplico por le quito la primera multiplicada por La primera ecuación la multiplico por 9 le sumo la segunda multiplicada por Se dividen ambas ecuaciones por b) Consideramos la matri ampliada del sistema: Ponemos la última fila la primera la tercera fila le sumamos cinco veces la primera. la segunda fila le restamos tres veces la primera En la tercera fila colocamos la tercera por 5 sumado con la segunda por

3 Nos queda el sistema 5 De la última ecuación: Sustituimos este valor en la segunda ecuación para hallar : 5 Sustituimos e en la primera ecuación para hallar : 6 Es un sistema compatible determinado Tareas -0-: todos los ejercicios de la página 55. Resolución de sistemas por el Mètodo de Gauss Ejemplo Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 5 0 Lo primero que calculamos es la matri ampliada: 5 0 Cambiamos entre si la primera la segunda fila: 5 0 Vamos a hacer las siguiente operaciones: a la cuarta fila le sumo la primera: a la tercera fila le resto tres veces la primera: 0 9 a la segunda fila le resto dos veces la primera: 0 hora tenemos la siguiente matri ampliada: Vamos a hacer las siguientes operaciones: a la cuarta fila le restamos 6 veces la segunda:

4 a la tercera fila le sumamos la segunda: hora tenemos la siguiente matri ampliada: Vamos a hacer las siguientes operaciones: en la cuarta fila sumamos 0 veces la cuarta con 7 veces la tercera: Finalmente la matri ampliada es: Nuestro sistema será ahora: 0 0 En la última ecuación tenemos una barbaridad matemática: 0 Entonces el sistema no tiene solución, es decir, el sistema es incompatible. Tareas 5-0-: todos los ejercicios de la página 57.. Regla de Cramer Ejemplo Resuelve por el método de Cramer los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5 Calculamos primero el determinante de la matri de los coeficientes podemos aplicar la regla de Cramer. si la solución de nuestro sistema será:

5 5 9 b) 5 0 Calculamos primero el determinante de la matri de los coeficientes. 5 0 podemos aplicar la regla de Cramer. si la solución de nuestro sistema será: Como,, 55, 5, t c) t 5t 0 hora nuestra matri de los coeficientes es 5 tenemos una única soluciónnuestro sistema es compatible determinado Vamos a aplicar la regla de Cramer; para ello hemos de encontrar un determinante de orden no nulo. 5

6 Por ejemplo: 5 usando la regla de Sarrus. En este determinante las tres columnas se corresponden con las variables,,. Entonces consideramos el siguiente sistema: t t 5 t hora aplicamos aquí la Regla de Cramer suponiendo que "t" es conocida. t t t 5 t t t 5 t t 55 0t 0 t 5 t t t t Se trata de un sistema compatible indeterminado cua solución es: R Se trata de una recta del espacio cuatridimensional t Tareas -0-: todos los ejercicios de la página Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouché Ejemplo: plica el Teorema de Rouché a los siguientes sistemas de ecuaciones, determinando en cada caso el número de soluciones: t t 5t 0 Nuestras matrices son: 5 matri de los coeficientes rectangular de dimensión 5 0 matri ampliada rectangular de dimensión 5 6

7 En ambos casos, el maor rango es. Hemos de estudiar el rango de estas matrices: 5 0 al ser un menor de orden rg rg Entonces el sistema es compatible aplicando el Teorema de Rouché. Como rg rg número de incógnitas, resulta que el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) b) t t 5t 0 6 Nuestras matrices son: El maor rango posible de ambas matrices es. Hemos de estudiar el rango de estas matrices: Ya sabemos que 5 matri de los coeficientes rectangular de dimensión matri ampliada rectangular de dimensión 5 0 al ser un menor de orden rg rg Calculamos (desarrollando por la última column rg Como la matri ampliada contiene a la matri de los coeficientes, resulta que también rg Concluimos: rg rg número de incógnitas. Por lo tanto, aplicando el Teorema de Rouché podemos decir que el sistema es compatible determinado. 0 7

8 t t c) 5t 0 6t Nuestras matrices son: 5 6 matri de los coeficientes de dimensión matri ampliada de dimensión 5 Vamos a empear estudiando el rg. Es claro que la última fila es suma de las anteriores, por lo que su rg. Por otro lado sabemos que orden. 5 Vamos a estudiar el rg. Hemos de calcular menores de orden. Tomamos el siguiente: Vamos a desarrollarlo por lo elementos de la tercera fila rg, dado que tenemos un menor no nulo de rg plicando la Regla de Sarrus nos quedan: Recapitulamos: rg rg Entonces aplicando el Teorema de Rouché el sistema es incompatible. Tareas 9-0-: todos los ejercicios de la página 6..6 Discusión resolución de sistemas Ejemplo: Vamos a discutir resolver los sistemas planteados en el apartado anterior.

9 t t 5t Como rg rg número de incógnitas, resulta que el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) Hemos terminado la discusión, nos falta la resolución. Como en el menor no nulo, tenemos las incógnitas,, la que falta (t) pasa al lado de los términos independientes. t t 5 t sí las soluciones serán, aplicando la Regla de Cramer; t t t 5 t t t 5 t t 55 0t 0 t t t Es decir, las soluciones son: R t Como recorre todos los números reales así tenemos las infinitas soluciones del sistema. La representación gráfica es una recta en el espacio cuatridimensional. b) t t 5t

10 Concluimos: rg rg número de incógnitas. Por lo tanto, aplicando el Teorema de Rouché podemos decir que el sistema es compatible determinado. Estamos en condiciones de aplicar la regla de Cramer: t 60 0 La solución es,,, t 69, 6 0, 7 0, 0 Tareas 9-0-: todas los ejercicios de la página 6.7 Discusión de sistemas con parámetros Ejemplo Discute resuelve en función de los valores de a el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a a Vamos a calcular dos matrices: matri de los coeficientes matri ampliada a a a Como hemos de discutir el sistema, hemos de calcular el rango de estas dos matrices. Tenemos que 5 0 rg Como es una matri cuadrada de orden podemos calcular su determinante. 0

11 a a 7 aplicando la Regla de Sarrus Este determinante depende del valor de a, por lo que distinguimos: a 7 0 a 7 En este caso, rg, pues su determinante de orden es cero tenemos un menor de orden no nulo. 7 La situación del sistema es: 7 Tenemos que hacer el estudio del rg donde 7 7 Como tenemos a un menor de orden no nulo, añadimos a sus columnas la cuarta, pues a sabemos que el determinante de las tres primeras es cero rg aplicando la Regla de Sarrus Recapitulamos; rg rg. Por el teorema de Rouche, el sistema es incompatible. a 7 0 rg Como está contenida en, rg Recapitulamos: rg rg número de incógnitas. Por el teorema de Rouche, el sistema es compatible determinado. Es decir, tiene una única solución. Estamos en condiciones de resolverlo, aplicando la Regla de Cramer. a a a 7 a a a 7 a a 7 a 7a a 7 a a 7 a 7 a 7a 7 9 Hemos resuelto los determinantes aplicando la Regla de Sarrus. La solución es,, a 7a, a 7 a a 7, a 7 a 7a 7 9 Tareas 0-0-: todos los ejercicios de la página 65 Tareas 0-0-: todos los ejercicios de la página 66. siempre que a 7 0

12 .9 Interpretación geométrica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 6 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos:, B, Una recta tiene por ecuación implícita: a b c donde a,b,c son tres números reales. Como son puntos de la recta, se cumplirá que: a b c a b c a b c a b c Se tendrá que : a b a b a a b b a 6b Sustituimos este valor de a en una de las dos ecuaciones: 6b b c b b c 6b c Llegamos a que: a 6b c 6b b R 0 pues recordamos que necesitamos la ecuación de una recta. La ecuación queda: 6b b 6b como podemos dividir entre b Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan de la página 67 Tareas 0-0-: todos los ejercicios de la página 69 Ejercicios finales del tema Escribe en forma matricial los siguientes sistemas: Tareas --: todos los ejercicios que faltan del Para cada uno de los siguientes sistemas, escribe la matri de los coeficientes la matri ampliada: Tareas --: todos los ejercicios que faltan del Escribe de forma desarrollada los siguientes sistemas: Tareas --: todos los ejercicios que faltan del Tareas --: 5 Dado el sistema: a b c calcula el valor de a, b c para que la terna,, sea solución del mismo.

13 Lo único que ha que hacer es sustituir las incógnitas por estos valores: Conclusión: a, b, c,, 6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Tareas --: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Trabajamos sobre la matri ampliada del sistema: la última fila le resto la segunda: la segunda fila le quita el doble de la primera: Dividimos la tercera fila entre la segunda entre l doble de la tercera le sumo la segunda: El sistema ahora es:

14 Inmediatamente: Sustituimos este valor en la segunda ecuación: Sustituimos los valores de, en la primera ecuación: Se trata de un sistema compatible determinado: tiene una única solución. Tareas --: todos los ejercicios que faltan del 7 menos g h. 6 plicando el método de Gauss, estudia resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas: La matri ampliada del sistema es: 0 la segunda fila le quitamos el doble de la primera: La segunda fila la dividimos por 6 : Claramente las dos filas son linelamente independientes por lo que rg r número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible indeterminado. Las soluciones vienen dadas por: Sustituimos el valor de de la segunda ecuación en la primera: 9 5 La solución será: R 695 Se trataría de una recta del espacio(como varía nos otorga un grado de libertad). Otra forma de hacerlo Dividimos por dos la segunda ecuación: 9 5 9

15 La matri ampliada queda ahora: Como las filas son claramente linealmente independientes tenemos que rg r número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible indeterminado. Las soluciones vienen dadas por: Sustituimos el valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación: Dividimos la segunda ecuación entre : La solución será: R 9 6 Se trataría de una recta del espacio R (como varía nos otorga un grado de libertad). Tareas --: el apartado b del ejercicio 6. 7 plicando el método de Gauss, estudia resuelve los siguientes sistemas de cuatro ecuaciones lineales con dos incógnitas: 9 0 La matri ampliada del sistema es: 9 0 la cuarta fila le quitamos la primera: la tercera fila le quitamos la primera: 0 la segunda fila le quitamos el doble de la primera: Por dependencia lineal de las filas segunda, tercera cuarta, dividiendo la segunda por 7 nos podemos quedar con: 5

16 0 Esta matri está asociada al sistema: Como las filas son claramente linealmente independientes tenemos que rg r número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. Las soluciones vienen dadas por: La solución será:, Se trataría de un punto del plano. Tareas --: el apartado b del ejercicio 7. plicando el método de Gauss, estudia resuelve los siguientes sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas: w w w w 0 La matri ampliada del sistema es: la cuarta fila le quitamos el triple de la primera: la tercera fila le quitamos el doble de la primera: la segunda fila le quitamos la primera: Cambiamos la segunda la tercera filas. la tercera fila le sumamos el doble de la segunda la cuarta fila le sumamos el doble de la segunda

17 Multiplicamos la cuarta por 7 la tercera por por, las restamos en la cuarta Como las filas son claramente linealmente independientes tenemos que rg r número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. Las soluciones vienen dadas por: w 5w 5 7w 6 w 0w w 6 5 w 0 w La solución es un punto,,, R Tareas --: el ejercicio b del 0. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utiliando la regla de Cramer: 7 5, Solution is:, Primero hemos de calcular el siguiente determinante: se puede aplicar la regla de Cramer. Por otro lado observamos que rg rg número de incógnitas. Entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. La solución viene dada por: La solución es un punto, del plano real R ; es decir, las rectas se cortan en un punto. Tareas 5--: todos los ejercicios que faltan del. Tareas 5--: Dado el sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas 7

18 w w 5 w 5 Primero hemos de calcular el determinante de la matri de los coeficientes: la segunda fila le quito la primera: la cuarta fila le quito el doble de la primera: Vamos a desarrollar este determinante por los elementos de la primera columna: 0 aplicando la regla de Sarrus 0 se puede aplicar la regla de Cramer. Por otro lado observamos que rg rg número de incógnitas. Entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. La solución viene dada por:

19 w La solución es un punto,,, del R Discute con la auda del Teorema de Rouche resuelve mediante la regla de Cramer los sistemas. 5 0 Consideramos las matrices: 5 Tenemos que:, Solution is:, rg rg número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. Y estamos en condiciones de aplicar la regla de Cramer para resolverlo La solución es un punto, del plano real R ; es decir, las rectas se cortan en un punto. Tareas 5--: todos los ejercicios que faltan del 5 Discute con la auda del Teorema de Rouche resuelve mediante la regla de Cramer los sistemas. f) Consideramos las matrices: 6 5 Tenemos que: aplicando la regla de Sarrùs 0 Observa que la última fila es la mitad de la primera. Pero 5 0 rg rg número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible indeterminado. Y estamos en condiciones de aplicar la regla de Cramer para resolverlo en el siguiente sistema. 9

20 6 0 5 La soluciòn será: La solución queda finalmente como: 5 R Se trataría de una recta del espacio R (como varía nos otorga un grado de libertad). Tareas 5--: todos los ejercicios que faltan del 5 7 Estudia resulve, en su caso, el sistema: d) w w 5 Consideramos la matri de los coeficientes la matri ampliada: Vamos estudiar sus rangos: Tomamos el siguiente menor de orden : aplicando la regla de Sarrus 0 Tenemos que rg rg número de incógnitas. plicando el Teorema de Rouche-Frobenius me sale que el sistema es compatible indeterminado. Por otro lado estamos en condiciones de aplicar la regla de Cramer en el sistema siguiente: w w 5 sí las soluciones serán: w w 5 0

21 w La solución es R w Se trata de una recta de R, pues variable me da un grado de libertad. Estudia los siguientes sistemas según los valores del parámetro a resuélvelos en los casos en que sea posible: f) a a a Consideramos la matri de los coeficientes la matri ampliada: a a Vamos estudiar sus rangos: Calculamos a a a a a a Hacemos que a 0 a a Hemos de distinguir los siguientes casos: f.) a 0 plicando el Teorema de Rouche-Frobenius se tiene que rg rg número de incógnitas entonces el sistema es compatible determinado. Y por otro, lado aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. La solución será: a a a a a a a a a a a f.) a El sistema es Es decir, la solución es R Se trata de una recta lo que nos dice que el sistema es compatible indeterminado. f.) a El sistema es Teniendo en cuenta que los coeficientes de, son iguales en las dos ecuaciones pero que cambia el término independiente, sabemos que tenemos dos rectas paralelas. Por lo tanto no tienen ningún punto en común, entonces el sistema es incompatible

22 Otra forma de hacerlo: Las matrices son: Ya sabemos que rg Hemos de estudiar el rg : Calculamos un menor de orden : 0 rg La situación ahora es rg rg. Entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius será un sistema incompatible. 9 Estudia los siguientes sistemas según los valores del parámetro a resuélvelos en los casos en que sea posible: h) a a a Consideramos las matrices: a 0 a a a 0 a a Hemos de estudiar sus rangos: Como no tenemos ningún menor de orden que no contenga a "a", calculamos directamente: a 0 a a aplicando la regla de Sarrus a 5a 6 Como el término independiente es -6, consideramos sus divisores(,,, 6 para hacer la regla de Ruffini: De esta tabla tenemos que: cociente a a 6 resto 0 también que: a 5a 6 a a a 6 Para hallar otros valores de a resolvemos: a a 6 0, Solution is: i, i plicando la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado, nos queda una rai negativa, por lo que no tiene solución en los reales. Hemos de distinguir dos casos: h.) a Tenemos que rg rg números de incógnitas. Entonces aplicando el Teorema de Rouche-Frobenius el sistema es compatible determinado. Y estamos en condiciones de resolverlo por la regla de Cramer. a 0 a a 5a 6 a a a 5a 6

23 0 a a a 5a 6 a a a 5a 6 a a a 5a 6 h.) a a a a 5a 6 Consideramos las matrices: 0 En esta circunstancias 0 Pero 5 0 rg 0 Hemos de estudiar el rg Calculamos menores de orden tres, pues a sabemos que al menos este rango vale (hemos de asegurarnos que vale o no ): 0 0 Se cumple que la última fila es el doble de la segunda menos la primera: 0 Por lo tanto rg, pues no ha menores de orden no nulos. Recapitulamos rg rg número de incógnitas. Entonces por el Teorema de Roche-Frobenius el sistema es compatible indeterminado. Vamos a aplicar la regla de Cramer partiendo de: pues 5 0 Trabajamos con aplicando la regla de Cramer la solución viene dada por:

24 Finalmente la solución viene dada por: R Se trata de una recta del espacio R Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 9 Tareas --: el ejercicio 0 Calcula el valor de m para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado escribe las infinitas para este valor hallado. (plica el método de Gauss) m Consideramos las matrices: m m Se ve que en la tercera fila es combinación lineal de la primera la segunda: Por lo tanto nos podemos quedar nada mas con: m m Claramente 0 rg hora ha que calcular m m m 0 Esto nos dice que el valor de es cero independientemente del valor que le demos a m. Por otro lado, tenemos que rg para cualquier valor de m. hora hemos de calcular el rg, que por ahora es maor o igual que dos. 0 ha que darse cuenta que tienes dos filas iguales. m aplicando la regla de Sarrus m aplicando la regla de Sarrus 7m m Igualamos a cero estas dos epresiones en m.

25 m 0, Solution is: 7m 0, Solution is: Recapitulamos: Si m rg pues todos los menores de orden son nulos. De ahí que rg rg número de incógnitas. Entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistemas compatible indeterminado. Si m rg pues tenemos dos menores de orden no nulos. De ahí que rg rg. Entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius el sistemas incompatible. hora hemos de trabajar con m : Las matri ampliada es Como la primera tercera fila son iguales me quedo nada mas con: la última fila le quito el doble de la primera: que está asociada al sistema: Finalmente la solución es 0 0 R Se trata de una recta del espacio R Tareas --: ejercicio 6 En una clase de segundo de Bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la Información, die estudian Comunicación udiovisual, por cada dos alumnos que estudian TI, tres estudian Frances. Calcula el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas sabiendo que en la clase ha 5 alumnos que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas. Primero vamos a asignar las incógnitas: El problema queda planteado como: número de alumnos de TI número de alumnos de C número de alumnos de FR Se trata de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: Vamos a ver si funciona la regla de Cramer: Calculamos

26 Estamos en condiciones de aplicar la regla de Cramer. La solución vendrá dada por: Se ve que 5 5 La solución es número de alumnos de TI 5 número de alumnos de C número de alumnos de FR Tareas --: 9 Tareas --: 50,5,5,5,56,57. 5 Una fábrica de perfumes dispone de 600l de un producto 00l de un producto B. Meclando los productos B se obtienen diferentes perfumes. Este año quieren preparar dos clases de perfume: el de la primera clase llevará tres partes de una de B, será vendido a 50 euros/l. Y el de la segunda clase llevará los productos B al 50% será vendido a 60 euros/l. Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar? b) Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados? Primero definimos las incógnitas: Tenemos la tabla siguiente: perfume ª perfume ª producto 600l producto B 00l litros del perfume clase ª litros del perfume clase ª En estas condiciones los enunciados del problema se traducen matemáticamente en: 600, Solution is: 00, Vamos a resolverla empleando el método de Gauss: la segunda fila le quitamos la primera dividida por :

27 De la última fila es De la primera fila 600 Sustituimos el valor de en esta última ecuación: Se preparan 00l del perfume clase ª 600l del perfume clase ª. b) Se recaudará euros 55 Determina la medida de cuatro pesas de una balana si se sabe que pesadas en grupos de tres dan como resultados respectivos 9, 0, g. Llamamos,,, w a los pesos de las pesas desconocidas. 9 w w 0 w Consideramos las matrices: Vamos a ver si podemos aplicar la regla de Cramer: desarrollando por una fila o columna luego aplicando la regla de Sarrrus 0 Entonces podemos aplicar la regla de Cramer:

28 w 5 5 Las pesas son de 5,,, g. Sería más ràpido resolverlo por el método de Gauss. 60 La suma de las edades actuales de tres hermanos es 6 años. Hace dos años, la edad del mediano era 5 años más que un tercio de la suma de las edades de los otros dos, dentro de cuatro años, el menor tendrá 9 años más que la quinta parte de la suma de los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los tres hermanos. Llamamos edad actual del hermano pequeño edad actual del hermano mediano edad actual del hermano maor Tenemos la siguiente tabla de edades: edad actual hace dos años dentro de cuatro años pequeño mediano maor Vamos a aplicar la regla de Cramer: para ello calculamos aplicando la regla de Sarrus 0 se puede aplicar la regla de Cramer Las edades de los hermanos son 6, 0 7 años.

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